1. Oswaldo Camacho Flores Geometría Analítica CECYTEM
Chimalhuacán.
1
ELIPSE
Recuperación para los que reprobaron el tercer parcial de geometría
analítica.
2. 2
LA ELIPSE
• LA ELIPSE
• La elipse es el lugar geométrico
de los puntos del plano cuya
suma de distancias a dos
puntos fijos llamados FOCOS
es una constante.
• PF+PF’ = 2a
• Elementos
• Semieje mayor: a
• Semieje menor: b
• Semidistancia focal: c
• Focos: F(0, c) , F(0, -c)
• Vértices: A(a, 0), A’(-a, 0),
• B(0, b), B’(0, -b)
X
Y
2a
2c
FA’
P(x, y)
AF’
B
B’
2b
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3. 3
RELACIÓN FUNDAMENTAL
• RELACIÓN FUNDAMENTAL
• Por definición, la suma de
distancias de cualquier punto a los
focos F y F’ es 2a.
• PF+PF’ = 2.a
• Tomamos el vértice superior B(0, b)
y tenemos que se nos forma un
triángulo rectángulo.
• Por Pitágoras:
• Excentricidad
• Se define como la relación:
• e = c / a
• Como siempre c < a
• 0 < e < 1 en una elipse
X
Y
2a
2c
FA’ AF’
B(0, b)
B’
aa
b
c
2 2 2
a b c= +
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4. 4
ECUACIÓN REDUCIDA
X
Y
F A
F’
P(x, y)
B’
b
x
y
• Elevando todo al cuadrado:
• x2
+ 2xc+c2
+ y2
= 4a2
+ x2
– 2xc+c2
+ y2
– 4.a√(c2
– 2xc + x2
+ y2
)
• xc – a2
= – a√(c2
– 2xc + x2
+ y2
)
• x2
c2
– 2xca2
+ a4
= a2
c2
– 2xca2
+ x2
a2
+ y2
a2
Como c2
= a2
– b2
• x2
a2
– x2
b2
+ a4
= a4
– a2
b2
+ x2
a2
+ y2
a2
• Quedando: x2
b2
+ y2
a2
= a2
b2
• ECUACIÓN REDUCIDA
• Se considera el origen de coordenadas O(0, 0) el
centro geométrico de la elipse.
• Se aplica la definición, dándose cuenta de que
cada distancia del punto P(x,y) a los focos es una
hipotenusa de triángulos rectángulos:
• PF+PF’ = 2.a
• √((x+c)2
+ y2
)) + √((c – x)2
+ y2
))=2.a
• √((x+c)2
+ y2
)) = 2.a – √((c – x)2
+ y2
))
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5. 5
Ejercicios
• Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son:
• 1º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0), B(0, 3) y B’(0, -3)
• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, (3+(-3))/2) ,, C(0,0)
• Eje mayor: 2.a = 10 ,, a =5 ,, Eje menor: 2b = 6 ,, b = 3
• Ecuación: b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
9x2
+ 25y2
= 225
• 2º.- Vértices: A(5,0), A’(-5,0),, Focos: F(3, 0) y F’(-3, 0)
• El centro de la elipse es C((5+(-5))/2, 0) ,, C(0,0)
• Semieje mayor: a = 5 ,, Distancia focal: 2c = 6 c =3
• Semieje menor: b = √ (52
– 32
) = 4
• Ecuación: b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
16x2
+ 25y2
= 400
• 3º.- Centro: C(0,0),, Focos: F(3, 0), F’(-3, 0) y P(4, 2’4)
• Ecuación: b2
x2
+ a2
y2
= a2
b2
16.b2
+ 5’76.a2
= a2
.b2
• Relación: a2
= b2
+ c2
a2
= b2
+ 9
• Resolviendo el sistema: b2
= 16 ,, b = 4 y a2
= 25 ,, a = 5
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6. 6
ECUACIÓN GENERAL
X
Y
F
F’
P(x, y)
• ECUACIÓN REDUCIDA
• Teníamos: x2
b2
+ y2
a2
= a2
b2
• Dividiendo todo entre a2
b2
• Queda: x2
y2
• --- + --- = 1
• a2
b2
• ECUACIÓN GENERAL
• Lo normal es que el centro de la elipse
• no sea el origen de coordenadas:
• Resultando: (x – k)2
(y – h)2
• --------- + ---------- = 1
• a2
b2
• ECUACIÓN DESARROLLADA
• Operando en la ecuación general:
• x2
b2
+ y2
a2
– 2kb2
x – 2ha2
y + (b2
k2
+ a2
h2
– a2
b2
) = 0
• Que es la ecuación general desarrollada.
O
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7. 7
Ejercicios
• Hallar la ecuación de la elipse cuyos datos conocidos son:
• 4º.- Vértices: A(8,3), A’(-8,3), B(0, 7) y B’(0, -1)
• El centro de la elipse es C((8+(-8))/2, (7+(-1))/2) ,, C(0,3)
• Eje mayor: 2.a = 16 ,, a =8 ,, Eje menor: 2b = 8 ,, b = 4
• Ecuación: b2
x2
+ a2
(y – 3)2
= a2
b2
16x2
+ 64y2
– 384y + 576 – 1024 = 0
Simplificando entre 16 queda: x2
+ 4y2
– 14y – 28 = 0
• 5º.- Vértices: A(17,2), A’(-9,2),, Distancia focal: 2c=10
• El centro de la elipse es C((17+(-9))/2, 2) ,, C(13,2)
• Semieje mayor: a = (17 – (– 9))/2 = 26/2 = 13
• Semieje menor: b = √ (a2
– c2
) = √ (132
– 52
) = 12
• Ecuación: b2
(x – k)2
+ a2
(y – h)2
= a2
b2
• 144(x – 13)2
+ 169(y – 2)2
= 144.169
• 144x2
+ 169y2
– 3744x – 676y + 676 = 0
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