Este documento presenta información sobre geometría, específicamente sobre cuerpos geométricos tridimensionales como cilindros, conos y esferas. Incluye definiciones de estos objetos geométricos, sus elementos y fórmulas para calcular su área y volumen. También presenta ejemplos de problemas y preguntas sobre estos temas.

1. 1 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Cuarto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
11 AL 15 de setiembre del 2017
VITAPREM N°04
Estudiante: ________________________________________________________ Asignatura: GEOMETRIA
Campo Temático: Cilindro, Cono y Esfera Bimestre III Unidad: III
Situacion de Aprendizaje:
Una empresa vende leche en envases cilíndricos de 6cm de diámetro y 7,5
cm de altura. Calcular
 El área de una etiqueta que cubre toda la superficie lateral.
 El volumen de leche que contiene el envase lleno.
SUPERFICIE CILÍNDRICA
Es aquella superficie generada por una recta denominada generatriz que se desplaza paralelamente a sí misma apoyándose en
una línea curva plana y cerrada denominada directriz.
CILINDRO
Es el sólido limitado por una superficie cilíndrica cerrada y por dos planos paralelos entre sí y secantes a todas las generatrices.
CILINDRO RECTO
Es aquel cilindro cuyas generatrices son perpendiculares a sus bases.
CILINDRO CIRCULAR RECTO
Es aquel cilindro recto cuyas bases son círculos, también es denominado cilindro de revolución porque es generado por una región
rectangular al girar una vuelta en torno a uno de sus lados.
Elementos
Círculos de centros O1 y O2: Bases
1 2O O : Altura (h)
g : Generatriz
Circunferencias de centro O1 y O2: Directriz
r: Radio de la base
T L bA A 2(A ) 
Volumen (V).- Es igual al producto del área de la base por la longitud de su altura.
bV (A )h
Competencia Capacidad Desempeño Precisado
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización
Matematiza situaciones
 Identificar
 Relacionar
 Representa
 Representa estas relaciones con formas
bidimensionales y tridimensionales compuestas por
cuerpos redondos considerando sus elementos y
propiedades en un organizador visual.
ÁREA Y VOLUMEN DE UN PRISMA Y DE UN CILINDRO
Área Lateral (AL).- Es igual al área de su desarrollo lateral. L bA P h
Área Total (AT).- Es igual al área lateral más la suma de las áreas de las dos bases del prisma.
Generatriz
Directriz
Superficie
Cilíndrica
g
1O
2O
r
h h
r
r
Donde:
bP : Perímetro de la base
bA : Área de la base
h : Altura

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Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Cuarto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
11 AL 15 de setiembre del 2017
G g
e
2


33 3
3gv r h
... k
V R H G
    
         
     
SUPERFICIE CÓNICA
Es una superficie generada por una recta llamada generatriz que pasando
por un punto fijo denominado vértice se desplaza por todos los puntos de
una línea curva plana no secante a sí misma denominada directriz.
CONO
Es el sólido limitado por una superficie cónica cerrada y un plano
secante a ella que intersecta a todas las generatrices de una misma hoja.
CONO RECTO
Es aquel cono en el cual el pie de su altura coincide con el centro de la base de dicho sólido.
CONO CIRCULAR RECTO
Es aquel cono recto cuya base es un círculo, también se denomina cono de revolución porque se genera con una región
triangular rectangular al girar una vuelta en torno a un cateto.
Elementos
Círculo de centro O: Base
Circunferencia de centro O: Directriz
V: Vértice o Cúspide
h : Altura
r : Radio de la Base
g : Generatriz
Área Lateral (AL).- Es igual al área de su desarrollo lateral.
L bA gp … Cono
Área Total (AT).- Es igual a la suma del área lateral más el área de la base.
T L bA A A 
Volumen.- Es igual a la tercera parte del producto del área de la base con la altura
b
1
V A h
3

TRONCO DE PIRÁMIDE REGULAR
Es la porción de pirámide comprendida entre la base y la sección plana determinada por un plano secante a la pirámide y paralelo
a su base.
SEMEJANZA DE CILINDROS
gr h
... k
R H G
   
22 2
2b
B
A gr h
... k
A R H G
    
         
     
TRONCO DE CILINDRO CIRCULAR RECTO
Es una porción de cilindro de revolución comprendido entre una de sus bases y un plano no paralelo a dicha base secante a
todas sus generatrices.
LA 2 re
T L b ElipseA A A A  
2
V r e
Generatriz
Vértice
Directriz
CónicaSuperficie
g
h
r
V
O
g h
r
gh
r
H G
R
G
g
r 1O
2O
e
Elipse

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Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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Cuarto año de Secundaria
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L p B bA a (p p ) 
T L B bA A A A  
B b B b
h
V A A A .A
3
   
 
TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO
Es la porción de cono circular recto entre su base y la sección plana determinada por un plano paralelo a dicha base. Sus bases
son círculos.
También se le denomina tronco de cono de revolución porque se genera con una región trapecial rectangular al girar una vuelta
en torno a su lado perpendicular a sus bases.
L B bA g(p p ) 
T L B bA A A A  
B b B b
h
V A A A .A
3
   
 
SEMEJANZA DE CONOS
gr h
... k
R H G
   
22 2
2b
B
A gr h
... k
A R H G
    
         
     
33 3
3gv r h
... k
V R H G
    
         
     
ESFERA
1. SUPERFICIE ESFÉRICA
Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360º en torno a su diámetro.
2
A 4 R
ESFERA SÓLIDA
Es aquel sólido generado por un semicírculo al girar 360º en torno a su diámetro. También se puede decir que la esfera es el sólido
limitado por una superficie esférica.
h ap
g
h
R
r
h g
R
r
G
R
Hg
h
r
R
O R
R
SecantePlano
TangentePlano
Mayor.Circunf
Menor.Circunf
Círculo Menor
Círculo Mayor
Plano Secante
Plano Tangente
O
R
R
R

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Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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Cuarto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
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HUSO ESFÉRICO Y CUÑA ESFÉRICA
HUSO ESFÉRICO
Superficie generada por una semicircunferencia que gira un ángulo menor que 360º alrededor de su diámetro. También se define
al huso esférico como la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.
2
H.E.
R
A
90
 

CUÑA ESFÉRICA
Sólido generado por un semicírculo que gira un ángulo menor que 360º alrededor de su diámetro. También se define a la cuña
esférica, como la porción de esfera comprendida entre dos semicírculos máximos del mismo diámetro y por el huso esférico
correspondiente.
3
C.E.
R
V
270º
 

ZONA ESFÉRICA
Es la porción de superficie esférica limitada por dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie
esférica.
Z.E.A 2 Rh
SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES
Es la porción de esfera comprendida entre dos planos paralelos entre sí y secantes a la esfera.
3
2 2
S.E.
h h
V (a b )
6 2
  
 
CASQUETE ESFÉRICO
Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella. También se define al casquete esférico como una
zona esférica con una sola base.
C.E.A 2 Rh
2
C.E.A (AB)
SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Es la porción de esfera que se determina por un plano secante a ella.
3
2
S.E.
h h
V a
6 2
 
 
2
S.E.
h
V (3R h)
3

 
R R

R R

R h Rh
R h R
a
b
R
h h
R
A
B
h
R
a
R
h

5. 5 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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Cuarto año de Secundaria
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11 AL 15 de setiembre del 2017
Competencia Capacidad Desempeño Precisado
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización
Comunica y Representa
 Expresa con lenguaje geométrico, su comprensión
sobre las propiedades: área total, área lateral y
volumen de los cuerpos redondos mediante
ejercicios

6. 6 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
MATEMÁTICA
Cuarto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
11 AL 15 de setiembre del 2017

7. 7 “Buenas estudiantes hoy, excelentes mujeres mañana”
Con la luz del pasado, ilumina el presente y agradece a Jesús
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Cuarto año de Secundaria
Docente: Elisban J. Vivanco Gonzales.
11 AL 15 de setiembre del 2017
Situación de aprendizaje:
Un cilindro de 30cm de radio y 50cm de altura está completamente lleno de agua si dentro
de él se introduce un trozo de madera labrado en forma de prisma de base cuadrada de
10cm de lado y cuya altura es de 20cm, el agua se derrama. Calcular la cantidad de agua que
se queda en el recipiente.
1) Calcular el área de la superficie lateral de un
cilindro de revolución. Si el área de la región
rectangular que lo genera es 20.
a) 42π b) 32π c) 36π d) 38π
e) 40π
2) Un cilindro de revolución está circunscrito a
una esfera cuyo radio mide R. Calcular el
volumen del cilindro.
a) 4πR3
b) 3π R3
c) 2π R3
d) π R3
e) 5π R3
3) El desarrollo de la superficie lateral de un
cilindro circular recto es una región
rectangular cuya diagonal mide 10. Si la altura
del cilindro es 6. Calcular su volumen.
a) 45/π b) 96/π c) 2π d) π/5
e) 5π
4) En un tronco de cilindro recto sus generatrices
miden 10 y 6. Calcular su volumen si sus bases
forman un diedro de 45°
a) 42π b) 32π c) 36π d) 38π
e) 40π
5) Calcular el área de la superficie lateral de un
cilindro recto si el radio de su base mide 4 y su
generatriz mide 8.
a) 64π b) 63π c) 61π d) 60π
e) 62π
6) El desarrollo de la superficie lateral de un
cilindro circular recto es una región
rectangular cuyas dimensiones son 4y 8.
Calcule el área de la superficie lateral de un
cilindro.
a) 42 b) 32 c) 36 d) 38 e) 40
7) Calcular el volumen de un cilindro equilátero
cuyo radio básico es 2.
a) 14π b) 13π c) 10π d) 16π
e) 15π
8) Calcular el área de la superficie lateral del
cilindro, si O es centro y OB = 8.
a) 32π
b) 33π
c) 34π
d) 35π
e) 30π
9) El área lateral total de un cilindro recto es 60 y
la suma de las inversas del radio básico y de
su generatriz es ¼. Calcular el volumen del
cilindro.
a) 140 b) 130 c) 120 d) 160
e) 150
10) Un recipiente cilíndrico de radio básico 2, se
encuentra con cierta cantidad de agua se
introduce, en le dicho recipiente un bloque de
volumen vx y el nivel de agua se incrementa
en 2. Calcular vx
a) 11π b) 3π c) 10π d) 8π
e) 5π
11) Calcular el volumen de un cilindro circular
recto cuyo desarrollo de su superficie lateral
es un cuadrado de lado “a”
a) a / 4π b) a2
/ 3π c) a3
/ 4π2
d) π
e) a
12) La curva longitudinal mínima trazada entre A y
B (sobre una misma generatriz) que da una
vuelta completa en torno al cilindro recto de
radio L y de altura 2, tiene por medida L.
calcular
Competencia Capacidad Desempeño Precisado
Resuelve problemas de forma, movimiento y localización
Elabora y usa estrategias
 Combina y adapta estrategias heurísticas, recursos y
procedimientos más convenientes para resolver
ejercicios y/o problemas de los cuerpos redondos.
15°
B
O