fhyy

2. 1
MUROS DE CONTENCION
Por : Dr. Alberto Ordoñez C.
*
Como lo indica el nombre, los muros de contención son elementos estructurales
diseñados para contener algo; ese algo es un material que, sin la existencia del
muro, tomaría un a forma diferente a la fijada por el contorno del muro para
encontrar su equilibrio estable. Tal es el caso de la arena que se amontona
libremente, la cual forma un ángulo determinado con la horizontal (o la vertical,
según la definición) al quedar en equilibrio, ese ángulo se denomina
generalmente “ángulo de reposo” o “talud natural” (∅) o, por extensión, “ángulo
de fricción interna”; estando todo el montón de esa arena en equilibrio, cualquier
grano en la sección -mn- también lo estará por recibir igual presión de ambos
lados; pero si quitamos la parte de la izquierda, la arena tenderá a adquirir su
ángulo de reposo y por lo tanto la parte de la derecha ejercerá una presión
sobre la sección mn, presión que deberá ser resistida por el muro de
contención.
*
Ex - Docente del Departamento Académico de Recursos de Agua y Tierra, Programa Académico de
Ingeniería Agrícola de la Universidad Nacional Agraria - La Molina. Apartado 456 Lima, Perú.

3. 2
Algunos casos prácticos en que se necesitan muros de contención son los
siguientes:
Fig. 1 P P
m
n
Q
Edificio con
sótano
Fig. 5
Corte
relleno
Carretera en media ladera
Fig. 2
Estribo de puente
Fig. 3
Tanques para agua
Arena, carbón, gravilla, etc.

4. 3
Son muchos los factores que intervienen en el diseño de un muro de
contención, pero el principal es el empuje del relleno. Para determinar el valor
de este empuje existen varias teorías más o menos aceptadas hoy en día, con
las cuales el estudiante debe familiarizarse para comprender hasta donde se
puede ir en las aproximaciones. La literatura existente es muy amplia e incluye
todos los textos de mecánica de suelos por su aplicación directa a los
problemas estructurales recomendamos especialmente las obras de
“Foundation Engineering” de Peck Hanson y Thormburn y “Earth Pressures and
Retaining Walls” de W.C. Huntington.
Las teorías más comúnmente usadas son las C.A. Coulomb (Francia 1776), y
W.J.M. Rankine (Inglaterra 1857), las cuales pueden sintetizarse diciendo que
el empuje activo de tierra es una fricción del empuje hidrostático debido a la
misma altura de agua, la cuantía de la fricción depende del ángulo formado por
la tierra del relleno con el horizontal trazada en el extremo superior del muro (δ)
y del ángulo de fricción interna (∅) del mismo material de relleno, (el empuje de
tierra actúa paralelo al relleno, o sea formando el mismo ángulo δ con la
horizontal ); para una altura h de agua, el empuje hidrostático vale:
P´h = γ h
El empuje activo debido a una altura igual de tierra vale:
Ph = Ka γh
h
Fig. 7
Empuje hidrostático
Empuje de tierras
P´h
Ph
δ

5. 4
siendo γ, el peso unitario del relleno y ka un factor menor que la unidad cuya
expresión varía según la teoría que se esté aplicando; para materiales
granulares puros, es decir, sin ninguna cohesión, las teorías de Coulomb y
Rankine coinciden y la expresión de ka según Rankine es:
)(cos)(cos)cos(
)(cos)(cos)cos(
)cos(
22
22
φδδ
φδδ
δ
−+
−−
=Ka
En la Tabla siguiente se dan los valores de Ka para los casos que más se
presentan en la práctica de los ángulos δ y φ:
Talud δδδδ Valores de Ka
1:1 1:1'/2 1:02 1:2'/2 1:3 1:04 Horiz.
φφφφ 45
0
26
0
34' 26
0
34' 21
0
49' 18
0
26 14
0
02'
55 0.186 0.133 0.118 0.111 0.107 0.104 0.100
50 0.292 0.185 0.161 0.150 0.145 0.139 0.133
45 0.707 0.257 0.215 0.198 0.180 0.182 0.172
40 0.365 0.285 0.258 0.232 0.223 0.217
35 0.584 0.382 0.334 0.312 0.293 0.271
30 0.535 0.436 0.399 0.367 0.333
25 0.597 0.516 0.460 0.406
20 0.720 0.584 0.490
Los ángulos de fricción interna de los materiales generalmente usados como
relleno dependen especialmente de su grado de compactación y de su
contenido de humedad; así por ejemplo, el φ de una arena bien gradada puede
variar de 46
0
a 340
dependiendo de si está bien compactada o suelta; por otra
parte es bien difícil garantizar que el relleno detrás de un muro de contención
consistirá siempre de un material bien definido o que su contenido de humedad
será constante; generalmente el relleno consistirá de un conglomerado que
contiene especialmente arenas de diferentes tamaños, gravas, limos y aún algo
de arcilla; en estas condiciones y a falta de datos más exactos, deben tomarse
los siguientes valores para el ángulo de fricción interna φ para efectos de
diseño:
Carbón piedra 500
Conglomerado 330
a 350
Arena con buen drenaje 30
0
Arena con drenaje pobre 350
Las mismas observaciones pueden hacerse respecto al peso unitario de los
materiales de relleno, estos varían generalmente entre 1500 y 1900 Kg/m3
;
tomando: γ = 1800 Kg/m3
para los casos normales, se está por el lado de la
seguridad sin mayor exageración.
hFig. 8
δ
h/3
E

6. 5
El empuje activo total de tierras (E) se obtiene asimilando este al empuje
hidrostático, o sea:
hhKaPE h .
2
1
2
1
γ==
o sea 2
2
1
hKaE γ=
No importa cuan largo sea el mismo, para efectos de diseño se toma siempre
un largo unitario, o sea un metro, de modo que si se toma γ en t/m3
y h en mts.,
el empuje total estará dado en ton/m.
Este empuje total se considera que actúa paralelo al relleno y su punto de
aplicación está al tercio de la altura a partir de abajo.
Con frecuencia se presenta el caso de que el relleno detrás de un muro de
contención está sometido a una sobrecarga (por ejemplo una carretera); esa
sobrecarga causa un empuje adicional sobre el muro que se considera
constante, lo mismo que en el caso de una sobre presión aplicada a un líquido,
pero tratándose de una presión trasmitida a través de un suelo se toma:
P1 = W.Ka
Para efectos de diseño es práctica común convertir la sobrecarga en una altura
equivalente del mismo relleno con el objeto de facilitar los cálculos; de acuerdo
con la figura se tiene:
P’= W. Ka = γh’. Ka
h
W
h/2
h/3
P
E
Fig. 9
E´
P´ Ph=P+P´
y
E
h´

7. 6
γ
W
h =′∴
Siendo h’ la altura equivalente de tierra con peso unitario γ; W es la sobrecarga
por m
2
; de esta manera se tendrá que la presión unitaria a una altura -h- sobre
un muro sometido al empuje de tierras con peso unitario γ, y a una sobrecarga
W será:
Ph = P + P’ = γhKa + Wka
= γhKa + γh’Ka
o sea: Ph = γKa (h + h’)
En cuanto al empuje total se refiere, nótese que este estará compuesto por una
parte triangular (cuyo centro de gravedad está al tercio de la altura) y una parte
rectangular (cuyo centro de gravedad está a la mitad de la altura); o sea:
′+=′+=+= hhhKaKahhKahEEE 22
1
2
1
2
1
γγγ
esto es: ( )hhhKaE ′+= 2
2
1 2
1 γ
El centro de gravedad del conjunto, o sea la localización de E1, se deduce
fácilmente teniendo en cuenta que se trata de un trapecio, así:
( )( )
( )( )
( )
( )
( )
( )hh
hhh
yseao
hhh
hhhh
KahhhKa
KahhhKah
PP
PP
x
h
y
h
h
′+
′+
=
′+′+
′+′+
=
′+′+
′+′+
=
′+
′+
=
23
3
3
2
3
2
2
3
γγ
γγ
A veces sucede que la sobrecarga no se halla pegada a la cara posterior del
muro, sino a cierta distancia de él; en ese caso se considera que la sobrecarga
no afecta la porción de muro situada por encima de la intersección de la cara
posterior con una línea trazada a 45
0
del bordo de la sobrecarga; no todos los
autores están de acuerdo respecto a la magnitud de este ángulo y algunos
consideran que debería ser más bien de 400
con la horizontal, con lo cual

8. 7
quedaría afectada por la sobrecarga una mayor porción del muro; nosotros nos
inclinamos más bien hacia al ángulo de 45
0
en vista de la casi unanimidad de
criterios de una fuerza a través de terrenos relativamente compactos.
Es obvio que en estos casos resulta más fácil para el diseño tratar cada empuje
parcial por separado, en lugar de considerar de una vez el empuje total del
conjunto.
Cuando la sobrecarga no es uniformemente repartida, como en el caso de una
carretera, la carga real puede convertirse en una uniforme equivalente sin
mayor error, puesto que el efecto de la sobrecarga es generalmente pequeño
en relación con el empuje del terreno.
Hasta ahora hemos considerado el efecto de la tierra sobre el muro de
contención, efecto que para desarrollares planamente necesita o supone el
deslizamiento del muro con la cual el plano de rotura y el empuje quedan
fijados; de no efectuarse ese desplazamiento, o sea si el muro se hace
demasiado rígido, los empujes activos que se crean pueden llegar a ser
bastante más altos que los dados por la expresión de Rankine, según se ha
podido comprobar experimentalmente.
Además de este empuje activo, que es ele efecto de la tierra sobre el muro, hay
lugar a veces para considerar el llamado empuje pasivo que es el efecto del
muro sobre la tierra; tal el caso del esquema anterior: el muro al desplazarse en
una cantidad α comprime o empuja la tierra que se halla a su izquierda; esta
tierra opone resistencia a esta compresión que es precisamente el empuje
pasivo Ep; nótese que el empuje pasivo es de sentido contrario al empuje
Fig. 10
P´ P
45º
Fig. 11
EP
Ea
Plano de rotura
h1
α

9. 8
activo, o sea que se oponen y la expresión del empuje pasivo, según Rankine,
es:
φδδ
φδδ
δγ
22
22
2
1
coscoscos
coscoscos
cos
2
1
−−
−+
= xhEP
Al comparar las expresiones de Rankine para empuje activo y pasivo; se ve que
la diferencia única es la inversión de los signos ante los radicales y para el caso
particular de superficie horizontal delante del muro, la expresión para el empuje
se simplifica bastante convirtiéndose en:
2
1)0(
2
1
.
sen1
sen1
hEP γ
φ
φ
δ
−
+
==
Para efectos comparativos damos a continuación la expresión de Coulomb para
hallar el empuje activo de un relleno granular (sin propiedades cohesivas):
2
2
2
2
)cos()cos(
)sen()sen(
1)cos()(cos
)(cos
2
1
−+
−+
++
−
=
δ
δφφ
φ
δ
WWZ
Z
WZW
W
hE
Siendo:
φ = Angulo de fricción interna del material de relleno
W = Angulo del parámetro interior con la vertical.
Z = Angulo que forma el empuje con la normal al parámetro interior
(debe ser menor que φ y se toma generalmente igual a 2/3φ).
δ = Angulo del relleno con la horizontal.
h = Altura total del muro.
Fig. 12Ea
Zv
h
δ
φ
δ
φδ
φ
W

10. 9
Anotamos que la fórmula de Coulomb se aplica únicamente a muros cuyos
parámetros interiores son superficiales planas, como es el caso normal en
muros de gravedad; para muros en voladizo la fórmula de Rankine resultados
más correctos.
Obsérvese que tanto la fórmula de Rankine como la de Coulomb hacen
depender los empujes del ángulo de fricción interna del material de relleno; esta
es una propiedad que puede establecerse fácilmente mediante ensayos de
laboratorio para materiales granulares tales como la arena seca; los materiales
cohesivos como las arcillas, por otra parte, no tienen una propiedad como el
ángulo de fricción interna y por tanto para esos materiales las fórmulas
contempladas no son aplicables. Los materiales cohesivos, cuando están
secos, se comportan con frecuencia como si fuesen sólidos y por tanto puede
realizarse en ellos cortes casi verticales sin necesidad de estructuras de
contención, pero esos mismos materiales se desmoronan fácilmente al
absorber humedad y pueden llega a ejerce empujes como la presión
hidrostática; tienen además el problema adicional de los cambios volumétricos,
lo cual relleno. Las arenas, que si son materiales adecuados para su utilización
como relleno, pocas veces se encuentran en estado puro y con frecuencia
vienen mezcladas con algo de limo o arcilla, lo cual cambia sus propiedades y
hace menos exacta la aplicación de las fórmulas.
La adición de alguna arcilla a una arena pura reduce evidentemente el empuje
del conjunto debido a la pequeña cohesión de que gozará ese conjunto; como
este es el estado normal de la mayoría de los materiales de relleno, es
costumbre aumentar algo el ángulo de fricción interna de la arena pura (α 300
)
para la aplicación de las fórmulas de Rankine o Coulomb, con lo cual se tiene
en cuenta la pequeña cohesión. Esta práctica puede ser peligrosa si el relleno
no está provisto de un buen drenaje, pues el almacenamiento de humedad
puede producir cambios volumétricos en el conjunto cuyas consecuencias son
empujes mucho mayores que los calculados. La imposibilidad para garantizar la
uniformidad de las propiedades de u material de relleno dado en cualquier
época y la falta de información previa sobre los posibles cambios, son motivos
adicionales que el calculista debe tener muy en cuenta y proceder en
consecuencia con la debida cautela al diseñar un numero de contención.
Tipos de muros de Contención
Los muros de contención se clasifican por su perfil y los usados con mayor
frecuencia son los siguientes:

11. 10
1) Muros de gravedad, son los que tienen en general un perfil trapezoidal y
dependen principalmente de su peso propio para asegurar la estabilidad;
se hacen generalmente de concreto ciclópeo o aún de piedras y no llevan
ningún refuerzo: debe proporcionarse de tal manera que no haya
esfuerzos de tracción en ninguna de las secciones; son muros muy
económicos para alturas bajas (hasta 3 ó 3.50 metros aproximadamente).
2) Muros de semi-gravedad, son un poco más esbeltos que los anteriores
porque se toleran esfuerzos de tracción pequeños que se absorben con
pequeñisimas cuantías de refuerzo y que en general pueden resultar aún
más económicas que los muros de gravedad para alturas hasta de 4.00
mts.
3) Muros de voladizo, son muros en Concreto reforzado cuyo perfil común es
el de una T o L y están compuestos por mayoría de los caso, utilizan por lo
menos parte del peso del relleno para asegurarse la estabilidad; este es el
tipo de muro que con mayor frecuencia se presenta en la práctica del
calculista y su utilización resulta económica hasta alturas de 6.00 mts.
aproximadamente.
4) Muros con contrafuerte son los que están constituidos por placas
verticales que se apoyan sobre grandes voladizos espaciados
Fig. 13
Fig. 14
Vástago
Fig. 15base

12. 11
regularmente que se denominen contrafuertes; este tipo de muro es
conveniente cuando las alturas por vencer son en general, mayores de
6.00 mts.
Cualquiera de los tipos anteriores de muros pueden utilizarse para soportar una
carga vertical además del empuje de tierras; como por ejemplo los muros
extremos para soportar un puente, que se conocen con el nombre de estribos.
La escogencia de un tipo determinado de muro dependerá, como es obvio, en
primer lugar de la función que debe cumplir además de las condiciones del
terreno, materiales de construcción que pueden conseguirse, economía
general, etc. por lo cual la mayoría de las veces habrá que hacer varios diseños
alternativos con base en predimensionamientos rápidos; con ello se podrá
determinar con bastante seguridad el tipo de mano más adecuado para el caso
y entonces proceder al diseño completo.
Bases para el diseño de muros de contención
Las fuerzas que actúan sobre un muro de contención pueden dividirse en dos
grupos; fuerzas horizontales provenientes del empuje del terreno, sobrecargas,
etc., y fuerzas verticales provenientes del peso propio, peso del relleno,
sobrecarga, etc.
La acción de las fuerzas horizontales tienden a desplazar el muro de su
posición original y si ese desplazamiento es lo suficientemente grande, el muro
ya no estará cumpliendo su función, o sea habrá fallado, aún si el
desplazamiento tuvo lugar sin daños para las partes constitutivas del muro.
Fig. 16
placa Contrafuerte
base
Fig. 17
Puente

13. 12
El desplazamiento puede ser rotacional o lineal y contra ambos debe estar
dirigido el diseño en lo que se denomina análisis de estabilidad. En el esquema
a) puede verse como el empuje del relleno tiende a volcar el muro, junto con el
relleno que hay directamente sobre el talón, alrededor del extremo del voladizo
delantero (punto A); las fuerzas que se oponen a ese vuelco son precisamente
las verticales, las cuales dan momentos de sentido contrario al del empuje con
respecto al punto A. El factor de seguridad mínimo contra la posibilidad de
volcamiento o sea relación entre momentos que impiden el volcamiento y
momentos que tienden a producirlo alrededor del punto A, debe ser 2 según
especificación de la mayoría de lo código.
En el esquema b) puede apreciarse como la componente horizontal del empuje
puede deslizar el muro, junto con la parte de relleno que está directamente
sobre el talón, en el sentido del empuje. La fuerza que se opone a este
deslizamiento es la fricción que hay entre la base del muro y el terreno de
fundación principalmente; esta fricción es función de las fuerzas verticales que
actúan sobre el muro del terreno de función en la forma f x V, siendo f el
coeficiente de fricción entre el Concreto o material del muro y el terreno de
fundación; este coeficiente tiene los siguientes valores usuales:
Arena o grava gruesas 0.5 a 0.7
Arena o grava finas 0.4 a 0.6
Arcillas duras 0.3 a 0.5
Arcillas blandas o limo 0.2 a 0.3
Para mejorar la estabilidad al deslizamiento conveniente no alisar mucho la
superficie del terreno de fundación y dejar más bien una superficie rugosa.
Nótese en el esquema b) que el muro, al deslizarse hacia la izquierda, debe
empujar también el terreno que haya adelante de él, creando así un empuje
pasivo que ayuda a la estabilidad al deslizamiento puesto que debe ser vencido
antes de que el muro pueda deslizarse; e tendrá así que la fuerza que se opone
al deslizamiento es:
Σv
ΣH
f Σv
Fig. 19
Fig. 18
E
Eh
(a)
Ev
E
Eh
(b)
Ev

14. 13
f V + Ep
Como la fuerza que produce el deslizamiento es la horizontal ( 1H) y el factor
de seguridad contra esta eventualidad está normalmente fijado en 1.5, se
deberá tener que:
5.1≥
+
H
EVf P
Debe advertirse que para poder contar con el empuje pasivo es necesario estar
seguro de que el terreno delante del muro estará siempre ahí y de que estará
en su posición antes de la colocación del relleno; esto no siempre es posible y
de ahí que muchos ingenieros prefieran despreciar el efecto del empuje pasivo
al buscar el coeficiente de seguridad mínimo de 1.5 o aumentar este coeficiente
mínimo a 1.7 ó 1.8 al si tener en cuenta el efecto del empuje pasivo.
Para aumentar el factor de seguridad al deslizamiento se utiliza muchas veces
una “llave”, que consiste en una prolongación inferior del vástago y que tiene
como efecto desplazar en parte el plano de posible falla desde la cara inferior
de la base a la cara inferior de la llave aumentando así considerablemente el
empuje pasivo que debe ser vencido, además se ve en el esquema que cuando
hay llave la fricción que se opone al deslizamiento es la que hay entre concreto
y suelo en las zonas ab y cd, mientras que en la zona d-e tenemos fricción entre
suelo y suelo puesto que en d-e es el suelo el que debe romperse para
producirse el deslizamiento, en consecuencia f1 será coeficiente de fricción
entre concreto y suelo, mientras que f2 será el coeficiente de fricción del suelo o
sea tg(φ).
En la mayoría de los casos la llave se coloca inmediatamente debajo del
vástago para poder anclar ahí los hierros del mismo, pero a veces puede
resultar más ventajoso colocar esa llave más atrás y aún en el extremo del
talón.
EP

15. 14
De todas maneras es prudente despreciar generalmente la altura del terreno
por encima de la base por que éste puede ser removido con facilidad y en ese
caso del triángulo de empuje pasivo a considerar como efectivo es el efg y no el
ef’g’.
El análisis de estabilidad debe incluir también, además de la seguridad el
volcamiento y la seguridad al deslizamiento, el estudio de las reacciones del
terreno las cuales no deben ser superiores en ningún punto a la fatiga admisible
del terreno.
X=t/2
σ1
t/3<x<t/
2
σ2
σ3
x=t/3
σ4
t
X<t/3
σ3
t
Fig. 21

16. 15
Tratándose de una estructura sometida a cargas horizontales y verticales, la
forma del diagrama de reacciones del terreno dependerá de la posición de la
resultante de las cargas con respecto al centro de la base pudiéndose presentar
los 4 casos esquematizados según la conocida expresión de la estática:
±=
t
e
t
V 6
1σ
(recuérdese que los muros se diseñan por metro de longitud y por tanto b = 1.00
m).
El caso 1) o sea cuando la resultante cae exactamente en la mitad de la base y
el diagrama de reacciones es por tanto uniforme, es difícil y antieconómico de
lograr porque generalmente requiere una base muy grande, el caso 4), o sea
cuando la resultante cae fuera del tercio medio de la base, no es deseable
porque parte de la base resulta inútil en vista de que no pueden suponerse o
admitirse esfuerzos de tracción entre concreto y terreno, la base deberá
dimesionarse, por tanto, de tal manera que se esté en el caso 2) con diagrama
de reacciones trapezoidal o, como máximo, en el caso 3) con diagrama
triangular. Para evitar la posibilidad de asentamientos diferenciales debe
procurarse que la diferencia entre σ máx. y σ min. no sea muy grande. Una vez
comprobada la estabilidad del muro, puede entrarse a estudiar la resistencia de
cada una de sus partes con respecto a las fuerzas que las solicitan, o sea
puede hacerse el análisis estructural. En un muro de gravedad el análisis
estructural consistirá en la comprobación de que todas sus secciones están
sometidas a esfuerzos de compresión por debajo de un límite admisible en un
muro en cantilíver o con contrafuertes; este análisis consistirá en el estudio de
cada una de las partes constitutivas sometida a un sistema determinado de
fuerzas exteriores que producen momentos, esfuerzos cortantes, etc., y la
colocación del refuerzo necesario para absorber los esfuerzos
correspondientes.
Como es apenas lógico, para un caso dado habrá varias soluciones que
satisfagan tanto las condiciones de estabilidad como las de resistencia, así por
ejemplo, para aumentar la seguridad al deslizamiento puede aumentarse el
largo de la base o colocarse una llave, siendo iguales todos los demás
considerados del caso; el factor económico será entonces el decisivo.
Fig. 22

17. 16
A través de lo anterior, el estudiante ya habrá podido darse cuenta que tanto
para el análisis de estabilidad como para el estructural deben suponerse a priori
las dimensiones del muro y estas a su vez dependen en definitiva del resultado
de los dos análisis; es decir que se está ante un círculo vicioso, el cual se
rompe mediante tanteos sucesivos. El proceso de diseño consiste entonces en
suponer, con base en experiencia anterior generalmente, las dimensiones el
análisis de este muro; verificar con esas dimensiones el análisis de estabilidad y
el estructural; en la mayoría de los casos los análisis mostrarán la necesidad de
algunos ajustes en las dimensiones iniciales pero normalmente con 2 ó 3
ensayos se llegará al dimensionamiento definitivo.
Algunas guías para las dimensiones iniciales son las siguientes:
1) Para muros de gravedad al ancho de la base varía entre el 50 y el 60% de
la altura total, dependiendo principalmente de si hay sobrecarga o no; el
ancho de la corona debe ser por lo menos de 30 cm.
2) Para muros en voladizo el ancho de la base también varía entre el 50 y
60% de la altura, el ancho de la corona debe ser 1/24 de la altura a 25
cm., (el mayor de los dos para facilidad de la colocación del Concreto); el
ancho del muro en la base debe ser 1/12 de la altura; el espesor de la
base debe ser por lo menos igual al espesor máximo del muro (1/12 h) y
preferiblemente un poco mayor; el vástago debe colocarse sobre la base
de tal manera que el voladizo delantero sea aproximadamente 1/3 del
ancho de la base, con el objeto de que la resultante de las fuerzas
exteriores caiga dentro del tercio medio de la base.
En claro que estas no son sino guías generales y cada caso deberá estudiarse
y resolverse como problema particular.
PROBLEMA
h h1
1/12 h
1/24 h
2/31/3
½ h a 2/3 h
1/12 h
Fig. 23

18. 17
Diseñar un muro de gravedad para una altura libre de 2.80 m., si el piso de
fundación está a 70 cm., de profundidad y tiene una capacidad portante máxima
de 1.25 Kg/cm2
siendo una arcilla arenosa con un factor de fricción de 0.5.
El relleno será una arena con peso unitario de 1.80 t/m3
, φ = 35ºy δ = 26.5º.
Después de varios tanteos se lleva a la sección indicada, en la cual puede
aplicarse la ecuación de Coulomb si se desprecia la pequeña saliente de la
base; se tendrá entonces:
902.0cos;95.0cosº2.18329.0
50.3
15.1
tg 2
===∴== WWWW
º5.41)(º3.2335
3
2
3
2
=+==== WZZtomamos λφ
º3.38º5.262.18)(º5.8º5.2635)(
º8.16º2.18º35)(
º5.58º35º3.23)(
=−=−=−=−
==−
==+
δδφ
φ
φ
W
HW
Hz

19. 18
Aplicando la ecuación de Coulomb:
2
2
2
2
)cos()cos(
)sen()sen(
1)cos(cos
)(cos
2
1
−+
−+
++
−
=
δ
δφφ
φ
δ
WWZ
Z
WZW
W
hE
2
2
9856.0749.0
148.0851.0
1749.0902.0
916.0
)50.3(80.1
2
1
+
=
x
x
x
xxE
E = 7.50 t/m
Este empuje obra a un tercio de la altura total, o sea a (1/3) 3.50 = 1.166 m.
desde la base.
Hacemos a continuación un cuadro evaluando cada una de las cargas y
tomamos momentos con respecto al punto A que es el punto alrededor del cual
podría producirse el volcamiento; tomamos como peso del comercio ciclópeo
2.30 t/m
3
, la distancia se deduce por triángulos semejantes así:
.61.0
00.3
00.1
166.100.3
10
10
mX
X
=∴=
−
despreciamos el efecto de la tierra que hay delante del muro.
Fuerza t/m x Brazo n Momento t-n/n
P1 = ½ 0.30x3.00x2.30 = 1.035 0.45 0.465
P2 = 0.30x3.00x2.30 = 2.070 0.70 1.450
P3 = 00x3.00x2.30 = 3.450 1.183 4.090
P4 = ½ 0.25x0.20x2.30 = 0.057 0.116 0.000
P5 = 0.20x1.75x2.30 = 0.805 1.125 0.905
P6 = 0.30x2.00x2.30 = 1.380 1.000 1.380
P7 = ½ 1.15x0.57x1.80 = 0.595 1.616 0.960
P8 = ½ 1.00x3.00x1.80 = 2.700 1.515 4.095
P9 = 0.15x3.00x1.80 = 0.675 1.925 1.300
P10 = 0.662x7.50 = 4.960 1.461 7.250
V = 17.727 21.904
P11 = 0.749x7.50 = H
=
5.61 1.166 - 6.550

20. 19
MA = 15.354 t-n/n
Seguridad al deslizamiento:
58.1
61.5
727.1750.0
==
x
H
Vf
Seguridad al volcamiento:
34.3
55.6
904.21
=
Reacciones del terreno:
(Ver la figura)
Posición la resultante:
n
V
M
X
A
A 865.0
727,17
354.15
===
Como el tercio medio va desde 0.666 hasta 1.333 m. ∴
( )
=
±=
±=±=
=−=
2
2
/28.5
/48.12
405.0186.8
00.2
135.06
1
00.100.2
727.176
1
135.0865.000.2
2
1
mt
mt
x
xt
e
A
V
e
σ
σ
σ
Se notará que en este caso, aunque por seguridad a volcamiento y al
deslizamiento podría reducirse la sección sobre el todo si se tiene en cuenta
que se ha despreciado totalmente el efecto del empuje pasivo; por la atiga del
terreno la sección adoptada es apenas la justa, sin embargo podrían buscarse
algunas soluciones alternas en busca de mayor economía.
200 m.
12.48 t/m
2
11.58 t/m
2
5.28 t/m2

21. 20
Como en CD hay un cambio brusco de la sección, debe estudiarse por
separado para comprobar que no habrá esfuerzos de tracción y que los de
comprensión están por debajo del máximo admisible.
El empuje hasta CD vale:
mtxxE /50.568.0)00.3(80.1
2
1 2
==′
Evaluamos cargas y momentos con respecto al punto C.
Fuerza Brazo c Momento c
P1 = 1.035 X 0.200 = 0.207
P2 = 2.70 X 0.450 = 0.932
P3 = 3.450 X 0.933 = 3.220
P7 = 0.595 X 1.366 = 0.812
P8 = 2.700 X 1.266 = 3.420
P9 = 0.675 X 1.675 = 1.130
P10 = 3.640 1.266 = 4.610
V = 14.165 14.310
P11 = 0749X5.50 =
41.10 1/3 x 3.00 = -4.110
ΣMC = 10.221
Posición de la resultante: mXC 724.0
165.14
221.10
==
( )=±=±=
=−=
2
2
/33.6
/4.11
285.0185.8
60.1
076.06
1
60.1
165.14
076.0724.060.1
2
1
mt
mtx
f
me
O sea que tenemos un esfuerzo de compresión máximo de 1.14 kg/cm., muy
por debajo del esfuerzo admisible para un concreto ciclópeo más o menos
regular. Es claro que además deberá considerarse la posible acción de una
fuerza horizontal debido a movimiento sísmico o viento; los esfuerzos
principales pueden ser un poco mayores que los esfuerzos de compresión
directos, pero el margen de seguridad es suficientemente amplio por lo cual es
posible que en este caso particular se pueda obtener una sección más
económica manteniendo la misma base pero disminuyendo el muro
propiamente dicho. Las proyecciones de la base más allá de los puntos C y D
deben verificarse para constatar que los esfuerzos de tracción que se
representan en esos pequeños voladizos no son excesivo para que los resista
el concreto solo; así en este caso examinamos el voladizo delantero de 25 cm.,

22. 21
mmtxM
mt
/376.0125.025.0)58.1148.12(
2
1
/58.11
00.2
75.1
)28.548.12(28.5 2
025
−=+=≈
=−+=σ
2
6
45
3
/905.0
1004.1
2537600
2550
2
1
1004.1
12
50100
cmK
x
x
I
M
f
cmC
cmx
x
I
C
=±=±=∴
==
==
lo cual es una tracción que puede tolerarse aún en un concreto de calidad
pobre.
PROBLEMA
Diseñar un muro de contención en voladizo para una altura de 5.00 m.
incluyendo 20 cm. de recubrimiento en la cara del muro; el relleno será un
conglomerado con peso unitario de 1.80 t/m
3
y ángulo de fricción interna de
33º41’; se colocará con talud de 1:2 y lleva una carretera de tráfico mediano
situado a 3.00 m. horizontales del borde inferior del muro; el terreno de
fundación es también un conglomerado igual al anterior con una capacidad
portante de 1.5 kg/cm2
y coeficiente de fricción con el concreto de 0.55. Se
empleará concreto de 2.500 psi y acero de Paz del Río con fs = 1400 kg/cm
2
.
(Ver gráfico en la hoja siguiente)
Solución: Procederemos en primer lugar al predimensionamiento de acuerdo
con las guías en la pag. III-1; como aquí se tiene relleno en talud y además
sobre carga, conviene tomar de una vez dimensiones un poco amplias con
respecto a esas guías.
1) Análisis de estabilidad. Para que el muro se mueva (giro o deslizamiento),
deberá vencer la resistencia del relleno que hay directamente sobre el
talón para el análisis de estabilidad se considera la sección BC y para
aplicar la ecuación de Rankine se tiene:

23. 22
395.0
692.080.0895.0
692.080.0895.0
895.0
832.0)cos(14º33
446.0)sen(;895.0)cos(
43º26
2
1
)tg(
=
−+
−−
=
=→′=
==
′==
a
a
K
K
φφ
δδ
δδ

24. 23
Empuje activo debido al relleno:
mtxxKhE ar /02.15399.0475.680.1
2
1
2
1 22
=== δ
que actúa a una altura sobre AB de 1/3(0.50 + 5.00 + 0.975) = 2.158 m.
La sobrecarga de la carretera está constituida por cargas móviles pero puede
sustituirse sin mayor error por una carga uniforme de 500 kg/m2
que equivale a
una altura adicional de relleno de:
h´ = 500/1800 = 0.278
Ps = δKah’ = 1.80 x 0.399 x 0.278 = 0.20 t/m-m
(tal altura adicional produce la presión unitaria uniforme ps).
Admitiendo que la sobrecarga se transmite a través del relleno según ángulo de
45º, afectará a la sección BC en una altura de: (0.50 + 5.00 + 0.45) = 5.95 m. y
producirá una presión total de Es = 0.20 x 5.95 = 1.19 t/m que actúa a una altura
sobre AB de ½ 5.95 = 2.975 m.
Desprendiendo los 20 cm, de recubrimiento sobre el voladizo delantero, se
tendrá:
Fuerza (t/m) KA (m) MA (t-m/m)
P1 = 0.25x5.00x2.40 = 3.00 x 1.225 = 3.67
P2 = ½ 0.30x5.00x2.40 = 1.20 x 1.416 = 1.70
P3 = 0.50x3.30x2.40 = 3.96 x 1.650 = 6.53
P4 = ½ 0.20x5.00x1.80 = 0.90 x 1.483 = 1.34
P5 = 1.75x5.00x1.80 = 15.75 x 2.426 = 38.20
P4 = ½ 1.95x0.975x1.80 = 1.71 x 2.650 = 4.53
P7 = 0.446x15.02 = 6.70 x 3.300 = 22.10
P9 = 0.446x1.19 = 0.53 x 3.300 = 1.75
V = 33.75 M = 9.82
P8 = 0.895x15.02 = 13.45 x 2.158 = -29.00
P10 = 0895x1.19 = 1.07 x 2.975 = -3.18
H = 14.52 MA = 47.64
Seguridad al volcamiento:
79.82 / 32.18 = 2.48 > 2.00
Punto de aplicación de la resultante:

25. 24
m
V
M
X
A
AR 41.1
75.33
64.47
===
Queda dentro del tercio medio de la base (que va desde 1.10 hasta 2.20 m.
desde A):
La excentricidad vale: e = ½ (3.30) - 1.41 = 0.24 m.
Las reacciones máxima y mínima del terreno son:
<
=
±=±=
2
22
/76.5
/00.15/69.14
)438.01(22.10
30.3
24.06
1
30.3
75.33
mt
mtmt
x
σ
σ
Seguridad al deslizamiento considerando únicamente la fricción entre Concreto
y terreno de fundación,
275.1
52.14
75.3355.0
==
x
H
Vf
que es muy bajo y por tanto se necesita una llave; colocando ésta
inmediatamente debajo del vástago, como se indica en el esquema, ya no
actuarán todas las fuerzas verticales con el coeficiente de fricción entre terreno
y concreto y además podremos contabilizar como factor resistente el
deslizamiento.
El empuje pasivo (Ep) de la llave hacia la izquierda habrá fricción entre terreno y
de la llave hacia la derecha habrá fricción entre concreto y terreno, o sea que
ahora:
Seguridad al deslizamiento:
++
H
ERRf P21 )tg(ϕ
σ2.10 = 5.75 + 8.93(2.10/3.30) = 5.76 + 5.68 = 11.44 t/m2
R1 = ½ (5.76 + 11.44) 2.10 = 18.05 t/m.
R2 = ½ (11.44 + 14.59) 1.20 = 15.70 t/m.
Escogiendo un factor de seguridad mínimo de 1.6 al deslizamiento ahora que se
utiliza el empuje pasivo, se tendrá:

26. 25
1.80 = (0.55 x 18.05 + 0.666 x 15.72 + Ep)/14.52
∴ Ep = 1.60 x 14.52 - 0.55 x 18.05 - 0.666 x 15.70 = 2.84 t/m.
pero Ep = ½ γ Kp h2
p
con Kp = (1 + Senφ)/(1 - Senφ) = (1 + 0.544)/0.445 = 3.48
Luego 2.84 = ½ 1.80 x 3.48 h
2
p ∴ hp = 0.95 m.
Despreciando nuevamente los 20 cm, de relleno encima del voladizo delantero
por la posibilidad de que no está siempre allí, la altura para producir empuje
pasivo es la de la base más la de la llave; por tanto la altura mínima de la llave
deberá ser de 0.95 - 0.50 - 0.45 m.; hacemos la llave de 50 cm. con lo cual la
seguridad al deslizamiento será algo mayor de 1.60.
2) Análisis estructural.
a) Vástago
Las fuerzas que obran directamente sobre el vástago son; el empuje debido a
5.00 m. de altura (E’r) de relleno, el empuje debido a la sobrecarga (E’s) que
como se ve en el esquema, sólo afecta a 3.50 m. del vástago si se acepta la
transmisión a 45º, a través del relleno y las cargas verticales que, en este caso,
son el peso propio = (P1 + P2), el peso del triángulo de relleno P4 y las
componentes verticales de los empujes es E’r y E’s.
E´r
3.50
1.50
3.00
45º
1.75
1.665
Fig. 26
E´S
H´r
V´r
H´s
V´s

27. 26
Las componentes horizontales de esos empujes producen flexión y corte sobre
el vástago, siendo - ab - la crítica por tratarse de un voladizo; como sobre está
sección actúan también las cargas verticales mencionadas se tendrá, en rigor,
una sección sometida a compresión y flexión.
Normalmente las cargas verticales son pequeñas en relación con la fricción y
por tanto es práctica común despreciarlas y diseñar el vástago únicamente con
flexión, lo cual está por el lado de la seguridad como se verá en este mismo
ejemplo.
Entonces:
E’r = ½ 1.80 x 5.00
2
x 0.339 = 8.99 t/m.
E’s = 0.20 x 3.50 = 0.70 t/m.
Componentes horizontales:
H’r = 0.895 x 8.99 = 8.05 t/m.
H’s = 0.895 x 0.70 = 0.626 t/m.
Ma-b = 8.05 x 1.666 + 0.626 x 1.75 = 14.50 t-m/m.
NOTA: Para efectos de diseño cada parte del muro es una placa y normalmente
dimensiones serán tales que las cuantías de refuerzo resultarán bajas, o sea
menores de 11; si se usan los factores de carga acostumbrados, se obtendrán
entonces resultados muy similares por el método elástico o por rotura.
Por estar el muro en contacto directo con el relleno es aconsejable utilizar un
recubrimiento un poco mayor que en las placas comunes, por tanto para h = 45
cm. tomamos d = 40 cm. por tanto:
K = 1450 / (100 x 40
2
) = 0.00906 → p = 0.00723
As = 0.00723 x 100 x 40 = 28.90 cm2
/m.
Va-b = 0.99 + 0.626 = 9.616 t/m.
= 5616 / (100 x 40) = 2.40 kg/cm2
< c
o = 9616 / (11.20 x 0.875 x 40) = 24.6 cm/m.
del lado del relleno: φ 7/8” 13 cm.
Tratándose de un voladizo sometido a carga triangular o trapezoidal, el
diagrama de momentos será una parábola de tercer grado que se anula en la
Armadura φ 7/8¨

28. 27
corona del muro; por tanto no es necesario colocar esta armadura de φ7/8 13
cm., en toda la altura del vástago; dependiendo de la altura, la práctica común
es dividir el muro en 2 ó 3 partes iguales y recortar la mitad o una tercera parte
de la armadura en cada división en el caso presente, si dividimos la altura del
muro en 3 partes iguales la armadura principal de φ 7/8 podría colocarse en la
siguiente forma:
Si se consideran también las cargas verticales, deberá tenerse en cuenta la
posición de cada una de ellas en la sección crítica ab; así P1 estará a 25/2 =
12.5 cm. de la cara exterior; P2 estará a (25 + 1/3x20) = 31.7 cm., de la misma
cara; P4 estará a (25 + 2/3x20) = 38.3 cm., el ancho del muro a 1.666 m. de
altura sobre la sección ab es de 38.3 y a 1.75 cm. de altura el ancho es de 38
cm., por tanto la localización aproximada de las cargas verticales es como se
indica en el esquema, (no exacta porque la armadura de tracción no es vertical
en este caso) y al trasladar todas al eje de la armadura de tracción se tendrá:
V’r = 0.446 x 8.99 = 4.01 t/m. V’s = 0.446 x 0.70 = 0.31 t/m.
M’a-b = 14.50 + 3.00 (0.40 - 0.125) + 120 (0.40 - 0.317) + 0.31 (0.40 -
0.38) + (4.01+0.90) (0.40+0.383) = 15.5147 t-m/m.
N = 3.00 + 1.20 + 0.31 + 4.01 + 0.90 = 9.42 t/m.
b
Fig. 28
a
0.125
0.317
0.350
0.383
0.400
0.450

29. 28
K = 1551.47 / (100 x 402
) = 0.00970 → p = 0.00777
As = 0.00777 x 100 x 40 - 9.42/1.40 = 23.36 cm
2
/m.
∴ del lado del relleno φ ¾, 12 cm. ó φ 7/8 16.5 cm. Nótese, pues, que la
economía es apreciable (alrededor de varilla y media de φ 7/8 por cada metro
de muro en este caso particular), pero consideraremos que no es muy prudente
hacer toda la economía posible en este caso si se tienen en cuenta todas las
incertidumbres existentes todavía con todo lo relacionado con la mecánica de
suelos, colocar en este caso particular φ 7/8 15 cm, sería quizás una solución
intermedia aceptable.
b) Voladizo delantero:
La sección crítica es la ac; sobre este voladizo actúa el relleno de 20 cm., hacia
abajo y la reacción del terreno hacia arriba, como ya se dijo antes está por otro
lado de la seguridad despreciar el efecto del pequeño relleno y por consiguiente
la flexión de este voladizo será hacia arriba necesitando armadura de tracción
abajo.
Se tiene:
σ a-c = 5.76 + 8.93 ( 2.20 / 3.30 ) = 5.76 + 5.95
σ a-c = 11.71 t/m2
V a-c = ½ ( 14.69 + 11.71 ) 1.10 - ............................... t/m.
Nótese que se ha deducido del corte en la sección ac el valor 1.32 t/m que es el
peso propio de la base que no produce ni esfuerzo cortante ni flexión por estar
íntegramente apoyando sobre el terreno y que está, sin embargo incluido las
reacciones del terreno.
Fig. 29
ba
dc
1.10 .45 1.75
14.69 11.71
10.50
5.76
.50
.50

30. 29
V a-c = 13180 / ( 100 x 45 ) = 2.93 k/cm
2
< c
M a-c = 11.71 x 1.10 ( ½ ) 1.10 + ½ (14.69 - 11.71) 1.10 x ( 2/3 ) 1.10 -
0.50 x 1.10 x 2.4 x ( ½ )1.10 = 7.58 t-m/m.
K = 758 / ( 100 x 45
2
) = 0.00374 → p = 0.00288
As = 0.00288 x 100 x 45 = 12.95 cm2
/m → Abajo
.39
.39
43
87
cm
cm
+
″
″
φ
φ
2
/74.10
45575.0
22.2
)30.795.9(4
13180
cmK
x
jd
V
u
O
=
+
==
c) Talón:
Sobre esta parte de la base actúan las reacciones del terreno hacia arriba y el
relleno hacia abajo, como las reacciones en esta parte de la base ya son
relativamente pequeñas debido a la excentricidad, generalmente gobierna aquí
la flexión hacia abajo y se necesitará armadura de tracción arriba. Según el
profesor Huntington debe tenerse en cuenta, además, que la diferencia entre
los empujes sobre la sección BC y sobre el vástago directamente también
produce esfuerzos en el talón, aquí estas fuerzas serían:
E1 = Es - E’s = 1.19 - 0.70 = 0.49 t/m.
E2 = Er = E’r = 15.02 - 8.99 = 6.03 t/m.
componentes verticales de esas diferencias:
Ey = E x senδ como senδ = 0.446
mtxE
mtxE
Y
Y
/69.2446.003.8
/22.0446.049.0
2
1
==
==
Componentes horizontales de las mismas diferencias:
En este caso multiplicando por Cosδ = 0.895
mtxE
mtxE
X
X
/40.5895.003.8
/44.0895.049.0
2
1
==
==

31. 30
Estas fuerzas actúan sobre la misma sección BC, a una altura sobre B igual a la
mitad de la diferencia entre las alturas consideradas para evaluar Er y E’r.
Entonces: σbd = 5.76 + 8.93 (1.75/3.20) = 10.50 t/m
2
Vbd = 1.71 + 15.75 + 0.22 + 8.69 – ( ½ ) (10.50+5.76)1.75 x 24 = 8.27 t/m.
Vbd = 8270 / (100 x 45 ) = 1.84 kg/cm2
< c
Mbd = 1.71 x 1.10 + 15.75 x 0.875 + (0.22+2.69)1.75 ( ½ )(10.50 - 5.76)
1.75 ( ½ )1.75 + 2.10 ( ½ )1.75 - (0.44 + 5.40) [( ½ )(6.45-5.00) - 0.25]
=
Mbd = 8.54 t-m.
K = 854 / (100 x 452
) = 0.00421 → p = 0.00225
As = 0.00325 x 100 x 45 = 14.60 cm
2
/m.
o = 8270 / (0.55 x 0.875 x 45 ) = 22 cm/m. ∴ Arriba φ 5/8’ 13.5 cm.
Peso refuerzo = (26 x 6 + 26 x 6 + 26 x 3.50) 3.04 + 25 x 2 x 2.24 + (37 x 2
+ 38 x 5) 1.55 + (51 x 6 + 20 x 9.95) 0.56 = 2034 kg.
Volumen de Concreto = [(½)(0.25 + 0.45) 5.00 + 0.90 x 3.30 + (½)(0.45 +
0.25) 0.50] 10.0 = 35.75 m
3
o sea: 2034 / 35.75 = 57 kg. de hierro / m
3
de concreto