Ejercicios vectores y rectas

1. EJERCICIOS DE VECTORES Y RECTAS
1º) Dados los puntos A(1, 3); B(2, 4); C(2, 0), y D(5, 1):
a) Representa los vectores AB y CD
b) ¿Son equipolentes ABy CD? (sol: si)
2º) En la figura siguiente, identifica
todos los vectores que sean
equipolentes entre sí
Sol: son equipolentes: AB y FE; BC y GF; CD y HG;
DE y AH; EF y BA; FG y CB; GH y DC; HA y ED
3º) Representa el vector ABsiendo A(2, 5) y B(1, 4), y halla sus componentes y su
módulo.
Sol: AB =(1-2, 4-5)=(-1,-1); AB = (−1) + (−1) = √2 unidades.
4º) Calcula el módulo y el argumento de los vectores u=(2,-3), v= (-1, 1) y
w=(-1, -2).
Sol: |u| = √4 + 9 = √13 un ; tg α =
*+
= −1,5 → α = arc tg (−1,5) = −56°18´35,75´´
|v| = √1 + 1 = √2 un; tg α =
4
*4
= −1 → α = arc tg(−1) = 135°
|w| = √1 + 4 = √5un; α =
*
*4
= 2 → α = arc tg(2) = 243°26´6´´
5º) Dados u=(-1,2), v= (3, 1) calcula:
a) u + v (sol:(2,3))
b) −2u (sol:(2,-4))
c) 4v (sol:(12,4))
d) −2u + 4v (sol:(14,0))
6º) Dados los vectores u=(5,-3), v= (-1, 4) y w=(2, 2), calcula:
a) u − (v + w) (sol:(4,-9))
b) 3u − 2(w − v) (sol:(13,-23))
c)
4
(v − u) (sol: (-3,
7
))
7º) Una maqueta de un barco de vela es empujada por la corriente del agua de un
estanque que ejerce una fuerza F8 = (10,8)N. A su vez, el viento sopla con una fuerza
F; = (−3, −1)N. ¿Qué dirección y sentido tiene la fuerza resultante? ¿Cuál es su módulo?
Sol:
El barco se desplaza según el resultado de sumar a la fuerza de la corriente, la del
viento:
La fuerza resultante tendrá como componentes:
F< = (7,7)N
F< = √49 + 49 = √98 = 7√2N

2. 8º) Los vértices de un cuadrilátero son A(3, 7); B(7, 2); C(5,-4), y D(-4, 5).
a) Calcula la medida de los lados.
b) Halla el punto medio de cada lado.
a) AB= (4,-5) ⇒ d(A,B)= AB = √16 + 25 = √41 un.
BC= (-2,-6) ⇒ d(B,C)= BC = √16 + 16 = √40 un
CD= (-9,9) ⇒ d(C,D)= CD = √81 + 81 = √162 = 9√2 un
DA= (7,2) ⇒ d(D,A)= DA = √49 + 4 = √53 un
b) MAB=>
7?+
,
7?
@ = >5,
A
@; MBC=>
7?B
,
*
@ = (6, −1); MCD=>
4
,
4
@; MDA=>
*4
,
4
@ = >
*4
, 6@
9º) Un barco lanza un mensaje de socorro. Su posición viene dada por el punto A(1460,
765). Dos barcos situados en B(3525, 2490) y C(585, 3500) acuden en su ayuda.
Si los dos navegan a la misma velocidad y en línea recta hacia A, ¿cuál llegará primero?
d(A,B)= AB = (3525 − 1460) + (2490 − 765) = √7239850 = 2690,70un
d(A,)= AB = (585 − 1460) + (3500 − 765) = √8245850 = 2871,56un
Llegará antes el barco que está en la posición B
10º) Determina todas las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos P (1,2) y
Q (3,5)
El vector director será: PQ = (2,3)
Ec. Vectorial: (x,y)=(1,2) + λ(2,3)
Ecs. Paramétricas: F
x = 1 + 2λ
y = 2 + 3λ
H
Ec. Continua:
I*4
=
J*
+
Ec. Punto Pendiente: (y-2)=
+
(x-1)
Ec. Explícita: y=
+
x +
4
Ec. General: 3x – 2y + 1 =0
11º) Determina la ecuación general de la recta de pendiente -4 y que pasa por el
punto (5,-3). Sol: y=-4x+16
12º) Di si las siguientes afirmaciones son ciertas o no:
a) La pendiente de la recta que pasa por los puntos (1,3) y (4,9) es 2. (si)
b) A “x” se le denomina variable independiente (si)
c) La ecuación de la recta que pasa por el punto (2,3) y tiene pendiente 1 es
y – x – 5 = 0. (no)
d) En la ecuación y = 3x + 2, su pendiente es 3. (si)
e) Una recta paralela al eje x tiene pendiente 0. (si)

3. f) Una recta perpendicular al eje x tiene pendiente negativa. (no)
g) El punto (1,2) pertenece a la recta x + 2y = -5. (no)
h) La pendiente de una recta perpendicular a la recta y = 5x + 8, es -5. (no)
13º) Escribe la recta que pasa por (8, -2) y que es perpendicular a la recta
5x – 3y = 7.
Sol: 5y+3x=14
14º) Dados los puntos A (-3, 4), B (0,2) y C (-3,2), vértices del triángulo ABC:
a) Determina las ecuaciones de las rectas correspondientes a los lados del ∆ ABC.
b) Verifica que el ∆ ABC es un triángulo rectángulo.
c) Determina la ecuación de la recta paralela del lado AB por el vértice C.
d) Calcula la mediatriz del lado AB.
Sol:
a) →AB 2
3
2
+−= xy ; 2=→ yCB ; 3−=→ xAC
b) Si porque los lados CB y AC son perpendiculares
c) xy
3
2
−=
d)
4
21
2
3
+= xy