Teoría, fórmulas de cálculo, ejemplos, interpretación y ejercicios de cuartiles para datos sin agrupar y cuartiles para datos agrupados

1. Estadística
Grado Once
Cuartiles
Docente
Rodrigo Velasco Palomino
www.rodrivelp.blogspot.com
Institución Educativa Técnico Industrial
I.E.T.I
Popayán Cauca
Colombia

2. 2
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TABLA DE CONTENIDO
CUARTILES
1. Definición de Cuartiles
1.1 Cuartiles para datos sin agrupar
1.2 Cuartiles para datos agrupados
2. Definición de Deciles
2.1 Deciles para datos sin agrupar
2.2 Deciles para datos agrupados
3. Definición de Percentiles
3.1 Percentiles para datos sin agrupar
3.2 Percentiles para datos agrupados

3. 3
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1. CUARTILES
Son medidas de posición que dividen en cuatro partes iguales a un conjunto de datos ordenados de
menor a mayor, que en términos de porcentajes cada uno corresponde a un 25%.
Q1 Q2 Q3
25% 25% 25% 25%
1.1. CUARTILES PARA DATOS SIN GRUPAR
Para calcular la posición en la que se encuentra cada uno de los cuartiles Qk, se utiliza la siguiente
fórmula:
𝑲.
(𝑵 + 𝟏)
𝟒
CUARTIL 1 CUARTIL 2 CUARTIL 3
(𝑵 + 𝟏)
𝟒
𝟐 . (𝑵 + 𝟏)
𝟒
𝟑. (𝑵 + 𝟏)
𝟒
NOTA: Si El cálculo de la posición no coincide con uno de los valores de los datos, entonces queda
entre dos valores a y b, se procede a hacer una interpolación mediante la fórmula:
𝑸 𝒌 = 𝒂 +
𝒌.( 𝒃 − 𝒂)
𝟒
𝒌 = 𝟏, 𝟐, 𝟑
El Cuartil 1 divide los datos en dos partes: Por debajo de él un 25% y por encima de él un 75%.
Q1
25% = 1/4 75% = 3/4
El Cuartil 2 divide los datos en dos partes: Por debajo de él un 50% y por encima de él un 50%. Dato
que coincide con la mediana
Q2
50% = ½ 50% = 1/2
El Cuartil 3 divide los datos en dos partes: Por debajo de él un 75% y por encima un 25%.
Q3
75% = ¾ 25% = 1/4

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Ejemplo:
Un experimento, medido en grados centígrados, arroja los siguientes resultados:
28, 31, 28, 30, 28, 27, 30, 32, 35, 26, 25, 29, 26, 28, 25, 31, 31, 32, 27, 30, 31, 31, 25, 28
Hallar los cuartiles Q1, Q2 y Q3 y dar su respectiva interpretación:
Solución:
Como primer paso se ordenan los datos y aplicar para cada cuartil la fórmula respectiva:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 25 25 26 26 27 28 28 28 28 28 29 30 30 30 30 31 31 31 31 31 32 32 35
Cuartil 1: Posición
(𝑵 + 𝟏)
𝟒
=
𝟐𝟒 + 𝟏
𝟒
= 𝟔, 𝟐𝟓
Como en la posición 6,25 no coincide con un dato y está entre los valores a = 27 y b = 28, entonces
se procede a realizar una interpolación:
𝑸 𝒌 = 𝒂 +
𝒌. ( 𝒃 − 𝒂)
𝟒
𝑸 𝟏 = 𝟐𝟕 +
𝟏. (𝟐𝟖 − 𝟐𝟕)
𝟒
𝑸 𝟏 = 𝟐𝟕, 𝟐𝟓
Interpretación:
 El 25% de las observaciones son menores o iguales que 27,25
 La cuarta parte de las observaciones son menores o iguales que 27,25
 El 75% de las observaciones son mayores que 27,25
 Las tres cuartas partes de las observaciones son mayores que 27,25
Cuartil 2: Posición
𝑵 + 𝟏
𝟐
=
𝟐𝟒 + 𝟏
𝟐
= 𝟏𝟐, 𝟓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 25 25 26 26 27 28 28 28 28 28 29 30 30 30 30 31 31 31 31 31 32 32 35
El cuartil dos queda entre los valores de 29 y 30, entonces se procede a interpolar.
𝑸 𝒌 = 𝒂 +
𝒌. ( 𝒃 − 𝒂)
𝟒
𝑸 𝟐 = 𝟐𝟗 +
𝟐 . (𝟐𝟗 − 𝟐𝟖)
𝟒
𝑸 𝟐 = 𝟐𝟗, 𝟓
Interpretación:

5. 5
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 EL 50% de los datos del experimento son menores o iguales que 29,5
 La mitad de los datos del experimento son mayores o iguales que 29,5
 El 50 % de los datos del experimento son mayores que 29,5
 La mitad de los datos del experimento son mayores que 29,5
Cuartil 3: Posición
𝟑 . (𝑵 + 𝟏)
𝟒
=
𝟑 . (𝟐𝟒 + 𝟏)
𝟒
= 𝟏𝟖, 𝟕𝟓
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
25 25 25 26 26 27 28 28 28 28 28 29 30 30 30 30 31 31 31 31 31 32 32 35
La posición 18,75 no coincide con un dato y cuenta con la ventaja que está entre dos valores iguales
entonces no hay necesidad de interpolar y se concluye que:
𝑸 𝟑 = 𝟑𝟏
Interpretación:
 El 75% de las observaciones son menores o iguales que 31
 Las tres cuartas partes de las observaciones son menores o iguales que 31
 El 25% de las observaciones son mayores q
 ue 31
 La cuarta parte de las observaciones son mayores que 31
1.2. CUARTILES PARA DATOS AGRUPADOS
Para calcular la posición en la que se encuentra cada uno de los cuartiles Qk en un conjunto de datos
agrupados se utiliza la siguiente fórmula:
Qx = Li + (
k.N
4
−Fi−1
fi
)*Ci
Li = Límite inferior de la clase a que pertenece el cuartil
K = 1, 2, 3
N = Número total de datos
Fi-1 = Frecuencia acumulada anterior a la clase del cuartil
fi = Frecuencia absoluta del intervalo a que pertenece el cuartil
Ejemplo:
Hallar el valor de los cuartiles 1, 2 y 3 del siguiente conjunto de estaturas de un grupo de estudiantes
de un colegio.
Altura
(Cm)
Frecuencia
fi
Frecuencia
Acumulada
Fi
152 – 160
160 – 168
168 – 176
176 – 184
184 – 192
5
18
42
27
8
5
23
65
92
100
N = 100
Cuartil 1:

6. 6
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 Posición
𝒌. 𝑵
𝟒
=
𝟏 𝒙 𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟐𝟓
Observamos que en la tabla la posición 25 está en el intervalo entre 168 y 176, llamado intervalo
intercuartilico.
 Interpolación, para saber exactamente a qué valor corresponde el cuartil 1:
Qx = Li + (
k.N
4
−Fi−1
fi
)*Ci
Q1 = 168+ (
1 x 100
4
−23
42
)*8
Q1 = 168,38 cm
 Interpretación:
o EL 25 por ciento de los estudiantes tiene una estatura menor o igual a 168,38
o La cuarta parte de los estudiantes tiene una estatura menor o igual a 168,38
o El 75% por ciento de los estudiantes tiene una estatura mayor a 168,38
o Las tres cuartas partes de los estudiantes tiene una estatura mayor a 168,38
Cuartil 2:
 Posición
𝒌. 𝑵
𝟒
=
𝟐 𝒙 𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟓𝟎
Observamos que en la tabla la posición 50 también está en el intervalo entre 168 y 176
 Interpolación, para saber exactamente a qué valor corresponde el cuartil 2:
Qx = Li + (
k.N
4
−Fi−1
fi
)*Ci
Q2 = 168 + (
2 x 100
4
−23
42
)*8
Q2 = 173,14 𝑐𝑚
 Interpretación:
o EL 50 por ciento de los estudiantes tiene una estatura menor o igual a 173,14

7. 7
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o La mitad de los estudiantes tiene una estatura menor o igual a 173,14
o El 50% por ciento de los estudiantes tiene una estatura mayor a 173,14
o La mitad de los estudiantes tiene una estatura mayor a 173,14
Cuartil 3:
 Posición
𝒌. 𝑵
𝟒
=
𝟑 𝒙 𝟏𝟎𝟎
𝟒
= 𝟕𝟓
Observamos que en la tabla la posición 75 está en el intervalo entre 176 y 184
 Interpolación, para saber exactamente a qué valor corresponde el cuartil 1:
Qx = Li + (
k.N
4
−Fi−1
fi
)*Ci
Q3 = 176 + (
3 x 100
4
−65
27
)*8
Q3 = 178,96 cm
 Interpretación:
o EL 75 por ciento de los estudiantes tiene una estatura menor o igual a 178,96
o Las tres cuartas partes de los estudiantes tiene una estatura menor o igual a 178,96
o El 25% por ciento de los estudiantes tiene una estatura mayor a 178,96
o La cuarta parte de los estudiantes tiene una estatura mayor a 178,96
Rodrigo Velasco Palomino