El documento describe los elementos de una circunferencia y las relaciones entre los ángulos y arcos formados por diferentes combinaciones de radios, cuerdas, secantes y tangentes. Explica que los ángulos formados por dos radios son iguales al arco medido en grados, mientras que los ángulos formados por dos cuerdas son la mitad del arco. También incluye ejercicios para practicar el cálculo de ángulos en circunferencias.

1. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
LA CIRCUNFERENCIA Y SUS ÁNGULOS
I. ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA:
A L1 O = centro de la circunferencia
L2 OA = OB = OC = radio de la circunferencia
AB = diámetro de la circunferencia
C L1 = recta tangente a la circunferencia
O
D L2 = recta secante a la circunferencia
DE = cuerda de la circunferencia
B
E
Con estos elementos, en la circunferencia, se pueden trazar ángulos que son muy importantes en su aplicación.
Estos tienen una relación con los arcos que forman:
a) Angulo formado por dos radios. b) Angulo formado por dos cuerdas
B B C
β
Ox α Ox
A
A
Relación entre el ángulo y el arco : Relación entre el ángulo y el arco :
α= » AB »
AC
β=
2
c) Los dos ángulos anteriores en una misma e) Varios ángulos inscritos formando el mismo
circunferencia : arco
B α
β C
β
Ox α δ x
O
A
Relación entre los ángulos: α = 2β Relación entre los ángulos: α = β = δ
d) Angulo formado por dos cuerdas f) Angulo formado por dos secantes
C B A D
α P
Ox Ox
α
D B
A C Medida del ángulo α
Medida del ángulo α
» »
BC+AD » - BD
AC »
α= α=
2 2

2. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
g) Angulo formado por dos tangentes h) Angulo formado por una cuerda y una tangente
A
A
α P α
•D
C• Ox
Ox
B B
Medida del ángulo α : Medida del ángulo α :
¼ - ADB
ACB ¼ »
AB
α= α=
2 2
i) Angulos que forma una semicircunferencia j) Angulo formado por una secante y una tangente
: :
C A
A α
α P
Ox Ox B
B C
Medida del ángulo α : Medida del ángulo α :
α = 90° » - AB
AC »
α=
2
k) Arcos formados por rectas paralelas que l) Angulos opuestos de un cuadrilátero inscrito :
cortan a una circunferencia
D A
α D
A
Ox C Ox
β
C
B
Bβ
Relación entre ángulos :
Relación entre arcos
» »
AB = CD α + β = 180°
EJERCICIOS
1. Hallar ∠ BAC 2. ∠ y = 112º
∠x= A C
A B
O x 96º yx
O
x
C B

3. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
3. ∠ x = 75º 4. x= D
y= 60º y= x 65º
A y
D A C
y
Ox
Ox
x C
B
B
Nota: El radio es Perpendicular a cualquier
cuerda
5. α = 72º 6. y = 140º
x= C ∠ BDC = A
y=
A x
y
α
Ox
Ox
B D
B y
C
7. ∠ y = 115º 8. ∠ x = 40º
∠x= C ∠y=
A D
Ox x y B
x E
y
200º
Ox
A B
C
9. ∠ x = 61º 10. x= E
y= y=
A 25º
D
x
x B
y A C
70º
Ox Ox
y
C
B
11. x = 12. x = E
y= D y= y
2x y
2x D
A C x
Ox A C
Ox
3x+10º 3x+6
3x
B
B

4. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
13. Dado: AB diámetro del círculo O, BC es 14. AC bisectriz ∠ BAD
un diámetro del círculo O’, círculo O es ∠ BAC =
tangente al círculo O’ en B. ∠ AEB =
Demuestra que ∠ x = ∠ y ∠ BDC = A
∠ ADB = B
x
Ox 160º
A x x C E
y O O’ C
B 80º D
Nota: 13 y 14 complementarios
SEGMENTANDO EL CÍRCULO
Teorema 1 :
Los dos segmentos tangentes a una circunferencia
desde un punto exterior son congruentes y determinan A
ángulos iguales con el segmento que une el punto
exterior al centro.
OX P
AP , BP segmentos tangentes:
AP = BP , ∠ OPA = ∠ OPB B
Teorema 2 : A
Si se trazan dos rectas secantes desde un punto exterior a una
circunferencia, entonces: B
OX P
AP ⋅ BP = PD ⋅ PC
C
D
A
Teorema 3 :
Si desde un punto exterior a una circunferencia se traza una
recta tangente y una recta secante, entonces:
OX P
AP = PC ⋅ BP
2
B
C
Teorema 4 :
Si se trazan dos cuerdas que se cortan dentro de una circunferencia,
entonces: D
A
OX
AE ⋅ BE = CE ⋅ DE
E
C B

5. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
EJERCICIOS
15. Según la figura : 16. Según la figura :
Si AP = 6 ; BP = 15 y PC = 8 , Si BP = 5 y PC = 20
determinar PD . determina AP
B
A
A
OX P OX
P
C C B
D
17. En la figura : 18. En la figura :
DE = 5 ; EB = 2⋅ AE ; CD = 15 ; OD = 10 ; OE = 8 ;
Determina AE Determina AB
C
D B A B
E
OX OX
E
A C D
19. En la figura: 20. En la figura:
AB = 6 , AD = 3 , AB = 12 , AC = 18 ,
Determina AC Determina CD
B A
D
OX
OX
C
C D A
B
21. En la figura: 22. En la figura :
AD = DB , EC = 14 , AE = 4 , OC = 5 , AE = 6 , BD = 4 ,
Determina AD Determina AD
B B
D
C
O D
OX A X
E E
C A

6. COLEGIO SANTA CRUZ
DEPTO. MATEMATICA
23. En la figura: 24. En la figura:
BP = 5 , AB = 3⋅ BP , PT = 4 6 , AO = 5 ,
Determina PT Determina BP
T
B
O
OX X
B P B
A
P
25. Dos cuerdas de una circunferencia se intersectan. Las longitudes de los segmentos de
una cuerda son 4 y 6 . Si la longitud de un segmento de la otra cuerda es 3.
¿ Cuál es la longitud del otro segmento ?
26. Dos cuerdas AB y EF se cortan en H . Calcular la medida del segmento EH
sabiendo que AB , EF y AH miden 146 , 142 y 90 cm , respectivamente.
27. En la figura: 28. En la figura:
1 AP = 90, AB : BP = 7 : 8, DP = 16
CD = DP , BP = 4 , CP = 21 ,
2 Determina CP
Determina AP
P C
B
A D
OX
OX D A
P B
C
Nota: Números 27 y 28 complementarios