Este documento describe los sistemas de numeración y los principios fundamentales de cambio de base. Explica que los sistemas de numeración son conjuntos de reglas para representar números y que incluyen principios como el orden de las cifras y la base. Luego detalla los principales sistemas como el binario, ternario y decimal, y métodos para cambiar entre bases como conversiones directas y divisiones sucesivas. Finalmente, presenta problemas de aplicación.

1. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
SISTEMAS DE NUMERACIÓN
PROPOSITO: IDENTIFICA LOS SISTEMAS DE NUMERACIÓN Y REALIZA CAMBIOS DE BASE DE
MANERA CORRECTA CON LA AYUDA DEL DOCENTE.
Concepto
Es la parte de la Aritmética que se encarga del estudio de la correcta
formación, lectura y escritura de los números.
Número
Es el primero y básico de los conceptos matemáticos y nos permite
cuantificar los objetos de la naturaleza.
Numeral
Es la representación simbólica o figurativa del número.
Ejemplo: 15, XV, 24
– 1
6, VI, 22
+ 2, 32
– 3
SISTEMA DE NUMERACIÓN
Concepto
Es un conjunto de reglas, principios y convenios que se utilizan para
representar y expresar a los llamados numerales
Principios:
• Del Orden
Toda cifra de un numeral posee un determinado orden el cual empieza
de uno y se encuentra a la derecha a izquierda.
Ejemplo:
6 5 4 3 2 1  Orden
Numeral: 2 7 3 9 7 5
Lugar
(Lectura)
1 2 3 4 5 6
• De la Base
Es un numeral referencial que nos indica como debe agruparse las
cantidades para formar las órdenes de un numeral en cierto sistema de
numeración.
Ejemplo
342 n → base
“Nos indica que se agrupará de “n” en “n” en dicho sistema”
- La base toma valores enteros y positivos mayores o iguales que 2
n  2 o sea n = {2, 3, 4, 5, .........}
- Entonces la base mínima: n= 2
Veamos en forma grafica: representa el número 16 en base 3
O sea que: 16 = 121(3)
Otro ejemplo: representar el número 17 en base 5
• De las cifras:
Las cifras cumplen las siguientes condiciones
- Pertenecen a Z (cifras  Z)
- Son menores que la base (cifras < n)
- La cifra máxima es una unidad menor que la base cifra = (base - 1)

2. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
- Toman valores enteros menores que la base.
Si la base “n”; se pueden utilizar en las cifras
0, 1, 2, 3, 4, ............., (n – 1) máxima cifra
cifra significativa
cifra no significativa
• Principales sistemas de numeración
Base Sistema de Numeración Cifras
2 Binario o Dual 0,1
3 Temario 0, 1, 2
4 Cuartenario 0, 1, 2, 3
5 Quinario 0, 1, 2, 3, 4
6 Senario y Sexanario 0, 1, 2, ........... 5
7 Heptanario 0, ..........., 6
8 Octanario 0, ..........., 7
9 Nonario 0, ...........; 8
10 Decimal o Decuplo 0, ..........., 9
11 Undecimal 0, ..........., 9, (10)
12 Duodecimal 0, ..........., 9(10), (11)
Son frecuencia se estila utilizar las siguientes letras parea denotar
algunas cifras:
Alfa   10 Gamma   2 Epsilon   14
Beta   11 Delta   13
• Representación Literal de Numerales:
- Numeral de 3 cifras de base “n” : )
n
(
abc
- Numeral de 4 cifras de base “n” : )
n
(
abcd
- ab : numeral de 2 cifras:
- (10, 11, 12, ................ 98, 99)
- abc : numeral de 3 cifras: (100, 101, 102 ........... 998, 999)
- aaa : numeral de 3 cifras iguales:
(111, 222, 333, ..........., 999)
- ab
18 : numeral de 3 cifras que empiezan en 18.
(1800, 1811, 1812, .......)
- )
2
a
)(
1
a
(
a +
+ Numeral de tres cifras consecutivas. (123; 456;
567.....)
OBSERVACIONES:
1. LA PRIMERA CIFRA DE UN NUMERAL DEBERÁ SER SIGNIFICATIVA
(DIFERENTE DE CERO)
2. TODO AQUELLO QUE ESTÉ ENTRE PARÉNTESIS EN EL LUGAR DE LAS
CIFRAS, REPRESENTA UNA DE ELLAS
3. SE DENOMINA NUMERAL CAPICÚA A AQUEL QUE LEÍDO DE IZQUIERDA A
DERECHA O VICEVERSA SE LEE IGUAL.
EJEMPLO: 33; 454; 777: 7887
abba
aba
aa ,
,
CAMBIOS DE BASE EN Z:
Caso N° 1: De base “n” a base 10 existen tres métodos:
- Ruffini
- Descomposición polinómica
- Practico: sube y baja
A. M Ruffini:
Ejemplo: Convertir 215(6) a base 10
Resolución
O sea que: 215(6) = 83

3. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
25
Ejemplo
Convertir 127(8) a base 10.
O sea que:
127(8) = 87
B. Descomposición Polinómica
Ejemplo:
Convertir 324(6) a base 10
Resolución
324(6) = 3 . 62
+ 2 . 61
+ 4
= 108 + 12 + 4
= 124
O sea que: 324(6) = 124
Ejemplo:
Convertir 542(7) a base 10
Resolución
542(7) = 5 . 72
+ 4 . 7 + 2
= 245 + 28 + 2
= 275
O sea que:
542(7) = 275
C. M. Practico: Sube y Baja
Convertir 215(6) en base 10
O sea que:
215(6)= 83
Convertir 542(7) en base 10
O sea que:
215(6)= 83
Caso N° 2: De la base 10 a base “n”
El único método es el de divisiones sucesivas
Ejemplo: Convertir 1234 a base 5
Resolución

4. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
26
27
Ejemplo: Convertir 431 a base 4
Ejemplo: Convertir 500 a base 9
Caso N° 03: De base “n” a base “m”
Ejemplo: Convertir 152(7) al sistema de numeración undecimal
Resolución
A. Convertir 152(7) a base 10
Osea 152(7) = 86
B. Halla el número 86 convertir a base 11 a través de divisiones sucesivas.
Ejemplo: convertir 401(6) a base 4
A)
B)
Luego:
401(6)  1501(4)
RESUMEN:
DE BASE “N” A BASE “M”
PASO A: DONDE “N” A BASE “10”
PASO B: DE BASE 10 A BASE M
(DIVISIONES SUCESIVAS)
PROPIEDAD FUNDAMENTAL:

5. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
28
Dado: )
(
)
( m
n pqr
abc =
Si: pqr
abc  → n < m
Si: pqr
abc  → n > m
Ejemplo N° 01: Hallar “a”
Siendo: )
7
(
)
4
( 2pr
abc =
Resolución
a > 2  a < 4
 2 < a < 4 → . a = 3 .
Ejemplo N° 02: Hallar “m” si 200(m) = 102(4)
Resolución
2 < m < 4 → . m = 3 .
Ejemplo N° 03: Hallar “m”
144(6) = 224(m)
Resolución
4 < m < 6
m = 5
PROBLEMAS APLICATIVOS
1. Convertir el desarrollo a base 5.
2 . 53
+ 1 . 52
+ 2 . 5 + 4
Resolución
Analicemos:
2. Convertir el desarrollo a base 7.
1 . 73
+ 4 . 7 + 3
Resolución
Analicemos
3. Convertir el desarrollo a base 3.
2 . 34
+ 1 . 33
+ 10
Resolución

6. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
O sea:
4. Convertir el desarrollo a base 8
5 . 85
+ 17
Resolución
Analicemos
5 . 85
+ 17





1
8
.
2 +
Luego tenemos:
5. Convertir el desarrollo a base 11
10 . 113
+ 9 . 112
+ 10 . 11 + 3
Resolución
Analicemos:
Pero sabemos que:   10.
Luego:
 9  3(11)
PROBLEMAS DE APLICACION
1. Convertir a base 10, cada caso:
A) 341(5) B) 100001(2)
C) 203(4) D) 107(8)
2. Convertir a base 3, cada caso:
A) 107 B) 706
C) 9081 D) 24
3. Hallar el valor de a + b + c
si: )
7
(
abc = 318(9)
Rpta.
4. Determinar el valor de “n”
Si: )
8
(
2
nn = 218
Rpta.
6. Hallar “a + b ” si se cumple:
)
8
(
6
ab = 3232(4)
Rpta.
7. Si los numerales están
correctamente escritos:
210(a); )
(
)
5
( 1
;
21 b
aa
b
Hallar “a . b”
Rpta.
8. Si los numerales están
correctamente escritas
705(m); 7
n
2
;
0
m
8 )
n
(
Hallar: m + n
Rpta.
9. Hallar “m/n”; si los siguientes
numerales están correctamente

7. MAG. LAMJ MAG. LAMJ
MATEMATICA 1º MATEMATICA 1º
32
33
5. Hallar “a + b”, si se cumple
)
(
3
7 b
a = 586(9)
Rpta.
escritos
211(n); )
5
(
)
(
23
;
2 m
p
n m
Rpta.
10.Hallar “m”
)
7
(
)
5
)(
2
( +
+ m
m
m
Rpta.
11.Hallar “n
( )( )
4
1
n
n
2
n
+






Rpta.
12.Hallar “P”
)
4
(
3
+






P
P
P
(8)
Rpta.
13.Hallar “a + b”, si se cumple:
ab
m
m
m
=
+






)
6
(
)
2
(
3
Rpta.
14.Hallar “m + n + p”; si se
cumple:
mnp
a
a =
− )
7
(
3
)
2
)(
3
(
Rpta.
15.Hallar: “a + b + c” si le cumple:
bc
a
a
a =
−
+ )
3
(
)
)(
1
)(
1
(
Rpta.
16.Si:
N = 3 . 84
+ 4 . 83
+ 7 . 82
+ 35;
como se expresa N en base 8.
Rpta.
ME PREGUNTAS ¿QUÉ ES DIOS? NO SÉ QUÉ DECIRTE;
LO QUE SI PUEDO AFIRMAR ES QUE SIEMPRE SERÁ
MUCHO MÁS DE LO QUE LA NATURALEZA HUMANA
PUEDE OFRECERTE.
FRANCISCO JARAMILLO