Este documento presenta la resolución de una ecuación diferencial mediante el uso de la transformada de Laplace. Se utiliza este método para resolver la ecuación diferencial t ey'' + 3ey' - 2y = t, encontrando como solución y(t) = (2/3)e^t - t^3e^3.

1. M A R I C R U Z B U E N D Í A S O L Í S
A M É R I C A R E Y E S G A R A Y
8 - A
Ecuaciones diferenciales

2. en esta presentación se vera como
utilizamos la transformada de Laplace para
resolver Ecuaciones diferenciales mediante
un ejemplo de la siguiente Ecuación
Diferencial
t
ey
dx
dy 3
2 

3. dx
dy
- 2y = t
e3
Ecuación diferencial que se va a resolver:
Condición:
1
1
1


B
1)0( y
Ahora vamos a utilizar la ecuación diferencial y utilizar la
transformada de Laplace
)()2( 3tl
eyy  1-
2-
)()(2)( 3tl
eyy  
t
ey
dx
dy 3
2 

4. tabla
Entonces queda así La Transformada de Y es:
3
1
)(2)0()(


s
syyssy
3
1
)(21)(


s
syssy
3
1
1)2)((


s
sssy
1
3
1
)2)(( 


s
sssy
Vamos a despejar cambiando el 1 que estaba restando a lado derecho que
se pasara sumando como esta a continuación:
2
1
)2)(3(
1
)(




sss
sy Se pasa dividiendo

5. Fracciones Parciales:
)2)(3(
31
)(



ss
s
sy
Esto lo obtenemos de haber
juntando los últimos dos
términos anteriores
)2)(3(
1
)(



ss
s
sy
)2)(3(
1
)( 1


 
ss
s
ty 
Con esto realizaremos las fracciones
parciales

6. 23)2)(3(
1






s
B
s
A
ss
s
)2)(3(
)3()2(
)2)(3(
1





ss
sBsA
ss
s Lo que hicimos fue una
división entre
denominadores
El siguiente paso es darle valor a s para poder saber cuanto vale A y B
Primero iniciaremos dándole un valor a S de 2 S=2
)32()22(12  BA
)1()0(1 BA 
1
1
1


B
B= -1 Es el valor de B

7. Tabla de la anti transformada de Laplace
Y ahora lo haremos con el 3 S=3
)33()23(13  BA
2
2
1
2
12



A
A
El siguiente paso es sustituir los valores de A y B por los que salieron
anteriormente
)2(
1
)3(
2
)( 1




 
ss
tY 

8.  El resultado de la Ecuación diferencial:
)2(
1
3
)3(
2
)( 11




 
ss
tY 
tt
eeY(t) 23
3

9. Tabla de la anti Transformada

10. Bibliografía:
http://matap.dmae.upm.es/WebpersonalBartolo/ED
Os/Solucionario%20De%20Dennis%20G%20Zill%20-
%20Ecuaciones%20Diferenciales.pdf
http://dme.ufro.cl/clinicamatematica/images/Libros/
Ecuaciones_Diferenciales/Ecuaciones%20diferenciale
s%20con%20aplicaciones%20de%20modelado.pdf

11. ¡Gracias!