Este documento presenta una guía para un taller sobre identidades pitagóricas usando la herramienta Geogebra. El taller comienza revisando conceptos como razones trigonométricas, teorema de Pitagoras e identidades reciprocas. Luego, los estudiantes construyen un triángulo rectángulo en Geogebra y verifican el teorema de Pitágoras. Finalmente, derivan la primera identidad pitagórica dividiendo el teorema de Pitágoras entre los lados del triángulo y reconociendo las razones trigonom

1. UNIVERSIDAD DE CUNDINAMARCA
FACULTAD DE EDUCACION
LICENCIATURA EN MATEMATICAS
ELECTIVA EN EDUCACION MATEMATICA II
TALLERES DE GEOGEBRA
I. IDENTIFICACIÓN DEL TALLER
N° TALLER 2 FECHA 09-10-14
GRADO
Decimo
TITULO
Identidades pitagóricas
UNIDAD
Identidades trigonométricas
PENSAMIENTOS INCLUIDOS
Pensamiento espacial y sistemas geométricos
CONOCIMIENTOS PREVIOS
1. Razones trigonométricas en triángulos rectángulos (taller 1)
2. Identidades Inversas
3. Teorema de Pitágoras
INTRODUCCIÓN
Este taller permite reforzar conocimientos a partir de la implementación de
herramientas tecnológicas como geogebra. También es un material didáctico
que ayuda al docente de matemáticas a desarrollar la clase de forma más activa
generando un aprendizaje significativo.
AUTORES: ALEIDA YERALDIN GARCIA ACOSTA – NURY ALEJANDRA
GOMEZ BOLAÑOS
I. COMPONENTE TEORICO
A. Razones trigonométricas: Parafraseando a Earl Swokowski1 En
todo triangulo rectángulo como se muestra en la figura existen
relaciones entre sus lados, si β es cualquier ángulo agudo se
podría considerar un triangulo rectángulo que tiene a β como uno
de sus ángulos, de donde se pueden obtener las seis razones
1 Earl Sw okowski: Algebra y trigonometría con geometría analítica

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trigonométricas teniendo en cuenta las longitudes de los lados.
푠푒푛훽 = 푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표 (푐표)
ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎 (ℎ푝)
= 푏
푐
푐푠푐훽 = ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎
푐푎푡푒푡표 표푝푢푒푠푡표
= 푐
푏
푐표푠훽 = 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒 (푐푎)
ℎ푖푝표푡푒 푛푢푠푎 (ℎ푝)
= 푎
푐
푠푒푐훽 = ℎ푖푝표푡푒푛푢푠푎
푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒
= 푐
푎
푡푎푛훽 = 푐푎푡푒푡 표푝푢푒푠푡표 (푐표)
푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒 (푐푎)
= 푏
푎
푐표푡훽 = 푐푎푡푒푡표 푎푑푦푎푠푒푛푡푒
푐푎푡푒푡표 표푝푢푒 푠푡표
= 푎
푏
B. Una identidad trigonométrica: Es una igualdad entre
expresiones que contienen funciones trigonométricas y es válida
para todos los valores del ángulo en los que están definidas las
funciones.
C. Identidades reciprocas: Utilizando las razones trigonométricas
se puede analizar que
푠푒푛훽 = 1
푐푠푐훽
= 푏
푐
푐푠푐훽 = 1
푠푒푛훽
= 푐
푏
푐표푠훽 = 1
푠푒푐훽
= 푎
푐
푠푒푐훽 = 1
푐표푠훽
= 푐
푎
푡푎푛훽 = 1
푐표푡훽
= 푏
푎
푐표푡훽 = 1
푡푎푛훽
= 푎
푏
II. METODOLOGIA PARA EL DESARROLLO DE LA GUIA.
ORGANIZACIÓN EN GRUPO, INDIVIDUAL, FECHAS DE
ENTREGA:
Se conformaran parejas para el desarrollo de la presente guía que
debe entregarse en una carpeta comprimida un informe en Word con
imágenes de cada procedimiento y las construcciones realizadas en
Geogebra al finalizar la clase. ,

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III. PROCEDIMIENTO PASO A PASO
A. Teorema de Pitágoras
1. Con la herramienta recta construya una sobre el eje x que pase por
los puntos A=(0,0) y B=(4,0)
2. Con la cuarta herramienta de la barra opción perpendicular
construya la recta perpendicular a la del inciso anterior cuyo punto
de intersección sea el punto A
3.
4. Construya un punto C=(0,3) y con la herramienta polígono un
triangulo cuyos vértices sean A, B y C.

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5. Para comodidad de los cálculos que realizaremos más adelante
conviene renombrar los elementos de tal manera que el lado
opuesto a cada vértice le corresponda la misma letra pero en
minúscula, es probable que también se deban renombrar las rectas
por ejemplo con n y m, se recomienda que los vértices y lados del
triangulo se bauticen de tal manera que el ángulo recto sea C y por
consiguiente su opuesto “la hipotenusa” sea c, puede guiarse por
la siguiente figura.
6. Como las rectas se construyeron solo para crear el triangulo
rectángulo se pueden ocultar en la vista grafica, dando clic sus
respectivos botones que se encuentran en la vista grafica

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7. Con la herramienta polígono regular se construye tres cuadrados,
uno sobre cada uno de los lados del triangulo.
8. De acuerdo con el teorema de Pitágoras se sabe que:
푐2 = 푎2 + 푏2
Lo que significa que el área del cuadrado construido sobre la
hipotenusa es igual a la suma de las áreas de los cuadrados
construidos en los catetos del mismo. Para probarlo utilice la octava
herramienta opción área y pinche sobre cada uno de los cuadrados
que acaba de construir, posteriormente realice la suma de los datos
obtenidos para los cuadrados de los catetos y compárela con el
área obtenida del cuadrado construido en la hipotenusa, si lo desea
utilice para esto la hoja de cálculo a la que tiene acceso desde
geogebra.

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Identidades pitagóricas
9. Una vez verificado el teorema de Pitágoras encuentre la primera
identidad pitagórica de la siguiente manera:
 Construya los ángulos internos agudos del triangulo
rectángulo recuerde que al vértice A debe corresponderle el
ángulo α y al vértice B el ángulo β
 En la hoja de cálculo haga la lista de cada lado del triangulo
elevado al cuadrado en una columna y frente a esta la
operación correspondiente.
 De el teorema de Pitágoras tenemos 푐2 = 푎2 + 푏2,
recuerde que si a una expresión matemática se opera en
ambos lados de la misma manera la equivalencia no se

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altera, así que al dividir entre 푐2 no verá afectada la
igualdad y obtendrá la siguiente expresión
푐2
푐2 =
푎2
푐2 +
푏2
푐2 (1)
1 =
푎2
푐2 +
푏2
푐2 (2)
Para comprobar esto recurra nuevamente a la hoja de
cálculo de geogebra realizando las operaciones de acuerdo
a la siguiente imagen.
 Pero la expresión (2) puede transformarse en:
1 = (
푎
푐
)
2
+ (
푏
푐
)
2
푝표푟 푝푟표푝푖푒푑푎푑푒푠 푑푒 푝표푡푒푛푐푖푎푐푖ó푛
 Analizando el ángulo β vemos de la expresión anterior que
(por razones trigonométricas de un triangulo rectángulo)
푎
푐
corresponde al coseno del ángulo y
푏
푐
al seno del mismo, por
lo tanto puede reescribirse de la siguiente manera:
1 = 푐표푠2훽 + 푠푒푛2 훽
 Comprobemos que es cierto utilizando geogebra, guíese por
la siguiente imagen:

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Para el carácter β puede recurrir a la barra de entrada y
copiarlo para pegarlo en la hoja de calculo.
Comparando lo hecho anteriormente notese que se cumple la
identidad

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IV. PROBLEMA (PARA RESOLVER POR EL ESTUDIANTE)
 Al mover los vértices del triangulo rectángulo ¿Qué ocurre con
la identidad pitagórica?
 Si se analiza lo anterior con respecto al ángulo α ¿se cumple la
identidad pitagórica?
V. EVALUACIÓN
Compruebe las siguientes identidades pitagóricas utilizando
geogebra
푡푎푛2 훽 + 1 = 푠푒푐2 훽
푐표푡2훽 + 1 = 푐푠푐2 훽
SUGERENCIA: Divida en el teorema de Pitágoras por a² y b²
respectivamente.

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LISTA DE CHEQUEO
No.
Orden
VARIABLES/INDICADORES
DE LOGRO
CUMPLE OBSERVACION
SI NO
Construir elementos en
Geogebra para corroborar las
identidades pitagóricas
Relacionar adecuadamente
las razones trigonométricas
con el teorema de Pitágoras
para construir las identidades
pitagóricas .
Realizar el informe solicitado
en la guía (pág. 2).
Manipular la guía de acuerdo
a las instrucciones dadas
para concluir la actividad con
éxito.