Este documento presenta un modelo de sistemas complejos basado en mapas lógicos acoplados. Introduce conceptos clave como sistemas dinámicos, caos, redes complejas y el mapa lógistico. Luego describe la construcción del modelo, que toma una red y asigna un mapa lógistico a cada nodo. Estos mapas están acoplados a través de la media local de cada nodo con sus vecinos. Finalmente, analiza la dinámica del sistema y muestra que puede exhibir biestabilidad.
Este documento proporciona instrucciones para observar las líneas de Nazca y relacionarlas con sistemas de ecuaciones. Enumera los tipos de líneas, explica qué es una pendiente y da dos ejemplos de cómo los sistemas de ecuaciones se pueden relacionar con el medio ambiente.
Este documento presenta la resolución de la ecuación de Laplace en un dominio bidimensional utilizando diferencias finitas con condiciones de contorno de Dirichlet. Explica cómo transformar la matriz bidimensional en un vector unidimensional para resolver el sistema de ecuaciones lineales resultante. También describe la implementación de esta resolución en MATLAB, incluyendo la creación de una función para la transformación, la generación de la matriz del sistema, la aplicación de las condiciones de contorno y la resolución del sistema mediante matrices densas y dispersas.
Este documento describe los mapas autoorganizados o mapas de Kohonen, que son una herramienta para la visualización y análisis de datos multidimensionales. Explica la inspiración biológica detrás de los mapas autoorganizados, su arquitectura y algoritmo de aprendizaje no supervisado. El objetivo es agrupar datos similares y reducir la dimensionalidad para facilitar la visualización e interpretación de grandes conjuntos de datos.
La lógica difusa se utiliza para resolver problemas complejos e inciertos mediante el razonamiento aproximado, imitando la forma en que los humanos toman decisiones. Se ha aplicado en áreas como el control de sistemas, la predicción y el reconocimiento de patrones. Las variables lingüísticas y los conjuntos difusos permiten representar conceptos vagos mediante funciones de membresía y operaciones como la unión, intersección y complemento.
La teoría de grafos se puede aplicar para resolver diversos problemas como la síntesis de circuitos, contadores y sistemas de apertura. También se usa para modelar redes de transporte y optimizar rutas, así como para administrar proyectos mediante técnicas como PERT. La teoría de grafos también inspiró el concepto de "red social" para representar estructuras sociales.
La teoría de grafos se puede aplicar para resolver diversos problemas como la síntesis de circuitos, contadores y sistemas de apertura. También se usa para modelar redes de transporte y optimizar rutas, así como para administrar proyectos mediante técnicas como PERT. La teoría de grafos también inspiró el concepto de "red social" para representar estructuras sociales. La topología de redes se refiere a su configuración física, eléctrica y lógica, pudiendo ser de estrella, bus o anillo.
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La teoría de grafos se puede aplicar para resolver diversos problemas como la síntesis de circuitos, contadores y sistemas de apertura. También se usa para modelar redes de transporte y optimizar rutas, así como para administrar proyectos mediante técnicas como PERT. La teoría de grafos también inspiró el concepto de "red social" para representar estructuras sociales. La topología de redes se refiere a su configuración física, eléctrica y lógica, pudiendo ser de estrella, bus o anillo.
MACHINE LEARNING (Aprendizaje Automático) es la ciencia que permite que las computadoras aprendan y actúen como lo hacen los humanos, mejorando su aprendizaje a lo largo del tiempo de una forma autónoma, alimentándolas con datos e información en forma de observaciones e interacciones con el mundo real.
Este documento describe los fundamentos de investigación sobre algoritmos de ruteo geométrico en redes de computadoras móviles. Explica que las redes móviles carecen de una infraestructura fija y que los algoritmos de ruteo tradicionales no son adecuados. Luego describe modelos de grafos como el grafo unidad que representan redes móviles y técnicas de planarización. Finalmente, presenta algunos algoritmos de ruteo geométricos como el ruteo voraz que usan información geográfica local para en
1 big data y redes sociales semana 10 erdos renyi albert barabási ultimo actu..... ..
EN OPEN MICHIGAN HAY INFORMACION MUY INTERESANTE PARA LOS QUE DESEAN PROFUNDIZAR SOBRE EL TEMA
http://open.umich.edu/education/si/si508/fall2008
SI 508 - Redes: Teoría y Aplicación
OPEN MICHIGAN
Si508 f08-week2-3-4
CONTENIDO:
9. Los modelos de azar en las redes sociales
9.1. Erdos-Renyi
9.2. Albert Barabási
9.3. Componentes conectados LIBRO: Introductory social network analysis MIT14_15JF09_pajek.en.es
9.4. Componente gigante
9.5. Promedio camino más corto, el diámetro, la búsqueda en amplitud, el apego preferencial
10. Centralidad en las redes sociales
10.1. Intermediación, cercanía, la centralidad
10.2. Vector propio (+ PageRank)
10.3. La centralización de la red
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Este documento presenta una introducción al análisis de redes sociales. Explica conceptos básicos como grafos, modelos para generar redes como Erdos-Renyi, Watts-Strogatz y Barabasi-Albert, y medidas como centralidad y coeficiente de agrupamiento. También discute la detección de comunidades en redes y diferentes formas de definir una comunidad, como relaciones mutuas o abundancia de relaciones.
Este documento describe los modelos de representación raster y vectorial para la información geográfica en un SIG. Explica que el modelo raster se basa en una división sistemática y continua del espacio en celdas o pixeles, mientras que el modelo vectorial define el espacio mediante elementos geométricos como líneas, puntos y polígonos de forma no sistemática. Concluye que el formato raster es especialmente adecuado para el análisis de información geográfica continua debido a su estructura sistemática y regularidad.
A analisis de_vibraciones_libres_de_una_viAlfredoRios40
Este documento presenta un análisis teórico del comportamiento dinámico de una viga con un sistema de dos grados de libertad montado elásticamente. Se utilizan dos métodos, uno analítico basado en los multiplicadores de Lagrange y otro numérico por elementos finitos, para estudiar cómo altera el subsistema las frecuencias naturales de vibración del sistema modificado. Los resultados muestran un excelente acuerdo entre los métodos y con estudios previos, demostrando que el agregado de masa y resortes modifica las frecuencias de
Ciencia de redes con R: Una introducción al universo de paquetes para ciencia...Software Guru
Esta plática puede dar respuesta a las siguientes preguntas ¿qué tipo de problemas podemos atacar con ciencia de redes?, ¿qué limitaciones podemos encontrar?
La teoría general de sistemas es un método que permite organizar el conocimiento considerando la totalidad de elementos de un sistema y sus interacciones. Distingue entre sistemas abiertos y cerrados. Los sistemas abiertos se caracterizan por propiedades como la totalidad, el objetivo y la equifinalidad. La teoría también describe la retroalimentación positiva y negativa entre los elementos de un sistema.
Este documento contiene 8 problemas sobre sistemas de control. Los problemas cubren temas como el lugar de raíces, estabilidad, errores estáticos y diseño de controladores. El documento proporciona ejemplos y gráficos para ilustrar los conceptos de sistemas de control discutidos.
La teoría general de sistemas estudia la organización y relaciones entre las partes de un todo. Se enfoca en tres aspectos: 1) el objeto constituye un todo situado en un medio, 2) el objeto está compuesto de partes interrelacionadas, y 3) el comportamiento de las partes y del todo implican interacción e influencia mutua.
Este documento presenta un estudio sobre algoritmos de caminos más cortos en grafos dirigidos acíclicos (DAG). El objetivo principal es desarrollar un algoritmo eficiente para esta tarea, abordando las limitaciones de enfoques convencionales. Se revisan conceptos básicos de teoría de grafos y DAG, y se identifican desafíos específicos en la búsqueda de caminos más cortos en este contexto. El documento propone diseñar un nuevo algoritmo, implementarlo y comparar su rendimiento con métodos tradicionales
Este documento resume varios modelos matemáticos de crecimiento de redes sociales, como el crecimiento aleatorio, el crecimiento libre de escala y el modelo alfa. Explica que el crecimiento libre de escala predice una distribución de grados de nodos en forma de ley de potencias, mientras que el modelo alfa favorece la formación de clanes. También presenta un teorema sobre el número mínimo de triángulos y clanes en una red dada su matriz. Finalmente, propone un modelo de crecimiento de redes sociales
Este documento introduce conceptos clave de la inteligencia artificial y los sistemas difusos. Explica que la inteligencia artificial busca imitar el comportamiento inteligente humano mediante el uso de lenguaje simbólico o reglas, y que los sistemas expertos son programas que codifican el conocimiento de expertos. También define los sistemas difusos como una forma de representar conocimiento impreciso mediante funciones de pertenencia que toman valores entre 0 y 1.
Presentación del proyecto de la materia de IAA de la UTPL.
Tema: Comparación de resultados en la convergencia de una red neuronal utilizando 1 y 2 capas ocultas respectivamente en el modelo del perceptrón multicapa utilizando el algoritmo BackPropagation al realizar el reconocimiento de señales de tránsito
Este documento trata sobre modelos matemáticos singulares en la compensación de redes geodésicas. Explica que las redes libres producen sistemas de ecuaciones normales singulares debido a matrices deficientes de rango. Propone utilizar constreñimientos mínimos e internos para ampliar el rango y obtener soluciones únicas. Los constreñimientos internos producen soluciones de mínima varianza.
Este documento presenta un resumen de cuatro teorías relacionadas con los sistemas: la Teoría General de Sistemas, la Teoría de la Cibernética, la Teoría Dinámica de Sistemas y la Teoría de la Información. Cada teoría se describe brevemente, destacando sus conceptos y enfoques clave.
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Katherine Johnson fue una matemática y científica afroamericana pionera que trabajó para la NASA en las décadas de 1950 y 1960. Calculó las trayectorias para los primeros vuelos espaciales estadounidenses y fue fundamental para el éxito del programa Apolo. A pesar de la discriminación racial y de género que sufrió, Katherine Johnson ayudó a llevar al hombre al espacio y se convirtió en un icono de la igualdad y la justicia.
Las redes neuronales son modelos computacionales inspirados en el cerebro que han ganado importancia en inteligencia artificial. Compuestas por unidades interconectadas que se adaptan mediante aprendizaje, pueden modelar patrones complejos y aprender de datos no lineales, con aplicaciones como reconocimiento de voz y diagnósticos médicos.
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Carl Friedrich Gauss fue un matemático y astrónomo alemán nacido en 1777. Sus contribuciones incluyen la teoría de números, la ley de Gauss sobre campos eléctricos, y predecir la posición del planeta enano Ceres usando mínimos cuadrados. Es considerado uno de los matemáticos más influyentes de la historia.
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El Telescopio Espacial James Webb es el telescopio más potente jamás construido. Fue lanzado en diciembre de 2021 por la NASA, ESA y CSA para estudiar las galaxias más distantes, la formación de estrellas y sistemas planetarios. Usando instrumentos infrarrojos, puede observar objetos 13.500 millones de años luz de distancia. Tras desplegar su espejo de 6.5 metros y escudo solar, realizará observaciones científicas durante al menos 5 años.
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La era precámbrica comenzó hace 4 millones de años y se cuenta hasta hace 570 millones de años. Durante este período se creó el complejo basal propio de la Guayana venezolana, al sur del país; también en Los Andes; en la cordillera norte de Perijá, estado de Zulia; y en el Baúl, estado de Cojedes.
1891 - Primera discusión semicientífica sobre Una Nave Espacial Propulsada po...Champs Elysee Roldan
La primera discusión semicientífica sobre una nave espacial propulsada por cohetes la realizó el alemán Hans Ganswindt, quien abordó los problemas de la propulsión no mediante la fuerza reactiva de los gases expulsados sino mediante la eyección de cartuchos de acero que contenían dinamita. Supuso que la explosión de una carga transferiría energía cinética a la pared de la nave espacial y la impulsaría en la dirección deseada. Supuso que múltiples explosiones proporcionarían suficiente velocidad para alcanzar la órbita y la velocidad de escape.
El 27 de mayo de 1891, pronunció un discurso público en la Filarmónica de Berlín, en el que introdujo su concepto de un vehículo galáctico(Weltenfahrzeug).
Ganswindt también exploró el uso de una estación espacial giratoria para contrarrestar la ingravidez y crear gravedad artificial.
Cardiopatias cianogenas con hipoflujo pulmonar.pptxELVISGLEN
Las cardiopatías congénitas acianóticas incluyen problemas cardíacos que se desarrollan antes o al momento de nacer pero que normalmente no interfieren en la cantidad de oxígeno o de sangre que llega a los tejidos corporales.
¿Qué es?
El VIH es un virus que ataca el sistema inmunitario del cuerpo humano, debilitándolo y dejándolo vulnerable a otras infecciones y enfermedades.
Se transmite a través de fluidos corporales como sangre, semen, secreciones vaginales y leche materna.
A medida que avanza, el VIH puede desarrollarse en SIDA, una etapa avanzada de la infección donde el sistema inmunitario está severamente comprometido.
Estadísticas
Más de 38 millones de personas viven con VIH en todo el mundo, según datos de la ONU.
Las tasas de infección varían según la región y el grupo demográfico, con una prevalencia más alta en África subsahariana.
Modos de Transmisión
El VIH se transmite principalmente a través de relaciones sexuales sin protección, compartir agujas contaminadas y de madre a hijo durante el parto o la lactancia.
No se transmite por contacto casual como estrechar la mano o compartir utensilios.
Prevención y Tratamiento
La prevención incluye el uso de preservativos durante las relaciones sexuales, evitar compartir agujas y acceder a la profilaxis preexposición (PrEP) para aquellos con mayor riesgo.
El tratamiento del VIH implica el uso de terapia antirretroviral (TAR), que ayuda a controlar la replicación viral y permite que las personas con VIH vivan vidas más largas y saludables
1. Sistemas complejos: Un modelo de mapas
log´ısticos acoplados
Mario As´ıs C´anovas
Universidad de Zaragoza
Zaragoza, 8 Julio 2015
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados
2. Introducci´on
La teor´ıa de sistemas complejos es un campo de investigaci´on
multidisciplinar, con origen en la d´ecada de los setenta, que
actualmente atrae gran inter´es por su variedad de aplicaciones. La
organizaci´on o evoluci´on de las especies en un ecosistema, la
distribuci´on de los recursos de un grupo comercial o su cotizaci´on
en bolsa a lo largo del tiempo, as´ı como el desarrollo de procesos
qu´ımicos encadenados o la trayectoria descrita por un aut´omata
son ejemplos de sistemas complejos. Esta materia trata de
caracterizar comportamientos comunes de este tipo de sistemas,
describir lo que entendemos por complejidad y modelizar y estudiar
la din´amica de esta clase de objetos.
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados
3. Sistemas complejos
¿Qu´e es un sistema complejo?
Como hemos visto, se manejan conceptos algo abstractos y quiz´a
demasiado generales. No existe una definici´on universalizada de
que entendemos por sistema y sistema complejo. Damos una
definici´on que, aunque nada rigurosa,nos permite hacernos una
idea de a qu´e nos estamos refiriendo con esta terminolog´ıa.
Definici´on
Un sistema es un conjunto de elementos dotados de relaciones
entre ellos y que act´uan como un todo.
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados
4. Sistemas complejos
En general el concepto de sistema complejo bebe directamente de
la noci´on de emergencia.
Definici´on
Una propiedad de un sistema es emergente si no puede ser
reducida al comportamiento particular de sus componentes.
Es decir, es una propiedad que se asocia a las interacciones
que tienen lugar entre los mismos y que es imposible sin dicha
interacci´on.
Un sistema complejo es un sistema en el que el
conocimiento de los elementos que lo conforman no es
suficiente para caracterizar su comportamiento. Esto es, es un
sistema que presenta propiedades emergentes.
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados
5. Sistemas complejos
Propiedades de los sistemas complejos
Listamos ahora algunas propiedades que, aunque no los
caracterizan, suelen estar asociadas con los sistemas complejos.
Retroalimentaci´on
Din´amica no-lineal
Auto-organizaci´on
Memoria
Formaci´on de patrones
Caos
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados
6. Sistemas complejos
Formaci´on de patrones en un aut´omata celular
Mario As´ıs C´anovas Universidad de Zaragoza
Sistemas Complejos: Un modelo de mapas log´ısticos acoplados
7. Sistemas complejos
Tras esta introducci´on general se hace necesario dar un marco
matem´atico que nos permita hacer un estudio riguroso de sistemas
concretos y modelizarlos, definimos el t´ermino sistema din´amico.
Definici´on
Llamamos sistema din´amico a la terna (S, φ, T) donde S es un
conjunto arbitrario, al que llamamos espacio de estados,
T = Z ∨ R, y lo llamamos conjunto de tiempos, y φ = {φt} es
una familia de aplicaciones φt : S −→ S definida para t ≥ 0,
satisfaciendo:
φ0 = 1S
φs+t = φs ◦ φt, ∀t, s ≥ 0
Si el conjunto de tiempos es Z diremos que el sistema din´amico es
discreto, y si es R diremos que es continuo.
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8. Redes complejas
Redes complejas
Tambi´en podemos hablar de complejidad al referirnos a una red.
La teor´ıa de grafos nos da el trasfondo matem´atico adecuado para
este estudio.
Definici´on
Decimos que una red es una red compleja si posee propiedades
topol´ogicas que difieren en gran medida de aquellas presentes en
un grafo aleatorio.
Entre las propiedades que suelen considerarse para construir
medidas de complejidad se incluyen: grados de los nodos y
distribuci´on de grados, longitud de los caminos m´ınimos,
di´ametro y cercan´ıa, clusterizaci´on, motivos, estructuras
comunitarias, espectro del grafo.
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9. Redes complejas
Algunos tipos de redes
Redes aleatorias: Se construyen uniendo m pares de nodos
escogidos al azar. Esta construcci´on aleatoria es tan sencilla
que su estructura no parece atender a ninguna funci´on
concreta. Esta es la raz´on por la que no se le atribuye
complejidad a estas redes.
Figure: Grafo aleatorio de Erd¨os-Renyi.
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10. Redes complejas
Redes scale-free: Las redes scale-free est´an presentes en
gran cantidad de situaciones, por ejemplo, la red telef´onica o
la red el´ectrica. Estas redes acumulan gran cantidad de
enlaces en unos pocos nodos, mientras la mayor´ıa de los
nodos est´an poco enlazados. La distribuci´on de los enlaces
sigue una ley potencial. La presencia de estas redes esta
justificada por su resistencia a fallos aleatorios.
Figure: Grafo de Barab´asi-Albert.
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11. Redes complejas
Redes small-world: Las redes small-world son redes entre la
aleatoriedad y la regularidad que poseen caminos cortos entre
sus nodos. Est´an presentes en el cerebro, en redes sociales y
de empresas. Un ejemplo conocido son las redes de amigos y
su ley de los seis grados de separaci´on.
Figure: Grafo de Watts-Strogatz.
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12. El mapa log´ıstico
Caos en sistemas din´amicos
Damos primero la definici´on de caos, una conducta a menudo
asociada a los sistemas complejos.
Definici´on
Diremos que un sistema din´amico (S, φ, T) es ca´otico si satisface:
Es sensible a condiciones iniciales:
∃δ > 0 tal que ∀x0 ∈ S y ∀Ux0 entorno de x0 se tiene que
∃y0 ∈ Ux0 y un t > 0 tal que:
d(φt(x0), φt(y0)) > δ
Es topol´ogicamente transitivo en S:
Dados U y V abiertos en S, ∃x0 ∈ U ∧ t > 0 tal que
φt(x0) ∈ V
Posee un conjunto de ´orbitas peri´odicas denso en S.
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13. El mapa log´ıstico
El teorema de Sarkovskii da una condici´on necesaria para la
aparici´on de reg´ımenes ca´oticos en un sistema din´amico:
Definici´on
Llamamos orden de Sarkovskii a la ordenaci´on de los n´umeros
naturales dada como sigue:
3 5 7 9 11 . . . (2n + 1) · 20 . . .
3 · 21 5 · 21 7 · 21 9 · 21 11 · 21 . . . (2n + 1) · 21 . . .
3 · 22 5 · 22 7 · 22 9 · 22 11 · 22 . . . (2n + 1) · 22 . . .
...
...
3 · 2k 5 · 2k 7 · 2k 9 · 2k 11 · 2k . . . (2n + 1) · 2k . . .
...
...
. . . 2n 2n−1 . . . 23 22 2 1
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14. El mapa log´ıstico
Teorema
(Teorema de Sarkovskii) Sea el sistema din´amico (I, φ, Z) con I un
intervalo cerrado, y denotemos por al orden de Sarkovskii. Sea
φn : I −→ I una funci´on continua con una ´orbita de periodo m.
Entonces, φn tiene ´orbitas de periodo m´ınimo k, ∀k m. En
particular, si φn tiene una ´orbita de periodo m´ınimo 3, entonces
tiene ´orbitas de periodo m´ınimo k, ∀k ∈ N.
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15. El mapa log´ıstico
El mapa log´ıstico
El mapa log´ıstico es un sistema din´amico definido sobre [0, 1]
mediante la ecuaci´on de recurrencia:
xn+1 = pxn(1 − xn) con p ∈ (0, 4) (1)
Este sistema modeliza de forma muy sencilla la din´amica de
poblaciones de una especie restringida por la sobrepoblaci´on y es el
ladrillo fundamental del modelo que construiremos despu´es. La
expansi´on est´a controlada por el t´ermino pxn, proporcional a la
poblaci´on actual xn y al par´ametro p, al que llamamos ratio de
crecimiento. La sobrepoblaci´on lleva al sistema a una contraci´on,
expresada con el t´ermino (1 − xn).
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16. El mapa log´ıstico
Figure: Diagrama de bifurcaci´on del mapa log´ıstico.
Pasado un cierto n´umero de iteraciones el mapa tiende a tomar
unos valores concretos, independientemente de las condiciones
iniciales escogidas. En el eje y representamos estos valores para
cada valor de p.
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17. Construcci´on del modelo
El modelo de mapas acoplados
Ahora pasamos a construir un modelo que relaciona varios mapas
log´ısticos entre s´ı, de acuerdo a la estructura de una red dada:
Primer paso: Tomamos un grafo no dirigido G que
represente las relaciones entre los mapas log´ısticos.
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18. Construcci´on del modelo
Segundo paso: Tomamos un valor inicial en [0, 1] para cada
nodo i, al que llamamos estado inicial del nodo i y denotamos
por xi,0.
Tercer paso: Definimos el sistema mediante la siguiente
ecuaci´on de recurrencia para cada nodo i:
xi,n+1 = p(3¯xi,n + 1)xi,n(1 − xi,n) con p ∈ (0, 1) (2)
Donde ¯xi,n es la media local del nodo i, que viene dada por:
¯xi,n =
1
Ni
j∈vi
xj,n (3)
Donde Ni es el n´umero de nodos vecinos de i (su grado) y vi
su conjunto de vecinos.
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19. Construcci´on del modelo
Para hacernos una idea de como se comporta el sistema animamos
la evoluci´on de dos nodos cualesquiera. Tomamos una red all-to-all
de 100 nodos y p = 0.97.
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20. Din´amica y biestabilidad del modelo
Estudio de la din´amica del sistema
En la animaci´on se intuye que la din´amica del sistema se concentra
en la diagonal ∆. El estudio en estas condiciones es mucho m´as
sencillo, la evoluci´on de cualquier nodo viene dada por:
xn+1 = p(3xn + 1)xn(1 − xn) (4)
Los puntos fijos se calculan tomando xn+1 = xn = x:
x = p(3x + 1)x(1 − x) (5)
Cuyas soluciones son:
O = 0, x± =
1
3
(1 ± 4 −
3
p
) (6)
El punto O es estable para todo valor de p y los puntos x± surgen
cuando p > 0.75 y solo x+ es estable, y lo es para 0.75 < p < 1.
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21. Din´amica y biestabilidad del modelo
Como el sistema presenta dos zonas estables, diremos que es
biestable en ∆. No obstante, ∆ es una regi´on cerrada del espacio
de fases, por tanto la estabilidad de estos puntos sobre ∆ no
implica la estabilidad global. Veamos como afecta una
perturbaci´on que nos saque fuera de ∆ al sistema. Llamaremos θ a
cualquiera de los estados estables en la diagonal, y la perturbaci´on
queda:
xi,n = θ + ϕxi,n con θ = O ∨ x+ (7)
Definimos en base a esto la perturbaci´on de la media local de un
nodo como:
ϕ¯xi,n =
3
Ni
j∈vi
ϕxj,n (8)
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22. Din´amica y biestabilidad del modelo
Sustituyendo este valor en la ecuaci´on del sistema y tomando la
parte lineal (que es la que rige la estabilidad) la perturbaci´on
avanza como sigue:
ϕxi,n+1 = p(3θ + 1)(1 − 2θ)ϕxi,n + pθ(1 − θ)ϕ¯xi,n (9)
Y la media local:
ϕ¯xi,n+1 = p(3θ +1)(1−2θ)ϕ¯xi,n +3pθ(1−θ)×
1
Ni
j∈vi
ϕ¯xj,n (10)
Y para simplificar esta expresi´on introducimos el t´ermino:
1
Ni
j∈vi
ϕ¯xj,n = σi,nϕ¯xi,n (11)
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23. Din´amica y biestabilidad del modelo
La matriz de la linealizaci´on del sistema de perturbaciones queda:
p(3θ + 1)(1 − 2θ) pθ(1 − θ)
0 p(3θ + 1)(1 − 2θ) + 3pσi,nθ(1 − θ)
(12)
Y la ´unica parte dependiente de la red es σi,n. Supondremos
σi,n = σ constante. Para θ = O, los valores propios de la matriz de
estabilidad quedan λ1 = λ2 = p y por tanto este estado es estable
para todo p. Si θ = x+ :
λ1 = 2 − 2p − p 4 −
3
p
(13)
λ2 = λ1 +
σ
3
(3 − 2p + p 4 −
3
p
) (14)
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24. Din´amica y biestabilidad del modelo
En valor absoluto, λ1 es menor que 1 para todo valor de p
considerado. La p´erdida de estabilidad deber´a provenir de λ2.
Llamamos pc al valor de p en el que este punto fijo pierde la
estabilidad.
0 < σ < 1: En este caso pc = 1 y el estado x+ es estable en
todo el recorrido. La biestabilidad es simple para todo p.
−1 < σ < 0: En esta situaci´on, existe un pc < 1. Por tanto la
biestabilidad simple se pierde antes de alcanzar p = 1. No
obstante, la biestabilidad sigue siendo posible en otro tipo de
reg´ımenes.
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25. Se observa que el sistema presenta biestabilidad (dos zonas
estables distintas que coexisten) independientemente de la red
escogida, aunque el valor del par´ametro en que la din´amica
puntual pierde la estabilidad pc s´ı es dependiente de la red
escogida.
Como uno de los estados estables es nulo y otro no, es
razonable que llamemos a uno de ellos apagado de la red y al
otro encendido.
Tanto pc como σ son par´ametros asociados al sistema que
son dependientes de la red. Resultan estar relacionados de
forma casi lineal, y sus valores aumentan cuanto m´as
compacta es la red.
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