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1. M´etodos de la F´ısica Matem´atica 2 Ejercicios Resueltos
M´etodos de la F´ısica Matem´atica 2
Cuatro Ejercicios Resueltos Series de Fourier
1. ¿ cu´al de las siguientes funciones puede ser expandida en serie de Fourier en el rango indicado ?
tan x − ∞ < x < ∞
1
|sen x|
− ∞ < x < ∞ x sen
1
x
−
1
π
< x <
1
π
Soluci´on: Para que una funci´on pueda ser expandida en Series de Fourier debe cumplir con las condiciones de
Dirichlet. Vale decir
a) La funci´on debe ser peri´odica
b) La funci´on debe ser univaluada, cont´ınua, excepto quiz´a, en un n´umero finito de puntos en los
cuales puede ser discont´ınua y esas discontinuidades deben ser finitas
c) La funci´on debe tener un n´umero finito de m´aximos y m´ınimos en un per´ıodo
d) La integral de |f(x)| en un per´ıodo debe ser finita
Entonces:
tan x − ∞ < x < ∞
Es peri´odica, pero sus discontinuidades son infinitas y la integral de |f(x)| diverge. No cumple
con la segunda y cuarta condici´on de Dirichlet
1
|sen x|
− ∞ < x < ∞
Es una funci´on peri´odica con per´ıodo π. Si bien l´ımx→nπ |sen x|−1/2
→ ∞ esa discontinuidad no
es infinita. Cuando x ≈ 0 ⇒ |sen x|−1/2
≈ |x|−1/2
y por lo tanto su m´odulo es integrable. Por
lo tanto |sen x|−1/2
puede ser expandida en Series de Fourier
x sen
1
x
−
1
π
< x <
1
π
Es peri´odica por construcci´on, acotada, e integrable en el per´ıodo. Sin embargo, alrededor de x 0
oscila, generando un n´umero infinito de m´aximos y m´ınimo, con lo cual no cumple con la tercera
de las condiciones de Dirichlet.
2. Encuentre los coeficientes de Fourier an y bn para la expansi´on de Fourier de la funci´on f(x) = exp(x)
en el intervalo −1 < x < 1 ¿ a cu´al valor converger´a esa funci´on en el punto x = 2 ?
Soluci´on: Como la funci´on f(x) = exp(x) viene definida en el intervalo (−1, 1), como la obligamos a ser peri´odica,
tendr´a per´ıodo T = 2. Con lo cual x = 2 ∈ (1, 3) ser´a equivalente a x = 0 ∈ (−1, 1) por lo tanto la
funci´on converger´a a 1.
Por su parte, el primero de los coeficientes ser´a
an =
2
2
1
−1
dx exp(x) cos(nπx) = exp(x) cos(nπx)|
1
−1 +
1
−1
dx nπ sen(nπx) exp(x)
Luis A. N´u˜nez 1 Universidad Industrial Santander

2. M´etodos de la F´ısica Matem´atica 2 Ejercicios Resueltos
es decir
an = (−1)n
(exp(1) − exp(−1)) + nπ exp(x)sen(nπx)|
1
−1 −
1
−1
dx n2
π2
exp(x) cos(nπx)
con lo cual
an = 2(−1)n
sinh(1) − n2
π2
an ⇒ an =
2(−1)n
sinh(1)
1 + n2π2
Similarmente
bn =
2
2
1
−1
dx exp(x)sen(nπx) = exp(x)sen(nπx)|
1
−1 +
1
−1
dx nπ cos(nπx) exp(x)
bn = 0 + nπ cos(nπx) exp(x)|
1
−1 −
1
−1
dx n2
π2
exp(x)sen(nπx) = 2(−1)n+1
nπ sinh(1) − n2
π2
bn
y finalmente
bn =
2(−1)n+1
nπ sinh(1)
1 + n2π2
3. Determine la expansi´on de Fourier para la funci´on f(x) = x en el rango −π < x < π y a partir de ese
desarrollo muestre que
π
4
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ · · ·
Soluci´on: En general la expansi´on de cualquier funci´on f = f(x) con 0 ≤ x ≤ T
a0
2
+
∞
n=1
an cos
2πnx
T
+ bnsen
2πnx
T
con



a0 = 2
T
x0+T
x0
dx f(x)
an = 2
T
x0+T
x0
dx f(x) cos 2πnx
T
bn = 2
T
x0+T
x0
dx f(x) sen 2πnx
T
En nuestro caso particular tenemos que f(x) = x (una funci´on impar) y el per´ıodo es T = 2π el t´ermino
a0 y los coeficientes de Fourier pares, an, se anulan. Los coeficientes impares ser´an
bn =
1
π
π
−π
dx x sen (nx) =
sen (nx)
πn2
π
−π
−
2x cos(nx)
πn
π
−π
= −
2 cos(nπ)
n
= 2
(−1)n+1
n
y la serie de Fourier quedar´ıa
x = 2
∞
n=1
(−1)n+1
n
sen (nx) ⇒
x= π
2
π
4
=
∞
p=1
(−1)p+1
2p − 1
sen (2p − 1)
π
2
= 1 −
1
3
+
1
5
−
1
7
+ · · ·
4. Expanda en series de Fourier la siguiente expresi´on
f(x) =
x 0 < x ≤ π
−x −π ≤ x ≤ 0
Luis A. N´u˜nez 2 Universidad Industrial Santander

3. M´etodos de la F´ısica Matem´atica 2 Ejercicios Resueltos
Figura 1: Funci´on Peri´odica
Soluci´on. Tal y como podemos apreciar en la figura 1 hemos hecho peri´odica la funci´on f(x) y su
expansi´on en series de Fourier vendr´a dada por
f(x) =
a0
2
+
∞
j=1
aj cos
2πjx
T
+ bjsen
2πjx
T
con T el per´ıodo de f(x)
donde los coeficientes de Fourier pueden ser escritos como
a0 =
2
T
T/2
−T/2
dx f(x);
ak
bk
=
2
T
T/2
−T/2
dx
cos kx
senkx
f(x) con k = 1, 2, 3, · · ·
Como f(x) es par en el intervalo, bk = 0 Con lo cual nos queda que
a0 =
1
π
0
−π
dx (−x)+
1
π
π
0
dx x = π; ak =
1
π
0
−π
dx (−x) cos kx+
1
π
π
0
dx x cos kx = −2
1 − (−1)k
πk2
;
es decir
f(x) =
π
2
−
2
π
∞
k=1
1 − (−1)k
k2
cos kx ≡
π
2
−
4
π
∞
j=1
cos(2j − 1)x
(2j − 1)
2
las integrales son m´as f´aciles si se explota las propiedades de simetr´ıa f(−x) = f(x) y se hubiera
integrado en la mitad del per´ıodo
5. Consulte los siguientes enlaces y trate de construir series de fourier con MAPLE y repetir los ejercicios
anteriores
http://www.peterstone.name/Maplepgs/fourier.html
http://www.maplesoft.com/applications/view.aspx?SID=4520
http://www.tecnun.es/asignaturas/metmat/contenido/t1.htm
Luis A. N´u˜nez 3 Universidad Industrial Santander