MAS

2. ¿Qué es el movimiento armónico
simple?
 Un movimiento armónico simple es un
movimiento periódico y oscilatorio, sin
rozamiento, producido por una fuerza
recuperadora proporcional al desplazamiento y
aplicada en la misma dirección pero en sentido
contrario.
 Son movimientos vibratorios que se pueden
expresar mediante funciones armónicas.

3. Conceptos previos
 Movimiento periódico:
- Se repite a intervalos iguales de tiempo
-Periodo T : Tiempo transcurrido entre dos puntos
equivalentes de la oscilación
-Frecuencia F: número de oscilaciones que se realiza en un
segundo
(Se deducirá más adelante)
o
Se mide en
hertz
Se mide en
segundos

4. -Producido por una fuerza que varía periódicamente y que en todo
momento es directamente proporcional al desplazamiento
-El movimiento vibratorio no es uniforme, es producido por una
fuerza periódica lo que implica una aceleración variable: Ej: el
péndulo
-Oscilación o vibración completa
o ciclo: Es el movimiento repetido de
un lado a otro en torno a una
posición central, o posición de
equilibrio
•Movimiento Vibratorio:

5. En el péndulo se escribe
como A
Es el valor máximo que puede tomar la
elongación.
Amplitud

6. Resorte de Hooke
Constante de Hooke:
K= Constante de Hooke ( )
F= Fuerza Externa (en Newton)
x= Elongación (en metros)
= K
 LEY DE HOOKE:
“ Fuerza es proporcional a la elongación” Constante de Hooke
X0
Posición
de
Equilibrio
X
Elongación resorte= 2cm
por masa 4 kg

7. Se considera que en el sistema no hay roce
-Fuerza externa: Fuerza necesaria para sacar el sistema del
punto de equilibrio
-Fuerza restauradora: Aplicada por el resorte, necesaria para
que el resorte vuelva a su posición de equilibrio
Es contraria a Fext
Suma de Fuerzas es 0
De lo anterior se desprende que:
Entonces:
X0
F restauradora = -F externa
Fr= - Kx
Fext = kx
Fuerzas que actúan en el sistema

8.  Ejemplo de lo estudiado:
- A un resorte de Hooke, que cuelga
verticalmente, cuya posición de equilibrio
es , se le adosa una masa de 4kg. Su
elongación es 2cm
a) ¿Cuál es la constante de Hooke?
X0
Se considera Fext= m*g (actúa la gravedad)
Fext= 4kg * 10 m/s
Fext= 40 N
X= 2 cm 2* 10-2
40 N = K
2* 10-2
K= 2000
b)¿Cuál es la fuerza de restauración?
K= 2000
x= 2* 10-2
Fr= - Kx
Fr= -2000 * 2* 10-2
c) ¿Cuál es la fuerza externa?
Fext = kx
K= 2000
x= 2* 10-2
Fext= 2000 * 2* 10-2
F ext= 40 N
Fr= -40 N

9. Trabajo
 Si la fuerza es constante se tiene que:
Método del gráfico
Podemos determinar el trabajo realizado
entre las posiciones x1 y x2 calculando el
área sombreada, es decir: w= Fx
x: distancia
F: fuerza externa
Se deduce la fórmula para M.A.S
0
2
4
6
1 4
W= ½ * Kx

10. Aceleración
 Magnitud vectorial que nos indica el cambio
de velocidad por unidad de tiempo. Su unidad en
el Sistema Internacional es el m/s2.
 En M.A.S es siempre negativa
Deducción fórmula:
F= -Kx
ma = -Kx
a= -Kx
m
Se considera que el
resorte no tiene masa
x: elongación cualquiera
k: constante
m: masa que mueve el sistema

11. Energía de un M.A.S.
 En el m.a.s. la energía se transforma continuamente de
potencial en cinética y viceversa.
 Energía cinética
Es periódica, proporcional al cuadrado de la amplitud y
depende de la posición, tiene un valor máximo en el centro y
mínimo en los extremos.

12.  Energía potencial elástica
La energía potencial (Ep) almacenada en un
resorte estirado o comprimido esta dada por:
Energía mecánica
No depende de la posición. Es constante

13. Velocidad
La velocidad varía en el M.A.S:
 Al aplicarle una fuerza el punto de máxima
velocidad es el punto de equilibrio
 En los extremos (de elongación y
contracción) la velocidad es igual a 0.
 Deducción de la fórmula:
Ep = ½ Kx0
2
½ kx + ½ mv2 = ½ Kx0
2 /* 2
kx2 + mv2 = Kx0
2
mv2 = Kx0 - kx2
mv2 = K (x0
2- x2 )
V =

14. Periodo
 Aplicando las leyes de la dinámica y sabiendo que la aceleración
de un movimiento armónico simple es a = - w2x (para M.A.S
cinemática) tenemos:
 Si sustituimos  por su valor en función del período y
despejamos éste, nos queda:
k
m
2
T
T
4
m
k 2
2





2
2
m
k
)
x
(
m
ma
F
kx
F












•Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse o
tiempo que tarda la partícula en realizar una vibración
completa

15. Oscilación de un
resorte horizontal,
masa adosada
Oscilación de un
resorte vertical,
masa adosada
Oscilación de un
péndulo
Ejemplos MAS

16. Péndulo
 Es un sistema idealizado
constituido por una partícula
de masa m que está suspendida de
un punto fijo o mediante un hilo
inextensible y sin peso.
 Es imposible la realización práctica
de un péndulo simple, pero si es
accesible a la teoría.

17. Consideremos un péndulo simple, como el
representado en la Figura. Si desplazamos la
partícula desde la posición de equilibrio hasta que
el hilo forme un ángulo Θ con la vertical, y luego la
abandonamos partiendo del reposo, el péndulo
oscilará en un plano vertical bajo la acción de
la gravedad.
Las oscilaciones tendrán lugar entre las
posiciones extremas Θ y -Θ, simétricas respecto
a la vertical, a lo largo de un arco de
circunferencia cuyo radio es la longitud,l
Se tiene las siguiente fórmulas:
Ecuación del movimiento
Sólo si el ángulo
es pequeño se
trata de una M.A.S

18. Resorte
 Un operador elástico capaz
de almacenar energía y
desprenderse de ella sin
sufrir deformación
permanente cuando cesan
las fuerzas o la tensión a
las que es sometido

19. Tabla ejemplo resorte con masa
adosada

21.  Problemas de aplicación.
 1.- un resorte realiza 12 oscilaciones en 12 segundos.
Calcular el periodo y la frecuencia de oscilación.
 2.- cuando una masa de 400 g se cuelga de un resorte se
estira 35cm .
 ¿Cual es la constante del resorte?
 ¿Cual será el nuevo alargamiento si agregamos una masa
de 400g a la que se colgó primero?
 3.- una masa de 200 g oscila horizontalmente sin fricción
en el extremo de un resorte horizontal para el cual la
constante de Hooke es 7.0 N/m . La masa se desplaza 5cm
de su posición de equilibrio y luego se suelta. Determine:
 Su máxima rapidez
 La energía mecánica del siste3ma
 La rapidez cuando se encuentra a 3cvm de la posición de
equilibrio
 La aceleración en cada uno de los casos.

22.  4.- Una masa de 5 gr sujeta al extremo de un resorte
oscila con MAS . La amplitud del movimiento es 12cm y el
periodo es de 1,7 s . Determinar
 La frecuencia
 La constante del resorte
 La máxima rapidez de la masa
 La aceleración máxima de esta+
 La rapidez cuando el desplazamiento es de 6cm
 La aceleración para el desplazamiento anterior
 La energía mecánica cuando esta completamente
comprimido.
 5.- Cuando una masa m se cuelga de un resorte , este se
estira 6cm . Determínese el periodo de oscilación cuando
se tira del resorte hacia abajo un poco y después se suelta.

23.  6.- una masa de 50 g cuelga de un resorte de
Hooke . Cuando se añaden 20g al extremo del
resorte , este se estira 7cm mas . Determinar:
 La constante del resorte
 Si los 20g se remueven ,¿Cuál es ahora el
periodo de oscilación?
 7.- Una varilla larga ,ligera y de acero esta fijo
en su extremo inferior y tiene amarrada una
pelota de 2kg en la parte superior, se requiere
una fuerza de 8N para desplazar la pelota 20cm
de su posición de equilibrio. Si el sistema entra
en MAS cuando se libera. Determinar:
 La constante del resorte
 El periodo de oscilación y la
 frecuencia del MAS.

24.  7.- Un motor eléctrico se monta sobre cuatro
resorte verticales , cada uno tiene una
constante de Hooke de 30N/m . Determinar:
 El periodo y la frecuencia de oscilación
vertical.
 8.- Calcular la aceleración de la gravedad en
un lugar donde un péndulo simple de 150,3
cm de longitud esfectua 100 ciclos en 246,7
s.

25.  9.- Se vierte mercurio en un tubo de vidrio en U
. En equilibrio el mercurio se encuentra a la
misma altura en ambas columnas , pero cuando
es perturbado oscilara hacia arriba y hacia abajo
a partir de la posición de equilibrio en ambos
brazas. Un centímetro de la columna de mercurio
tiene una masa de 15 g . Suponga que la
columna se desplaza como se muestra en la
figura , después se libera y oscila sin fricción .
Determinar:
 La constante efectiva de Hooke
 El periodo y la frecuencia de oscilación del MAS.

26.  10.-
 11.- Un primer péndulo simple ejecuta
20 oscilaciones en 4 segundos y un
segundo péndulo simple 60 oscilaciones
en 5 segundos. Si ambos péndulos se
encuentran en el mismo lugar. ¿Cuál es
la razón de la longitud del segundo
respecto a la longitud del primero?
Un péndulo simple de 8 metros de longitud
oscila con un período de 2 segundos. Si el
período se duplica. ¿Cuál será la longitud
del péndulo?

27.  12.- Un cuerpo experimenta un MAS
con período 4 segundos. Si inicia su
movimiento cuando el resorte esta
alargado 20 cm. Determinar:
a) Al cabo de que tiempo está
a 10 cm y dirigido hacia el origen.
b) La velocidad del cuerpo
cuando ha transcurrido un segundo
después de haberlo soltado.

28.  13.- El período de oscilación de un
péndulo es de 12 segundos; si la
longitud se triplicara. ¿Cuál sería el
nuevo período de oscilación?
 14.- El período de oscilación de un
péndulo es 12 segundos; si su
longitud disminuye en un 10%.
Determinar su nuevo período.

29.  15.- ¿Qué longitud debe tener un
péndulo simple para que su
frecuencia sea de 150 osc/min?
(g=PI2 m/s2 )
 16.- Un péndulo simple de 8 metros
de longitud oscila con un periodo de 2
segundos. Si el periodo se duplica.
¿Cuál será la longitud del péndulo?

30.  17.- El periodo de oscilación de un
péndulo simple es (sqrt 10)segundos. Si
su longitud disminuye en un 10%,
determinar su nuevo periodo.
 18.- La frecuencia de un péndulo simple
es de 6 Hertz, luego es llevado a la Luna,
en donde la gravedad es la sexta parte
que la tierra. ¿Cuál es el valor de la
frecuencia en la Luna en Hertz?

31.  19.- ¿Cuál es la constante de fase
inicial en la ecuación del
movimiento x = A . Sen (ωt +φ)?. si
las posiciones iniciales de la partícula
son:
a) x = 0
b) x = -A
c) x = +A
d) x = A/2

32. a fase inicial se produce cuando t =0 por lo que nos queda que x = A.sen φ :