El documento presenta las soluciones a 6 problemas de ecuaciones diferenciales. En el primer problema se comprueba que y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) es una familia de soluciones de la ecuación diferencial x2y00 + xy0 + y = 0. En el segundo problema se comprueba que y = C1ex+C2e−x+C3e2x+3 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial y000 − 2y00 − y0 + 2y = 6. En el tercer problema se determina que k = 0 o k
“La teoría de la producción sostiene que en un proceso productivo que se caracteriza por tener factores fijos (corto plazo), al aumentar el uso del factor variable, a partir de cierta tasa de producción
EL MERCADO LABORAL EN EL SEMESTRE EUROPEO. COMPARATIVA.ManfredNolte
Hoy repasaremos a uña de caballo otro reciente documento de la Comisión (SWD-2024) que lleva por título ‘Análisis de países sobre la convergencia social en línea con las características del Marco de Convergencia Social (SCF)’.
1. Ampliación de Matemáticas
Primera prueba de evaluación
1. Comprueba que y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
x2y00 + xy0 + y = 0
Solución
Derivando, se tiene
y0 =
1
x
(−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x))
y, también
y00 =
1
x2 ((C1 − C2) sen(ln x) − (C1 + C2) cos(ln x))
Por lo tanto
x2y00 + xy0 + y = (C1 − C2) sen(ln x) − (C1 + C2) cos(ln x)
−C1 sen(ln x) + C2 cos(ln x)
+C1 cos(ln x) + C2 sen(ln x)
= 0
Así, pues, y = C1 cos(ln x)+C2 sen(ln x) verifica la ecuación diferencial y es, por tanto, una familia
de soluciones.
2. Comprueba que y = C1ex+C2e−x+C3e2x+3 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
y000 − 2y00 − y0 + 2y = 6
Solución
Se tiene
y0 = C1ex − C2e−x + 2C3e3x,
y00 = C1ex + C2e−x + 4C3e3x
e
y000 = C1ex − C2e−x + 8C3e3x
Por tanto
y000 − 2y00 − y0 + 2y = C1ex − C2e−x + 8C3e3x
−2C1ex − 2C2e−x − 8C3e3x
−C1ex + C2e−x − 2C3e3x
+2C1ex + 2C2e−x + 2C3e2x + 6
= 6
2. 3. Comprueba que y = cx + c2 es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
y = xy0 + (y0)2
Determina k de forma que y = kx2 sea una solución singular de la ecuación diferencial dada.
Solución
Se tiene que y0 = c y, por tanto,
xy0 + (y0)2 = xc + x2 = y
Por otra parte, para que y = kx2 sea solución de la ecuación debe cumplirse que
kx2 = 2kx2 + (2kx)2
(Observa que y0 = 2kx). De donde
(k + 4k2)x2 = 0
Así que debe ser
k + kx2 = 0
y, resolviendo, o bien k = 0 o bien k = −1/4.
4. Encuentra, si es posible, m tal que y = xm sea solución de la ecuación diferencial
x2y00 + 6xy0 + 4y = 0
Solución
Teniendo en cuenta que y0 = mxm−1 e y00 = m(m − 1)xm−2, para que y = xm sea solución de la
ecuación diferencial debe verificarse que
m(m − 1)xm + 6mxm + 4xm = 0
Es decir, que
m(m − 1) + 6m + 4 = 0
Resolviendo, entonces la ecuación. obtenemos m = −1 o m = −4.
5. Un medicamento se inyecta en el flujo sanguíneo de un paciente con intensidad constante r gra-mos/
segundo. Simultáneamente, la sustancia se elimina con una velocidad proporcional a la can-tidad
de sustancia x(t) presente en cada instante. Halla la ecuación diferencial que explica el
comportamiento de x(t).
Solución
dx
dt
= r − kx, k > 0
3. 6. Comprueba que
y = 3
1 + ce6x
1 − ce6x
es una familia de soluciones de la ecuación diferencial
dy
dx
− y2 = −9
Determina, si existen, soluciones que pasen por los puntos a) (0, 0), b) (0, 3) y c) (1/3, 1)
Solución
Derivando, se tiene
y0 =
36ce6x
(1 − ce6x)2
Por lo tanto,
y0 − y2 =
36ce6x
(1 − ce6x)2
− 9
(1 + ce6x)2
(1 − ce6x)2 = −9
Por otra parte, se tiene que para que la curva solución pase por (0, 0) ha de cumplirse que
0 = 3
1 + c
1 − c
de donde c = −1. Del mismo modo, para que pase por (0, 3) ha de verificarse que
0 = 3
1 + ce18
1 − ce18
de donde se obtiene que c = −e18. Finalmente, para que pase por (1/3, 1) debe ser
1/3 = 3
1 + ce6
1 − ce6
y, resolviendo, c = −(4/5)e−6.