1. Unidad IV : GeometríaUnidad IV : Geometría
TRANSFORMACIONESTRANSFORMACIONES
ISOMÉTRICAS.ISOMÉTRICAS.

2. LOS EJE DE
COORDENADA
Plano cartesiano

3. • El plano cartesiano está formado
por dos rectas numéricas, una
horizontal y otra vertical que se
cortan en un punto. La recta
horizontal es llamada eje de las
abscisas o de las equis (x), y la
vertical, eje de las ordenadas o
de las yes, (y); el punto donde
se cortan recibe el nombre de
origen.

4. Localización de un punto en el
plano cartesiano
• ubicación del punto (4,3)
A) B(-3,4)
B) C(1,1)
C) D(-2,-4)

6. TRANSFORMACIONES
En una transformación isométrica:
1) No se altera la forma ni el tamaño de la
figura.
2) Sólo cambia la posición (orientación o
sentido de ésta).
ISOMÉTRICAS

7. Unidad de aprendizaje: Transformaciones Isométricas
Traslaciones
Rotaciones Reflexiones
Son traslaciones
Regulares y
semi-regulares.-
Se obtiene con
un vector (i,, j)
Se obtiene con
Un ángulo de giro
Se obtiene entorno
A un eje de
simetría y a un centro.
T. De ESCHERT. De ESCHERTransformaciones
Isométricas
Teselaciones

8. Tipos de transformaciones isométricas

10. Ejemplos de transformaciones
isométricas en la naturaleza.-

11. Se puede considerar una simetría como
aquel movimiento que aplicado a una
figura geométrica, produce el efecto de un
espejo.

12. Axial (reflexión respecto de un eje)
Central (reflexión respecto de un punto)
O

13. Cada punto y su imagen o simétrico
equidistan del eje de simetría.
El trazo que une un punto con su simétrico
es perpendicular al eje de simetría.
A’
A

14. El centro de rotación es el punto medio del
trazo que une un punto con su simétrico.
Una simetría central equivale a una rotación
en torno al centro de simetría en un ángulo de
180º.
O
A’
A

15. En torno al eje X
El simétrico de
P(a,b) es P’(a,-b)
En torno al eje Y
El simétrico de
P(a,b) es P’(-a,b)
En torno al origen
El simétrico de
P(a,b) es P’(-a,-b)
P
P’
•
•
•• PP’
•
P
•
P’

16. Se puede considerar una traslación como el
movimiento que se hace al deslizar una
figura, en línea recta, manteniendo su
forma y tamaño.

17. Al deslizar la figura todos los puntos
describen líneas rectas paralelas entre
sí.

18. En una traslación se distinguen tres
elementos:
Dirección (horizontal, vertical u oblicua).
Sentido (derecha, izquierda, arriba, abajo).
Magnitud del desplazamiento (distancia
entre la posición inicial y final de
cualquier punto)

19. En este caso se debe señalar las
coordenadas del vector de traslación.
Estas son un par ordenado de números
(x,y), donde x representa el
desplazamiento horizontal e y
representa el desplazamiento vertical.

20. En el par ordenado la primera componente
recibe el nombre de abscisa y la segunda
componente el nombre de ordenada.

21. •
A(4,6)
•
A’ (2,3)
Traslación de A(4,6)
a través del vector v(-2,-3)
Traslación de B(-5,2)
a través del vector v(4,4)
•
B(-5,2)
•
B’(-1,6)
Traslación de C(-4,-2)
a través del vector v(7,1)
•
C(-4,-2)
• C’(3,-1)

22. Signo positivo: desplazamiento hacia la derecha.
Signo negativo: desplazamiento hacia la izquierda.
Signo positivo: desplazamiento hacia arriba.
Signo negativo: desplazamiento hacia abajo.

23. Una rotación es el movimiento que se
efectúa al girar una figura en torno a un
punto.
Este movimiento mantiene la forma y el
tamaño de la figura.

24. El punto de rotación (centro de rotación), punto en torno al cual se
efectúa la rotación.
La magnitud de rotación, que corresponde al ángulo, éste está
determinado por un punto cualquiera de la figura, el centro de
rotación (vértice del ángulo) y el punto correspondiente de la figura
obtenida después de la rotación.
El sentido de giro, positivo (antihorario), negativo (horario)
O
M
M’
N’
N
.

25. Rotación en 90º en torno al origen:
A
x
y
A
x
y
A’
A’
x’
y’
x’
y’
Entonces: x’ = -y y’ = x
Luego: A(x,y) => A’(-y,x)

26. Rotación en 180º en torno al origen:
A
x
y
A’
x’
y’
A
x
y
A’
x’
y’
Entonces: x’ = -x y’ = -y
Luego: A(x,y) => A’(-x,-y)

27. Importante
Toda transformación isométrica,
mantiene la forma y tamaño de una
figura geométrica, por lo tanto el
perímetro y el área no sufren
variación.

28. A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
A’’’
B’’’
C’’’
TRASLACIÓN DE FIGURAS
11 UNIDADES A LA DERECHA
5 UNIDADES ABAJO
8 UNIDADES A LA DERECHA Y 8 ABAJO

29. A’
B’
C’
A
B
C
A’’
C’’
90º
ROTACIÓN DE FIGURAS

30. A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
A’’’
B’’’
C’’’
REFLEXIÓN DE FIGURAS
CON EL EJE Y
CON EL EJE X
CON RESPECTO A LA RECTA m
m

31. A
B
C
A’
B’
C’
A’’
B’’
C’’
HOMOTECIA DE FIGURAS

33. Teselaciones de Martin Cornelis ESCHER
• Hablar de Martin Cornelis Escher el cual fue un
hombre dedicado al arte y que tenía el deseo de romper
las limitaciones que impone el plano, para poder mostrar
que un plano es capaz de ilusiones ópticas de gran
profundidad.
• En la mezquita de Córdoba están sus obras para hacer
aparecer en ellas dibujos matemáticos y por ello
tuvo muchas críticas y comprendió que su audiencia no
podía ser convencional, por lo que dijo: “A pesar de que
no tengo ningun conocimiento ni enseñanza - de
matemáticas -, habitualmente me parece que tengo más
cosas en común con los matemáticos que con mis
compañeros artistas”.
• Si observamos detalladamente alguna de sus obras
podemos descubrir su dominio de la geometría.
• A Escher le maravillaba todo tipo de teselados,
regulares o irregulares, y especialmente lo que él llamó
“metamorfosis”, donde las figuras cambian e
interactúan entre sí, y hasta a veces salen del plano.

34. Teselaciones de Escher
• Realmente el trabajo, y las
imágenes son
extraordinarios! Que
operan en el venerable
principio de la
stereopticon, estas cartas
tienen un objetivo para
cada ojo, una imagen casi
idéntica para cada lente, y
un agujero en el medio para
dar cabida a la nariz.
Usted ajustar el enfoque
de apretar el plegado de
las tarjetas.

35. Teselaciones de Escher

37. 37
TESELACIONES DE
ESCHER

38. 38

39. Teselaciones de Escher y Aplicaciones
• Transformador de Escher
"se deriva de MC Escher del
diseño de un pilar de
hormigón pintada en el
edificio de la Oficina de
Gestión de los Recursos
Hídricos en Haarlem, Países
Bajos (1962). El diseño
incorpora tres relacionados
con el agua motivos
(Simetría Nos 111, 112, 113)
que flujo entre sí para
crear una vertical de la
metamorfosis "de vuelo de
aves y peces" en "barco de
vuelo y los peces" y, por
último, en "barco y los
peces".

40. Otros ejemplos de
Teselaciones de Escher