2 derivadas max y min

Prof: René L. Williams G
ELEMENTOS DE CÁLCULO
DIFERENCIAL

LÍMITES
• Concepto fundamental del cálculo.
• Se aplica a funciones.
• Concepto complejo, da origen a los
conceptos de continuidad funcional y
derivada.
• Existe toda un álgebra de límites.
• Lo recordaremos en forma intuitiva.

LÍMITES
5x3)x(f Consideremos la función:
Haremos tender x a 2 por la izquierda y por la derecha.
x f(x)
1,9 10,7
1,99 10,97
1,999 10,997
2 11
2,001 11,003
2,01 11,03
2.1 11,3
Observamos que mientras más
Cerca de x = 2 estamos, la fun-
ción se acerca más a11.
Si x = 2, f(x) = 11.
Decimos que
11)5x3(lím
2x



LÍMITE
En el caso recién visto, la función tiene imagen en x = 2
y también tiene límite en ese punto y son iguales, pero
no siempre ocurre así.
3x
9x
)x(f
2


La función: no está definida en x = 3
x f(x)
2,9 5,9
2,99 5,99
2,999 5,999
3
3.001 6,001
3,01 6,01
3,1 6,1
Notamos que a medida que x toma
valores más cercanos a 3, la función
se acerca más a 6. Decimos:
6
3x
9x
pero)3(f
2
3x
lím 













LÍMITE
La función anterior no estaba definida en x = 3 pero
tenía límite y valía 6. Gráficamente:
f(x)
x0 3
6

LÍMITE
La función:







1xSi0
1x1x2
)x(f
2
- Está definida en x = 1, vale 0.
- Existe 1)x(flím
1x


Si hacemos tender x a 1, por la izquierda (por valores
menores que uno) o por la derecha, observamos que
la función tiende a tomar siempre el mismo valor, 1.
Esta función tiene imagen y límite en x = 1 y éstos son
distintos.

LÍMITE
La función:







4x6x5
4x4x3
)x(f
2
Esta función no está definida en x = 4, no tiene imagen y
tampoco tiene límite, pues si hacemos tender x a 4 por la
izquierda, la función tiende a tomar el valor 26, y si hace-
mos tender x a 4 por la derecha, la función tiende a tomar
el valor 44

LÍMITE
Un teorema importante, que sólo lo enunciaremos, indica
que existe el límite de una función en un punto, si y solo
si existen los límites laterales (límites por la izquierda y
derecha del punto) y además son iguales.
)x(flím)x(flím)x(flím
)x(flím)x(flím)x(flím
axaxax
axaxax







a b




|b)x(f||ax|0:0,0b)x(flím
ax
f
A B

CONTINUIDAD FUNCIONAL
Una función f, se dice que es continua en x = a si y solo si:
)a(f)x(flím)c
)x(flím)b
)a(f)a
ax
ax





Si cualquiera de las tres condiciones no se cumple, decimos
que la función es discontinua en x = a.

CONTINUIDAD FUNCIONAL
Una función real es continua en el intervalo [a,b], si es con-
tinua en todo punto de ese intervalo.
Intuitivamente, decimos que una función es continua en un
intervalo, si al representarla gráficamente en ese intervalo
no hay que levantar el lápiz del papel.
Los conceptos de límite y continuidad están íntimamente
relacionados y son la base del concepto de derivada.

LA DERIVADA
Sea f una función real.
h
)x(f)hx(f
lím:límiteEl
f))hx(f,hx(:ranf)hx(fdomf)hx(0h;RhSea
f))x(f,x(:fran)x(fdomfx
0h




Si existe, se llama la derivada de
la función f en x y se anota
dx
)x(df
o)x(f ,

LA DERIVADA
• Es un límite bien específico que se cal-
cula a una función.
• Si la derivada existe en un punto, de-
cimos que la función es derivable en ese
punto.
• Tiene una gran aplicación en todos los
campos en que se relacionan variables.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
f(x)
x0
(x,f(x))
P
Q
(x+h,f(x+h))
f
SanteseclaayfQ,P 
S
h
)x(f)hx(f
mS


x x + h
f(x)
f(x+h)
h

f(x)
x
P
Q
S
PQ0h 
h
Distintas secantes al
tender Q a P, todas
de distinta pendiente.
En el límite cuando h
tiende a cero, la se-
cante se transforma
en tangente
,
S
Tg
x x+h
f(x)
f(x+h)

TgS
0h
mmlím 

Tg
,
Tg
0h
m
dx
)x(df
)x(f
m
h
)x(f)hx(f
lím




La derivada de una función en un punto, es la pendiente
de la tangente a la función en ese punto.

LA DERIVADA
• La derivada es la pendiente de la tangen-
te a la curva en cualquier punto.
• Representa la tasa instantánea de cambio
de la variable dependiente cuando cambia
la variable independiente.
• No existirá la derivada en un punto si no
existe el límite que la define en ese punto.
,
S,
S

REGLAS DE DIFERENCIACIÓN
1. Si f(x) = K (función constante). f´(x) = 0
La derivada de una constante es igual a cero.
La función constante es una recta paralela al eje
x, y por lo tanto su pendiente es cero. Como la
derivada es la pendiente de la tangente a la curva,
debe valer cero.

2. f(x) = x (función idéntica). f´(x) = 1
La derivada de x con respecto a x vale uno.
La función idéntica (x es siempre igual a su imagen)
es la bisectriz del primer y tercer cuadrante. Si toma-
mos la pendiente de esta recta, encontramos que
siempre vale uno.

3. f(x) = kg(x) f´(x) = k g´(x)
La derivada de una constante por una función es
igual a la constante por la derivada de la función.
4. f(x) = u(x) + v(x) f´(x) = u´(x) + v´(x)
La derivada de una suma (o resta) de funciones
es igual a la suma o resta de las derivadas.

5. n
x)x(f  Función potencial, n es un número real
1n
nx)x´(f 

6. f(x) = u(x) v(x) f´(x) = u´(x)v(x) + u(x)v´(x)
Derivada de un producto.

7.
2
)]x(v[
)x´(v)x(u)x(v)x´(u
)x´(f
)x(v
)x(u
)x(f


Derivada de un cuociente.
8. )x´(u)]x(u[n)x´(f)]x(u[)x(f 1nn
 
u(x) es una función diferenciable de x.
Regla de la cadena.

DERIVADA Y CONTINUIDAD
¿Si una función es continua en un intervalo, es deriva
ble en ese intervalo?
¿Basta saber que una función es continua en un interva-
lo para asegurar que es derivable en ese intervalo?
¿Si una función es derivable en un intervalo, es continua
en él?
¿Es condición suficiente saber que una función es deri-
vable en un intervalo para asegurar que es continua en
ese intervalo?
La respuesta a estas preguntas es un teorema muy im-
portante del análisis matemático.

¿Qué podemos decir de esta función?
x
f(x)
0
f(x) = |x|
dom f = R
ran f =  0R 
¿Es continua en x = 0?
¿Es derivable en x = 0?

f(x)
x
f(x)
x0 0
¿Qué podemos decir de estas funciones?

Podemos dar la respuesta a las preguntas anteriores.
“Toda función continua en un punto no necesariamente
es derivable en ese punto”.
“No es suficiente saber que una función es continua en
un punto para asegurar que es derivable en ese punto”
El recíproco del enunciado anterior si que es correcto:
“Si una función es derivable en un punto, es continua
en ese punto”
“Es suficiente saber que una función es derivable en
un punto para asegurar que es continua es ese punto”.

EJEMPLO
1. Dada la función: 1x3x2)x(f 2

Determine:
a) La tasa promedio de cambio en el intervalo [0,5]
13
05
166
m
66y5x
1y0x









b) La derivada.
3x4)x´(f 

c) Determine la tasa instantánea de cambio de f cuando
x = 5.
23354)5x´(f3x4)x´(f 
d) En qué parte de la función la pendiente es igual a 0.
)8/1;4/3(
125,0y
4
3
x
03x4
0)x´(f0mSi





Determine la tasa instantánea de cambio de f cuando
x = 1 y x = -2
23
2
2
2
2
2
x3x)x(f.10
x/a)x(f.9
x/2)x(f.8
bax)x(f.7
100x25)x(f.6
6x3x5)x(f.5
8x7x)x(f.4
x10x8)x(f.3
x9)x(f.2
6x3)x(f.1











DERIVE Y SIMPLIFIQUE
)(6
23
)(.10
)165)(4()8)(43()8)(4()(.9
)
2
1
50(25)(.8
)18125(63)(.7
)/18(/6)(.6
)2542(2523/)(.5
)6()(.4
4
3
)(.3
)83(8)(.2
)1(140)(.1
2
23
43252253
2
234345
43
526
56
4
4 3
23
xx
xx
xf
xxxxxxxxxxxxf
x
xxxxf
xxxxxxxf
xxxf
xxxxxxf
xxxf
x
xxf
xxxxf
xxf

















ESTUDIO DE FUNCIONES
Sea f una función real continua y derivable en el inter-
valo real [a,b].
a) f es creciente en [a,b] ]b,a[x0)x´(f 
b) f es decreciente en [a,b] ]b,a[x0)x´(f 
c) f es constante en [a,b] ]b,a[x0)x´(f 

ESTUDIO DE FUNCIONES
Muy importante: “Conociendo el signo de la derivada
de una función en un intervalo, podemos saber si la
función es creciente, decreciente o constante en ese
intervalo”.
x
f(x)
0

f(x)
x0 a b c d e f g h i
[a,b[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0
]b,d[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0
]d,e[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0

f(x)
]e,f[ f(x) es creciente; f´(x) > 0
]f,g[ f(x) es creciente; f´(x) > 0
]g,h[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0

f(x)
]h,i[ f(x) es decreciente; f´(x) < 0
]i, [ f(x) es creciente; f´(x) > 0

f(x)
f´(x = b) = 0 entonces f(x) se estabiliza en x = b.
f´(x) < 0 a la izquierda y a la derecha de x = b
f´(x) < 0 en x = c
f´(x) tiene su máxima negatividad en x = d

f(x)
f´(x = e) = 0, entonces f se estabiliza en x = e
f´(x) < 0 a la izquierda de x = e, f es decreciente
f´(x) > 0 a la derecha de x = e, f es creciente
f´(x) cambia de signo entorno a x = e, de – a +
f presenta un mínimo en x = e

f(x)
f´(x = g) = 0, entonces f se estabiliza en x = g
f´(x) > 0 a la izquierda de x = g, f es creciente
f´(x) < 0 a la derecha de x = g, f es decreciente
f´(x) cambia de signo entorno a x = g de + a –
f presenta un máximo en x = g

f(x)
En x = i, ocurre lo mismo que en x = e
En x = b f´(x) = 0, pero no cambia de signo en su
entorno.

f(x)
En [a,b[ la función es cóncava hacia arriba (+)
En ]b,d[ la función es cóncava hacia abajo (-)
En ]d,f[ la función es cóncava hacia arriba (+)
En ]f,h[ la función es cóncava hacia abajo (-)

f(x)
La función presenta: Un mínimo en x = e y en x = i
Un máximo en x = g.
Punto de inflexión en x =b; x = d;
x = f; x = h

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PRIMER MÉTODO
• Derivar la función, obtener f´(x).
• Hacer f´(x) = 0 y resolver.
sea x = a solución de f´(x) = 0
x = a se llama valor crítico pues hace
cero a f´(x).
• Definir los intervalos

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PRIMER MÉTODO
a x
[,a]:I
[a,]:I
2
1


Se averigua el signo de f´(x) en cada intervalo, para esto
se toma un valor cualquiera del intervalo y se reemplaza
en f´(x)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
PRIMER MÉTODO
a=xenmínimounpresentaf
[+,a]encrecienteesf[+,a]en0>)x´(fSi
[a,]enedecrecientesf[a,∞]en0<)x´(fSi)b
∞⇒∞
∞⇒
• Se decide:
mínimonimáximonihayno
a=xaentornosignodecambiano)x´(fSi)c
máximounpresentafunciónlaa=xenEntonces
[+,a]enedecrecientesf[+,a]en0<)x´(fSi
[a,]encrecienteesf[a,]en0>)x´(fSi)a
∞⇒∞
∞⇒∞

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
1. En x = a la función presenta un máximo
ssi
a) f´(x = a) = 0
b) f´(x) cambia de signo entorno de x = a
de positiva a negativa, o lo que es
equivalente, la función pasa de creci-
ente a decreciente.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
2. La función presenta un mínimo en x = a
ssi:
a) f´(x = a) = 0
b) f´(x) cambia de signo entorno de
x = a de negativa a positiva, o lo
que es equivalente, la función pa-
sa de decreciente a creciente.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
3. Si f´(x = a) = 0, pero no cambia de signo,
la función no presenta ni máximo ni
mínimo.
abajohaciacóncavaesf
a+decambia)x´(f
0=)x´(f
:máximounEn

MÁXIMOS Y MÍNIMOS







arribahaciacóncavaesf
adecambia)x´(f
0)x´(f
:mínimounEn

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Ejemplo: Estudiar los máximos y mínimos de
x6
2
x
3
x
)x(f
23

cosCrítiValores2xy3x0)x´(f
6xx)x´(f
21
2


-3 2 x

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Tomamos un elemento de cada intervalo y evaluamos en
él la derivada. Nos interesa saber su signo.
a) Tomamos x = -5 (o cualquier otro valor simple de ope-
rar.
f´(x = 5) = 14 > 0 f es creciente en el intervalo

b) Tomamos x = 0 (2° intervalo)
f¨(x = 0) = -6 < 0 f es decreciente en el intervalo
c) Tomamos x = 5 (3° intervalo)
f´(x = 5) = 24 > 0 f es creciente en el intervalo

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
Entorno a x = -3 la función pasa de creciente a decre-
ciente, por lo tanto x = -3 es un máximo relativo.
Entorno a x = 2 la función pasa de decreciente a cre-
ciente, luego x = 2 es un mínimo relativo.
El máximo relativo está en (-3, f(-3)) = (-3; 13,5)
El mínimo relativo está en (2, f(2)) = (2; -7,33)

SEGUNDA DERIVADA
f(x)
x0 a
3L
2L
1L
0m1 
0m2 
0m3 

SEGUNDA DERIVADA
f(x)
x0 a
3L
2L
1L
0
)()(
0)(0
0
0
0
2
2
0
13
12
12
















dx
xfd
dx
xdf
dx
d
m
dx
d
x
m
lím
x
m
xxx
xxx
mmm
x
1x
2x
3x

SEGUNDA DERIVADA
Entorno a x = a la segunda derivada es ne-
gativa.
Entorno a x = a la segunda derivada es ne-
gativa.
Toda función que presenta un máximo en x
= a, su segunda derivada es negativa en x
= a.

SEGUNDA DERIVADA
f(x)
xa0
1L
2L
3L
3x
2x
1x
0>
dx
)x(fd
=
dx
)x(df
dx
d
0>)m(
dx
d
=
xΔ
mΔ
lím0>
xΔ
mΔ
0>xx=xΔ
0>xx=xΔ
0>mm=mΔ
2
2
0xΔ
13
12
12
→
⇒

SEGUNDA DERIVADA
 Entorno a x = a la segunda derivada es
positiva.
 En x = a la segunda derivada es positiva.
La función es cóncava hacia arriba, o cón-
cava positiva.
 Toda función que presenta un mínimo
en x = a, su segunda derivada es positiva
en x = a.

SEGUNDA DERIVADA
• La segunda derivada de una función está aso-
ciada a la concavidad de la curva.
• Si la segunda derivada en un punto es posi-
tiva, la curva es cóncava hacia arriba.
• Si la segunda derivada en un punto es nega-
tiva, la curva es cóncava hacia abajo.
• Si la segunda derivada es igual a cero en un
punto y cambia de signo entorno a él, la cur-
va tiene concavidad nula o no tiene concavi-
dad en ese punto.

SEGUNDA DERIVADA
• Si la función tiene un valor crítico, y en
él la segunda derivada es positiva, ese valor
crítico es un mínimo.
él la segunda derivada es negativa, ese va-
lor crítico es un máximo.
él la segunda derivada es igual a cero, la
función puede presentar un máximo, o un
mínimo o un punto de inflexión.

SEGUNDA DERIVADA
concavidadsucambiao,concavidadtienenof0)x´´(f
abajohaciacóncavaesf0)x´´(f
arribahaciacóncavaesf0)x´´(f




PUNTO DE INFLEXIÓN
• La curva cambia de concavidad, de posi-
tiva a negativa o viceversa.
• La segunda derivada vale cero y cambia
de signo entorno a él en cualquier orden.
• La tangente a la curva en él, corta a la
función.
• La primera derivada puede ser cero, po-
sitiva o negativa.

f(x)
x0 a b c
PUNTOS DE INFLEXIÓN
+
-
+
-
a, b, c son puntos de inflexión 0)c´´(f)b´´(f)a´´(f 
En x = a la función es constante f´(x) = 0
En x = b la función es decreciente, f¨(x) < 0
En x = c la función es creciente, f´(x) > 0

MÁXIMOS Y MÍNIMOS: MÉTODO DE LA
SEGUNDA DERIVADA
• Derivar la función.
• Hacer f¨(x) = 0 y resolver. Encontrar los
valores críticos.
• Derivar por segunda vez.
• Evaluar la segunda derivada en los va-
lores críticos.
• Resolver.

SEGUNDA DERIVADA
• Regla de decisión:
• f´´(x = a) > 0 en x = a existe un mínimo.
• f´´(x = a) < 0 en x = a existe un máximo.
• f´´(x = a) = 0 el método no sirve, en x = a
puede haber un máximo, mínimo o punto
de inflexión. Hay que acudir al primer méto-
do.

SEGUNDA DERIVADA
1. Estudiar la función: 3
x)x(f  Parábola cúbica
fallamétodoEl0=)0=x´´(f
x6=)x´´(f
C.V0=x0=x3
x3=)x´(f
2
2
⇒
Debemos aplicar el primer método

SEGUNDA DERIVADA
0
f´(x) > 0 f´(x) > 0
f es creciente f es creciente
f´´(x) < 0 f´´(x) > 0
f es cóncava hacia abajo f es cóncava hacia arriba
No hay un cambio de signo de la primera derivada en-
torno al valor crítico, luego no es máximo ni mínimo.
Cambia de signo la segunda derivada (pasando por
cero) por lo que cambia la concavidad de la curva. Es
un punto de inflexión.

SEGUNDA DERIVADA
Gráfico:
f(x)
x0
+
-
En x = 0 la función presenta un punto de inflexión.
El segundo método falla y la función presenta un punto
de inflexión.

SEGUNDA DERIVADA
2. Estudiar la función: 4
x)x(f 
fallamétodoEl0=)0=x´´(f
x12=)x´´(f
C.V0=x0=x4
x4=)x´(f
2
3
3
⇒

SEGUNDA DERIVADA
f´(x) < 0 f´(x) > 0
f es decreciente f es creciente
f´´(x) > 0 f´´(x) > 0
f cóncava hacia arriba f cóncava hacia arriba
0 x
23
x12)x´´(fx4)x´(f 

SEGUNDA DERIVADA
• Cambia de signo f´(x) de negativa a
positiva, la función pasa de decreciente
a creciente, luego en x = 0 hay un mí-
nimo.
• No cambia de signo la segunda deriva-
da, la función no cambia su concavidad,
no es un punto de inflexión.
• El método falla y la función presenta
un mínimo.

SEGUNDA DERIVADA
Gráfico de
4
x)x(f 
f(x)
x0

SEGUNDA DERIVADA
Si analizamos la función vere-
mos que el método también falla, presen-
tando la función un máximo en el valor crí-
tico.
Cuando el método de la segunda derivada
falla, no se puede afirmar nada con
respecto al valor crítico, pues puede ser
un máximo, mínimo o punto de inflexión.
Hay que recurrir al análisis por intervalo.
4
x)x(f 

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
1.
06)x´´(f
.C.V8x
048x60)x´(f
48x6)x´(f
15x48x3)x(f 2





La función tiene concavidad constante y positiva,
luego el valor crítico es un mínimo. (8, -177)
No tiene punto de inflexión.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
2.
8x0)x´´(f
4)10x´´(f
4)6x´´(f
16x2)x´´(f
10x
6x
060x16x0)x´(f
60x16x)x´(f
x60x8
3
x
)x(f
2
1
2
2
2
3









Valores críticos
Máximo (6, 144)
Mínimo (10; 10,333..)
Punto de inflexión (8; 138,666..)

MÁXIMOS Y MÍNIMOS
x4x5,23/x)x(f.10
100x16x53/x)x(f.9
)10x5()x(f.8
10x84/x)x(f.7
x60x83/x)x(f.6
10/x)x(f.5
2/x94/x)x(f.4
24x)x(f.3
25x18)x(f.2
10x48x6)x(f.1
23
23
3
24
23
2
24
3
3
2











APLICACIONES
q = número de unidades demandadas.
p = precio unitario.
q = f(p)
Ingreso: I = (precio unitario) x (unidades demandadas)
I = p x q

APLICACIONES
1. Dada la función de demanda:
p5,7000.15q 
a) Interprete los parámetros de la función.
15.000 = demanda fija o demanda máxima, cuando
el precio del producto es cero.
7,5 = disminución de la demanda por cada peso
que sube el precio del producto. Tasa ins-
tantánea de cambio.
p = precio en pesos
q = unidades demandadas

APLICACIONES
b) Obtenga la función ingreso
2
2
p5,7p000.15)p(I
p5,7p000.15qp
p/p5,7000.15q




APLICACIONES
c) Optimice la función ingreso en términos de p. En-
cuentre el precio que maximiza el ingreso.





15)p´´(I
.C.V1000p
0p15000.150)p´(I
p15000.15)p´(I
p5,7p000.15)p(I 2
Máximo (1.000, 7.500.000)

APLICACIONES
2. q = número de unidades producidas.
C = costo de producción en unidades monetarias.
C = f(q)
Ejemplo:
C(q) ) = 2.500.000 + 3.500q Costo lineal.
2.500.000 = Costo fijo, independiente de q
3.500q = Costo variable, depende de q
3.500 = Tasa instantánea de cambio del costo
por cada unidad producida.

APLICACIONES
3. Costo Marginal. Tasa instantánea de cambio del
costo total al producir una unidad
más. Como cambia el costo total
al producir una unidad más.
)TotalCosto(
dq
d
inalargMCosto 
El Costo Marginal es la primera derivada con res-
pecto a q del Costo Total.

APLICACIONES
4. Ingreso Marginal: Es la tasa de cambio del Ingreso
Total al vender una unidad más.
Es el cambio que experimenta el
Ingreso Total al vender una unidad
más.
)TotalIngreso(
dq
d
inalargMIngreso 
El Ingreso Marginal es la primera derivada de la función
Ingreso Total.

APLICACIONES
5. Costo Promedio por unidad
(CP).
unidadesdeNúmero
TotalCosto
q
CT
CP 

APLICACIONES
6. Utilidad Total = Ingreso Total – Costo Total
q = Unidades producidas.
U(q) = I(q) - C(q)
las funciones Ingreso y Costo deben estar en
función de q.

ELASTICIDAD DE LA DEMANDA
• Medida de sensibilidad de la demanda
de un producto cuando cambia el precio.
• Hay productos cuya demanda varía nota-
blemente a cambios de precio. Demanda
elástica.
• Indica la variación porcentual de la de-
manda para un cambio de un 1% del pre-
cio.

UnitariadElasticida1=|η|
InelásticDemanda1<|η|
ElásticaDemanda1>|η|
dp
dq
q
p
=
p
q
dp
dq
=
omedioPrFunción
inalargMFunción
=η
⇒
⇒
⇒

Ejemplo: Dada la función de demanda
p50000.200q 
p = Precio unitario en pesos
q = Número de unidades producidas y demandadas.

p000.4
p
p5000.200
p50
)50(
p50000.200
p
dp
dq
q
p
50
dp
dq
p50000.200
p
q
p










a) La elasticidad de la demanda.

p4000
p


Si p = $3.000, 3|| 
Al nivel de precios de $3.000 un aumento de un 1%
del precio significa una disminución de un 3% de la
demanda.

Si p = $ 1.000 33333.0|| 
Al nivel de precios de $ 1.000, un aumento del precio
de un 1% significa una disminución de la demanda de
un 0,333%

APLICACIONES
1. Una compañía a descubierto que el ingreso total es una función
del precio fijado a su producto. En concreto la función del ingre-
so total es
p960.1p20)p(R 2

Donde p es el precio en unidades monetarias.
a) Determine el precio que produce el máximo ingreso total.
(p = 49)
b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total (R = 48.020)

APLICACIONES
2. La función de demanda del producto de una industria es
p75000.300q 
donde q representa el número de unidades demandadas
y p su precio.
a) Determine el precio que deberá cobrarse para maxi-
mizar el ingreso total. (p = 2.000)
b) ¿Cuál es el valor máximo del ingreso total?
(R = 300 Mill)
c) ¿Cuántas unidades se espera que se demanden?
(q = 150 mil)

APLICACIONES
3. La utilidad anual de una compañía depende del número de
unidades producidas. Específicamente, la función que des-
cribe la relación existente entre la utilidad U y el número de
unidades producidas x es
000.000.25x000.6x12,0)x(U 2

a) Determine el número de unidades x que producirán la
utilidad máxima.
b) ¿Cuál es la utilidad máxima esperada?

1. El costo total de producir q unidades de cierto producto se
describe por medio de la función
2
q01,0q300000.000.4)q(C 
Donde C es el costo total expresado en unidades monetarias
a) ¿Cuántas unidades deberán producirse a fin de minimizar
el costo promedio por unidad?
b) ¿Cuál es el mínimo costo promedio por unidad?
c) ¿Cuál es el costo total de producción en ese nivel de pro-
ducción?
d) Demuestre que el costo promedio por unidad es igual al
costo marginal en el mínimo del costo promedio

2
q01,0q300000.000.4)q(C 
a) Costo promedio por unidad = CP =
q
)q(C
q01,0300
q
000.000.4
q
)q(C

.C.V000.20000.000.400q
000.000.400
01,0
000.000.4
q
01,0
q
000.000.4
001,0
q
000.000.4
0CP
01,0
q
000.000.4
CP
2
2
2
,
2
,






000.20q
000.000.4q01,0
q
000.000.4
q01,0
q01,0
q
000.000.4
q02,0
q01,0300
q
000.000.4
q02,0300
CPCM
2







mínimo.C.V0
q
000.000.8
CP
3
,,

b)
c)
000.000.14)000.20q(C
000.2001,0000.20300000.000.4)000.20q(C 2


.m.u700000.2001,0300
000.20
000.000.4
)000.20q(CP 

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