ley de coulomb

1. Cargas eléctricas y Ley de Coulomb
Tema 1

2. Contenido
● Carga eléctrica
● Principio de cuantización de la carga
● Conductores, aisladores y semiconductores
● Principio de Conservación de la carga
● Ley de Coulomb
● Principio de superposición
● Distribución de cargas contínuas
● Densidades de carga
● Relaciones entre las densidades de carga

3. Introducción
Existen en la naturaleza 4 fuerzas fundamentales:
● La fuerza de Gravedad
● La fuerza electromagnética
● La fuerza nuclear fuerte
● La fuerza nuclear débil
Hasta aquí Uds sólo han estudiado la fuerza de Gravedad. En éste curso
nos centraremos en el estudio de la mas común de estas fuerzas en nuestra
vida diaria, el electromagnetismo, que abarca tanto la fuerza eléctrica
como la fuerza magnética.
El electromagnetismo es el estudio de los fenómenos eléctricos y
magnéticos. Diremos en forma preliminar que estos son producidos por
cargas eléctricas, en reposo o en movimiento. La carga eléctrica es un
atributo tan fundamental como la masa. La palabra carga, proviene de
frotar cargando entre sí dos cuerpos.
Aquí se pueden distinguir varias secciones del electromagnetismo:
Electrostática, Circuitería, Magnetostática, Electrodinámica, etc.

4. Concepto de Carga Eléctrica
La existencia de la interacción eléctrica fue registrada hace 2500 años por
el griego Tales de Mileto, quién observó que un pedazo de ámbar (una
resina) al ser frotada con un paño, atraía pedacitos de hojas secas. La
palabra griega para ámbar es elektron.
La carga eléctrica es un atributo o propiedad de la materia tan
fundamental como la masa, y se hace presente en sus partículas
elementales constituyentes. En la actualidad, interpretamos la aparición de
la carga eléctrica por frotamiento como una transferencia de electrones de
un cuerpo a otro. Otra forma de aparición es la inducción electrostática.
Todo cuerpo es naturalmente neutro. Está formado por átomos y
moléculas que, a su vez, tienen igual número de cargas positivas y
negativas, o sea, igual número de protones y electrones. El electrón tiene
la unidad fundamental de carga eléctrica. Esto no tiene nada que ver con
los sistemas de unidades de medida ya que estos son convencionales.

5. Principio de cuantización de la carga
Hasta ahora, no se conoce ninguna otra partícula libre que tenga una
carga menor que la del electrón y toda otra carga carga mayor que ésta
es un múltiplo entero de ella.
El principio de cuantización de la carga eléctrica, es un principio
fundamental de la naturaleza y se refiere a que todas las cargas son
multiplos enteros de la carga eléctrica.
Como se sabe, existen dos tipos de carga, nombradas positiva y
negativa, habiéndose asignado al protón la carga positiva y al electrón,
la negativa. El valor absoluto de la carga del electrón en el Sistema
Internacional (S.I.) de unidades de medidas, tiene un valor
e≈1,60217733±0,00000049×10−19
C
En nuestro caso, utilizaremos en valor . Entonces
el principio de cuantización de la carga eléctrica establece que la carga
neta de cualquier cuerpo es q = ± Ne donde N = entero.
e=1,602×10
−19
C

6. Carga Eléctrica (teoría moderna)
● Todos los materiales están hechos de pequeños “bloques estructurales”
llamados átomos.
● Todos los átomos contienen particulas llamadas electrones, protones y
neutrones.
● Los electrones tienen carga negativa (-).
● Los protones tiene carga positiva (+).
● Los neutrones no tiene carga electrica.
● Los electrones pueden ser extraídos de los átomos mucho más
fácilmente que los protones y neutrones.
● El número de protones en un núcleo atómico determina su identidad
como un elemento único.
● La unidad de medida de la carga eléctrica es el Coulomb
1 Coulomb = 1 Ampère segundo
1 Ampère o 1 amp, es la unidad básica en el sistema S.I., no el Coulomb.
1 amp= cargas elementales por segundo
6.24150962915265×1018

7. Carga Eléctrica (estructura de la materia)
La estructura básica de la materia son los átomos. El núcleo tiene dimensiones
del orden de m. Los electrones giran alrededor del núcleo a distancias
del orden de m.
10−15
10
−10
Masa del electrón
Masa del Protón
Masa del Neutrón
Unidad de Carga
=me=9,1093818872×10
−31
kg
=mp=1,6726215813×10−27
kg
=mn=1,6749271613×10
−27
kg
mnucleo≈2000me 99% de la masa de átomo es su núcleo
=e=1,60217646263×10−19
C

8. Propiedades eléctricas
En la naturaleza existen, principalmente, tres clases de cuerpos en cuanto
a sus propiedades eléctricas: conductores, aisladores y semiconductores.
Los conductores son cuerpos que, aunque estén neutros, tienen una
enorme cantidad de electrones libres, es decir, no ligados a los átomos,
aptos para conducir la electricidad. Obviamente, la carga de estos
electrones es neutralizada por la de los protones nucleares que están en
los núcleos que supondremos fijos. Como ejemplo de conductores
podemos mencionar a los metales y a los electrolitros.

9. Propiedades eléctricas
Los aisladores no conducen la electricidad ya que no poseen cargas
libres, pero sus moléculas pueden polarizarse bajo influencia de una
interacción eléctrica externa. Que se polaricen significa que estas
moléculas, aunque neutras, pueden deformarse y/o orientarse, en mayor
o menor grado. Esto confiere a los aisladores las denominadas
propiedades dieléctricas que estudiaremos después.

10. Propiedades eléctricas
Los semiconductores, que son la base de la electrónica actual, son
cuerpos con propiedades de conducción intermedias entre los
conductores y aisladores. En ellos se puede variar, con relativa
facilidad, el número de cargas libres o portadores de electricidad. Por
ejemplo, el silicio y el germanio.

11. Experimentos con Aisladores
Para hacer estos experimentos usaremos un detector y medidor de
carga eléctrica llamado nanocoulombímetro, sin conocer sus
principios.
El nanocoulombímetro es una cajita
que tiene un disco metálico fijo, el que
se toca con el cuerpo cuya carga se
desea detectar. En su frontis aparece el
signo y la lectura de la carga
transferida a él. 1 nC = 10 -9
C.
1º) Se frota una barra de vidrio con un
paño de seda. Al ponerlos en contacto,
separadamente, con el
nanocoulombímetro, verificamos que
la barra de vidrio queda cargada
positivamente y la seda,
negativamente.
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-

12. Experimentos con Aisladores
2º) Se frota una barra de baquelita con
un paño de seda. Al ponerlos en
contacto, separadamente, con el
nanocoulombímetro, verificamos que
la barra de baquelita queda cargada
negativamente y la seda,
positivamente.
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-
-
-
3º) Sean dos esferitas de igual
masa de un aislador liviano
(corcho o plumavit), colgadas
con hilos de igual longitud y que
se les ha dotado de carga por
contacto con las barras
anteriores.
+ -
+
+
+
+
+
+
-
-
-
-
-

13. Experimentos con Aisladores
En este último caso, observamos que:
a) dos esferas en contacto con vidrio se repelen,
b) esferas en contacto con baquelita se repelen,
c) las que estuvieren con barras diferentes, se atrae.
Así se distinguió la existencia de dos clases de carga. Además, en esta
experiencia se ve que la fuerza de interacción depende de la magnitud
de las cargas y que disminuye con la distancia.

14. Experimentos con Aisladores
4º) Repetimos, la observación hecha por Tales de Mileto. Acercamos
una barra de plástico cargada en un extremo a un pedacito de papel
seco y vemos que aunque el papelito se supone neutro, es atraído por la
barra.
La razón de este hecho se debe a que
el papel seco es un aislador
polarizable, y como resultado de la
interacción que tiene el papel presenta
a la barra un borde de signo opuesto
más cerca que el otro por lo que la
fuerza atractiva es mayor.
++
++
++
++
++
++
- -
- -
- -

15. Generador de van der Graaff
Existe una máquina para obtener grandes cargas eléctricas por
frotamiento. Es el generador de van der Graaff, el cual consiste en una
correa aisladora que mediante un torque motor, se mueve entre dos
poleas.
En contacto con ella existe en la parte
inferior una escobilla que entrega carga y
otra, en la parte superior, dentro de una
esfera metálica, que la extrae y la entrega a
la esfera. Allí la carga se acumula y se
puede sacar mediante las denominadas
copas metálicas (o barras) para hacer
experimentos. El símbolo inferior representa
una conexión a tierra, que es un gran
receptáculo de cargas.

16. Experimentos con Conductores
1º) Acerquemos, sin tocar, una copa cargada a dos esferas metálicas en
contacto. Dado que las esferas metálicas poseen electrones libres, ellos
migran debido a la interacción con la copa cargada, produciendo la
llamada polarización o inducción estática entre ellas. Ella polariza a
ambas esferas como si se tratara de un sólo cuerpo.
En la figura, una copa cargada positivamente polariza a dos esferas en
contacto, después, estando presente la copa, se separan las esferas y
finalmente se aleja la copa quedando las esferas con cargas iguales y
opuestas.

17. Experimentos con Conductores
2º) Acerquemos, sin tocar, una barra cargada a una esfera metálica neutra
y aislada. Los electrones se acumulan en un lado de la esfera, y del otro
lado se produce deficiencia de electrones (carga +). Después, se conecta
un alambre que permite que los electrones acumulados fluyan a tierra.
Se desconecta el alambre de la esfera y se retira la barra con carga. Los
electrones de la esfera se redistribuyen: la esfera en conjunto tiene una
deficiencia de electrones. En forma análoga, si se acerca una barra
cargada postivamente, se produce al final una esfera cargada
negativamente.

18. Electrostática
La electrostática es el fenómeno que ocurre cuando las interacciones
entre cargas eléctricas están en reposo (o casi).
Cargas distintas se atraen Cargas iguales se repelen

19. Principios básicos (carga)
Principio de Conservación de Carga: En todos los experimentos que hemos
descrito y en los que podamos imaginar se verifica este importante principio.
Este principio establece que la suma algebraica de todas las cargas eléctricas
de cualquier sistema cerrado es constante.
Segundo Principio: La magnitud de la carga del electrón o del protón es
una unidad natural de carga
∑qi=cte
∣e
−
∣=∣p

∣=1carga

20. Principios básicos (carga)
La carga negativa del electrón tiene exactamente la misma magnitud
que la carga positiva del protón.
En un átomo neutro, el número de electrones es igual al número de
protones, y la carga eléctrica neta (la suma algebraica) es cero.
El número de protones o de electrones de un átomo neutro es el
número atómico del elemento.
Si se separa uno o mas electrones, la estructura restante con carga
positiva es un ion positivo. Un ion negativo es un átomo que ha
ganado uno o mas electrones.
Esta ganancia o pérdida de electrones se conoce como ionización

21. Ley de Coulomb
Charles Augustin Coulomb (1736-1806) estudió en detalle, en 1784,
las fuerzas de interacción de las partículas con carga eléctrica. Utilizó
una balanza de torsión de Cavendish.
Fibra de torsión
Escala
Cargas
Cargas

22. Ley de Coulomb
La balanza de torsión consiste en una barra liviana colgada en su centro
por un hilo de cuarzo (fibra de torsión) cuya constante elástica torsional κ
se conoce.
En los extremos de la barra existen esferitas (o barras) de igual masa.
Una de ellas, la 1, posee carga eléctrica y se enfrenta a otra, la 2, fija en
el laboratorio y con una carga de igual signo. Según los datos de la
figura, se ve que la magnitud de la fuerza de interacción se puede medir
con la ecuación
Torque= par recuperador
F b= F=

b
Experimentando con diferentes cargas y diferentes longitudes de barra,
Coulomb encontró que para cargas puntuales, la magnitud de la fuerza de
interacción era inversamente proporcional al cuadrado de la distancia
entre ellas y directamente proporcional al producto de sus cargas.

23. Ley de Coulomb
+
+
+
-
r r
q2
q1
q1
q2

F2 sobre1

F2 sobre1

F1 sobre 2

F1 sobre 2
La magnitud de cada una de las fuerzas eléctricas con que interactúan 2
cargas puntuales es directamente proporcional al producto de las cargas
e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa con
dirección según la linea de unión, dependiendo del signo de las cargas.
F ∝
∣q1 q2∣
r2
⇒ F=k
∣q1 q2
∣
r2
(1)

24. Ley de Coulomb
El valor de la constante de proporcionalidad k depende del sistema de
unidades que se utilice. En el S.I.
k=8,987551787×10
9
N m
2
/C
2
≈9×10
9
N m
2
/C
2
En unidades S.I., la constante k se describe por lo general
k=
1
4o
Luego la Ley de Coulomb se puede expresar de la siguiente manera
F=
1
4o
∣q1 q2∣
r2
donde, definimos la permitividad del vacío por
o=8.854×10−12
C2
/ N m2
(2)

25. Ley de Coulomb (forma vectorial)

F1,2=
1
4o
q1 q2
r1,2
2

r1,2

F2,1=
1
4o
q1 q2
r2,1
2

r2,1
Y análogamente, la fuerza que actúa sobre la partícula 1 debido a otra
partícula cargada 2 es:

F1,2=−
F2,1 (3)
Sean dos partículas cargadas, y en el vacío, ubicadas mediante los
vectores posición y respecto a un sistema de referencia. La ley de
Coulomb establece que la fuerza que actúa sobre una partícula cargada 2
debido a otra partícula cargada 1 es:

r1 
r2
q1 q2

r2,1=
r2−
r1

26. Ley de Coulomb (forma vectorial)

Fij=
1
4o
qi q j
rij
2

rij
En general, sean dos partículas cargadas, y en el vacío, ubicadas
mediante los vectores posición y respecto a un sistema de
referencia. La ley de Coulomb establece que la fuerza que actúa sobre una
partícula cargada i debido a otra partícula cargada j es:

ri 
r j
qi q j

rij=
ri−
r j
q j qi

ri

r j

rij=
ri−
r j
rij
rij=
ri−
r j⋅
ri−
r j
La cantidad es la magnitud o norma del vector distancia que llega
al punto i desde el punto j. O sea, si tenemos
Y donde el vector unitario es 
rij=

ri−
r j
rij
(4)
(5)
(6)

27. Ley de Coulomb (forma vectorial)
Ejemplo 1: Calcular la fuerza que actúa sobre la carga
ubicada en el punto de un sistema cartesiano, y que es
ejercida por una carga puntual , fija en el punto
q1
q2=2,0×10
−6
C
P1=5,5 cm
P2=1,2 cm
q2
q1=−1,0×10−6
C
Solución: Aplicamos Ley de Coulomb

F12=k
q1 q2
r12
2

r12
En que 
r12=

r1−
r2
r12
=
i
x1−x2
r12

j
y1−y2
r12
Donde r12=x1−x2
2
 y1−y2
2
Reemplazando datos luego
r12=5−1
2
5−2
2
=5cm=0,05m

r12=
i
5−1
5

j
5−2
5
=0,8
i0,6 
j

F12
Entonces

F12=k
q1 q2
r12
2

r12=9×10
9 −1×10
−6
2×10
−6

0,05
2
0,8
i0,6 
j=−5,8
i−4,3 
j N

28. Principio de Superposición
La ley de Coulomb, tal como la hemos expresado, describe sólo la
interacción de 2 cargas puntuales.
Los experimentos muestran que, cuando 2 cargas ejercen fuerzas
simultaneamente sobre una tercera carga, la fuerza total que actúa sobre
sobre esa carga es la suma vectorial de las fuerzas que las 2 cargas
ejercerían individualmente.
Esta propiedad llamada principio de superposición de fuerzas es válida
para cualquier número de cargas. Con base a éste principio, podemos
aplicar la ley de Coulomb a cualquier conjunto de cargas.
En términos estrictos, la ley de Coulomb como la hemos expresado sólo
debe aplicarse a cargas puntuales en el vacío. Si hay materia en el espacio,
se deben hacer otras suposiciones.

29. Principio de Superposición
Si sobre una partícula cargada q0
actúan varias partículas cargadas qi
,
entonces, la fuerza total sobre q0
es la suma vectorial de todas las fuerzas
que sobre ella ejercen independientemente todas las otras, es decir,

F0=∑
i=1
N

F0i=
F01
F02
F03...
O bien, explicitamente

F0=k q0 ∑
i=1
N
qi
r0i
2

r0i
(7)
(8)

30. Ley de Coulomb (ejemplos)
Ejemplo 2: Tres cargas puntuales , y desconocidas en
magnitud y signo, se colocan, respectivamente, en los puntos (0,0), (a,0)
y (0,b) de un sistema cartesiano y son tales que ejercen sobre una
fuerza de componentes desconocidas y . Después se
rearreglan estas cargas de modo que, aunque queda en (0,0), ocupa
el lugar de y ésta se traslada al punto (-a,0), como en la figura.
Determine las nuevas componentes y de la fuerza sobre en
función de y .
q0 q1 q2
q0
F x F y
q0
q1
q2
F 'x F ' y q0
F x F y
q0 q1
q2
b
a x
y
q0
q2
q1
b
−a x
y

31. Ley de Coulomb (distribución contínua)
Hemos visto que la carga eléctrica está cuantizada, pero desde el punto de
vista macroscópico, puede considerarse que en los materiales puede formar
un contínuo, pudiendo aplicarse en su anális el Cálculo Diferencial.
En la electrostática se pueden distinguir dos tipos de materiales:
● Los metales, en que las cargas en exceso se ubican en la superficie
(hablaremos, en este caso, de distribuciones superficiales) y
● Los aisladores, en que las cargas en exceso se pueden fijar en el interior
del material. En este último caso, supondremos por ahora, que sus
moléculas no son polarizables, es decir, que por la acción del campo
eléctrico sus moléculas no se estiran dejando en ellas zonas positivas y
negativas (hablaremos, en este caso, de distribuciones volúmicas de carga).

32. Ley de Coulomb (distribución contínua)
Para aplicar la Ley de Coulomb a situaciones en que aparezcan estos
materiales se los subdivide formando elementos de carga y se aplica el
principio de superposición reemplazando la suma vectorial por una
integral vectorial. Así la fuerza neta sobre una carga puntual es

Fneta=∫d 
F
Por ejemplo, para problemas en que intervienen la interacción entre una
carga puntual y una distribución contínua, se debe usar la forma
diferencial de ella, es decir, se considera la interacción entre la carga
puntual q0
y un elemento de carga dq de la distribución:
d 
F=k
q0 dq
r2

r
(9)
(10)
Para el cálculo de la fuerza, integramos, pero debemos conocer la forma
geométrica del cuerpo y, además, conocer la manera en que varía la
densidad de carga en todos sus puntos.

33. Ley de Coulomb (distribución contínua)
En este caso, el vector unitario, , tiene dirección variable, que llega a la
carga q0
desde el elemento de carga dq.

r
dq
q0
d 
F=k
q0 dq
r
2

r

r
r
Distribución contínua de cargas

34. Densidades de carga
Según sean la forma y la naturaleza del cuerpo se distinguen tres
densidades de carga:
=
dq
dl
C /m
● Si dq es el elemento de carga contenido en un elemento de volúmen
dv de un cuerpo, se define como densidad volúmica de carga a:
(11c)
=
dq
dS
C /m
2

● Si dq está en un elemento de superficie dS del cuerpo, se define
como densidad superficial de carga a:
(11b)
=
dq
dv
C /m3

● Si dq está en un elemento lineal dl del cuerpo, se define como
densidad lineal de carga a:
(11a)
dq=dv
dq=dl
dq= dS
d 
F=k
q0 dv
r
2

r
d 
F=k
q0  dS
r2

r
d 
F=k
q0 dl
r
2

r

35. Distribuciones contínuas
Relaciones entre las densidades de carga:
Consideremos un bloque homogéneo de espesor t, ancho w y largo l,
con densidad volúmica de carga ρ = cte.
Su carga q se puede expresar de varias formas:
q=v=t w l=t S= S ⇒=t
q= S= w l=l ⇒= w⇒=t w
l
t
w
(12)
En el caso de cuerpos infinitesimales, por ejemplo se puede hacer
Si dq=dx dy dz= dy dz  =dx

36. Distribuciones contínuas (propiedades)
Si las densidades de cargas λ, σ, y ρ son constantes, se dice tener una
distribución uniforme; pero si dependen de las coordenadas, obviamente
se trata de una distribución no uniforme.
El signo de la carga está incluido en ellas, por ejemplo,
=−5×10
−6
C /m
En el caso de la ley de Coulomb,
d 
F=k
q0 dq
r
2

r
En lugar de dq se escribe λdl, σdS o ρdv, según sea el caso, entonces

F=k q0∫ dq
r2

r (13)

37. Distribuciones contínuas (Ejemplo)
Ejemplo 3: Una carga eléctrica positiva q está distribuida
uniformemente a lo largo de una línea de longitud 2a, que yace sobre el
eje “y” entre y=-a e y=+a. Encuentre la fuerza eléctrica que actúa
sobre una carga Q situada sobre el eje “x” a una distancia x del orígen.
dl=dy
dq
x
y
O
a
-a
α
y
x
r
d 
F
d F y
d F x
q
Q

38. Distribuciones contínuas (Ejemplo)
Ejemplo 4: Una carga q=5.0 μC está distribuída uniformemente sobre
un arco de circunsferencia de radio R=10 cm. Determine y calcule la
fuerza que esta distribución ejerce sobre una carga puntual ubicada en
el centro de curvatura, como en la figura de valor q0
= 2.0 μC .
x
y dl, dq
λ
R
q0
θ

r
d 
F

39. Distribuciones contínuas (Ejemplo)
Ejemplo 5: Determinar la fuerza que una esfera de radio R, carga q
y densidad de carga superficial σ constante, ejerce sobre una carga
puntual q0
colocada, a) afuera de ella y b) adentro de ella.
Respuestas: 
F0=k
q0 q
r
2

k , 
F0=
0
Ejemplo 6: Determinar la fuerza que una esfera de radio R, carga Q
y con una distribución volúmica de carga cuya densidad es ρ = cte,
ejerce sobre una carga puntual q0
colocada, a) afuera de ella y b)
adentro de ella.
Respuesta: 
F0=k
q0 Q
r2

k , 
F0=k q0
Q
R3
r 
k