El documento explica los conceptos de producto punto y producto cruz de vectores. El producto punto es un escalar igual a la magnitud de los vectores multiplicada por el coseno del ángulo entre ellos. El producto cruz es un vector perpendicular a los dos vectores originales, con magnitud igual al producto de las magnitudes por el seno del ángulo. Se dan ejemplos y fórmulas para calcular ambos productos.

2.  
A B  AB cos
El resultado de multiplicar dos
B vectores en producto punto es un
escalar.
  es el menor ángulo entre A y B.
A
El producto punto es conmutativo.
El resultado del producto punto puede ser positivo, negativo o cero.

3. B
Si  < 90º  A·B > 0

A
B Si  > 90º  A·B < 0

A
B
Si  = 90º  A·B = 0
A

4. ˆ ˆ
i  i  (1)(1) cos0º  1 i  ˆ  (1)(1) cos90º  0
ˆ j
ˆ  ˆ  (1)(1) cos0º  1
j j j ˆ
ˆ  k  (1)(1) cos90º  0
ˆ ˆ
k  k  (1)(1) cos0º  1 ˆ ˆ
k  i  (1)(1) cos90º  0

ˆ j ˆ
A  Axi  Ay ˆ  Az k

ˆ j ˆ
B  Bx i  B y ˆ  Bz k
¿Cuál es el resultado de A·B?

5.  
 j ˆ  ˆ j ˆ
A B  Ax i  Ay ˆ  Az k  Bx i  B y ˆ  Bz k
ˆ 
ˆ ˆ j j ˆ ˆ
i i  ˆ  ˆ  k  k 1
ˆ j j ˆ ˆ ˆ
i  ˆ  ˆ  k  k i  0
 
A B  Ax Bx  Ay B y  Az Bz

6. Sean los vectores A = 2i – 3j + k y B = 3i + j + tk, determine el valor
de t para que A y B sean perpendiculares.
 
A B  0
(2)(3)  (3)(1)  (1)(t )  0
t  3

7. Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la medida
del ángulo entre F y L.
 
F  L  FL cos
 
F L
cos 
FL
(2)(3)  (3)(1)  (1)( 1)
cos 
2  3 1
2 2 2
3 1 1
2 2 2
  49.9º

8. Sean los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine la
proyección del vector F sobre L.
 
F  L  FL cos
 
F L
F F cos   FL 
L
(2)(3)  (3)(1)  (1)(1)
FL 
 3 1 1
2 2 2
L
FL  F cos  FL  2.41

9.   
A B  C
El resultado de multiplicar dos
B vectores en producto cruz es otro
vector.
 
 C  A B  ABsen 
A
 es el menor ángulo entre A y B.
Su dirección está dada por
C se encuentra en una dirección la regla de la mano
perpendicular simultáneamente a A y B. derecha.

10. C B
   
A B A   C
C El producto cruz no es conmutativo.

11. ˆ ˆ
i  i  (1)(1) sen0º  0 ˆ j ˆ
iˆk ˆ
ˆ  i  k
j ˆ
ˆ  ˆ  (1)(1) sen0º  0
j j j ˆ ˆ
ˆk  i ˆ j
k  ˆ  i
ˆ
ˆ ˆ ˆ ˆ j
k i  ˆ ˆ ˆ
k  k  (1)(1) sen0º  0 i k   ˆ
j

ˆ j ˆ
A  Axi  Ay ˆ  Az k
k

+
+
j ˆ
B  Bx i  B y ˆ  Bz k
ˆ
j
i +
¿Cuál es el resultado de AB?

12.  
 j ˆ ˆ  j ˆ
A B  Ax i  Ay ˆ  Az k  Bx i  B y ˆ  Bz k
ˆ 
A B  Ay Bz  Az By iˆ   Ax Bz  Az Bx  ˆ  Ax By  Ay Bx k
 
j ˆ
Este resultado es más fácil recordarlo en forma de determinante:
ˆ
i ˆ
j ˆ
k
 
A B  Ax Ay Az
Bx By Bz

13. ˆ
i ˆ
j ˆ
k
 
A B  Ax Ay Az
Bx By Bz
  Ay Az Ax Az Ax Ay
A B  ˆ
i ˆ
j ˆ
k
By Bz Bx Bz Bx By

14. Interpretación geométrica del producto cruz
B
Bsen

A
área del paralelogramo = base  altura
área del paralelogramo = ABsen
 
área del paralelogramo = A B

15. Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine un
vector perpendicular a F y L.
ˆ
i ˆ
j ˆ
k
  
M  F L  2 3 1
3 1 1

ˆ
M  [(3)(1)  (1)(1)]iˆ  [(2)(1)  (1)(3)] ˆ  [(2)(1)  (3)(3)]k
j

j ˆ
M  4iˆ  5 ˆ  7k

16. Dados los vectores F = 2i + 3j + k y L = 3i + j – k, determine el área
del paralelogramo cuyos lados son iguales a las magnitudes de F y L.

j ˆ
M  4iˆ  5 ˆ  7k

área  M  4 2  52  7 2
área  3 10

17. z
3
A
B
4 y
C
5
x

18. Con referencia al paralelepípedo de la figura, el valor de la fuerza
resultante, esto es F1+ F2 es:
a) 73i + 62,9j - 100.5k (N)
b) 123i + 63.5j - 15.5k (N)
c) 123i + 63.5j - 100.5k (N)
d) 73i + 63.5j - 15.5k (N)
e) 73i - 63.5j - 100.5k (N)
F2 = 2F1 = 100 N