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Trigonometría colección el postulante

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Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, Institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar y alcanzar una formación Integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa.

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CO LECCIÓ N EL POSTULANTE
TRIGONOMETRÍA
COLECCIÓN EL POSTULANTE
TRIGONOMETRÍA
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TRIGONOM ETRÍA - Colección El Postulante
Salvador Timoteo
© Salvador Timoteo
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Jr. Dávalos Lissón 135, Lima
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RUO 20260100808
E-ma¡l informes@ editorialsanmarcos.com
Primera edición: 2007
Segunda edición 2013
Tiraje: 1000 ejemplares
Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú
Registro N.° 2012-12002
ISBN 978-612-302-916-6
Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780
Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra,
sin previa autorización escrita del autor y del editor.
Impreso en el Perú / Printed in Perú
Pedidos:
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Telefax: 424-6563
E-mail: ventaslibreria@ editorialsanmarcos.com
www.editorialsanmarcos.com
Composición, diagram ación e impresión:
Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván
Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L.
RUC 10090984344
ÍNDICE
Sistema de medición angular............................................................................................................................ 9
Razones trigonométricas de un ángulo agudo............................................................................................. 16
Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar...................................................................... 27
Circunferencia trigonométrica............................................................................................................................ 31
Identidades trigonométricas para un mismo arco......................................................................................... 38
Arcos compuestos................................................................................................................................................ 42
Reducción al primer cuadrante......................................................................................................................... 46
identidades de arcos m últiples.......................................................................................................................... 51
Transformaciones trigonom étricas.................................................................................................................. 59
Ecuación trigonométrica..................................................................................................................................... 66
Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas........................................................... 73
Resolución de triángulos oblicuángulos......................................................................................................... 82
PRESENTACION
Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando
en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades,
institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional.
La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son
desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado
de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para
enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar
y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria
exitosa.
Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­
dro de Castro, Jorge Solari y Nathall Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias
de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de
los contenidos.
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Trigonometría colección el postulante

  • 2. CO LECCIÓ N EL POSTULANTE TRIGONOMETRÍA
  • 4. TRIGONOM ETRÍA - Colección El Postulante Salvador Timoteo © Salvador Timoteo Diseño de portada: Óscar Farro Composición de interiores: Lidia Ramírez Responsable de edición: Alex Cubas © Editorial San Marcos E. I. R. L., editor Jr. Dávalos Lissón 135, Lima Telefax: 331-1522 RUO 20260100808 E-ma¡l informes@ editorialsanmarcos.com Primera edición: 2007 Segunda edición 2013 Tiraje: 1000 ejemplares Hecho el depósito legal en la Biblioteca Nacional del Perú Registro N.° 2012-12002 ISBN 978-612-302-916-6 Registro de Proyecto Editorial N.° 31501001200780 Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, sin previa autorización escrita del autor y del editor. Impreso en el Perú / Printed in Perú Pedidos: Av. Garcilaso de la Vega 974, Lima Telefax: 424-6563 E-mail: ventaslibreria@ editorialsanmarcos.com www.editorialsanmarcos.com Composición, diagram ación e impresión: Editorial San Marcos de Aníbal Paredes Galván Av. Las Lomas 1600, Urb. Mangomarca, S. J. L. RUC 10090984344
  • 5. ÍNDICE Sistema de medición angular............................................................................................................................ 9 Razones trigonométricas de un ángulo agudo............................................................................................. 16 Razones trigonométricas de ángulos en posición estándar...................................................................... 27 Circunferencia trigonométrica............................................................................................................................ 31 Identidades trigonométricas para un mismo arco......................................................................................... 38 Arcos compuestos................................................................................................................................................ 42 Reducción al primer cuadrante......................................................................................................................... 46 identidades de arcos m últiples.......................................................................................................................... 51 Transformaciones trigonom étricas.................................................................................................................. 59 Ecuación trigonométrica..................................................................................................................................... 66 Funciones trigonométricas y funciones trigonométricas inversas........................................................... 73 Resolución de triángulos oblicuángulos......................................................................................................... 82
  • 6. PRESENTACION Editorial San Marcos presenta al público la Colección El Postulante, elaborada íntegramente pensando en las necesidades académicas de los jóvenes que aspiran a alcanzar una vacante en las universidades, institutos y centros superiores de estudio a nivel nacional. La Colección El Postulante reúne los temas requeridos por los prospectos de admisión, los cuales son desarrollados didácticamente, con teoría ejemplificada y ejercicios propuestos y resueltos, de alto grado de dificultad, con los cuales se busca dotar a los jóvenes de los conocimientos básicos necesarios para enfrentar no solo los diversos exámenes de admisión, sino afianzar los saberes de su formación escolar y alcanzar una formación integral que les permita, en el futuro próximo, desarrollar una vida universitaria exitosa. Finalmente, deseamos hacer un reconocimiento al staff de docentes liderados por Salvador Timoteo, Pe­ dro de Castro, Jorge Solari y Nathall Falcón, profesores de amplia trayectoria en las mejores academias de nuestro país, quienes han entregado lo mejor de su experiencia y conocimientos en el desarrollo de los contenidos. -E L EDITO R-
  • 7. SISTEMA DE MEDICIÓN ANGULAR ANGULO TRIGONOMETRICO Se genera por la rotación de un rayo (en el mismo plano), alrededor de un punto fijo llamado vértice, desde una posición inicial hasta una posición final. Consideramos un ángulo positivo cuando las rota­ ción del rayo sea contraria al movimiento de las manecillas de un reloj (antihorario); cuando la rota­ ción sea en el mismo sentido de movimiento (hora­ rio) el ángulo se considera negativo. Donde: O: vértice de los ángulos generados 6: ángulo trigonométrico positivo (3: ángulo trigonométrico negativo Cuando a un ángulo trigonométrico se le in­ vierte su sentido, su valor cambia de signo. Para sumar ángulos trigonométricos en un gráfico estos deben tener el mismo sentido. MEDICIÓN DE UN ÁNGULO Al medir un ángulo, tratamos de asignarle un nú­ mero que indique la magnitud de este. Se debe te­ ner presente para un ángulo positivo, que cuando sea mayor la rotación, mayor será el ángulo. ÁNGULO DE UNA VUELTA Es aquel que se genera, cuando el lado final e ini­ cial coinciden por primera vez de cierta rotación. Podríamos asignarle a este ángulo el número 1 y decir que ángulo de una vuelta es: 1 v. La forma más lógica para medir el ángulo es el número de vueltas o llamado también número de revoluciones. 0 /4 v 1/2 v 3/4 v < ? ■ 01 v MEDIDA EN GRADOS SEXAGESIMALES El sistema más utilizado en aplicaciones de inge­ niería, topografía y navegación es el sistema sexa­ gesimal. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel ángulo cuya medida es 360° (1°: grado sexagesimal). Ejemplo: 240° Dibujemos un ángulo de 2/3 de una vuelta y calcu­ lemos su medida. La medida en grados sexagesimales de este ángu­ lo es |(3 6 0 °) = 240° .-. Medida de un ángulo en grados sexagesima­ les = (Número de revoluciones) (360°) Tenemos también: 1 v = 360° 1° = 6 0 ’ 1' = 60” * 1° = 3600” Donde: 1’: minuto sexagesimal 1”: segundo sexagesimal MEDIDA EN GRADOS CENTESIMALES Debido a que este sistema no es muy utilizado y carece de aplicaciones prácticas, solo nos limita­ remos a mencionar algunas equivalencias. En este sistema definimos el ángulo de una vuelta como aquel cuya medida es 4009 (19: grado centesimal) También tenemos: 1 v = 4009 1s = 100m 1m = 100 * 1g = 10 000s Donde: 1m: minuto centesimal 1S: segundo centesimal MEDIDA EN RADIANES Consideremos un ángulo 0 y dibujemos una cir­ cunferencia de radio r y el vértice del ángulo en su centro O; sea además L la longitud del arco de la circunferencia que se genera. Entonces se define:
  • 8. 1 0 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e La medida de un ángulo en radianes (números de radianes) viene expresado por: Ejemplo: De la definición: g _ L _ 8_cm _ 4 r 2 cm El número 4 no tiene unidades, asi un ángulo de 4 (radianes) significa un ángulo que subtiende un arco cuya longitud es cuatro veces la longitud del radio (L = 4r) Ahora si consideramos L = r, en­ tonces según la definición tene­ mos: Podemos definir un ángulo de un radián (1 rad) como el ángulo central que subtiende un arco cuya longitud es igual a la del radio. cYlata/:— .......... „ ; 1 vuelta: 360° = 4009 = 2n rad ¡ — vuelta: 180° = 2009 = n rad i 2 I - vuelta: 90° = 100a = - rad I 4 2 I | • 1 r a d > 1 ° > 1 8 I | • 27' = 50m | . r > 1 m | • 81" = 250s | • 1 " > 1 s I • 27' = 5000s ! . r > 1 s I RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS QUE REPRESEN­ TAN LA MEDIDA DE UN ÁNGULO Consideremos ahora un ángulo trigonométrico po­ sitivo como se muestra en la figura: Siendo: S: número de grados sexagesimales del ángulo ( C: número de grados centesimales del ángulo 8. R: número de radianes del ángulo 0. Se cumple: S 180 C 200 o 180R. c 200R. s c TI 71 ü 10 S = 9k S = 180k C = 10k C = 200k R = Tik LONGITUD DE ARCO DE CIRCUNFERENCIA Si un arco de longitud L en una circunferencia de radio r, subtiende un ángulo central (medida en ra­ dianes) Entonces: L = 0r 0 < 0 < 2ti L = 0r Aplicaciones 1. Número de vueltas que da una rueda sin resbalar, al desplazarse de una posición a otra En la figura se muestra una rueda de radio r, que se desplaza de una posición A a otra B, sin resbalar.
  • 9. T r ig o n o m e t r ía ! H El número de vueltas que da dicha rueda para tal condición se calcula mediante la siguiente relación: 2nr 2. Donde: nv: número de vueltas que da la rueda. i¿. longitud descrita por el centro de la rueda, r: radio de la rueda. Poleas y engranajes Engranajes en contacto y poleas unidas por una faja de transmisión En la figura (I) se tiene dos engranajes y en la figura (II) se tiene dos poleas unidas por una faja de transmisión. En cada caso, si Agirá un- ángulo 0A entonces B girará otro ángulo 0B. Además las longitudes descritas por los pun­ tos P, T y F son iguales, es decir: :¿t—U 0A rA - 0 B rB - ¿F ¿p: denota la longitud de la trayectoria descri­ ta por el punto P, análogamente para los otros puntos mencionados. Poleas unidas por un eje. Se tienen dos poleas unidas por un eje, si la polea A gira un ángulo eAentonces la polea B, girará un ángulo 0B: AREA DE UN SECTOR CIRCULAR A la porción sombreada de la figura, se denomina sector circular. Si 9 es el ángulo central expresado en radianes, de una circunferencia de radio r, y si S denota el área de un sector circular subtendido porG. EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar el equivalente en grados, minutos y se- gundos sexagesimales de un arco de ^ rad: Resolución: Pasando al sistema sexagesimal: ^ rad ( 7 re rad 900° 7 900 [_ © 128 128° / x 60 240 | 7 © 34 ~ 34' x 6 0 120 | 1 5ti 17 => 17" rad = 128°34'17" 32- Hallar la conversión de rad en grados sexagesimales. Resolución: Pasando al sistema sexagesimal: 32 x1 80 °32E rad( i8 0 1 9 n rad 6 4 0 °
  • 10. 1 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 3tc Si el complemento del arco x es - — radianes, hallar el valor de x en grados centesimales. Resolución: Sabemos que el complemento de un arco x es: - x 2 i-. _i j. 71 'JJLPor dato: —- x = - — 71 12 71 3ti 2 X _ 14 3ti => x = ^ rad 14 7 = 142, 8571£ Este valor lo pasamos al sistema centesimal: 5n 200a _ 1000a 7 i Tirad / 7 Pasando a minutos y segundos se obtiene: x = 142a 85m 71s 4. Un tramo de una vía férrea curvilínea está for­ mado por dos arcos sucesivos. El primer arco corresponde a un ángulo central de 20° con un radio de 2500 pies y el segundo corresponde a un ángulo central de 25° con un radio de 3000 pies. Encontrar la longitud total de la vía. Resolución Observar de la figura que la longitud total de la vía es igual a la suma de los arcos L-i y L2. l , - ( f i ¡ r ) < 2500> 2 , ( f f ^ O O O ) 6250n 2 5 0 0 2 0 V Considerando: n = 3,1416 se obtiene .-. L, + L2 = 2181,67 pies 5. Se tiene un sector circular de radio r y ángu­ lo central de 36°. ¿Cuánto hay que aumentar al ángulo central de dicho sector para que su área no varíe, si su radio disminuye en un cuarto del anterior? Resolución: Sector circular (inicialmente): s = li 2 ...(1) 2 180 I (S: área del sector circular) Sector Observar que el radio (por dato) del nuevo sector es igual a 3r/4, pero el área no varía. s = 5 '36 + “ > - !s r ( 7 ) 2 - <2) Como el área es la misma, entonces iguala­ mos (1) y (2): l/ 3 6 jL r2 = 1(36 2 180 / 2 180 4 I Simplificando: 36° = (36° + Operando tenemos: a = 28° ["e j e r c ic io s PROPUESTOS T | 90g + — rad + 16° 1. Calcule el valor de: R = 20 471 15 rad - 8° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. Dada la siguiente equivalencia: 11a < > a°b' calcule: b - a a) 45 d) 48 b) 46 e) 49 3. Si: (a + 1)a o ( a + 2)0 calcule (a2 + a)° en radianes. a )á d )f 371 b) 15 c) 47 e) — ’ 30 4 si — rad < > a°b'c", calcule (a + 2b - c)9 en 32 el sistema sexagesimal. a) 72° b) 81° c) 90° d) 99° e) 108° 5. Los ángulos internos de un triángulo miden: (3x)°, (10x)g, y rad. Calcule la diferencia circular (después):
  • 11. T r ig o n o m e tr ía ¡ 1 3 6. 9. 10. 11. de las medidas del mayor y menor ángulo en radianes. a) 5tt/18 d) 4tc/8 b) n/3 e) n/2 c) 7rc/18 120R C V n 10 siendo S y C las medidas sexagesimal y cen­ tesimal de un ángulo trigonométrico. Reducir la expresión E = c + s c - s 17 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 Determine la medida radial del ángulo que cumple: 12S + 5C + 40R/n = 32 a) ni10 rad b) rt/40 rad c) n/80 rad d) 71/100 rad e) ti/90 rad La suma del doble del número de grados sexagesimales con el número de grados cen­ tesimales de un ángulo es igual a 140. Deter­ minar la medida circular de dicho ángulo. a) | rad d) | rad b) — rad 4 e) í rad 6 c) -5- rad 5 El número de segundos sexagesimales de un ángulo más el número de minutos centesima­ les del mismo ángulo es 66 800. Calcule la medida radial de dicho ángulo. a) ti/20 d) 7i/9 b) ti/18 e) ti/6 c) 7l/10 Calcule la medida del ángulo para el cual se cumple que: S + 3C - 10SR = 30 (ti = 22/7) a) 12° b) 15° c) 18° d) 21° e) 24° Si a° y bs son suplementarios que están en la relación de 1 a 4, respectivamente, calcule el valor de: -Ia + b a) 11 d) 14 b) 12 e) 15 c) 13 12. Calcule: 5 0 o (-— —— - V siendo: x: número de segundos centesimales de un ángulo. y: número de segundos sexagesimales del mismo ángulo, z: número de minutos centesimales del mis­ mo ángulo. 13. 14. 16. 17. a) 169 d) 172 b) 170 e) 173 c) 171 Determine la medida radial del ángulo que cumpla con la Igualdad: 9 a) ni3 rad d) 27t/5 rad — + 20— = 12(S4 - 10 n b) n/2 rad e) 3n/5 rad C4 + R4) c) ni5 rad Determine la medida circular del ángulo que cumpla con la igualdad, siendo S, C y R los números convencionales para un ángulo. 1/A , 1 V, , 1 U , 1 -¿- + 1 = 1 +. 9R SI a) n/2 rad d) ji/8 rad 1 1 + S + 2/ b) n/4 rad e) n/10 rad '(1+ s + C - 1/ c) nJ5 rad 15. SI: x x x' ° l ix ’x ” y / X 9 X m ) 1 { x m ) < > a°b'c" calcular: a) 10 d) 24 a - c - 1 b) 15 e) 25 c) 20 Siendo S y C los números de grados sexa­ gesimales y centesimales para un mismo án­ gulo el cual cumple: Sz + 81 < 18S convertir (4SC)9 a radianes. a) 9n/5 d) 3n/5 b) 4n/5 e) 6nl7 c) 2n/3 Siendo S y C los números que representan la medida de un ángulo en grados sexagesima­ les y grados centesimales, respectivamente, cumplen la igualdad: Vs + Vs + V s i ~ = Ve - Je - Calcular la medida radial de dicho ángulo. c) 3,9n rada) 1,9ti; rad d) 4,9n rad b) 2,9n rad e) 0,9n rad 18. Calcular la medida del mayor ángulo en radia­ nes, si la suma de la cuarta parte del número de grados sexagesimales de un ángulo y los tres quintos del número de grados centesima-
  • 12. 1 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e les de otro ángulo es 70, además se sabe que dichos ángulos son suplementarios. a) n d) ni2 19. 2 0 . b) 2ti/3 e) n/4 c) 2n Un ángulo a mide a0b° y también acO9. Si c > b, ¿cuál es el menor valor que puede to­ mar a en radianes? 12n 5 b) 14n 5 17n 10 c) 16 tt 5 Se tienen dos ángulos positivos y se sabe lo siguiente: la diferencia del número de minutos centesimales de uno de ellos con el número de minutos sexagesimales del otro es 400, además sus números de grados sexagesi­ males y centesimales del segundo y primero suman 10. Calcule la diferencia de estos án­ gulos en radianes. a) rt/46 d) íi/8 b) ti/ 12 e) tl/96 c) tt/20 1. d 5. e 9. c 13. e 17. a 2. a 6. d 10. a 14. e 18. b 3. c 7. d 11. d 15. a 19. b 4. b JD OÓ 12. c 16. a 20. e D éEJERCICIOS PROPUESTOS u 1. Hallar x. a) 1 b) 2 c) 1/2 d) 1/3 e) 2/3 De la figura, calcular: a) 1 b) 3 c) 6 d) 5 e) 4 x + 4 Calcular el área de la región sombreada: R = 6 m a) 12?t m2 b) 14n m2 c) 15n m2 d )1 6 n m2 e) 17t í m2 En un sector circular se cumple que: 4 L L 6R + - : S + 380 donde: R: radio; 9: número de radianes del ángulo central; L: longitud de arco, S: área. Hallar S: a) 14 d) 18 b) T5 e) 20 c) 16 5. SI S = 5L2, calcular x (S: área). a) 2L b) 3L/2 c) L d) L/2 e) L/3 6. Calcular: 92 + 0 a) 1 b) 2 c) 3 d) 1/2 e) 1/3 7. Hallar x. a) 1 b) 1/2 c) 1/3 d) 2 e) 3 x + 2 Calcular el valor de x. a) 3 b) 5 c) 7 d) 9 e) 11 En un sector circular el radio y el perímetro es­ tán en la relación de 1 a 3. Calcular la medida del ángulo central. a) — rad ' 2 d) 2 rad b) 1 rad e) — rad 2 c) — rad 2
  • 13. T r ig o n o m e t r ía | 1 5 10. Determinar la longitud de la cuerda que cubre todo el sistema. a) R (3 + ti) b) 2R (3 + ti) c) 3R (3 + rt) d) 4R (3 + ti) e) 5R (3 + ti) 11. Calcular 9, si: S-, = S2 d) ti/5 12. Si A: área, a) 1 b) 2 c) 4 d) 5 e) 6 13. SI St + S2 a) ti/15 b) ti/12 c) ti/3 d) 7i/10 e) ti/5 14. Calcular el a) 48 b) 44 c) 40 d) 46 e) 43 15. Calcular: S (área) 2a c) 2ab d) ab e ) f 16. Se tiene un sector circular cuyo ángulo central mide 409. SI el radio mide 15 m, calcular la longitud de arco que subtiende. a) ti m d) 4ti m b) 2n m e) 5ti m c) 3ti m 17. Si L, + L2 : 14tt 3 ’ a) 1 b) 3 c) 5 d) 7 e) 9 18. Calcular x. a) 1/3 b) 1 c) 4/3 10 d) 5/3 e) 2 ~ 2 3 X tn til 1. b 5. a 9. b 13. c 17. d > 2. c 6. a 10. b 14. a 18. d « 1 3. a 7. a 11. d 15. d ü 4. e 8. d 12. e 16. c b) 71/9 c) 71/6 e) ti/4 hallar x. = 15tt m2, calculare. área S de la región sombreada. a + p = 120°; hallar R.
  • 14. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO AGUDO Se llama triángulo rectángulo al que tiene un án­ gulo recto, recuerde que el lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa y los dos lados restantes catetos. En la figura, llamamos c a la hipotenusa, para In­ dicar que su longitud es de c unidades y, con el mismo fin, llamamos a y b a los catetos, ahora su­ pongamos que 0 es el ángulo agudo. En el triángulo rectángulo mostrado se cumple: o < e < 90° a < c; b < c Teorema de Pitágoras: a2 + b2 = c2 RAZÓN TRIGONOMÉTRICA (RT) La razón trigonométrica de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como el cociente que se obtiene al dividir las medidas de las longi­ tudes de dos de los lados del triángulo rectángulo con respecto al ángulo agudo. Si en el triángulo de la figura anterior nos referimos a las longitudes de los lados del triángulo con los nombres hipotenusa (c), cateto opuesto (b) y cate­ to adyacente (a) al ángulo 0. Podemos definir las razones trigonométricas de 0 del modo siguiente: sen0 = COS0 = tan0 = coto = sec0 = cscO = cateto opuesto al ángulo 0 _ hipotenusa cateto adyacente al ángulo 0 hipotenusa cateto opuesto al ángulo 0 cateto adyacente al ángulo 0 cateto adyacente al ángulo 0 cateto opuesto al ángulo 0 hipotenusa________ cateto adyacente al ángulo ( hipotenusa _ c cateto opuesto al ángulo 0 b a ’ c . b a a ^ b _c ” a Ejemplo: Calcule los valores de las seis razones trigono­ métricas del menor ángulo agudo 0 de un trián­ gulo rectángulo, cuyos catetos miden 8 y 15 uni­ dades. Resolución: Teorema de Pitágoras (8)2 + (15)2 = a2 289 = a2 a = 17 En el 6: sen0 = 17 COS0 = | | 17 sec0 = 15 tan0 = A CSC0 = H RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LOS ÁNGULOS AGUDOS: 30°, 60°, 45°, 37° Y 53° Las razones trigonométricas (RT) de estos ángu­ los se obtienen a partir de los siguientes triángulos rectángulos. 2 k / '6 0 ° k 2 1 /^ 3 0 ° r / W k-/3 73 5k 3k 3 /< 3 7 ° r X 3 7 ° r 4k 4 ^ N ^ n g u lo RT o O co 37° 45° 53° 60° 1 3 72 4 73 sen 2 5 2 5 2 73 4 72 3 1 eos 2 5 2 5 2 tan 73 3 3 4 1 4 3 73
  • 15. T r ig o n o m e t r ía | 1 7 ^-^Á n g u lo R T ^ 30° 37° 45° 53° 60° cot /3 4 3 1 3 4 /3 3 sec 2/3 3 5 4 12 5 3 2 CSC 2 5 3 12 5 4 2 /3 3 cV la ta :- 1. /6 - /2 /6 + / 2 i k / 1 /V 5 ° n 1 5 w (2-/3) (2 + /3Í 2. Los valores de las seis razones trigo­ nométricas dependen únicamente de la medida del ángulo y no de las longitudes de los lados del triángulo rectángulo. Luego: ,tB' By ACB tenemos que: sen 0 = BC AB B’C’ L^AC’B' tenemos que: sen 0 = —— M AB , BC B'C' Luego: — = =-^~ a AB AB' Así encontramos el mismo valor para sen0 sin Importar cual sea el triángulo rectángulo que utilicemos para calcular­ lo, una idea similar podría servir para las otras razones trigonométricas. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS RECÍPROCAS Siendo 0 un ángulo agudo, se cumple: csce = 1 sen0 => sen0csc0 = 1 sec6 = 1 => cos0sece = 1 COS0 cote = 1 tan9 => tan9 cote = 1 Ejemplos: sen9 = j csc0 = ^ tan© = 5 cote = _5_ /5 RAZONES TRIGONOMETRICAS DE ANGULOS COMPLEMENTARIOS Dos ángulos agudos se lla­ man complementarlos si su suma es un ángulo recto. En la figura que se muestra: 6 y a: son ángulos comple­ mentarios (0 + a = 90°). Hemos nombrado el ángulo opuesto al cateto b como 6 y el ángulo opuesto al cateto a como a, en consecuencia: b 3 sen© = —=cosa; eos© = —= sena c c tan0 = —= cota; cote = ^ = tana a b sec0 = — a ; csca; csc0 sena = cos(90° - a) tana = cot(90° - a) seca = csc(90° - a) Debido a estas relaciones, las razones Seno y coseno Tangente y cotangente Secante y cosecante RT(a) = CO-RT(P) => a + P = 90° se llaman co-razones trigonométricas una de la otra, respectivamente.
  • 16. 1 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e Ejemplos: sen40° = cos50° sec20° = csc70° tan80° = cotí 0o cot3° = tan87° cos62° = sen28° csc24° = sec66° RESOLUCIÓN DE TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Las aplicaciones de la trigonometría en campos como topografía y navegación requieren resolver triángulos rectángulos. La expresión "resolver un triángulo" significa encontrar la longitud de cada lado y la medida de cada ángulo del triángulo. En esta sección veremos que podemos resolver cualquier triángulo rectángulo si se nos da: I. Las longitudes de dos lados. II. La longitud de un lado y la medida de un án­ gulo agudo. I. Conociendo las longitudes de dos lados Ejemplo: Resolver un triángulo rectángulo, sabiendo que sus catetos miden 1 y 2, respectivamente. Resolución: Para calcular x, aplicamos el teorema de Pltágoras: (1)2 + (2)2 = a2 => a2 = 5 .-. a = ¡5 Para determinar la medida del ángulo 9, calculemos una razón trigonométrica con los catetos de longitudes 1 y 2. Es decir: tan9 = — => 9 = 26°30' 2 Como: 9 + p = 90° => p = 63°30’ II. Conociendo un lado y la mediada de un án­ gulo agudo A. Conociendo la longitud de la hipotenusa y un ángulo agudo. Incógnitas: x, y y — = sen 9 = y = asená a En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° - 9 asen0 acosO B. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto opuesto a dicho ángulo. Incógnitas: x, y Cálculo de x: — = cot9 => x = acotó Cálculo de y: y a csc9 => y = acsc9 En el triángulo rectángulo la medida del otro ángulo agudo es: 90° - 9 acotB C. Conociendo un ángulo agudo y la longitud del cateto adyacente a dicho ángulo. Análogamente a los triángulos rectángulos anteriores tenemos: atanB AREA DE LA REGION TRIANGULAR El área de cualquier reglón triangular esta dado por el semlproducto de dos de sus lados multiplicado por el seno del ángulo que forman dichos lados. Así tenemos: S = —absenó 2
  • 17. TRIGONOMETRÍA ¡ 1 9 ÁNGULOS VERTICALES Son aquellos ángulos contenidos en un plano verti­ cal formados por la línea de mira (o visual) y la linea horizontal, que parten de la vista del observador. • Línea vertical. Vertical de un lugar es la línea que coincide con la dirección que marca la plomada. • Línea horizontal. Se denomina así a toda aquella línea perpendicular a la vertical. • Plano Vertical. Es el que contiene a toda línea vertical. • Línea visual. Llamada también línea de mira, es aquella línea recta Imaginarla que une el ojo del observador con el objeto a observarse. Los ángulos verticales pueden ser: Ángulo de elevación. Es el ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por encima de la línea horizontal. En la figura se muestra la ubicación de los ángulos de elevación y depresión. • a: es la medida del ángulo de elevación, porque se encuentra contenido en un plano vertical. • 0: es la medida del ángulo de depresión, por­ que está contenido en un plano vertical. (3: no es un ángulo de elevación porque está contenido en un plano inclinado. Ángulo de depresión. Es aquel ángulo formado por la línea horizontal y la línea de mira cuando el objeto se encuentra por debajo de la línea horizontal. Ángulo de observación. Es aquel ángulo for­ mado por dos líneas de mira que parten de un mismo punto al observar un objeto de un extremo al otro. 0: ángulo de observación Ejemplo: El ángulo de elevación de la cúspide de una torre es de 60°, a 72 metros de ella, estando el ojo del observador a (3 metros sobre el suelo, la altura de la torre es aproximadamente: Resolución: Observar que: ^P M Q V3 : H EJERCICIOS RESUELTOS En un triángulo rectángulo un cateto mide 4 m y la altura sobre la hipotenusa 2,4 m. ¿Cuál es el área del triángulo? Resolución: 2,4 4 EAHB: sena = 0,6 sena = ¿ =» a = 37° 5 fc^ABC: tana = ~ -'AABC ' (4)(3) El perímetro de un triángulo rectángulo es de 338 m. Si la tangente de uno de los án­ gulos agudos es 2,4; ¿cuánto mide el cateto menor?
  • 18. 2 0 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e Resolución: Dato: tana = 2,4 I ! 5 ..(1) De la figura: tana = — ..,(2) De (1) y (2): | ^ Entonces sea: a = 12x y b = 5x c = Js f+ h 1'= t/(12x )2 + (5x)2 c = 13xc = lÍ6 9 x 2 Dato: a + b + c 12x + 5x + 13x 30 : 338 338 30x = 338 Cateto menor: b = 5x = 5 338 30 b = 56,33 3. Se tiene un triángulo rectángulo isósceles ABC de catetos 1 m (ángulo recto en B). Por B se traza una perpendicular a AC; por D una perpendicular a BC; por E una perpendicular a AC: por F una perpendicular a BC y así su­ cesivamente. Calcular el límite de la suma: BD + DE + EF + FG + ... Resolución: A D «N. F A<* r A ar •C B fcsADB: BD = sena ^BED : DE = BDsena = sen2a Í^DFE: EF = DEsena = sen3a ts,EGF: FG = EFsena = sen4a S = BD + DE + EF + FG + .... S = sena + sen2a + sen3a + sen4a + ... S = sena [1 + sena + sen2a + sen3a + . S = sena(1 + S) => (1 - sena)S = sena g sena 1 - sena Por dato el tAB C es isósceles Entonces: a = 45° _1_ ¡2sen45 1 - sen45 1 1 (2 + 1 ¡ 2 - 1 ¡2 + 1 ¡2 =» S = ¡2 + 1 Considerando jt = 3,1416; ¿cuál es el valor de la secante de un arco de: 1,04720 radianes? Resolución: Nos piden calcular: sec(1,04720). 3,1416 ti 3 “ 3 Como: 1,04720 = => sec(1.04720) ¡ s e c ( ^ ) = 2 5. La cotangente de un ángulo vale 1,5; ¿cuánto vale la tangente de su complemento? Resolución: Dato: cota = 1,5 Por RT de ángulos complementarios sabemos que: tan(90°- a) = cota tan(90° - a) = 1,5 6. Hallar el valor numérico de la siguiente expre­ sión: ¡3 cos230°tan60° - ¡6 sen45°cot30° + 2sec45°cos45° - — 4 Resolución: Reemplazando los valores Indicados: / 3 ( | ) 2(7 3 )-l6 (f)(/3 ) + 2 / 2 ( ^ ) - l ^ 9 _ 6 2 _ 1 = 1 4 2 4 7. En un triángulo rectángulo la hipotenusa mide ¡5 y los ángulos agudos B y C cumplen con la relación: senB = 2senC. Hallar las longitudes de los catetos. Resolución Dato: senB = 2senC b = 2c a a b2 + c2 = (¡5)2 =* (2c)2 + c2 b = 2c 5c2 = 5 1 1 a b = 2
  • 19. T r ig o n o m e t r í a ! 21 Hallar el valor de la siguiente expresión: sen4x + 3tan3x - 2sec2x - 4 4 para: x = 45° Resolución: Sea: E = sen4x +3tan3x - 2sec2x - 4 4 Para x = 45°: E = sen445° + 3tan345° - 2sec245° - 4 E = + 3(1)3 - 2 ( / 2 ) 2 - l E = — + 3 4 - 4 - 1 -1 Hallar el valor de: A = sen230 + lc s c 460 + 4 r sec360 2 36 cot430 + sec245 + 3tan45 Resolución: Reemplazando los valores conocidos: A = A = i r + —í — y + — (2 f 2 I 2/3 J 36 (/3 )4 + (/2 )2 + 3(1) 1 8 2 11'2 4 9 9 j 9 + 2 + 3 49 ]1'2 36 J 14 7 _6_ _ J _ 14 12 10. Hallar los ángulos agudos a y p tales que: tan(3a - 35°) = cot(90° - p) A 2p - a = 15° Resolución: Como: tan(3a - 35°) = cot(90° - p) Entonces: 3a - 35° + 90° - p = 90° Simplificando: 3a - p = 35° ...(1) Dato: 2p - a = 15° ...(2) Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) se ob­ tiene: a = 17° A p = 16° HEJERCICIOS PROPUESTOS 1. Del gráfico, calcular: senG a) 0.2 b) 0,5 c) 2/3 d) 2/5 e) 3/4 I I 2. Siendo 0 un ángulo agudo, tal que: tanO = 5/12: calcular el valor de: E = cose - sen0 a) 3/19 d) 9/16 b) 4/17 e) 5/13 c) 7/13 3. Siendo x un ángulo agudo para el cual: cscx = 2,5; calcular el valor de: M = 5cos2x - 3senx a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3 4. En un triángulo rectángulo ABC (recto en B), senAcscC - 2 tan A simplificar: E : a) 1 d) 4 senAsecCtan A b) 2 e) 5 c) 3 5. Dado el triángulo rectángulo ABC (recto en B). Calcular cscA, sabiendo que: secC - senA = 3senC a) fío d) v5 b) 2 fíO e) 2 /5 c) 3/10 6. Si el perímetro de un triángulo rectángulo ABC (recto en B) es 168 cm, además: cscA = 25/7, calcular la diferencia entre ¡as longitudes de los dos mayores lados. a) 1 cm b) 2 cm c) 3 cm d) 4 cm e) 5 cm 7. Siendo x e y ángulos agudos, calcular x, si: cos(2x + y + 15°)sec(3x + y - 12°) = 1 a) 25° d) 12° b) 27° e) 15° c) 29° 8. Calcular el ángulo agudo x que cumple: sen(5x + 13°) - cos(4x + 14°) = 0 a) 3° d) 9° b) 5° e) 11° c) 7° 9. Calcular el valor de: sen20" + cot(25" + 3x) + sec(80" - 5x) csc(10" + 5x) + tan(65" - 3x) + cos70" a) 1 d) 1/2 b) 0 e) 1/3 c) 2
  • 20. 2 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 10. Siendo a y p ángulos agudos, calcular p, si: sen(7a - 15°) = cos(5a + 21°) tan(2p - a)cot(3a + 2°) = 1 a) 5° b) 10° c) 15° d) 20° e) 25° 11. Calcular la medida del ángulo agudo x para el cual se cumple: cot(2x - 9°) = tan1°tan2°tan3° ... tan89° a) 10° d) 27° b) 18° e) 30° c) 20° 12. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: sec(5x + 10°) = csc(2y +20°) tan(20° + y)tan(30° + 3y) = 1 calcular: M = sen(4y + x) + tan(4x + y) a) 1/2 b)1 c) 3/2 d) 2 e)3 13. Siendo a y p ángulos agudos tales que: tana = 17 A cscp = 2 /2 calcular: E = tan' 2/ a + p /a + p " ' + tan' a) 1/2 d) 3/4 3 b) 1 e) 4/3 2 c) 3/2 14. Si a, p y 0 son ángulos agudos que cumplen: sen(3a + P) = cos(30 + 2p) eos (a + P + 0)sec(3a + 2p) cos(2o. + 2p + 20)csc(P + 30) c) -12/2 calcular: M a) 1/2 d) 13 b) 1 e) 2 15. En un triángulo rectángulo ABC (recto en C), se sabe que: tan2B = 2; calcular: E = 2tan2A - csc2B a) - 2 d) 1 b) -1 e) 2 c) 0 16. Siendo x e y ángulos agudos que cumplen: cot(x + 40 )tan(y + 20 ) tan(50° - x) = calcular: E a) 1/2 d) 1212 tan 10 cot80 sen(x + y + 50")cos(20" + y) cosíy - x - 10") b) 1312 c) 3/4 e) 4/5 17. Se tiene un cubo donde se traza una de sus diagonales y una de las diagonales de su base, de tal manera que tenga un punto en común con la diagonal del cubo. Calcular la tangente del ángulo que forman dichas diagonales. a) 12 b) 1212 c) 13/2 d) 1612 e) 1616 18. Del gráfico, a) 1/2 b) 2/3 c) -1 d) 1 e) 3/5 2 . 1. c 5. d 9. a 13. b r° o 6. d 10. c 14. a 3. c 7. a 11. d 15. b 4. b 8. c 12. b 16. d 17. b 18. d rEJERCICIOS PROPUESTOS Y ] 1. Calcular el valor de: tan 60° + sec245° + 4 eos 60° cot45° - sen30° a) 10 d) 16 b) 12 e) 18 c) 14 Si: tan0 - sen45°tan60° = 0; 0: agudo calcular E = 1Osen20 + 6csc20 a) 8 d) 16 b) 10 e) 20 c) 12 3. Calcular el valor de x (agudo) en: 4sen(22° + x) cos(68° - x) = tan(30° + x)tan(60° a) 2° b) 4° c) 8° d) 10° e) 12° 4. Calcular sec6 del gráfico: a) H 3/3 b) 11314 c) 11315 d) VÍ3/6 e) 11317 ■ x ) calcular: P = tanp + tan0
  • 21. T r ig o n o m e t r ía | 2 3 5. De la figura, calcular: tan© a) -Í3 b) /3 /2 c) 1 d) 2e)1313 6. De la figura, hallar csc0, si AO = OB. a) /2 B b) 2 /2 c) 2 /3 d) -Í2/2 e) V3/3 o 7. De la figura, calcular: tana a) 1/2 b) 2 c) 1/4 d) 4 e) 1 8. De la figura, calcular: tana d) 10/3 e) 10 9. De la figura, calcular: tana a) 1/2 b) 1/3 c) 4/7 d) 3/5 e) 5/7 10. Calcular: A = 10tana + 11tañe a) 8 /3 d) 5 11. Hallar x. a) 3senatan9 b) 2senacot0 c) 3senasen0 d) 3coso.tan0 e) 3cosacotü 12. De la figura, calcular: — b a) 73/5 b) 2 /3 /5 c) 3 /3 /5 d) 4 /3 /5 e) 5 /3 /5 13. De la figura, calcular x. a) asen(0 - a)tana b) asen(0 - a)cota c) asen(0 - a)seca d) asen(a - 0)tana e) asen(a - 0)cota 14. Del gráfico, calcular: x a) 2(tana + tanp) b) 2(cota + cotp) c) 2(cota - tanp) d) 2(cota - cotp) e) 2(tana - tanp) 15. De la figura, calcular x. a) 2R(tan0 + 1) b) 2R(cot0 + 1) c) R(cot0 + 1) d) R(cot0 - 1) e) R(tan0 + 1) 16. Calcular: E = (2sen30° + sec60°)tan53° + /3tan60° a) 3 b)5 c) 7 d) 9 e)11 17. Si: sen0 - tan37° = 0; calcular: A = •I-Í7 tañe + 1
  • 22. 2 4 | C o le c c ió n E l P o s tu la n te a) 2 b) 3 c) 5 d) 2 /3 e) 3 /2 18. Simplificar: 2tan(35° + x)tan(55° - x) + tan260° cosí 8 csc72 - sen30 a) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 6 19. Del gráfico, calcular: /6 se n 9 + 1 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e )7 20. De la figura, calcular tanO. a) 1/3 b) 1/4 c) 3/4 d) 2/3 e) 3/2 21. Calcular x del gráfico: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 22. Del gráfico, calcular: A = 2sen(9 -1 5 °) + sec(9+15°) a)1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 in i. c 6. a 11. a 16. c 21. d y 2. d 7. b 12. b 17. a 22. c > <í 3. d 8. c 13. e 18. a j 4. a 9. b 14. c 19. b ü 5. b 10. b 15. c 20. d FEJERCICIOS PROPUESTOS J 1. Del gráfico, a) 19 b) 18 c) 17 d) 15 e) 12 2. En un triángulo ABC cuya área es 0,5 m2, determinar a que es Igual el producto de las cosecantes de los ángulos del triángulo. a) abe d) a2b2c b) a2b2c2 c) ab2c2 3. e) a2bc2 Siendo St y S2 áreas, calcular: a) 1 b) 2 4 a / „ ' / 1c) 3 d) 4 6 a / S2 e) 5 4. Del gráfico, calcular: b) 2sen8 + cos8 d) 3cos9 + 4cos9 -a + T a) 3sen8 + 2cos8 c) 4cos8 + 3sen9 e) 3cos9 + 2cos8 5. Del gráfico, calcular: a) sen28 b) csc29 c) cos29 d) sec28 e) tan29 Desde un punto en el suelo se observa la par­ te más alta de un edificio con una elevación angular de 37°, nos acercamos al edificio a una distancia de 10 m y el nuevo ángulo de elevación para el mismo punto es 45°. Calcu­ lar la altura del edificio. calcular x.
  • 23. T r ig o n o m e t r ía | 2 5 a) 14 m b) 15m c) 28 m d) 30 m e) 32m 7. Desde un punto en el suelo, situado entre 2 muros de 3 m y 4 /3 m se observa sus puntos más altos con ángulos de elevación de 30° y 60°, respectivamente. Calcular la distancia entre dichos puntos. a) 10 m b) 12m c) 14 m d) 16 m e) 18m 8. Desde la base de un árbol se observa la parte superior de un edificio con un ángulo de ele­ vación de 45° y desde la parte superior del ár­ bol se observa el mismo punto con un ángulo de elevación de 37°. Si la altura del edificio es de 120 m. Calcularla altura del árbol. a) 10 m b) 20 m c) 30m d) 40 m e) 50 m 9. Una persona colocada a 36 m de una torre ob­ serva su parte más alta con un ángulo de ele­ vación a (tana = 7/12). ¿Qué distancia habría que alejarse para que el ángulo de elevación sea 6, donde: tan6 = 1/4? a) 36 m b) 40 m c) 42 m d )4 6 m e) 48 m 10. Desde la parte superior de un muro de 2 m de altura, se observa un árbol con un ángulo de depresión de 30° su base y con un ángulo de elevación de 60° su parte superior. Hallar la altura del árbol. a) 4 m b) 6 m c) 8 m d) 10 m e) 12 m 11. Desde un avión, que se encuentra a una al­ tura H, se observa en tierra un objetivo con un ángulo de depresión de 60°; luego de un minuto y habiendo pasado por encima del ob­ jetivo, se vuelve a observar el mismo con una depresión angular de 30°. Si la velocidad del avión es de 300 km/h, calcular H, además la trayectoria del avión es una linea horizontal. a) 1350 m b) 2500 m c) 1250 m d) 3500 m e) 2000 m 12. Un cachimbo de la Universidad Vlllarreal de 1,5 m de altura observa la parte superior de un poste, con un ángulo de elevación 4). Si el cachimbo se acerca 45 m, hacia el poste y en línea recta, el nuevo ángulo de elevación sería 9, halle la altura del poste, sabiendo que: coto - cote = 2 15. 16. a) 16 m d) 24 m b) 18 m e) 25 m c) 20 m 13. Desde el último piso de un edificio se ob­ serva un avión con un ángulo de elevación de 53°. Si la altura del edificio es de 200 m y la altura de vuelo del avión es de 1 km, calcular la distancia del avión al último piso del edificio. a) 1600 m d) 800 m b) 1200 m e) 1000 m c) 600 m 14. Desde la base A de un camino inclinado, un ángulo a con respecto a la horizontal, se ob­ serva la parte superior S, de un poste de 2 m de altura con un ángulo de elevación 2a. Si el poste se encuentra en el camino y AS = 7 m, calcular tana. a) 2/9_ d) 6/2 b) 2/7 e) 4 /2 c)7/2 Calcular el área de una región triangular don­ de 2 de sus lados miden 12 m y 14 m, además la medida del ángulo que forman dichos lados es 30°. a) 40 m b) 41 m2 c) 42 m2 d) 43 m2 e) 44 m2 Del gráfico, calcular x. a) — sene b b) — sene ' a c) — sene c d) abcsene e) — sene a2 17. Del gráfico, calcular: A = sene + 2cos0 a) 1 b) 1/2 c) 3/2 d) 3 e) 2
  • 24. 2 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 18. Si a + b = ab; calcular x. a) 73 C b) 2/3 /30° c) 3/3 7 x'd) 4 /3 e) 5/3 ------------ 19. Del gráfico, calcular el área de la región som­ breada. 15 5 10 a) 13,5 d) 16,5 b) 14,5 e) 17,5 c) 15,5 20. A 16 m de la base de un árbol el ángulo de elevación para la parte más alta es 37°. Cal­ cular la altura del árbol. a) 10 m d) 13 m b) 11 m e) 14 m c) 12 m 1. e 5. d 9. e 13. e 17. e 2. b 6. d 10. c 14. b 18. a 3. c 7. a 11. c 15. c 19. d 4. c 8. c 12. d 16. c 20. c
  • 25. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN ESTÁNDAR ANGULO EN POSICION NORMAL Un ángulo 0 está en posición normal, posición es­ tándar o canónica si su vértice está en el origen de un sistema coordenado rectangular y su lado inicial coincide con el eje x positivo. Cuando un ángulo 0 está en posición normal, el lado final puede estar en uno de los cuadrantes en cuyo caso se dice que 0 está en tal cuadrante, o bien encontrarse sobre el eje x o el eje y, entonces se dice que es un ángulo cuadrantal. Ejemplos: I. y. - a g u ­ a y o yt IV. <ÜH: p > o e < o Entonces a , (|> A p están en posición normal. a e MIC, ó e IIC y p es un ángulo cuadrantal. 9 no está en posición normal. ÁNGULOS COTERMINALES Son aquellos ángulos que pueden o no estar en posición normal y tienen las siguientes caracterís­ ticas: I. El mismo lado Inicial II. El mismo vértice III. El mismo lado final Sin considerar el sentido de los ángulos, es decir, que ambos ángulos pueden tener el mismo sentido o sentidos opuestos, se tiene: V értice Lado En ambas figuras a y 0 son ángulos cotermlnales, en el primer gráfico son ángulos trigonométricos y en el segundo ambos están en posición normal. Propiedades de ángulos coterminales 1. La diferencia de dos ángulos coterminales es un número que se representa por 360°k (k: entero). Es decir, si a y 0 son ángulos cotermi­ nales, se cumple: a - 0 = 360°k donde: k.= +1, ±2, ±3, ... Siendo a y Oángulos coterminales y en posición normal como se muestra en la figura se tiene: cosa = — r sen0 cose tana = tan9 = — x sena = sen© c o sa = COS0 tana = tan0 Análogamente para las demás razones trigo­ nométricas. Luego, podemos concluir:
  • 26. 2 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e RT(g) = RT(9) Donde RT: razón trigonométrica RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS EN POSICIÓN NORMAL y sen0 = — = r ordenada radio vector COS0 = — = r abscisa radio vector y tan0 = - = X ordenada abscisa cote = - = y abscisa ordenada sec6 = — = X radio vector abscisa CSC0 = — = y radio vector ordenada EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar el valor numérico de la expresión: E = sen180° + 2cos180° + 3sen270° + 4cos270° - 5sec180° - 6csc270° Resolución: Recordar: sen eos tan cot sec CSC 180° 0 -1 0 3 -1 3 270° -1 0 3 0 3 -1 Reemplazando en la expresión dada: E = 0 + 2 (-1 ) + 3 (-1 ) + 4(0) —5(—1) —6(—1) E = - 2 - 3 + 5 + 6 = 6 2. Indicar los signos de las siguientes expresio­ nes en el orden F, G, H. _ (sec285 tan2138 sen210 )3 (csc3215 cot338 ) (sen3260 cotí 15 cosí 16 )3 ( j —----------------------------------------- (csc195 tan336 f l_l _ sen195 cot340 csc128 (tan135 sec298 )3 Resolución: Recordar los signos de las RT en cada cua­ drante. seno todas son cosecante positivas (+) (+) tangente coseno cotangente secante (+) (+) En las expresiones dadas solo reemplazamos los signos. [(+)(+)(—)]3 (-) (-)(-) (+) [R H H P (-) [(-H+tf (+) (-)(-)(+) (+) [H(+)P (-) [ " e j e r c ic io s p r o p u e s t o s '" | 1. De la figura siguiente, calcule tan0. a) -4 /3 b) 4/3 c) -1 d) 3/4 e) -3 /4 2. Del gráfico mostrado; calcule tana. a) 2/3 b) 1/3 c) 1/2 d) 3/2 e) 1
  • 27. T r ig o n o m e t r ía | 2 9 3. Del gráfico mostrado, calcule tan0. a) 1/2 Y A(2; 6) b) 1/3 c) 1 d) 2 Sj 3 T X e) 3 7 x 4. Si 9 es un ángulo positivo, en posición normal y está comprendido entre la segunda y terce­ ra vuelta; determine su valor si se cumplen: tan9 = cot(ji/4) y sen0 < 0. a) 35ti/4 b)75n/4 c)55j[/4 d) 65ti/4 e)45ti/4 5. Del gráfico mostrado, calcule tañe. a) -2 /3 y (4;4) b) -3/4 c) -4/3 m / d) -5 /4 e) -3/2 eC V (2; 0) x -i 6. Del gráfico mostrado; calcule 3tan6 + x cote a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 7. SI 0 es un ángulo en posición normal tal que tañe = y0 pertenece al segundo cuadran- 5 te; calcule: 2 + V41(sen9 + cose) a) - 2 b) -1 c) 0 d) 1 e) 2 8. SI se tiene que 6 es un ángulo en posición nor­ mal del cuarto cuadrante, para el cual se tiene 12 que cose = — calcule: 3 + 13(sen6 + cos0) a) 8 b) 10 c) 11 d) 9 e) 6 9. Determine el cuadrante al cual pertenece 6 si se cumple: (sen6 + cos0)sec6 < 1 y además: tan0sen0 > 0 a) IC b) IIC c) INC d) IVC e) F. D. 10. Determine el cuadrante al cual pertenece 9 si se tiene que: |sen0| + sene = 0 y además: sen6cos0 > 0 a) IC b) IIC c) NIC d) IVC e) F. D. 11. Si 0 es un ángulo positivo y menor que una vuelta y pertenece al tercer cuadrante; deter­ mine el signo de: I. E = (sen0+ cose )tan0 II. F = |s e n |^ | - cos|^-jjsen0 III. A = (sen20 - cos0)tan(0/2) a) ( - ) ; ( - ) ; (+) b) (-);(+ ); ( - ) c) (-); (-); (-) d) (+); (-); (-) e) (+); (+); (-) 12. Dadas las relaciones: 1 + |sen0|tan0 < 0 Atan0sen0 > 0 determine el signo de la expresión: E = (sene - cos0)(tan0 + cote) a) (+) b) ( - ) c) (+) o (—) d) 0 e) F.D. 13. Del gráfico mostrado, calcule: 3sen0 + 2cos6 b) 2 c) 3 d) - 2 e) - 3 (-1 2 ; -5 ) 14. De la figura siguiente, calcule: sen6 - 4cos6 a) 5 (“ b) 4 c) 3 d) 2 e) 1 15. El punto P (-3 ; 5) pertenece al lado final de un ángulo 0 en posición normal; calcule: ■/34(sen0 + cose) a) 1/2 b) 1 c) 2 d) 3 e) 1/3
  • 28. 3 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 16. El lado final de un ángulo 9 en posición normal pasa por el punto (4; -5 ); calcule: V4Í(sen0 - cos9) a)-1 b) - 3 c) - 5 d) - 7 e) -9 17. Del gráfico mostrado, calcule el valor de m, si se tiene que: tanG = 3/2 a) 1 b) - 8 c) 4 d) -2 e) - 6 18. En la figura mostrada, calcule: tana + tanG a ) -13/12 (a: a + 5) b) -4 /7 c) -5 /6 — d) -35/12 e) -1 2 /7 (a —1; a) 19. Del gráfico mostrado, calcule: tanG + tana a) - 3 y y b) - 2 c) -1 d) - 4 X 3 T ' 1 . e) - 5 a> 7 x 20. Del gráfico mostrado; calcule tanG. a) - 3 b) -2 c) -1 d) -1 /2 e) -1 /3 1. e 5. a 9. d 13. e 17. b 2. d 6. d 10. c 14. b 18. c 3. a 7. d 11. c 15. c 19. a 4. b -Q 00 12. a 16. e 20. b
  • 29. CIRCUNFERENCIA TRIGONOMÉTRICA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA En la figura se tiene una circunferencia con centro en C(h; k) y radio r. Si P (x; y) es un punto cual­ quiera de la circunferencia, por distancia entre dos puntos se tiene: r = J(x - h)2+ (y - k)2 , pero esto es equivalente a la ecuación: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 ...(I) A la ecuación (I) se denomina ecuación de la cir­ cunferencia con centro en (h; k) y radio r. A aquella circunferencia que tenga por ecuación: x2 + y2 = 1, se le denomina circunferencia trigo­ nométrica o unitaria. Entonces esta circunferencia tendrá centro en el origen y radio igual a una uni­ dad. La gráfica de la circunferencia trigonométrica (CT) se observa en la siguiente figura: ARCO DIRIGIDO Es la trayectoria recorrida por un punto móvil so­ bre una curva en un sentido determinado. Asi, por ejemplo, en la figura el arco AB se forma por la trayectoria de un punto sobre la curva G, partiendo de A (posición inicial u origen) llegando al punto B (posición final o extremo). Análogamente el origen del arco CD es C y su extremo es D. 0, / B 'D ARCOS EN POSICIÓN NORMAL Son arcos dirigidos formados en una circunferen­ cia con centro en el origen del plano cartesiano, donde la posición inicial de estos arcos es el punto Q punto de intersección del lado positivo del eje x con la circunferencia) ver figura. En adelante discutiremos aquellos arcos dirigidos en posición normal donde la posición inicial sea un punto tal como Q. Aquellos arcos formados en sen­ tido antihorario se consideran positivos, y en senti­ do horario se les consideran negativos. En la figura, ios puntos S y P son los extremos de los arcos v y p, respectivamente. y: es un arco positivo (sentido antihorario) (3: es un arco negativo (sentido horario) Así tenemos un arco dirigido QP en posición nor­ mal (figura 1). Del sector circular sombreado, se tiene que por la longitud del arco es LQP = ar. Para una CT (r = 1), se cumplirá: LQP = a (figura 2). Es importante trabajar los arcos en posición normal en la CT teniendo en cuenta el extremo del arco, este extremo nos indicará el cuadrante al que per­ tenece dicho arco. Así, por ejemplo, en la figura 0 e IC y y e MIC. A , x En la figura (a), se tiene una recta numérica verti­ cal donde el origen de la recta coincide con el punto A(1; 0) de la CT. Considerando a la CT como una sección de un carrete y la recta numérica como un hilo (espesor despreciable) entonces, en la figura
  • 30. 3 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e (b), la parte positiva de la recta se envuelve en sen­ tido antihorario y la parte negativa en sentido horario. Este procedimiento tiene por fin ilustrar al lector que a cada punto de la recta numérica le corres­ ponde un único punto de la CT. Como ya se ha enunciado, es importante ubicar el extremo de un arco en la CT, ya sea para la ubica­ ción de su cuadrante o para las definiciones que se verán más adelante. Así, por ejemplo el arco 1 en la CT se relaciona a un ángulo en posición normal 1 rad Fig. (a), análogamente el arco n a ti rad Fig. (b) y el arco -2 a - 2 rad Fig. (c) REPRESENTACIONES DE LAS RAZONES TRIGO­ NOMÉTRICAS EN LA CIRCUNFERENCIA UNITARIA En esta parte, al referirnos a un arco, hacemos la suposición de que este es un arco dirigido en la CT en posición normal, es decir, su punto inicial es el origen de arcos A(1; 0). En las representaciones siguientes se han utilizado segmentos dirigidos. Definición I El seno de un arco es la ordenada de su extremo. Ejemplos: y 6 V , Zil |7 O t"* 1 X 6 1 sen(—1)1 / L ) Y - 1 ció/ ' — E Definición II El coseno de un arco es la abscisa de su extremo. Teorema 1: V a e IR, se cumple: -1 < sena <1 A —1 < cosa < 1 En efecto, si a es cualquier número real, entonces su extremo en la CT podrá ser cualquier punto de la CT. Los intervalos que contienen los valores del sena y cosa, se ilustran en la fig. (a) y fig. (b), res­ pectivamente. Fig. (a)
  • 31. T r ig o n o m e t r ía | 3 3 Sea la figura siguiente y consideremos que k e Z, planteamos el siguiente cuadro a manera de resumen. CT B< °j) 7 XA’( - 1 ; 0 Í J A ( 1 ; 0 ) B '(0 ; —1 ) En el punto Se ubican los extrem os de los arcos de la forma Ejem plos A 2 kn - 6 tc, —471, —2 ti, 0, 271, 471, 67c, 8 ti, 1Ü7I B 2k n +'IL V (4 k + 1)IL 2 2 ti 5n 97t 13tc 17ti 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 3ti 7n 11 ti 15tx 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 " " A' 2kn + 7i V (2k + 1 )ti 71, 371, 571, 771, 971, ... —7i, —37:,—571,—7 ti,—9 ti, B' 2kji + 3 j ». (4k + 3 ) í 2 2 371 7k 1 171 1571 1971 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 ’ 2 71 5ti 9ti 1371 2 ’ 2 ’ 2 ' 2 ’ " Continuando en la figura, tenemos que si el extre­ mo de un arco se ubica en el punto: A o A', el seno tiene un valor de cero. Ejemplos: senO = 0: sen?: = 0: sen2ir = 0 se n (-5 ii) = 0; sen28n = 0 Se concluye que: | sen(kn) =~0~|; vk e Z B, el seno tiene un valor Igual a la unidad. Ejemplos: s e n ( ! ) = 1 ; sen - 3 ;t 2 = 1: senl 5 ti 2 41 TI 2 1; = 1; s e n ( l f ^ = 1 Se concluye que: sen(2k7t - 1 Vk e Z B’, el seno tiene un valor igual a -1 Ejemplos: 13n _ 2 I “ s e n ( ^ ) = - 1 s e n /- 4 = —1■ L) = ~1 Se concluye que: sen(2kji + y ] = -1 v k e Z B o B el coseno tiene un valor de cero Ejemplos: c o s (^ ) = 0 ; cos(~|~) = 0; cos|--?l5-J = 0 Se concluye que: co síZ |2 L )= 0 ; cos(2k + 1 )4 = o vk e Z A, el coseno tiene un valor Igual a la unidad. Ejemplos: cosO = 1; c o s 2¡t = 1; cos4rr = 1 cos(-6ir) = 1; eos 100n = 1 Se concluye que: cos(2k7t) = 1 ; v k e Z A', el coseno tiene un valor igual a -1 Ejemplos: c o s ti = - 1 ; cos3n = - 1 ; cos9n = - 1 cos(-15n) = -1 ; co s 4 5 ti = - 1 Se concluye que: cos(2kn + ti) = —1 1; vk e Z Definición III La tangente de un arco es la ordenada del pun­ to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de arcos y la prolongación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco.
  • 32. 3 4 I C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e Definición IV La cotangente de un arco es la abscisa del pun­ to de intersección entre la recta tangente que pasa por el origen de complementos y la pro­ longación del radio o diámetro que pasa por el extremo del arco. Ejemplos: y V cotp B y cota V ’ B(0; 1) C O tjl/6 '"Sta /^~/n i4 í . a n . li/6 V 0 Ja x ° Ja x —n/2 cotí A la recta o que es la tangente a la CT en B(0; 1) se le suele denominar eje de cotangentes. Teorema 2 tana elR; Va eIR - j(2n + n e Z cota eIR: Va g IR - {nii}; n e Z Definición V La secante de un arco es la abscisa del pun­ to de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje x. Ejemplos: y R /secp ~ . p a y s M 0 seca I x P qV —^ C J P y Q: puntos de tangencia y F J z - e / 7 3 s e c - i > 4 ) D s e c ( | ) l ° C T ~ v '— 71 / y - y S 'G V " X F y G: puntos Definición VI La cosecante de un arco es la ordenada del punto de intersección entre la recta tangente que pasa por el extremo del arco y el eje y. Ejemplos: y C p s/ a 1 C S C a V r c s c p 0 / X CT—^ D y CT *- il/2 /csc(§ V V 0 JA / X— 17.14/ _ y r csc( —rt/4) G (P y Q: ptos. de tangencia) (B y T: ptos. de tangencia) Teorema 3 • seca < -1 v seca >1; Va e K —j(2n + 1)-|j; n eZ • csca < -1 V csca > 1; Va e IR -{nn}; n e Z SENOVERSO, COSENOVERSO Y EXSECANTE El senoverso o verso de un arco 0 denotado por versO, se define: /0 g 1Everso = 1 - cosO El cosenoverso o coverso de un arco 0 deno­ tado por covO, se define: V0 <covO = 1 - sen© : IR La exsecante o secante externa de un arco 0 denotado por exsecO, se define: exsecO secO-1 ; v e e IR -|(2 n + 1)-|j; n e Z 0 < verse < 2 0 < covO < 2 exsecO < - 2 v exsecO > 0
  • 33. T r ig o n o m e t r ía ¡ 3 5 Gráficamente el verso de un arco es el seg­ mento dirigido en el eje x que parte del punto cuya coordenada es el coseno de dicho arco hacia el origen de arcos. Ejemplos: De la figura se cumple: versO = PA Ya que PA = A - P => versO = A - P .-. versO = 1 - cosO Gráficamente el coverso de un arco es el seg­ mento dirigido en el eje y que parte del punto cuya coordenada es el seno de dicho arco ha­ cia el origen de complementos. Ejemplo: De la figura se cumple: covO = QB Ya que QB = B - Q => covO = B - Q covO = 1 - seno Gráficamente la exsecante de un arco es el segmento dirigido en el eje x que parte del ori­ gen de arcos hacia el punto cuya coordenada es la secante de dicho arco. Ejemplo: De la figura, P es punto de tangencia y se cumple: exsecO = AR Ya que: AR = R - A => exsecO = R - A exsecO = secO -1 1. Decir si son falsos (F) o verdaderos (V) los si­ guiente enunciados: I. Las funciones seno y coseno son negati­ vas en el tercer cuadrante y crecientes en el cuarto cuadrante. II. No existe función trigonométrica alguna de un ángulo del segundo cuadrante que sea positivo y aumenta a medida que el ángulo crece. III. Solo existe una función que puede tomar el valor de 3,8 y ser positiva en el tercer cuadrante. Resolución: Analizamos cada proposición: I. Está proposición es verdadera. Las fun­ ciones seno y coseno son negativas en el INC. En el IVC ambas funciones son cre­ cientes. II. Esta proposición es falsa. Ya que la fun­ ción secante es positiva y creciente en el segundo cuadrante. III. Esta proposición es falsa. Ya que las fun­ ciones tangentes y cotangentes son positi­ vas en el tercer cuadrante y cualesquiera de estas pueden tomar el valor de 3,8. .-. VFF 2. Cuando el ángulo x aumenta de 90° a 180°, ¿cuál de las siguientes afirmaciones es cierta? a) El seno aumenta b) El coseno aumenta c) La cosecante aumenta d) La secante disminuye e) La cotangente aumenta Resolución: Si x varia de 90° a 180° estamos en el segun­ do cuadrante, entonces: a) El seno varía de 1 a 0 b) El coseno varía de 0 a -1 c) La cosecante varía de 1 a +oo d) La secante varia de - o c a -1 e) La cotangente varía de 0 a —00 Rpta:. c 3. En la circunferencia trigonométrica se pide indicar el valor de: OC + DB, en función del ángulo a. Resolución: Como se trata de la CT, entonces OD = OA = 1 OC = csccí y DB = cota.
  • 34. 3 6 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e OC + DB = csca + cota _ 1 , cosa sena T sena _ 1 + COS a sena [jE JE R C IC IO S PROPUESTOS l 1. ¿Cuál de los siguientes valores es el mayor? a) sen40° b) sen100° c) sen160° d) sen220° e) sen280° 2. ¿Cuál de los siguientes valores es el menor? a) cos20° b)cos100° c)cos160° d)cos260° e) cos320° 3. En la CT hallar el área de la región sombreada: a) sena b) cosa c) 1/2sena d) 1/2cosa e) 1 4. En la circunferencia trigonométrica mostrada: cose = 2/3 y OM = MB. Calcular el área de la región triangular OMP. a) 1/6 b) 1/3 c) 1/4 d) 1/2 e) 2/3 5. Si: ji/2 < x < y < n, entonces: I. senx > seny II. cosx < cosy III. senx< cosy Son verdaderas: a) Solo I b) Solo II c) Solo III d) I y II e) I y II 2 k 1 6. Hallar los valores de k, si: cos8 = — - — a) [-1 ; 2] b) [-2 : 1] c) [-3 ; 2] d) [-1 ; 3] e) [-1 ; 1] 2a —3 7. Si: senx = — -— : hallar la suma de todos los 5 valores enteros que pueden tomar a. a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 10 8. Calcular AB, donde A y B representan los va­ lores mínimo y máximo de la expresión: P = 5 - 3cosx a ) -1 5 b) —6 c) 8 d) 15 e) 16 3k 4- ? 9. Si: 9 e INC y cos9 = — y — , hallar el intervalo de k. a) (-5 ; 3) b) (0: 2/3) c) (-3 ; 2/3) d) (-2 /3 : 0) e) (3: 2/3) 10. SI a y 9 son arcos diferentes, calcular la dife­ rencia entre los valores máximo y mínimo de la expresión: Q = 2 se c(-|j - sen2a + 2cos20 a) 2 b) 3 c) 4 d) 5 e) 6 11. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. sen2 < sen3 II. cos5 > cos6 III. sec4tan6 > 0 a) VVV b) FFV c) FVF d) VFF e) FFF 12. Del gráfico, calcular el área de la región som­ breada, si: BP = PQ = QB' a) (1/3)sen0 b) (1/3)cos0 c) (~1/3)sen8 d) (-1/3)cos0 e) (-1/6)sen0 13. De la figura, calcular d. a) _ s e n 0 _ 1 + COS0 cos8 1 + sen9 sen9— 1 - cose cose 1 + sen8
  • 35. T r ig o n o m e t r ía ¡ 3 7 14. Calcular el valor de: r- /senx - 1 + /cosx + 1 para: x = nl2 a) 1/2 d) 1/5 /senx + 8 b) 1/3 e) 1/6 c) 1/4 15. SI: — < x < — . indicar la variación de: a) [4; 5] d)]4,5] 2senx + 3 b) ]4, 5[ e) ] 4, 5] c) [4, 5[ 16. En ia CT hallar el área de la reglón sombreada: a) sena b) cosa c) (1/2)sena d) (1/2)cosa e) 1 17. SI: sena = 0,8 a) 3 b) 4 c) 5 d) 0,8 e) 0,6 18. Si: x < 3n 2 4 son verdaderas: I. senx > cosx II. sen2x > cos2x III.senx -cosx < 0 indicar qué proposiciones a) Solo I d) I y III b) Solo II e) I y II c) Solo I 19. Simplificar la expresión: / cosx - 1 + feosx + 3 E = /senx + 1 para: x = 0 a) 1 b) (2/2 c) (2 d) 2 e) 1/2 k —1 20. Hallar los valores de k, si: sen0 = ------- 2 a) [-1 ;1 ] b) [-1 ; 2] c) [-1 :3 ] d) [-2 ; 3] e) [-1 ; 4] 21. Determine el Intervalo de k, si se cumple la siguiente Igualdad: 2 cosx - 1 _ k + 2 __ k - 1 3 2 3 a) [-1 4 : 6] b) [—13; —5] c) [-1 2 ; 4] d) [4; 12] e) [5: 13] 3a — 1 22. Si: cosx = ----------. calcular la suma de todos 2 ios valores enteros de a. a) - 2 b) -1 c) 0 d) 1e ) 2 23. Si: 0 £ IVC y sen0 = a ~ ^ , cuántos valores 5 enteros puede tomar a. a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7 24. SI: 0 £ IIC y cosO = ^ ~ ^ , hallar el intervalo de k. 5 a) [-2 : 8] b) [-2 : 3] c) (-2 ; -3 ) d) (-2 : 8} e) [2; -3 ] tn 1. b 6. a 11. b 16. b 21. a u 2. c 7. d 12. d 17. e 22. d <r 3. a 8. e 13. c 18. e 23. b j □ 4. a 5. a 9. c 10. b 14. b 15. d 19. d 20. c 24. b
  • 36. IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN MISMO ARCO Identidades trigonométricas Identidades trigonométricas recíprocas por cociente senxcscx = 1 cosxsecx = 1 tanxcotx = 1 Identidades pitagóricas • tanx = senx cosx • cotx = cosx senx Identidades trigonométricas auxiliares sen2x + cos2x = 1 1 + tan2x = sec2x 1 + cot2x = csc2x cYlata/:-------- Despejando: • sen4x + cos4x = - 2sen2xcos2x • sen6x + cos6x = - 3sen2xcos2x • tanx + cotx = secx esex • sec x + esc x = sec xese x • (1 ± senx ± cosx) = 2(1 ±senx)(1 ±cosx) sen29 + cos20 = 1 sen2© = 1 - cos20 senG) = (1 + cos6)(1 - cos0) Asimismo: eos O= 1 - sen 0 =» eos 0 =(1 +sen8)(1 -senG) identidades auxiliares - 2sen 0cos 0 sen60 + eos6© = 1 - 3sen20cos20 tan0 + cot0 = sec9csc0 sec20 + csc20 = sec20csc20 (1 + senG + cosG) = 2(1 + sen0)(1 + cos0) Demostraciones sen20 + cos20 = 1 Ai cuadrado: (sen20 + cos2i sen 0 + eos 0 = 1 Al cubo: (sen20 + cos20)3 = 13 sen60 + cos60 + 3(sen20cos20)(sen20 + cos20) = 1 1 sen 60 + cos60 + 3sen20cos20 = 1 =» sen20 tan6 + cote = cos20 = 1 - 3sen20cos20 senO , cos0 cose sen0 tan0 + cot0 = tanO + cote = cosGsenG 1 cosGsenG tanG + cote = sec0csc0 sec20 + csc20 = — 1—- h------i- cos 6 sen 0 sec20 + csc20 = .sen20 + cos2e i2e 1 (1 + senO + cose)2 = 12+ (sen0)2+ (cos0)2+ 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos0 = 1 + sen20 + cos20 + 2sen9 + 2eos0 + 2sen9cos9 = 2 + 2sen0 + 2cos0 + 2sen0cos9 = 2(1 + senG) + 2cos0(1 + senO) = (1 + sen0)(2 + 2cos0) = 2(1 + sen0)(1 + eos©) =» (1 + sen0 + cosG)2 = 2(1 + sen0)(1 + cos9) PROBLEMAS PARA DEMOSTRAR Demostrar una identidad consiste en que ambos miembros de la igualdad propuesta sean equiva­ lentes, para lograr dicho objetivo se siguen los si­ guientes pasos: 1. Se escoge el miembro más complicado. 2. Se lleva a senos y cosenos (por lo general). 3. Se utilizan las identidades fundamentales y las diferentes operaciones algebraicas. Ejemplos: 1. Demostrar: secx(1 - sen2x) - esex = cotx Resolución: Se escoge al 1.er miembro: secx(1 - sen2x)cscx Se lleva a senos y cosenos: 1 1 -(eos x)- Se efectúa: cosx- 1 Demostrar: [secx + tanx =cotx = cotx 1][1 + secx - tanx] = 2tanx
  • 37. T r ig o n o m e t r ía | 3 9 Resolución: Se escoge el 1,er miembro: [secx + tanx - 1][secx - tanx + 1] = [secx + (tanx - 1)][secx - (tanx - 1)] (secx)2 - (tanx - 1)2 = (1 + tan2x) - (tan2x - 2tanx - 1) = 1 + tan2x - tan2x + 2tanx -1 = 2tanx = 2tanx PROBLEMAS PARA SIMPLIFICAR Y REDUCIR Ejemplos: 1. Reducir: K = sen4x - cos4x + 2cos2x Resolución: Por diferencia de cuadrados: K = (sen2x + cos2x)(sen2x - cos2x) + 2cos2x K = sen2x - cos2x + 2cos2x K = sen2x + cos2x => K = 1 2. Simplificar: E = 1±_22§2Í------------ — senx 1 - cosx Resolución: 1 - cos2x (1 + cosx)(1 - cosx) - (senx)(senx) senx(1 - cosx) ¡- sen2x - sen2x 0t = ------------------------- =>t = ------------------------ s e n x (l-c o s x ) s e n x (1 -c o s x i => E = 0 PROBLEMAS CONDICIONALES Dada una o varias condiciones se pide hallar una relación en términos de dicha o dichas condiciones. Ejemplo: -1 Si: senx + cosx = —; hallar: senxcosx 2 Resolución: Del dato alcuadrado: (senx + cosx)2 = sen2x + cos2x + 2senxcosx = — 4 3 3 2senxcosx = — => senxcosx = —— 4 8 PROBLEMAS PARA ELIMINAR ÁNGULOS La idea central es eliminar todas las expresiones algebraicas y que al final quede relaciones inde­ pendientes de la variable. Ejem plo: Eliminar x, a partir de: senx = a a cosx = I Resolución: De senx = a => sen2x = a2 cosx = b => cos2x = b2 Sumamos: sen2x + cos2x = a2 + b2 1 = a2 + b2 EJERCICIOS RESUELTOS Si cosx + senxtanx = 1,2; ¿cuánto vale secx? Resolución: cosx + senxí senx ) = 1,2 ' eos x 1 cosx + = 1,2 =* cos2x + sen2x = i 2 cosx cosx 1 = 1.2 =• secx = 1,2 oua A ¿Qué función trigonométrica deberá es­ cribirse en vez de M para que laecuación tana + cota = Mseca setransforme en una identidad? Resolución: tana + cota = Mseca sena cosa _ M / _ l _ cosa sena ~ cosa I senacosa ' cosa 1 M senucosu cosa M = csca Hallar las expresión equivalente de: secx - cosx esex - senx Resolución: secx - cosx Sea: F ¡ esex - senx 1 . - - cosx cosx 1 - sen2x senx F _ _cos¿<_ _ sen^x ^ F = tan3x
  • 38. 4 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 4. Simplificar la expresión: E =(tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx + coty)(1 - tanxtany) Resolución: E= (tanx + tany)(1 - cotxcoty) + (cotx+ coty)(1 - tanxtany) Á B Efectuamos la expresión A: A = tanx + tany - coty - cotx Efectuamos la expresión B: B = cotx + coty - tany - tanx Como: E = A + B => E = 0 5. Hallar el valor numérico de la siguiente expre­ sión: x 3 tan x + cot x sec2x + cot2x - 2 sabiendo que: 4tanx = 3 Resolución: Dato: tanx = 3/4 Como: sec2x = 1 + tan2x, entonces: £ _ tan3x + cot3x tan2x + cot2x - 1 (tanx + cotx)(tan2x - tanxcotx + cot2x) (tan2x + cot2x - 1) E = tanx + cotx = f + § = f § 6. Simplificar: cosxcotx - senxtanx cscx - secx Resolución eos x cot x - senx tan x Sea: F = cscx - secx cosxi senx cosxí ) —s e n x ] senx cosx senx cosx - senx senxcosx cosx - senx F = senxcosx cosx - senx senxcosx cosx - senx )(cos2x + cosxsenx + sen2x) cosx - senx F = cos2x + senxcosx + sen2x F = 1 + senxcosx [ " ejer c ic io s propuestos” ! 1. Simplificar: A = 16(sen6x + cos6x) - 24(sen4x + cos4x) + 1 0(sen2x + cos2x) a) 0 d) -2 b) 1 e) 2 c) - 1 Si: tanx + tan2x = 1, calcular: S = cotx - tanx a) 0 d) 3 b) 1 e) 4 c) 2 3. Reducir: U = (1 + sen2x)2 + 2(1 + sen2x)(1 + cos2x) + (1 + cos2x)2 a) 0 d) 9 4. Simplificar: R = a) 1 d) 9/2 b) 4 e) 27 c) 3 sec4a (1 - sen4a) - 2 tan2a csc4a (1 - cos4a) - 2 cot2a b) 2 c) 4 e) 5 5. Reducir: Y =cosx + cosx - secx 1 + senx 1 - senx a) senx b) cosx c) secx d) cscx e) tanx 6. Simplificar: tan2x + cot2x - 2 tan2x + cot2x + 1 J = a) 1 d) 4 tanx + cotx - 2 b) 2 e) 5 tanx + cotx + 1 c) 3 15 7. Si: senx - cosx = — 5 calcular: A = 5senxcosx - 1 a) 0 d) 5 b) 1 e) 1/5 c) 3 8. Calcular a + b, de: 1 , 1 1 + sene cscG - 1 = a + btan a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3
  • 39. T r ig o n o m e t r ía | 4 1 Calcular el valor de: sen4x - cos4x - 1 M = a) -2 d) 1 sen x - eos x + 1 b) -1 e) 2 c) 0 10. Si: sen x + eos x - 1 _3_ ‘ 16 calcular: senxcosx a) +2 d) +4 b) ±1/2 e) ±1/8 c) ±1/4 11. Eliminar x, s¡: senx - sen x = m cosx - cos3x = n a) m2 + n2 = 3/mñ b) m2 - n2 = 3Vmñ c) m2 + n2 = 3Vmñ2 d) m2 e) m2 - n2 = m2n2 12. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­ ponda: I. sen70° > sen170° II. c o s í00° > cos200° III. sen60° = cos300° IV. sen250° > cos250° a)V VV F d)FVV F b) VFVF e) FVFV c) W F F 13. Indicar verdadero (V) o falso (F) según corres­ ponda: I. sen1 > cosí II. co s6 > co s5 III. sen3 > sen2 c) VVF 14. Si: senx = 3m - 1, determine el Intervalo de m. a) V W d) FVF b) VFV e) FFV a) [-1 ; 1] b) [-2/3 ; 2/3] c) [0; 2/3] d) [-1 :2 /3 ] e) [—1; 0] 15. Determine el intervalo de k, si: 2cosx = 5k + 1 b> [ - H ] ° > [ - H I d ) | - ° " 1. 11 b ) l2. 1 5’ 5] 5 ’ 5 3. 11 6 ) | ío- ¿ l 5 ’ 5j l0’ 5] 16. Del gráfico mostrado, calcular el área de la re­ gión sombreada: a) (1/2)sen9 b) (1/4)sen0 c) (3/2)sen0 d) (3/4)sen0 e) (5/4)sen9 17. Reducir: J = (1 - cos2x)(1 + cot2x) + a) 0 d) 1 18. 19. Hallar n, en: tan29 - sen20 (1 - sen2x)(1 + tan2x) b) - 2 c) 2 e) -1 2o a) 1 d) senO b) sen20 e) cos0 : ntan 0 c) COS20 Del gráfico mostrado, calcular el mínimo valor deAC. a) a B b) 2a c) 3a d) 4a e) 5a 20. Eliminar©, si: sen© ± eos© = n sen30 + cos39 = m ,3 a) 3n = 2m ± n3 c) m + n = mn e) 3mn = n2 + m2 b) 3m = 2n ± m d) n3 - 2m = 3mn 1. e 5. c 9. b 13. c 17. c 2. b 6. c 10. b 14. b 18. b 3. d 7. b 11. c 15. d 19. c 4. a 8. c 12. c 16. d 20. a
  • 40. ARCOS COMPUESTOS PARA LA SUMA DE DOS ARCOS sen(a + (3) = senacosp + cosasenp cos(a + P) = cosacosp - senasenp tana + tanp tan(a+ p) : COt(a+ P) = 1 - tanatanp cota cotp - 1 cota + cotp Ejemplos: 1. Calcular: sen67° sen67° = sen(30° + 37°) = sen30°cos37° + “ 2 X 5 ' 2 5 cos30°sen 37° sen67° 4 + 3 /3 10 Calcular: cos75° cos75° cos75D cy io ta /:— =cos(30° + 45°) =cos30°cos45° - sen30°sen45° V3 V2 ~2~ T /6 - ¡2 . 1 , 1 1 2 " 2 PARA LA DIFERENCIA DE ARCOS sen(a - p) = senacosp - cosasenp cos(a - P) = cosacosp + senasenp tana - tanp tan (a - p) = cot(a - P) = 1 + tanatanp cota cotp + 1 cota - tanp Ejemplos: 1. Calcule: cos7° cos7° = cos(60° - 53°) = cos60°cos53° + sen60°sen53° c o s r = 1 X | + f x | = 2 5 2 5 10 2. Calcular: tan16° tan16° = tan(53° - 37°) tan53 - tan37 tan 16° 1 + tan53 tan37 7 tan16° = 4 _ 3 3 4 1 + 1 , 3 24 3 4 12 = 12 ^ tan16o = X 24 cVloia:- Z 7 4 2 2 5 X 7 24 IDENTIDADES ADICIONALES senía + p)sen(a - P) = sen2a -s e n 2p cos(a + p)cos(a - P) = cos2a - sen2p sen(a ± 3) tana ± tanp = - cosacosp tana +tanp + tanja+p)tanatanp =tan(a + p) cYlata Siendo a y b números reales, x variable real, se cumple: asenx + bcosx = 'la2+ b2sen(x - 0) b Donde: senO = COS0 la^Tb2 . a /a 2 + b2
  • 41. T r ig o n o m e t r ía | 4 3 Ejemplos: senx + ¡3 cosx = 2sen(x + 60°) * senx - cosx = /2sen(x - 45°) Siendo f(x) = asenx + bcosx; x eIR se cumple: - /a 2 + b2 < f (x ) < -¡a2+ b2 Ejemplos: - 2 < /3 senx + cosx < 2 - (5 < 2senx - cosx < ¡5 - -ÍY3 < 3senx + 2cosx < /i~3 Si A + B + C = k, se cumple: tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC cotAcotB + cotAcotC + cotBcotC = 1 SI A + B + C = ji/2, se cumple: cotA + cotB + cotC = cotAcotBcotC tanAtanB + tanBtanC + tanAtanC = 1 En forma general, si A + B + C = kn (k e Z ) o A + B + C = (2k + 1)-| (k e Z ) las relaciones de! teorema anterior siguen siendo válidas. EJERCICIOS RESUELTOS Si: a - b = ji/3; calcular: P = (cosa + cosb)2 + (sena + senb)2 Resolución: P = (cosa + cosb)2 + (sena - senb)2 P = cos2a + 2cosacosb - cos2b + sen2a + 2senasenb + sen2b P = 2 + 2(cosacosb + senasenb) P = 2 + 2cos(a - b) Dato: a - b = n/3 P = 2 + 2cosí/M = 2 + 2 13 ' 2 si: a + b + c = ?t/2, hallar el valor de: tanatanb + tanatanc + tanbtanc Resolución: Si: a + b + c = n/2 a + b = - | - c ^ tan(a + b) = tan(-^ - c) tana + tanb , 1 = cote = ------- 1 - tanatanb tanc (tana + tanb)tanc = 1 - tanatanb tanatanc + tanbtanc + tanatanb = 1 Simplificar: E = cos(180° - x) sen(90° + y) + sen(180°- x) cos(90° + y) Resolución: cos(180° - x) = -cosx; sen(180° - x) = senx sen(90° + y) = cosy; cos(90° + y) = -sen y Reemplazando: E = -cosxcosy + senx(-seny) E = -(cosxcoy + senxseny) E = -cos(x - y) b = 60°, hallar el valor sen2b Si a - b = 45° y a numérico de: sen2a Resolución: Dato: a + b = 45° y a - b = 60° sen2a - sen2b = sen(a + b)sen(a - b) j2 ñ íb = sen45°sen60° = — x — = — 2 2 4 Calcular el valor natural muy aproximado del sen23°. Resolución: sen23° = sen(60° ■37°) sen23° = sen60°cos37° - cos60°sen37° “ n23- ( f )5) ( I sen23° 4 / 3 - 3 10 6. Si: tan(x + y) = 33 A tany = 3 encontrar el valor de tanx. Resolución: tan(x + y) = 33 tanx + tany 1 - tanxtany tanx + 3 33, dato: tany = 3 1 - 3tanx tanx + 3 = 33 - 99tanx tanx + 99 tanx = 3 3 - 3 100tanx = 30 =* tanx = 0,3 Si: a + b R = 225°, calcular el valor de: cotacotb (1 + cota)(1 + cotb)
  • 42. 4 4 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e Resolución: cot(a + b) = cot225° cotacotb - 1 cota + cotb co ta cotb -1 = cota + cotb ...(1) R : = 1 cotacotb 1 + cota + cotb + cotacotb cotacotb De (1): R = R = 1 + cotacotb - 1 + cotacotb cotacotb _ J_ 2cotacotb 2 1 tan9 Simplificar: P = cot(4> - 6) 1 - - tan0 cot(<(> - 0) Resolución: La expresión P es equivalente a la siguiente: tan9 + tan(ij> - 0) 1 - tan0tan((j> - 9) Esta expresión es el desarrollo de la tangente de una suma de dos ángulos, es decir: P = tan[0 +(<)>- 0)] = tan<j> [ " e j e r c ic io s PROPUESTOS □ 1. Del gráfico, calcule tanO. a) 9/19 b) 1/10 c) 21 d ) 1/21 e) 9/10 2. Si: ABDE es un cuadrado, además: BC = 3; CD = 2: AF = 1, calcule: tan0 a) -3 /7 b) -7 /3 c) 3/7 d) 7/3 e) -1/1 0 3. Calcularel valorde: N =sen10°+tan40°cos10° a)sen20° d) tan10° b)2sen20° e) 2 o)1 4. Calcular: tanx, si: sen4xcos5x + cosx = sen5xcos4x a) -1 d) 2 b) 1 e) 3 c) -2 5. Si se cumple: 2sen(x + y) = 3sen(x - y) calcular: tanxcoty a) 1/5 d) -1 /5 b) 5 e) 1 c) - 5 6. Si: ta n (2 a -p ) = 3 A ta n (2 p -a ) = - 2 calcular: tan(a + P) 8)1 d) -1 /7 b) -1 e) -7 c) 1/7 7. Calcule: R = tan36° + tan24° + (3 tan36°tan24° a) 1 d) ían12° b) ¡3 e) 2(3 c) (312 Calcular: S = (1 + tan35°)(1 + tan10°) a) 1 d) - 2 b) 2 e) 3 c) —1 9. Calcule el máximo valor de: E = 3 + 2senx + (5 cosx a) 0 b) 3 c) 5 d) 6 e) 12 sen(x + y) + sen(x - y) 10, Reducir: A = a) tanx d) cotx 11. Simplificar: A = cos(x - y) - cos(x + y) b) coty e) 1 a) senx b) cosx d) (6sem e) (6 cosx c) tany </2sen(45 + x ) - c o s x (3 senx + 2 eos (60 + x ) c) tanx 12. Reducir: E = a) 1/2 d) 2 sen48°cos12° + sen12°cos48° sen33° eos 3o - sen3° eos 33° b) 1 e) (3 13. Calcular el valor de: S = a) 0,5 d) 2 b) 1 e) 2,5 c) (312 tan32 + tan 13 1 - tan32 tan 13 c) 1,5
  • 43. T r ig o n o m e t r ía | 4 5 14. Reducir: R = cos(21° + x)cos(16° - x) - sen(21° + x)sen(16° - x) a) 0 b) 4/5 c) 3/5 d) senx e) sen(37° + x) sen(a - 6) 15. Reducir: P = ta n a - cosa cosp a) tana b) tanp c) sena d)senp e) senasenp 16. Si cote = 1/4, calcule: tan(45° + 0) a) -1 b) - 3 c) -5/3 d) 3e) -4/3 17. Del gráfico, calcule: tañe a) 1 b) 13/15 c) 7/17 d) 17/7 e) -1 18. Reducir: M = -/3cos20° + sen20° a) sen80° b) cos80° c) 2sen80° d)2cos80° e) 2sen40° 19. Calcule el menor valor de x (agudo) en: cos35 eos 15 -se n 3 5 s e n 1 5 a) 20° b) 30° c) 40° d) 25° e) 70° 20. Calcular el valor de m, si: mtan50° = tan70° - tan20° a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2 e) -1 1. a 5. b 9. d 13. b 17. c 2. b 6. c 10. b 14. b 18. c 3. e 7. b 11. c 15. b 19. c 4. b _Q có 12. e 16. c 20. d
  • 44. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Una función trigonométrica de un número real cual­ quiera puede expresarse como función de un nú­ mero real del primer cuadrante. Esto puede mos­ trarse a partir de ciertas fórmulas de reducción que se-deducen a partir de las identidades de arcos compuestos dando valores particulares. Recordemos que: cos(a + p) = cosacosp - senasenp Si sustituimos a por nl2 obtenemos: co s(-| + p) = cos(-|)cosp -s e n (-|)s e n p y como: cos(-|) = 0 y sen(-|) = 1 eos + p ) = -senp Ahora si en dicha relación reemplazamos p por — - 0, tenemos: 2 cos( —+ - 0) = - sen(-£ - 0 ' 2 2 / 2 cos(7t - 0) = -cosO REGLAS PRÁCTICAS DE REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Para razones trigonométricas cuyos ángulos sean de la forma: 90° ±cc, 270° + a , 180° + a, 360° + a RT/90 ± a = +CORT(a) 270 ± a) RT/180” —a = +RT(o) '360° ± a l Para determinar el signo (+) o ( - ) del segundo miembro se asume que a sea agudo (así el va­ lor que tenga no lo sea), con el fin de determinar el cuadrante del ángulo del primer miembro y así establecer el signo que le corresponde a la razón trigonométrica de dicho ángulo. y 90° 90° + a 90° - a 180° - a 360° + a 180° 0°, 360° 180° + a 270° + a 270° - a 360° - a 270° cVLoia:•------------ -------------------------------- Signos de las razones trigonométricas +90° '(+ ) 180° tan cot (+) Todas (+) ■360° eos sec 270° (+ ) Ejemplos: sen(270° - a) = -coso e lilC sec(180° + a) = -se ca e lilC cot(270° + a) = -ta n a ElV C tan240° = tan(180° + 60°) = +tan60° e l IÍC tan(270° - 30°) = +cot30° e l ÍÍC cos310° = cos(270° + 40°) = +sen40° e lV C cos(360° - 50°) = +cos50° e lV C Para razones trigonométricas cuyo ángulo es de la forma: 360°n + a ; n e Z Se tiene: RT(360°n + o) = RT(a); n e Z Ejemplos: cosí 172° = cos(360“ x 3 + 92°) = cos92° = cos(90° + 2 ) = -sen2° tan755° = tan(360° y 2 + 35°) = tan35° csc(-1390°) = csc(-1440° + 50°) = csc[360 / (-4 ) + 50o] = csc50° sec39 605°= sec(360° x 110 + 5°) = sec5°
  • 45. T r ig o n o m e t r ía | 4 7 Para razones trigonométricas de ángulos negativos Recordemos que: cos(p - a) = cos¡3cosa + senpsena Si p = 0, tenemos: co s(-a ) = cosOcosa + senOsena Como cosO = 1 y senO = 0 Entonces: Asimismo: co s(-a ) = cosa se n (-a ) = -sen a Por identidades fundamentales tenemos: s e n (-a ) sena ta n (-a ) = c o s (-a ) cosa Se concluye: ta n (-a ) = -tan a Análogamente se obtienen: co t(-a ) = -co ta s e c(-a ) = seca csc(-a ) = -csca Ejemplos: sen(-130°)= -sen130° = -sen(180° - 50°) e lIC = -(+sen50°) = -sen50° tan(-762°) = -tan762° = -tan(360° a 2 + 42°) = -tan42° sec(G - 270°) = sec[-(270° - 0)] = sec(270° - 0] = —cscO I - 3ji 3ti = c o s ( i + — ) = -s e n /— ) ' 2 1 0' '1 0 ' Propiedades: 1. SI: a 4 p = 180° Se cumple: sena = senp cosa = -cosp tana = -tanp Demostración: De la condición tenemos: a = 180° - p => cosa = cos(180° - p) = -cosp e¡IC cosa = -cosp Análogo para las restantes. Ejemplos: sen140°= sen40° cosí 70° = -c o s í 0° • tan135° = -tan45° ’ C0S( f ) = - C° S( t ) ___/ 4ji 2. Si: a 4 p = 360° Se cumple: sena = -senp cosa = cosp tana = -tanp Ejemplos: sen320° = -sen40° cos345° = cosí 5° eos i 771 4 / = C0S( f ) tan( ^ ) = - tan( f ) cot 5ji = - cot/ csc(x 4 290°) = -csc(70° -x ) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar la expresión: F sen(-|) 4 tan2x - /2 1 4 cos3x cuando x = 210° Resolución: Para: x = 210° p _ sen 105 4 tan420 - -Í2 1 4 eos 630 sen105°= sen75° = ■Í6 + -Í2 tan420° = tan(360° 4 60°) = tan60° = Í3 cos630° = cos(7 x 90°) = 0 F _ ^6 4 /2 | [ñ - ^ + 4 / 3 - 3 / 2 4 4 Encontrar el valor de la siguiente expresión: sen150°tan225°cos(-210°) F = s e n (- 120°)cos(-315°)tan300°
  • 46. 4 8 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e Resolución: • sen150° = sen30° = 1/2 • tan225° = tan(180° + 45°) = tan45° = 1 • cos(-210°) = cos210° = cos(180° + 30°) = - c o s 3 0 ° = sen(-120°) = -sen120° = -sen60° = -7 3 /2 cos(-315°) = cos315° = cos(360° - 45°) = cos45° = 72/2 • tan300° = tan(360° - 60°) = -tan60° = - 73 Reemplazamos: 3. Calcular el valor de la siguiente expresión: P _ sen670 xcos310 xsec250 xsen200 sen130 xcos50 x cosí 80 Resolución: sen670° = sen(720° - 50°) = -sen50° cos310° = cos(360° -5 0 °) = cos50° sec250° = sec(270° - 20°) = -csc20° sen200° = sen(180° + 20°) = -sen20° sen130° = sen50° cosí 80° = -1 Reemplazando: (-se n 5 0 )(cos50 )(-c s c 2 0 )(-sen20 ) (sen50 )(cos50 ) (- 1) Simplificando: F = 1 4. Si sen16° = 7/25, calcular: tan2954° Resolución: tan2954° = tan(360° x 8 + 74°) = tan74° = cotí 6° => tan2954° = cotí 6° = 24/7 5. Si: tanx + coty = 2; x + y = n, hallar: cotx Resolución: Como: x + y = ti => y = k - x => coty = -co tx Reemplazando: •i tanx - cotx = 2 => — — - cotx = 2 cotx 1 - cot2x = 2cotx =» cot2x + 2cotx - 1 = 0 cotx = ~ 2 ± 2 ^ = cotx = -1 ± 72 2 [~E JE R C IC IO S PROPUESTOS "] / 371 tan (re + x)cos' Reducir: A = cot|-^T - xjsen(360 - x ) a) 1 b) 0 c) -1 d) 1/2 e) -1 /2 2. Calcular: E = 3csc150° + tan225° - sec300° a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e ) 5 3. Simplificar: A = sen170°csc190° + 6sen150° - 2cos180° a) 1 b) 2 c) 3 d ) 4 e ) 5 4. Si: x + y = 180°. calcular: taní-^-) ^ _ 2senx '2 ' S6ny c o tí^ a) 2 b)3 c) -1 d) - 2 e)0 Calcular: A = ^ !an1485 + 4cos2100 cosí 20 a ) -1 4 b) 14 c) -1 2 d) 12 e) -1 0 6. Reducir la expresión i o- 3 rn.Q I ^2sen(67i + x) + 3 c o s (4 r - x E = sen(47t - x) a) 0 b) 1 c) -1 d) 2 e) - 2 Simplificar: A = cos(f + X) tan(2jl ■ s e n (-x ) ta n (-x ) a) 1 b) 2 c)-1 d) - 2 e) 0 cos(207i + x) ta n (4 1 n -x ) 8. Reducir: A = — -— + c o s (-x ) c o t ( ^ - x
  • 47. T r ig o n o m e t r ía | 4 9 a) -1 d) 1 b) - 2 e) 2 c) 0 9. Calcular: A = 4cos(-120°) - 3cot(-315°) + 4sec(-300°) a) 1 d) - 3 b) 2 e) - 2 c) 3 10. Dado un triángulo ABC, calcular: sen(A + B) 2tan(B + C) senC tan A a) 1 d )-1 b) 2 e) - 2 c) 3 11. Si: x + y = 2n, calcular: A = senx + ta n (-|) ■seny + t a n ^ a)senx d) -2 ta n ( 12. Calcular: A = 2tan a) 1 d) 4 b)2senx e) 0 c) -ta n ( ■^T) + sen(C ^ x jsec(7i - x) + 3sen(-^ ) b) 2 e) 5 c) 3 13. Simplificar: 2sen(100 + x ) 3tan(240 - x ) sen(80 - x ) a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 tan(120 + x ) c) 3 14. Calcular: A = 2tan43 4 3 ^ ) - 2 c o s 1 4 7 ti + 6sen(61- a) 1 d) 4 15. Si a - b) 2 e) 5 c) 3 - (3 son suplementarios, reducir: sen(a + 2p)tan(a + ^ A = :------ i(2 a + p)cot(p + - a) 1 d) -tanp b )-1 e) -cosa c) -ta n a 16. Indicar si es verdadero (V) o falso (F) I. sec(90° + x) = cscx II. cot(270° - x) = tanx III. esc (270° + x) = secx a) FFF d) FVF b) FFV e) FVV c) VVF 17. Indicar si es verdadero (V) o falso (F): I. tan(180° + x) = -ta n x II. cos(360° - x) = -cosx III. sen(360° -x ) = -sen x a) FFF d) FVV 18. Simplificar: b) VFV e) VVF c) FFV sen(180° + x) tan(90° + x) cos(270°- a) 1 d) -1 /2 19. Simplificar: A = - x) cot(180° - x) b) -1 c) 1/2 e) 0 sen(180° - x)sec(90° - x) cot(270° + x) a) tanx b)-co tx c) cotx d) -ta n x e)-c o t2x 20. Calcular: A = 2sen330° - 4sec240° a) 13 d) 10 b) 12 e) 9 ■2tan135° c) 11 21. Dado un triángulo ABC, simplificar: 2cos(A + B) E = a) -1 d) - 2 22. Reducir: A = cos( a) 1 d) -1 /2 23. Reducir: A = cos1° a) 1 d) -1 /2 cosC b) 1 e) 5 3sec(A + B + C) c) 2 111/ 8n -cos(tt)+ cosu i b) -1 e) 0 /10n (11 c) 1/2 ■cos2° + cos3° + ... + cos178° + cos179° + cos180° b) 2 e) -1 c) 1/2
  • 48. 5 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 24. Reducir: (a + 1)cos540 -(a -1 )s e n 6 3 0 (b -1 )co s1 2 6 0 + (b + 1 )se n 4 5 0 a) 1 b ) -1 c) a d) b e) a/b m 1. a 6. b 11. e 16. d 21. b Ui 2. e 7. e 12. d 17. c 22. e > <í 3. d 8. c 13. e 18. e 23. e j 4. b 9. c 14. c 19. b 24. b ü 5. a 10. c 15. a 20. e __j
  • 49. IDENTIDADES DE ARCOS MÚLTIPLES Las identidades de arcos compuestos han sido de­ mostradas para todo número real. A partir de estas identidades podemos deducir otras, en especial, podemos obtener las identidades que expresan sen, cos y tan de 2a, a l2 o 3a en términos de sen, cos y tan de a. Puesto que estas son válidas para todo a y p, ha­ ciendo a = p obtenemos: IDENTIDADES DEL ARCO DOBLE • sen2a = 2senacosa • cos2a = cos2a - sen2a cos2a = 1 - 2sen2a cos2a = 2cos2a - 1 • tan2a 2 tan a 1 - tan2a Identidades auxiliares 2sen2a = 1 - cos2c< 2cos2a = 1 + cos2a 2tanu sen2a = c o s 2 a = 1 + tan2a 1 - tan2a 1 + tan2a cota + tana = 2csc2a cota - tana = 2cot2a sen4a +cos4a = — + —cos4a sen6 + cos6a = —+ —cos4a Ejemplos: • sen42° = 2sen21°cos21° cos48° = cos22 4 °- sen224° • tan14° = 2tan7— 1 - tan27 cos249 - sen240 = cos80 • 2 s e n ( |jc o s ||'| = sen© 2sen2( f ) 1 - eos/ 2 tan 4 1 + tan24 cosí 2° = : s e n 8 ° 1 + tan26 cot20° + tan20° = 2csc40° s e n 4 ( ¿ ) cVLota: - 1 + tan20 / ^ 2tan0 / < 2 0 r 1 - tan20 También podemos establecer lo siguiente: Como: cos20 = 1-2sen20 Hacemos: 20 = a , tenemos _2/ a cosa = 1 - 2sen (44 2 2 ' cosa IDENTIDADES DEL ARCO MITAD El signo del segundo miembro se elige según el cuadrante del arco a/2 y de la razón trigonométrica que lo afecta. Ejemplos: : 315 ¡1 - cos315 sen
  • 50. 5 2 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e 315 2 ■¡2 - -Í2 tan4° = tanj — | tan4° = r - tan4° = 5 /2 - 7 Identidades auxiliares « n ( f )t Vi s e n (|.j - cos(-^) = ±-/l - sena ta n (^ ) = csca - cota c o t(^ ) = csca + cota Ejemplos: • tan4° = csc8° - cot8° = 5 / 2 - 7 • cotí 5° = csc30° + cot30° = 2 + /3 tan(3n/8) = csc(3ir/4) - cot(3rt/4) = /2 + 1 IDENTIDADES DEL ARCO TRIPLE sen3a = 3sena - 4sen3a cos3a = 4cos3a - 3cosa • tan3a 3ta na - tan3a 1 - 3tan2a Ejemplos: sen48° = 3sen16° - 4sen316° cos24° = 4 co s38° - 3cos8° 3tan37 - tan337 tan1110 = sena = 3se n (-j 1 - 3tan237 4sen,3i a i 3 ' cos2a = 4cos3/ — - 3C0S1,2a tan12x = 3 / 3 3tan4x - tan34x 1 - 3tan24x Triángulos rectángulos de 18° y 36° / 5 - 1 /5 + 1 Identidades auxiliares 4sen3a = 3sen« - sen3a 4cos3a = 3cosa + cos3a sen3a = senu(2cos2a + 1) cos3a = cosa(2cos2a - 1) tan3a _ 2cos2a + 1 tana 2cos2a - 1 sen3a = 4senasen(60° - a)sen(60° + a) cos3a = 4cosacos(60° - a)cos(60° + a) tan3a = tanatan(60o - a)tan(60° + a) EJERCICIOS RESUELTOS Determine el valor de: A = sen10°sen50°sen70° Resolución: Aplicando las identidades auxiliares: 4sen10 sen(60 - 10 )sen(60 + 10 ) A = sen30 1/2 4 1 2. Determinar el valor de: M = 16cos5°cos55°cos65° Resolución: M = 4 x 4cos5°cos(60° - 5°) cos(60° ' /6 + Í2 -5 o) M = 4cos15° = 4 = /6 + /2 Si: tan25° = a, hallar el valor de la expresión: tan155 -ta n 1 1 5 . tan205 -ta n 1 1 5 X " * 1 + tan155 tañí 15 tan245 + tan335
  • 51. T r ig o n o m e t r ía | 53 Resolución: • .ten 155 - ten115_ _ tan(i55° - 115°) 1 + tan155 tan115 . = tan40 • tan205° = tan(180° + 25°) =tan25° • tan115° = -tan65° tan245° = tan(180° + 65°) = tan65° • tan335° = tan(360° - 25°) = -tan25° tan205 -ta n 1 1 5 tan25 + tan65 tan245 + tan335 tan65 - tan25 Propiedad: = K tana + tanb sen(a + b) tana - tanb sen(a - b) K = sen(65 + 25 ) sen9Q 1 sen(65 - 2 5 ) sen40 sen40 Reemplazando en T: T = tan40° T = 1 sen40° 1 sen40°/ eos 4 0 °' sen40° 1 1 : csc50 eos 40° sen50° 1 + tan225 1 + a2 T = csc50° = 2tan25 2a 4. Si: esc x = 3 y x e IC; cuánto vale 8csc2x. Resolución: Dato: cscx = 3, x e iC 2/2 8 c s c 2 x =sen2x 2senxcosx 8 c s c 2 x = ¥ ) ( ¥ ) ¥ 8 c s c 2 x = 1 |■Í2 -Í2 -Í2 5. Si: cotx = -0 ,5 ; hallar el valor de 20cot2x Resolución: Como: 2cot2x = cotx - tanx Entonces: 20cot2x = 10(cotx - tanx) 20cot2x = lo |-l-( -2 ) j = 15 Hallar el valor de la expresión 1 (3 S = sen10 cos10 Resolución: g _ cos10 - /3sen10 sen10 eos 10 2( —eos 10° - — sen10° 2 2S = S = S = sen20° 2 4(cos6Q eos 10 - sen60 sen10 ) sen20 4cos(60 + 1 0 ) 4cos70° 4sen20° sen20° sen20° sen20° S = 4 Dada la expresión: tan<t> = (2 + /3 )ta n |^ calcular: tan<j> Resolución: Dato: tanrf) = (2 + /3 )ta n |^ •(1) Por propiedad . tan3x _ 2cos2x + 1 tanx 2 cosx - 1 Sea: <|>= 3x, entonces en (1): tan3x :2 + /3 2 eos 2x + 1 : 2 + /3 tanx - 2cos2x - 1 Aplicando propiedades de proporciones: 2 eos 2x + 1 + 2 eos 2x - 1 2 + /3 + 1 2cos2x + 1 - 2osx + 1 4cos2x 3 + /3 2 cos2x : 1 + / 3 2cos2x = 2 + /3 - 1 V3(1 + /3 ) 1 + /3 ■/3 2 2x = 30° x = 15° Volviendo a la variable original: (h — = 15° =>()) = 45° tariíj) = tan45°
  • 52. | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e Si: x = —; hallar el valor de tañí Resolución: Como: taní-2-) = csca - cota Para x = nos queda: tan<1%) V3 La base de un rectángulo mide el doble de su altura, hallar la tangente del ángulo agudo que forman sus diagonales Resolución: De la figura: tan(-S-) = 1 tana = 2 ta n ( f) tana = 1 - tan2 2 I < - r tana = 4/3 tana = 1-1 14 4 Los radios de dos circunferencias son 1 y 2, la distancia de sus centros es 7. Calcular el coseno del ángulo formado por las tangentes exteriores a estas circunferencias. Resolución: Sea a el ángulo formado por las tangentes, PO es bisectriz de dicho ángulo. De la figura: cosa = 1 - 2sen cosa = 1 11. 1 2 . cosa = 1 - 49 £7 49 Determinar el valor de la expresión: A = sen3acsca - cos3aseca Resolución: sen3a eos 3a A = A = A = A = sena cosa sen3acosa - cos3asena. senucosa sen(3a - a ) _ sen2a senacosa 2senacosa senacosa = 2 senacosa Hallar el valor de: Q = 4cos10°cos50°cos70° Resolución: Q = 4cos10°cos50°cos70° Q = 4cos10°cos(60° - 10°)cos(60° + 10°) Q = cos(3 x 10°) = cos30° sen2x _/3 2 13. Reducir: N cosx 11 + cos2x / 1 + cosx Resolución: Como: 1 + cos2a N N = 2senxcosx 2cos2x 2 eos 2/ X i 2 s e n (-)c o s (-) 2 c o s 2 ( ¡ ) 2 eos 2 / X , N = tañí 14. Reducir: S = tanu + 2tan2a + 4tan4a + 8cot8a Resolución: Como: cotx - tanx = 2cot2x => cotx = tanx + 2cot2x S = tana + 2tan2a + 4 (tan4a + 2cot8a) cot4a S = tana + 2tan2a + 4cot4a S = tana + 2(tan2a + 2cot4a) S = tana cot2a 2cot2a S : cota
  • 53. T r ig o n o m e t r ía | 5 5 15. Hallar el valor de: M = sen3a _ eos 3a sena cosa Resolución: ^ _ 3sena - 4sen3a _ 4cos3a - 3 eos a sena cosa M = 3 - 4sen2a - 4cos2a + 3 M = 6 - 4(sen2a + cos2a) = 6 - 4 = 2 [ " e j e r c ic io s PROPUESTOS i " [ 1. Calcular tan2a, si: tana = 72 - 1 a) /2 + 1 b) 272 c) -2 7 2 d) 1 e) 72 2. SI cosa = — , 360° < a <450°; calcular: cosí —í 41 Í 2 ; a) - d) 741 741 3. Simplificar: b) 741 C) 741 741 1 - eos 42 a) sen21° b) cos21° c) sen89° d) cos84° e) sen 16° 4. Calcular: csc74° - cot74° a) 1/2 b) 3/4 c) 4/3 d) 1/3 e) 24/25 5. Calcular: (2sen15°cos15°)2 + (2sen22°30'cos22o30')2 a) 1/4 b) 3/4 c) 5/4 d) 7/4 e) 9/4 6. Simplificar: 1 + eos 46 1 - eos 40 a) tan226 b cot229 c) sec220 d) sec229 e) csc226 1 7. Si sena = - - , a e IIIC; calcular: sen2a a) 472 d )f 8. Si cosa = 4 , 270° < a <360°; calcular: cosí —l 6 e) - 715 12 9. SI sena = — , 90° < a < 180°; calcular: sení—í 13 ' 2 1 a) - d) 3713 13 4713 13 b) 4713 13 2713 13 c) 3713 13 10. Simplificar: gsc40, -c o t4 0 tan200 a) 0,1 d) 2 b) 1 e) -0,1 c) -1 11. Calcular: sen22°30’ a) d) 2 - 7 2 2 72 + 72 b) J Í ± H c) 1 1 1 Simplificar: 2(csc6 - cot6 ) sec23 - 2 ta n 23 a) tan3° d) cot6° b) tan6° e) tan12° c) cot3° Simplificar: sen160°cos200° sen400° a) -2 d) -1 /2 b) 2 e) 73/2 c) 1/2 Simplificar: (1 - 2sen2a)2 - 4sen2acos2a a) cos4a d) -cos2u b) -cos4a e) 0 c) cos2a Simplificar: 1 - cosí 00 1 + cos1O0 a )ta n 250 d) cot59 b) cot250 e) sec50 c) tan59 Si sena = a e IIC; calcular: 72 sen2a a) -4 /3 d) 4/3 b) -1/3 e) 72/3 c) 1/3
  • 54. 5 6 | C o l e c c ió n E l Po s t u l a n t e 17. Simplificar: 2 ° otct cot a - 1 a) cot2cx b) -cot2 a c) tan2a d) -ta n 2 a e) 1 18. Hallar la expresión equivalente de: 2sen39cos30 a) sen129 b) sen69 c) sen90 d) sen180 e) sen39 19. Calcular: cos215° - sen215° a) (3/2 b) 1/2 c) (2/2 d) (314 e) 1/4 20. Hallar tan40° 2 tan 10 b) 2 tan 20 1 - tan210 1 - tan220 c) 2 tan 40 d) 2 tan 80 1 - tan240 1 - tan280 2tan20 1 + tan220 e) 21. Sabiendo que: p = 2cos2a - cos2a A q = 2sen2a + cos2a calcular: p2 + q2 a) 1 b) 2 c) 4 d) 6 e) 8 22. Simplificar: (/2 co sa + 1)(/2cosa - 1) a) cos2a b) -cos2a c) -sen2a d) sen2a e) 0 23. Simplificar: c o ta - tana cot 2a a) 1 b) -1 c) 0 d) 2 e) -2 24. Simplificar: cos40 - sen40 a) cos40 b) -1 c) 1 d) cos20 e) cos60 25. Simplificar: ^ ~~tan ® 1 + tan2© a) cos29 b) sen20 c) sec20 d) csc20 e) cot20 26. Calcular: M, si: cota + tana = Mcsc2a a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 27. Si: sen0 + cos0 = m, calcular: sen20 a) 2m + 1 b) 2m - 1 c) 2m2 - 1 d) m2 - 1 e) m2 + 1 28. Simplificar: (csc36° - cot36°)(1 - tan9°cot81°) a) tan9° b) 2tan9° c) tan18° d) 2tan18° e) tan36° 29. Simplificar: (csc2x + cot2x)tanx a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 6 30. Calcular: tan7°30’ a) (6 - (4 - (3 + (2 b) ( 6 - ( 4 + ( 3 - ( 2 c) / 6 + / 4 - / 3 + T 2 d) J6 + V4 + J 3 - / 2 e) (6 - (4 - (3 - (2 tn Li 1. d 7. a 13. d 19. a 25. N a 2. b 8. b 14. a 20. b 26. b > 3. a 9. c 15. a 21. b 27. d <t 4. b 10. b 16. a 22. a 28. b ü 5. b 11. c 17. c 23. d 29. a 6. b 12. b 18. b 24. d 30. a J [ " ejer c ic io s PROPUESTOS~2 l 1. Si: cosa = 2/3; 0° < a < 90°, hallar: s e n (^ ) a) (3016 b) (616 c) V6/12 d) (6 e) (615 2. Si: cos0 = 1 ^ < 0 < 2n, calcular: sen(|-) a) (312 b) -(3 1 2 c) (313 d) -(3 1 3 e) -(31 6 3. Si: 25cos2x - 4 = 0; 180° < x <270° calcular: ta n (-|)
  • 55. T r ig o n o m e t r ía | 5 7 a) —17 b) -V 3 c) --17/3 d) -13/7 e ) - m Calcular: R = csc40 - cot40 cot70 a) 13 b) 1 c) -1 d) --Í3 e) -V 3 /3 X O 0 CM 1 xU- o o Reducir: E = - ta n (-|) + cotx a) 2 s e n (|) b) 2 c o s (|) c )2 ta n (¡ d) 2sen2( | ) e) 2cos2( | ) Si la siguiente igualdad es una identidad: csc2x - cot2x cscx + cotx + 2cotx = mcot( n / hallar: m + n a) 1 b) 2 c) 3 d ) 4 e) 5 Si: csc80° + tan10° = a, calcular : cot50° a) a b) 2a c) a-1 d) 2a~1 e) (a Reducir: n, _ csc6 - cot6 sen40 tan3‘ csc40 + cot40 a) 1 b) sen40° c) sen50° d)cos80° e) sen80° 9. De la siguiente igualdad: co t1 4°- nsec34° = tan14°- 2tan28° hallar: n a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e ) 5 10. Reducir: M = 4sen350° - 3sen50° a) 1/2 b) -1 /2 c) 1 d) -1 e) -Í312 11. Reducir: N = cos3x + cosx cosx a)cos2x b) 2cos2x c)cosx d) 2cosx e) 1 12. Si: s e n j-|j = calcular: senx a) 1 b) -23/27 c) 23/27 d) 1/9 e) -1 /9 13. Si: senx - cosx = 1/3, calcule: sen6x a) 13/27 b) 23/27 c) 17/27 d) 22/27 e) 19/27 a) 1/2 b) 3/2 c) 7/2 d) 11/2 e) 15/2 15. Si: s e c (-|j = 3sen(-|), hallar: cos2x a) 1/27 b) 1/9 c) 2/27 d) 22/27 e) 1/3 16. SI: cosx = -1 /5 ; 180° < x < 270° ( I ) a) J Ó J b) ÍÓ A c) d) -/08 e) f f 17. Dado: 16cos20 = 9 ; — < 0 <2rt 2 hallar: a) 1 b) 17 c) -1 7 d) -1 7 /7 e) -1 7 /14 18. Reducir: R - tan 10 + co t2 0 cot10 -c o t2 0 a) 1 b) 2 c) -1 d) - 2 e) 1/2 19. Simplificar: E = ta n (-|) + (1 - cosx)cotx a) 1 b) senx c) tanx d) cosx e) -1 20. Reducir: N = + cos4° )sec20° sec45 / a) 1 b ) -1 c)sen10° d) co sí0 o e )-se n 1 0 ° 21. Si se cumple: J 1 ~ ser|5Q l = cotX; (x; agudo) 1 1 + sen50 halle: sec(x -10°)
  • 56. 5 8 | C o l e c c ió n El Po s t u l a n t e a ) 2 b) (2 c ) 3 d) 4 e) 5/4 22. Calcular el valor de: E = ---------------------------- a) 1 b) 2 c) ¡2 d) 13 e) ¡6 23. Simplificar: R = csc20 + cost49 + csc40 a) cot9 b) csc9 c) cot29 d) csc29 e) 1 24. SI: seca = 4; hallar: cos3a a) 1/11 b) -1/1 6 c ) -11/16 d ) -11/32 e) -1/3 2 m 1. b 6. c 11. b 16. c 21. a W 2. c 7. c 12. c 17. d 22. a < 3. c 8. c 13. d 18. a 23. a J 4. b 9. d 14. d 19. b 24. c ü 5. d 10. b 15. d 20. a 7
  • 57. TRANSFORMACIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA LA SUMA O DIFERENCIA DE DOS SENOS O COSENOS A PRODUCTO senA - senB = 2cos cosA + cosB = 2cos , f A + B jr.nsif A - B 2 1 i 2 1 ( A + B | 1sen / A - B l 2 1 l 2 1 i A + B |cns( A - B 2 11 l 2 ) cosA - cosB = -2sen ( A + B )sen^ A B Demostración: Para comprobar la primera identidad, recordemos que: sen(a + p) = senacosp + cosasenp sen(a - p) = senacosp - cosasenp Sumando miembro a miembro tenemos: sen(a + p) + sen(u - p) = 2senacosp ...(1) Haciendo: a + p = A ; a - p = B Obtenemos: a = A ± _ § : r = A ~ B 2 ' 2 Reemplazando en (1): Se tiene: senA + senB = 2sen( A j~-B |cos( A “ B ' Las demás identidades pueden verificarse en for­ ma análoga. Ejemplos: sen40° + sen8° = 2sen/ ^ „+ - )cosí 4(~) ~ ^ l = 2sen24°cos16° sen100°- sen50° = 2 co sf100 + 5 ° s e n (100 " 50 = 2cos75°sen25° 5 6 1 71 71 )cos( — 6 I 2 / = 2 c o s ( 4 r í W o s ( K 60 ' 60 1 a , 5a / a 5a 2 • cos(f)" cos(y)=^2sen 2 2 2 )sen-^—2— = -2 s e n |-y -J s e n (-a ) = 2 s e n |^ -js e n a Propiedades: Si: A + B + C = 180°, se cumple: • senA + senB + senC = 4cos/-4'|cosí -i-"icos/ — cosA + cosB + cosC =4sen( - ^ s e n í^ s e n í—) +1 > 2 / 2 / 1 2 1 • sen2A + sen2B + sen2C = 4senAsenBsenC • cos2A + cos2B + cos2C = -4cosAcosBcosC -1 DE PRODUCTO DE DOS TERMINOS, SENO Y/O CO­ SENO A SUMA O DIFERENCIA 2senAcosB = sen(A + B) + sen(A - B) 2cosAsenB = sen(A + B) ~ sen(A - B) 2cosAcosB = cos(A + B) + cos(A - B) 2senAsenB = cos(A - B) - cos(A + B) Ejemplos: 2sen49cos9 = sen(49 + 0) + sen(40 - ( = sen59 + sen36 2cos(a - -|)co s(a + x ■“ + 4 ) cosía - —- a - —j 1 4 4 1 = cos2a + c o s í- —) = cos2a + eos (-5-) = cos2a Exprese cos30sen9 como una suma o una di­ ferencia.
  • 58. 6 0 | C o l e c c ió n E l P o s t u l a n t e Resolución: Utilizando la primera identidad se tiene: cos30sen2tí = 2cos3?sen29 2 = -I(2sen20cos30) = ^[(sen(20 + 30) + sen(20 - 30)] = -l[sen50 + sen(-0)] cos30sen20 = i(se n 5 0 - senG) EJERCICIOS RESUELTOS 1. Hallar el equivalente de: 2cos6xsenx Resolución: 2cos6xsenx = sen(6x + x) - sen(6x -x ) = sen7x - sen5x 2. Si el ángulo A mide tt/ 13 rad, hallar el valor de: cosAcos10A A = cos2A + cos4A Resolución: cosAcos 10A „ / 4A + 2A / 4A - 2A 2 eos eos 2 /~ ~ 2 cosAcoslOA _ coslOA 2cos3AcosA 2cos3A 3it A = Dato: A = rc/13 /1 Ott eos 13 - eos 13 131 2 eos Hallar la expresión equivalente de: senx + sen3x Q = Resolución: sen2x + sen4x Q = 2sen2xcosx _ sen2x 2sen3xcosx sen3x 4. Hallar el equivalente de: A = senx + sen3x + sen5x + sen7x Resolución: A = (sen7x + senx) + (sen5x + sen3x) A = 2sen4xcos3x + 2sen4xcosx A = 2sen4x[cos3x + cosx] 2cos2xcosx A = 4sen4xcos2xcosx Hallar el equivalente de: 2sen(-|)cos2x Resolución: Como: 2senacosp = sen(a + p) + sen(a - p) 2sen(-^)cos2x = sení-^ + 2x) + sení-í- - 2x) = s e n (y ) + s e n ( - y ) = s e n | y ) - s e n ( y Hallar la suma de los senos de tres arcos en progresión aritmética de razón — Resolución: 2 n 9 t i Sean: a , a, a + — los tres arcos en 3 3 progresión aritmética, entonces: 271 3 2tt P = sen|a - P = senl a - ; + sena + sen|a + 271 2R + sen a + 3 sena 2senacos P = 2senacos P = 2 s e n a (- — sena P = -se n a + sena = 0 Hallar el equivalente de: S = senx + seny eos x + eos y Resolución: S = , x + y / x - y 2sen —-— eos' / x + y / x - y 2cos —- — eos1 S = tan 2 x + y
  • 59. T r ig o n o m e t r ía | 6 1 8. Hallar el equivalente de: P = sen4x h---------- sen 2x senx cosx + tanxsenx Resolución: P = sen4x + - P = sen4x sen 2x cosxsenx + - senx cosx + / senxSenx sen 2x cosxsenx- P = Sen4x + . sen22x = sen4x + se" 22x 2senxcosx sen2x P = sen4x + sen2x = 2sen( * 2x e o s ^ x 2x 2 P = 2sen3xcosx 9. Transformar en producto la siguiente expresión: cos4x + cos8x + 2 - 4sen2x Resolución: M = cos8x + cos4x + 2(1 - 2sen2x) M = 2cos 8x + 4x eos cos2x 8x - 4x 2cos2x 2 / 2 M = 2cos6xcos2x + 2cos2x M = 2cos2x(cos6x + 1) 2cos23x M = 4cos2xcos23x 10. Hallar el verdadero valor de la expresión si­ guiente, para a = 45°: A _ cos2a cosa - cos45 Resolución: Observar que al reemplazar a = 45°, la expre­ sión A queda: 0/0 (Indeterminado) Levantamos la indeterminación: A _ cos2a _ /2cos2a cosa — — ^2 cosa —1 ■12 Diferencia de cuadrados en el numerador: _ /2 (/2 c o s a + 1)(/2cosa - 1) (/2cosa - 1) A = /2(-/2 cosa + 1) Reemplazamos a = 45° A = /2 (/2 cos45 + 1) A = /2 [/2 (-^ r) + i] =* A = 2^2 11. Verificándose las siguientes igualdades: sen32° cos32° sen12° cosí 2° =0,738 1,826 calcular el valor de la tangente de 22° expre­ sando el resultado en fracción ordinaria. Resolución: sen32° + sen12° = 0,738 2sen22°cos10° =0,738 ...(1) cos32° + cosí 3° = 1,826 2cos22°cos10° = 1,826 ...(2) Dividiendo (1) a (2): 2sen22 cos10 = 0,738 = 738 2cos22 cos10 1,826 1826 Simplificando: tan22° = 12. En que tipo de triángulo se cumple: sen2A + sen2B + sen2C = 2 Resolución: En todo triángulo ABC se cumple: • cos2A + cos2B + cos2C = 1 - 2cosAcosBcosC sen2A + sen2B + sen2C = 2 + 2cosAcosBcosC De la última relación: 2 = 2 + 2cosAcosBcosC => cosAcosBcosC = 0 De esta igualdad se deduce que alguno de los tres factores es cero. Esto ocurre si al menos uno de los ángulos mide 90°. .-. se cumple en un triángulo rectángulo. 13. Simplificar: senG + sen(k0) + sen(2k - 1)9 cos9 + cos(k0) + cos(2k - 1)0 Resolución: sen(2k - 1)0 + sen0 + sen(k0) cos(2k - 1)0 + cos0 + cos(k0)
  • 60. 62 | C o l e c c ió n El P o s t u l a n t e E = E = 2sen(k9)cos(k - 1)0 + sen(k0) 2cos(k0)cos(k - 1)0 + cos(k9) sen(k9)[2cos(k - 1)0 + 1] cos(k0)[2cos(k - 1)0 + 1] E =tan(k0) 14. Si: sena + senp = a cosa + cosp = b calcular: cos(a + p) Resolución: Sea: a + p = x sena + senp = a 2sen(a "*~^)c o s (a „ = a cosa + cosp = b 2 co sfa ^ 'ico sfa ) = b 2cos(-^-)cosí-— - ) = b Dividiendo (1) a (2) se obtiene: s e n ( f_ _ a xx " b tan( f K Nos piden calcular: cos(a + p) = cosx : 1 - tan2 1 + tan cos(a + P) = 1 + a f b2 + a2 k2 1. Calcular: A = a) 1 d) /3 /3 [" e je rc ic io s PROPUESTOST ] sen80 + sen40 (1) ■(2) cos80 + cos40 b) 2 c) 13 e) 1/2 2. Si: sena + senp = a cosa + cosp = b hallar: tan a + p d) ( a - b ) b) e) c) (a + b) (a - b) 2ab (a2 3. Calcular: (sen38° + cos68°)sec8° a) 1b)2 c) 1/2 d) 1/4 e) - 1/2 4. Calcular: S = cos20° + cos100° + cos140° c) -1a) 0 d) 1/2 Reducir: P a) tan30 d)tan40 b) 1 e) -1 /2 sen59 + sen39 + sen9 cos 50 + cos 39 + cos0 b) tan50 c) tan20 e) tan80 6. Transformar a producto: E = sena + sen3a + sen5a + sen7a a) 4sen4asen2asena b) 4cos4aeos2acosa c) 4 sen4aC 0s2aC 0S a d) 4sen4asen2acosa e) 4cos4acos2asena 7. Calcular: A = cos220° + cos240° + cos280° c) 2a) 1 d) 5/2 8. Simplificar: A = b) 2/3 e) 3/2 1 - sen2x - sen2y cos(x - y) a) cos(x + y) c) 0,5 cos(x + y) e) cos2(x - y) b) cos(x - y) d) cos2(x + y) 9. Simplificar: 2(cos5x + cos3x)(sen3x-senx) a) sen6x d) sen9x b) sen7x e) seniOx c) sen8x 10. Simplificar: (tan20 + tan0)(cos30 + cos0) a) 2sen30 b) 2cos30 c) sen30 d) cos39 e) 1 11. SI: x + y = 30°, calcular:
  • 61. T r ig o n o m e t r ía | 6 3 sen(x + 3y) + sen(3x + y) sen2x + sen2y a) 1 d) 2 /3 12. Simplificar: A = a) 2sen(a + b) c) sen(a - b) e) 2cos(a - b) c) /3 cos(a - 3b) - cos(3a - b) b) 2 e )- 1 sen2a + sen2b b) 2cos(a + b) d) 2sen( a - b) 13. En un triángulo ABC, transformar a producto: E = sen2A + sen2B - sen2C a) 4senAsenBcosC c) 4senAsenBsenC e) 2senAsenBcosC b) 4cosAcosBsenC d)4cosAcosBcosC 14. En un triángulo ABC, transformar a producto: K = senA + senB + senC a) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) b) 2sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) c) 2cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) d) 4cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2) e) 4sen(A/2)sen(B/2)sen(C/2) 15. Calcular: E = csc20° - cot40° a) 1 d) - ( 3 16. Reducir: A = b) 0 e) (3 sen40 - sen20 cos10 a) 1 d) -1 /2 17. Simplificar: A = a) tanx d) cot2x 18. Reducir: A : a) í3 d) 1/2 b) 1/2 e) 2 eos 7x + eos 3x sen7x - sen3x b) cotx e) tan4x sen50 + cos50 cos5 b) (2 e) (212 c) -1 c) —1 c) tan2x c) 1 19. Calcular: A = cos20° + cosí 00° + cos220° c) 1/2a) 1 d) -1 /2 b) -1 e) 0 20. Reducir: A = a) tanx d) tan4x 21. Reducir: A = a)senx d)cos2x sen2x + sen4x + sen6x 22. eos 2x + eos 4x - b) tan2x e) tan5x cos6x c) tan3x 4senx cosxeos2x + sen6x Simplificar: A = si: 6x = n a) 1 d) -1 /2 2sen5x b) cosx e) sen3x sen7x + sen3x senx + sen9x b) -1 e) -3 /2 c) sen2x c) 1/2 U1 1. c 6. c 11. c 16. a 21. b y > < 2. a 7. e 12. d 17. d 22. b 3. a 8. a 13. b 18. b j 4. a 9. c 14. d 19. e U 5. a 10. a 15. e 20. d J rEJERCICIOS PROPUESTOS Ú 1. Reducir: Q = sen4x - 2senxcos3x a) senx d) eos 2x Reducir: M a) senacosa c) 2senacosa e) sen (-2.) b) cosx e) sen3x c) sen2x sen3acosa sen4a 2 b) s e n ( |) c o s ( |) d) sena Reducir: R = 4sen2xcos2xcos3x - senx c) sen5xa)senx d) sen7x b) sen3x e) sen9x Exprese como monomio: P = cos20cos9-sen40sen6 a)sen0sen20 c) sen30cos20 e)sen0cos0 Reducir: sen2xcosx b)cos30sen20 d)cos30cos20 sen4xcosx + sen2xcos3x