1. Formulario de integrales
c 2001-2005 Salvador Blasco Llopis
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Creative Commons Atribuci´n 2.1 Espa˜a.
o n
S´ptima revisi´n: Febrero
e o 2005
Sexta revisi´n: Julio
o 2003
Quinta revisi´n: Mayo
o 2002
Cuarta revisi´n: Mayo
o 2001
Tercera revisi´n: Marzo
o 2001
1. Integrales indefinidas
1.1. Funciones racionales e irracionales
1.1.1. Contienen ax + b
1
(1) (ax + b)n dx = (ax + b)n+1 + C, n=1
a(n + 1)
dx 1
(2) = ln |ax + b| + C
ax + b a
dx 1 x
(3) = ln +C
x(ax + b) a ax + b
dx 1 1
(4) 2
=− · +C
(1 + x) 1+ x
xdx 1 2 1 1
(5) =− · − · +C
(1 + bx)3 2b (1 + bx)2 2b 1 + bx
√
1.1.2. Contienen ax + b
√ 2(3bx − 2a)(a + bx)3/2
(6) x a + bxdx = +C
15b2
√
x 2(bx − 2a) a + bx
(7) √ dx = +C
a + bx 3b2
1

2.  √ √
dx  √ ln
1 √a+bx−√a + C, a>0
a a+bx+ a
(8) √ =
x a + bx  √2 arctan a+bx + C, a<0
−a −a
√
a + bx √ dx
(9) dx = 2 a + bx + a √ +C
x x a + bx
1.1.3. Contienen x2 ± a2
dx 1 x
(10) = arctan + C, a>0
a2 + x2 a a
xdx 1
(11) =√ +C
(x2 ±a 2 )3/2
x 2 ± a2
1.1.4. Contienen a2 − x2 , x<a
x a2 x
(12) (a2 − x2 )3/2 dx = a 2 − x2 + arc sen + C, a>0
2 2 a
dx 1 a+x 1 x
(13) = ln + C = arctanh
a2 − x2 2a a−x a a
dx x
(14) = √ +C
(a2 −x 2 )3/2
a 2 a2 − x2
√
1.1.5. Contienen x2 ± a 2
1
(15) x2 ± a2 dx = x a2 ± x2 + a2 ln x + a2 ± x2 + C =
2
1
√ a2
2 2
= 2 x√a + x + 2 arcsenhx + C (+)
2
1
2 x a2 − x2 + a arccoshx + C (−)
2
1 2
(16) x x2 ± a2 dx = (x ± a2 )3/2 + C
3
1 2
(17) x3 x2 + a2 dx = ( x2 − a2 )(a2 + x2 )3/2 + C
5 5
√
x2 − a 2 a
(18) dx = x2 − a2 − a · arc cos +C
x |x|
dx x
(19) √ = a · arcsenh + C
x2 + a 2 a
dx x
(20) √ = ln x + x2 − a2 + C = arccosh + C, (a > 0)
x2 − a2 a
dx 1 a
(21) √ = arc cos + C, (a > 0)
x x 2 − a2 a |x|
2

3. √
dx x2 ± a 2
(22) √ = +C
x 2 x2 ± a 2 a2 x
xdx
(23) = x2 ± a 2 + C
x2 ± a 2
√
x2 ± a 2 (a2 + x2 )3/2
(24) 4
dx = +C
x 3a2 x3
x2 x a2 x
(25) √ dx = x2 − a 2 − arccosh + C
x 2 − a2 2 2 a
√
1.1.6. Contienen a2 ± x2
1 a2 x
(26) a2 − x2 dx = x a2 − x2 − arc sen + C, (a > 0)
2 2 a
1
(27) x a2 ± x2 dx = ± (a2 ± x2 )3/2 + C
3
x a2 x
(28) x2 (2x2 − a2 ) a2 − x2 +
a2 − x2 dx = arc sen + C, a>0
8 8 a
√ √
a2 ± x2 a + a2 ± x2
(29) dx = a2 ± x2 − a ln +C
x x
√
dx − a2 − x2
(30) √ = +C
x2 a 2 − x 2 a2 x
dx x
(31) √ = arc sen + C, a > 0
a2
−x 2 a
√
dx 1 a + a2 − x2
(32) √ = − ln +C
x a2 − x2 a x
x
(33) √ dx = ± a 2 ± x2 + C
a2 ± x2
x2 x a2 x
(34) √ dx = ± a 2 ± x2 arc sen + C, a>0
a2 ±x 2 2 2 a
dx x
(35) √ = ln x + a2 + x2 + C = arcsenh + C, a>0
a2 + x2 a
1.1.7. Contienen ax2 + bx + c
 √
 √ 21 2ax+b− b2 −4ac
 b −4ac ln 2ax+b+√b2 −4ac =


 √ 2
dx = b2 −4ac arctanh √2ax+b + C, b2 > 4ac
(36) = b2 −4ac
ax2 + bx + c  √ 2
 4ac−b2 arctan √2ax+b 2 + C, b2 < 4ac

 4ac−b
 2
− 2ax+b + C, b2 = 4ac
3

4. x 1 b dx
(37) dx = ln ax2 + bx + c − +C
ax2 + bx + c 2a 2a ax2 + bx + c
x · dx bx + 2c
(38) = 2 +
(ax2 + bx + c) n (b − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
b(2n − 3) dx
+ 2 2 + bx + c)n−1
, n = 0, 1, b2 < 4ac
(b − 4ac)(n − 1) (ax
dx 2ax + b
(39) = +
(ax2 + bx + c)n −(b2 − 4ac)(n − 1)(ax2 + bx + c)n−1
2a(2n − 3) dx
+ , n = 0, 1, b2 < 4ac
−(b2 − 4ac)(n − 1) (ax2 + bx + c)n−1
√
1.1.8. Contienen ax2 + bx + c
(40)
2ax + b 4ac − b2 dx
ax2 + bx + cdx = ax2 + bx + c + √
4a 8a ax2 + bx + c
a 0 + a 1 x + . . . + a n xn
(41) √ dx Ver §3.5, p´g. 11: m´todo alem´n
a e a
ax2 + bx + c
dx 1 √
(42) √ = √ ln 2ax + b + a ax2 + bx + c + C =
ax2 + bx + c a
 1 2ax+b
 √a arcsenh √4ac−b2 + C,
 ∆ < 0, a > 0;
1
√ ln |2ax + b| + C, ∆ = 0, a > 0; , ∆ = b2 − 4ac
 a1
 √
− −a
arc sen √2ax+b + C, ∆ > 0, a < 0;
b2 −4ac
√
x ax2 + bx + c b dx
(43) √ dx = − √
ax 2 + bx + c a 2a ax 2 + bx + c
 √ √ 2
dx  −1 ln 2 c ax +bx+c+bx+2c + C, c > 0
√
c x
(44) √ =
x ax 2 + bx + c  √1 arc sen √ 2bx+2c
+ C, c<0
−c |x| b −4ac
1.2. Funciones trigonom´tricas
e
1.2.1. Contienen sen ax
dx 1 ax
(45) = ln tan +C
sen ax a 2
1 ax − cos ax · sen ax x sen 2ax
(46) sen2 axdx = · +C = − +C
2 a 2 4a
4

5. senn−1 ax · cos ax n − 1
(47) senn axdx = − + senn−2 axdx, n = 0, −1;
a·n n
1 cos(a + b)x 1 cos(a − b)x
(48) sen ax sen bxdx = − − + C, a 2 = b2
2 a+b 2 a−b
1 n
(49) xn sen axdx = − xn cos ax + xn−1 cos axdx
a a
∞
sen ax (ax)2ν−1
(50) dx =
x ν=0
(2ν − 1) · (2ν − 1)!
dx 1 ax π
(51) = tan +C
1 ± sen ax a 2 4
1.2.2. Contienen cos ax
1 ax + cos ax · sen ax
(52) cos2 axdx = · +C
2 a
dx 1 ax π
(53) = ln tan − +C
cos ax a 2 4
∞
cos ax (ax)2ν
(54) dx = ln |ax| + (−1)ν +C
x ν=1
(2ν) · (2ν)!
cosn−1 ax · sen ax n − 1
(55) cosn axdx = + cosn−2 axdx+C, n = 0, −1;
a·n n
1 sen(a − b)x 1 sen(a + b)x
(56) cos ax cos bxdx = − + + C, a 2 = b2
2 a−b 2 a+b
1 n n
(57) xn cos axdx = x sen ax − xn−1 sen axdx + C, n = −1
a a
dx 1 ax
(58) = ± tan +C
1 ± cos ax a 2
1.2.3. Contienen tan ax o cot ax
1
(59) tan axdx = − ln cos ax + C
a
(60) tan2 xdx = tan x − x + C
tann−1 ax
(61) tann axdx = − tann−2 axdx, n = 1, 0;
a(n − 1)
1
(62) cot axdx = ln sen ax + C
a
cotn−1 ax
(63) cotn axdx = − − cotn−2 axdx + C, n = 1, 0;
a(n − 1)
5

6. 1.2.4. Contienen sec ax o csc ax
1 ax ax ax ax
(64) sec axdx = ln cos + sen − ln cos − sen +C
a 2 2 2 2
1
(65) sec2 axdx = tan ax + C
a
1 tan ax · secn−2 ax 1 n − 2 1 n−2
(66) secn xdx = + ax · dx + C, n = 1;
a n−1 a n − 1 sec
1
(67) csc2 axdx = − cot ax + C
a
1 cot ax · cscn−2 1 n − 2
(68) cscn axdx = − + · cscn−2 ax·dx+C, n = 1;
a n−1 a n−1
1.2.5. Varias funciones
(69) sec x · tan ax · dx = sec x + C
(70) csc x · cot x · dx = − csc x + C
cosm−1 x·senn+1 x m−1
+ cosm−2 x · senn x · dx
(71) cosm x · senn x · dx = m+n
cosm+1 x·senn−1 x
m+n
n−1
m+n + m+n cosm x · senn−2 x · dx
1.2.6. funciones trigonom´tricas inversas
e
x x
(72) arc sen dx = x · arc sen + a2 − x2 + C, a > 0;
a a
x x
(73) arc cos dx = x · arc cos − a2 − x2 + C, a > 0;
a a
x x 1 x2
(74) arctan dx = x · arctan − a ln 1 + 2 + C, a > 0;
a a a a
x 1 x a
(75) arccot dx = x · arccot + ln(a2 + x2 ) + C
a a a 2
(76) x · arc cos xdx = x · arc cos x + arc sen x + C
6

7. 1.3. Funciones exponenciales y/o logar´
ıtmicas
xn eax n
(77) xn eax dx = − xn−1 eax dx
a a
eax (a sen bx − b cos bx)
(78) eax sen bx · dx = +C
a2 + b 2
eax (b sen bx + a cos bx)
(79) eax cos bx · dx = +C
a2 + b 2
dx x ln(a + benx )
(80) = − +C
a + benx a an
x
(81) loga xdx = x loga x − + C, ∀a > 0;
ln a
2x2 ln x − x2
(82) x ln xdx = +C
4
ln ax 1
(83) xn ln ax · dx = xn+1 − +C
n + 1 (n + 1)2
(84)
xn+1 m
xn (ln ax)m dx = (ln ax)m − xn (ln ax)m−1 dx, n, m = −1, x > 0;
n+1 n+1
(85) ln axdx = x ln ax − x + C, x > 0;
∞
eax (ax)i
(86) dx = ln |x| + +C
x i=1
i · i!
1 ax 1 eax
(87) eax ln x · dx = e ln |x| − dx + C
a a x
∞
dx lni x
(88) = ln | ln x| + + C, x > 0;
ln x i=1
i · i!
dx
(89) = ln | ln x| + C, x > 0;
x ln x
lnn x 1
(90) dx = lnn+1 x, n = −1, x > 0;
x x+1
7

8. 1.4. Funciones hiperb´licas
o
1
(91) senh axdx = cosh ax + C
a
1 1
(92) senh2 xdx = senh 2x − x + C
4 2
1
(93) cosh axdx = senh ax + C
a
1 1
(94) cosh2 xdx = senh 2x + x + C
4 2
1
(95) tanh axdx = ln | cosh ax| + C
a
1
(96) coth axdx = ln | senh ax| + C
a
(97) sechxdx = arctan(senh x) + C
(98) sech2 xdx = tanh x + C
x 1 cosh x + 1
(99) cschxdx = ln tanh = − ln +C
2 2 cosh x − 1
(100) senh x · tanh x · dx = −sechx + C
(101) cschx · coth x · dx = −cschx + C
1.4.1. funciones hiperb´licas inversas
o
x x
(102) arcsenh dx = x arcsenh − a2 + x2 + C, a>0
a a
√
x x arccosh x − x2 − a2 + C,
a arccosh x > 0, a > 0;
a
(103) arccosh dx = √
a x arccosh x + x2 − a2 + C,
a arccosh x < 0, a > 0;
a
x x 1
(104) arctanh dx = x arctanh + a ln(a2 − x2 ) + C
a a 2
x x 1
(105) arccoth dx = x arccoth + a ln(x2 − a2 ) + C
a a 2
x x x2
(106) arcsenh dx = x arcsech − a arc sen 1− +C
a a a2
x x x2
(107) arcsech dx = x arccsch + a arccosh 1 + 2 + C
a a a
8

9. 2. Integrales definidas
∞
n!
(108) xn e−qx dx = , n > −1, q > 0;
0 q n+1
∞
2 Γ[(m + 1)/2]
(109) xm e−ax dx = , a>0
0 2a(m+1)/2
n!
= , Si m impar : m = 2n + 1
2an+1
1 · 3 · . . . · (2n − 1) π
= , Si m par : m = 2n
2n+1 a2n+1
2 2 1 π √
(110) x2 e−ax dx = − e−a + erf( a)
0 2a 4 a3
(111)
∞
n!e−at a 2 t2 a n tn
xn e−ax dx = 1 + at + +...+ , n = 0, 1, . . . , a > 0;
t an+1 2! n!
∞ ∞
2 n−1 2
(112) xn e−ax dx = xn−2 e−ax dx
0 2a 0
∞
2 1 π
(113) e−ax dx =
0 2 a
∞
2 1
(114) xe−ax dx =
0 2a
x
dx 1
(115) = ln
0 1−x 1−x
x
dx x
(116) =
0 (1 − x)2 1−x
x
dx 1
(117) = ln(1 + x)
0 1+ x
x
1+ x 1
(118) dx = (1 + ) ln − x
0 1−x 1−x
x
1+ x (1 − )x 1
(119) 2
dx = − ln
0 (1 − x) 1−x 1−x
x
(1 + x)2 2 (1 + )2 x
(120) dx = 2 (1 + ) ln(1 − x) + x+
0 (1 − x)2 1−x
x
dx 1 ΘB − x
(121) = ln , ΘB = 1
0 (1 − x)(ΘB − x) ΘB − 1 ΘB (1 − x)
x
dx −2 2
(122) = + , b2 = 4ac
0 ax2 + bx + c 2ax + b b
(123)
9

10. x
dx 1 q x−p
= ln · , b2 > 4ac; p, q son las ra´
ıces;
0 ax2 + bx + c a(p − q) p x−q
x
a + bx bx ag − bc
(124) dx = + ln(c + gx)
0 c + gx g g2
3. M´todos de integraci´n
e o
3.1. Integraci´n por partes:
o
u · dv = u · v − v · du
3.2. Integraci´n por sustituci´n:
o o
si x = g(t) es un funci´n que admite derivada cont´
o ınua no nula y funci´n
o
inversa t = h(x) y F (t) es una primitiva de f (g(t))g (t) se tiene que:
f (x)dx = F (h(x)) + C
3.3. Integraci´n de funciones racionales:
o
F (x)
Queremos hallar Q(x) dx siendo F (x) y Q(x) polinomios de coeficientes
reales. Si el grado de F es mayor que el de Q se hace la divisi´n para obtener
o
F (x) R(x)
Q(x) dx = C(x)dx + Q(x) dx. La primera integral es inmediata. Para la
segunda se admite que Q(x) se puede descomponer de la siguiente manera:
Q(x) = a0 (x − a)p . . . (x − a)q [(x − c)2 + d2 ]r . . . [(x − e)2 + f 2 ]s y es unica. En
´
tal caso, el integrando del segundo t´rmino se puede descomponer como sigue:
e
R(x) A1 A2 Ap B1 B2 Bq
Q(x) = (x−a)p + (x−a)p−1 + . . . + x−a + . . . + (x−b)q + (x−b)q−1 + . . . + x−b +
M1 x+N1 Mr x+Nr H1 x+K Hs x+Ks
+ . . . + (x−c)2 +d2 + . . . + ((x−e)2 +f12 )s + . . . + (x−e)2 +f 2 . Todas
((x−c)2 +d2 )r−1
las constantes se obtienen identificando coeficientes. Al resolver los sumando se
obtienen integrales del siguiente tipo:
dx
1. x−a = ln |x − a| + C
dx 1
2. (x−a)p = (1−p)(x−a)p−1 +C
M x+N M M c+N
3. (x−c)2 +d2 dx = 2 ln |(x − c)2 + d2 | + d arctan x−c + C
d
M x+N M x+N dx
4. ⇒ Llamemos Ir =
[(x−c)2 +d2 ]r dx [(x−c)2 +d2 ]r dx y Jr = [(x−c)2 +d2 ]r dx
operando se obtiene
M 1
Ir = 2(1−r) · ((x−c)2 +d2 )r−1
+ (M c + N ) · Jr
1 x−c 1
Jr = d2 Jr−1 + d2 2(1−r)((x−c)2 +d2 )r−1
− d2 2(1−r) Jr −1
10

11. 3.4. M´todo de Hermite
e
Si Q(x) = (x − a)m . . . (x − b)n · (x − c)2 + d2 . . . (x − e)2 + f 2 entonces
R(x) U (x)
dx = p−1 q−1 +
Q(x) (x − a)m−1 . . . (x − b)n−1 . . . [(x − c)2 + d2 ] . . . [(x − e)2 + f 2 ]
dx dx Cx + D Ex + F
K +... +L + dx + . . . + dx
x−a x−b (x − c)2 + d2 (x − e)2 + f 2
donde U (x) es un polinomio de un grado menos que su denominador. Todas las
constantes se determinan derivando la expresi´n e identificando coeficientes.
o
3.5. Integraci´n de funciones irracionales algebraicas
o
Integrales del tipo
m1 ms
ax + b n1
ax + b ns
R x, ,..., dx | a, b, c, d ∈ R; ni , mi ∈ Z; ni = 0
cx + d cx + d
y c y d no se anulan simult´neamente. Se transforma en integral racional
a
mediante el cambio ax+b = tm siendo m el m´
cx+d ınimo com´n m´ltiplo de las
u u
ni .
√
Integrales del tipo R x, ax2 + bx + c dx se consideran los siguientes
casos:
√ √
1. a > 0 → ax2 + bx + c = ± a · x + t
√ √
2. c < 0 → ax2 + bx + c = ± c + x · t
√
3. a, c < 0 → ax2 + bx + c = t · (x − α) siendo α una de las raices del
polinomio.
√
M´todo Alem´n: √ax2 (x) dx = Q(x) · ax2 + bx + c + K √ax2dx
e a P
+bx+c +bx+c
Donde gradQ(x) = grad(P (x)) − 1 y K es una constante. Los coeficientes
se obtienen derivando la expresi´n e identificando t´rminos.
o e
Series bin´micas: xm (a + bxn )p dx | a, b ∈ R; m, n, p ∈ Q. Estas inte-
o
grales se convierten en racionales en los siguientes casos con los cambios
indicados.
1. p ∈ Z → x = tq donde q es el m.c.m. de los denominadores n y m.
m+1
2. n ∈ Z → a + bxn = tq siendo q el denominador de p.
m+1 a+bxn
3. n +p∈ Z→ xn = tq siendo q el denominador de p.
En cualquier otro caso se puede expresar como funci´n elemental.
o
3.6. Integraci´n de funciones trascendentes
o
Si R(u) es una funci´n racional y u = f (x) es una funci´n que admite funci´n
o o o
inversa con derivada racional, entonces la integral de R(f (x)) se reduce a una
integral racional mediante el cambio f (x) = t .
11

12. 3.7. Integraci´n de funciones trigonom´tricas
o e
Integraci´n de R(sen x, cos x)dx: en general se hace el cambio tan x = t
o 2
2
2dt
con lo que sen x = 1+t2 , cos x = 1−t2 , dx = 1+t2 . En elgunos casos se
1+t
2t
pueden intentar otros cambios:
1. Si R(sen x, cos x) = −R(sen x, − cos x) se hace el cambio sen x = t
2. Si R(sen x, cos x) = −R(− sen x, cos x) se hace el cambio cos x = t
3. Si R(sen x, cos x) = R(− sen x, − cos x) se hace el cambio tan x = t
Integrales del tipo Im,n = senm xn ·x·dx se puede reducir de las siguientes
formas:
senm+1 x·cosn−1 x n−1
1. Im,n = m+1 + m+1 Im+2,n−2 , m = −1
m+1 n−1
sen x·cos x n−1
2. Im,n = m+n + m+n Im,n−2 , m+n=0
m−1
x·cosn+1 x
3. Im,n = − sen m+1 + m−1
n+1 Im+2,n+2 , m = −1
m−1
x·cosn+1 x
4. Im,n = − sen m+n + m−1
m+n Im−2,n , m+n=0
m+1 n+1
5. Im,n = − sen x·cos
n+1
x
+ m+n−2
n+1 Im,n+2 , n = −1
m+1 n+1
sen x·cos x m+n−2
6. Im,n = m+1 + m+1 Im+2,n+2 , m = −1
4. Ecuaciones diferenciales ordinarias
4.1. Ecuaciones diferenciales lineales
R R
y + p(x)y = q(x) =⇒ y = e− (x)dx
q(x)e p(x)dx
+C
t
1
τ y + y = p(t) =⇒ y = e−t/τ p(t)et/τ dt + y0
τ 0
5. Soluci´n num´rica de ecuaciones diferenciales
o e
5.1. M´todo de Runge-Kutta de cuarto orden
e
1
y = f (x, y) → yi+1 = yi + (k1 + 2k2 + 2k3 + k4)h
6
k1 = f (xi , yi ) k2 = f (xi + h/2, yi + k1 h/2)
k3 = f (xi + h/2, yi + k2 h/2) k4 = f (xi + h, yi + k3 h)
12