Este documento describe varios métodos para determinar la distribución de presiones en el suelo debido a cargas aplicadas, incluyendo: 1) El principio de esfuerzo efectivo de Terzaghi y cómo la presencia de agua afecta el comportamiento del suelo; 2) Los esfuerzos superficiales y subsuperficiales causados por cargas; 3) Las ecuaciones de Boussinesq, Westergaard, Fadum y Osterberg para calcular los incrementos de esfuerzo bajo cargas puntuales, rectangulares, circulares y terraplenes

1. TEMA 4. DISTRIBUCIÓN DE PRESIONES EN LA MASA DE SUELOS
1. PRINCIPIO DE ESFUERZO EFECTIVO
El esfuerzo efectivo es la diferencia entre el esfuerzo total y la presión de
poros, quedando expresado de la siguiente forma: σ = σ – μ.
El concepto fue descubierto por Terzagui, dando pie al nacimiento de la Mecánica
de Suelos. Éste comprendió que el suelo es un compuesto de tres fases: sólida,
líquida y gaseosa, en el que las partículas sólidas en contacto forman un sistema
intersticial entre los vacíos o poros que pueden estar parcial o totalmente llenos de
agua; de manera que en la naturaleza podemos encontrar suelos saturados con
agua y nada de aire en los vacíos, suelos secos sin nada de agua en los vacíos y
suelos parcialmente saturados, con agua y aire en los vacíos.
De lo anterior se concluye que la respuesta de un suelo ante la aplicación de
cualquier carga o la transmisión de los esfuerzos de esa carga al interior del
conjunto sólido, agua y aire, es una acumulación del comportamiento de los tres
componentes, haciendo que los fenómenos de transmisión de esfuerzos sean
complejos.
Debido a la naturaleza incompresible del agua, la presencia de ésta en el suelo,
juega un papel importante en el comportamiento del mismo, puesto que si por
efecto de presiones exteriores el agua adquiere presiones elevadas, ésta tenderá
a fluir hacia zonas de menor presión, dando lugar a la compresibilidad (relación
esfuerzo – deformación) de la masa sólida del suelo y en consecuencia a el
asentamiento del mismo, tomando en cuenta que el tiempo tendrá gran influencia
en estos efectos.
El esfuerzo total (σ) representa la relación entre la carga total actuante sobre el
área transversal cubierta por dicha carga. σ = P / A
El esfuerzo efectivo (σ) representa la parte del esfuerzo total que es tomada por la
fase sólida del suelo, transmitiéndose entre los granos de la misma.
La presión de poro (μ) representa la presión a la que está sometida el agua en los
vacíos del suelo. También es conocida como presión neutral por la incapacidad
del agua para tomar esfuerzos cortantes.

2. 2. ESFUERZOS DEBIDOS A CARGAS EXTERNAS
Las cargas que se aplican en las superficies de los suelos generan dos tipos de
esfuerzos, esfuerzos superficiales (presiones de contacto) y esfuerzos sub-
superficiales.
2.1. Esfuerzos Superficiales (Presiones de Contacto): se generan en la
superficie de contacto suelo-cimentación, es la reacción que ofrece el suelo
sobre la estructura de cimentación. Estas presiones nos permiten conocer
todos los elementos mecánicos mediante los cuales es posible diseñar
estructuralmente a la cimentación.
2.2. Esfuerzos Sub-Superficiales: son inducidos por las cargas
superficiales en el interior del suelo, su conocimiento resulta básico en el
cálculo de desplazamientos.
Existen diferentes métodos aproximados para la determinación de los esfuerzos
normales verticales en la masa del suelo, debidos a la acción de las cargas
uniformemente distribuidas actuando en los estratos superficiales del terreno.
Todos ellos suponen que los esfuerzos dentro de la masa se transmiten como una
pirámide truncada cuyas aristas tienen pendientes entre 1:1 y 2:1. La magnitud de
los esfuerzos se va reduciendo con la profundidad, y además, fuera de los límites
de la pirámide, estos métodos suponen que las presiones debidas a las
sobrecargas pueden despreciarse.
3. INCREMENTO DEL ESFUERZO BAJO UNA CARGA APLICADA
3.1. Carga Puntual, según Boussinesq: para el desarrollo del modelo
matemático, Boussinesq planteó como hipótesis que el suelo es un material
homogéneo, isótropo, elástico-lineal, semi-infinito y continuo, y estableció la
validez de los principios de objetividad e indiferencia y el principio de
superposición.
Es importante resaltar que en la realidad las hipótesis anteriores no se
cumplen, debido a que el suelo no es homogéneo pues sus propiedades
mecánicas no son las mismas en todos los puntos de su masa, ni isótropo
pues en un punto dado esas propiedades varían, en general, en las
diferentes direcciones del espacio, ni linealmente elástico, pues las
relaciones esfuerzo-deformación que se producen no tienen ese
comportamiento y por último, tampoco es semi-infinita ninguna masa de
suelo.
Cuando una carga puntual actúa sobre el suelo, el esfuerzo σz a una
profundidad z queda definido por la siguiente expresión:

3. σz = (P/z2) * Po
Donde Po es el coeficiente de influencia y ya está estipulado en tablas.
Po = (3/2π) * (1/(1 + (r/z)2)5/2)
Al hacer un análisis de este caso, la distribución de los esfuerzos da como
resultado un bulbo de presiones que no es más que la zona del suelo
donde se producen incrementos de carga vertical considerables por efecto
de una carga puntual. Esta zona está conformada por isobaras que son
curvas que unen puntos de igual esfuerzo y están representadas desde la
del 10% hasta la del 90% en intervalos de 10%.
Este método se puede aplicar para calcular en una primera aproximación la
distribución de tensiones producida en el terreno por una o varias zapatas.
Ejemplo: Obtener el valor de σz aplicando la ecuación de Boussinesq para
el caso de una carga concentrada de 100 T. Se requiere el esfuerzo a 3
metros de profundidad y a una distancia radial de metro y medio.
σz = (P/z2) * Po
r/z = 1.5/3 = 0.5
De la Tabla “Valores de Po”
Po = 0.2733
σz = (100/9) * 0.2733 = 3.036 T/m2.
Además de Boussinesq, otros autores dedujeron ecuaciones para una
fuerza concentrada vertical: Westergaard.
3.2. Cargas rectangulares, según Fadum: Fadum realizó la integración de
la solución de Boussinesq para el caso de la carga puntual, extendiéndola
para el caso de una superficie rectangular, estableciendo que para un punto
cualquiera (a) debajo de la esquina de una cimentación rectangular, de
ancho B y largo L, cargada con un valor de esfuerzo de contacto (q)
uniformemente distribuido, en una profundidad dada (z), el esfuerzo será:
σz = I * q (m,n)
I = valor de influencia que depende de m y n
m = relación entre el ancho del rectángulo y la profundidad z.
n = relación entre el largo del rectángulo y la profundidad z.

4. Este método se puede aplicar para calcular en una primera aproximación la
distribución de presiones en la masa del suelo producida por una losa
rectangular de fundación.
Ejemplo: Calcular la presión en un punto a 5.0 m por debajo de la esquina
de una zapata de 1.0 m de ancho por 1.2 m de largo que soporta una carga
uniforme q de 2 Kg/cm2.
m = B/z = 1.0 / 5.0 = 0.20
n = L/z = 1.2 / 5.0 = 0.24
De la Tabla “Valores de I para los esfuerzos verticales debajo de una
esquina según Fadum”
I = 0.023
σz = I * q = 0.023 * 2.0 = 0.046 Kg/cm2.
Fadum también obtuvo la ecuación para una carga lineal, estableciendo
que ésta siempre estará sobre el eje y alojada a una distancia x ≥ 0, ésta
deberá empezar tocando el eje x, el punto de cálculo debe estar sobre el
eje z.
3.3. Cargas circulares, según Fadum: es la integración de la ecuación de
Boussinesq para carga puntual, aplicada a una superficie circular en la que
el área se divide en diferenciales de área. Para un punto cualquiera (a)
debajo del centro de una cimentación circular, de radio R, cargada con un
valor de esfuerzo de contacto q uniformemente distribuido, en una
profundidad z cualquiera, el valor del esfuerzo será:
σz = ϝ * q ()
3.4. Esfuerzo bajo un terraplén, según Osterberg
σz = ϝ * q (B1 y B2)
Donde ϝ es el valor de influencia que depende de B1/z y B2/z.
B1 = ancho donde se desarrolla la pendiente del terraplén y donde varía la
carga hasta cero.
B2 = ancho donde se considera que actúa la carga rectangular de longitud
infinita uniformemente distribuída (q).
q = sobrecarga de forma rectangular uniformemente distribuida de longitud
infinita, actuando en el ancho B2 que en el caso de un terraplén uniforme de
altura H y peso específica ϒ, será q = ϒ*H.

5. 3.5. Carta de Newmark: es un método gráfico que permite encontrar de
manera aproximada el incremento de esfuerzo vertical debajo de cualquier
punto de una fundación, con cualquier tipo y forma de carga, basado en la
solución para un punto bajo el centro de una fundación con carga
uniformemente repartida con forma circular.
La forma de encontrar el incremento del esfuerzo vertical σz bajo cualquier
punto de la fundación o fuera de ella a una profundidad z, es: caracterizar la
carta de Newmark con la que se va a trabajar, que consiste en identificar el
valor de influencia y en identificar la referencia de la escala que es la línea
que representa la profundidad z a la cual se va a encontrar el incremento
del esfuerzo, adoptar la profundidad z y la línea de la escala se volverá
igual a la profundidad z tomada, se deberá dibujar la fundación en planta de
acuerdo a la escala definida, para luego colocar este esquema en la carta
de Newmark, haciendo coincidir el punto bajo el cual se desea conocer el
incremento de esfuerzo con el centro de la carta, finalmente se contarán
cuantos cuadros quedan dentro del esquema de la fundación, sumándose
cuantos cuadros completos y las fracciones de recuadros con el cuidado de
una buena apreciación.
σz = Vi * q * N
Vi = Valor de influencia de la carta de Newmark de referencia.
q = sobrecarga uniformemente distribuida producida por la cimentación.
N = número de divisiones de la carta de Newmark de referencia, que estén
dentro de la planta de la cimentación.
3.6. DISTRIBUCIÓN DEL ESFUERZO EN SISTEMAS NO
HOMOGÉNEOS, SEGÚN BURMISTER
Burmister estudió la distribución de esfuerzos y desplazamientos en
un sistema no homogéneo formado por dos capas, cada una de ellas
homogénea, isótropa y linealmente elástica. La primera capa es infinita
horizontalmente, pero tiene espesor finito h. La segunda capa, subyacente
a la anterior, es semi-infinita. Se supone que entre las dos capas existe un
contacto continuo, siendo la frontera plana entre ellas perfectamente
rugosa. E1 y E2 son los módulos de elasticidad de las dos capas; se estudió
el caso de interés práctico, con la aplicación al diseño de pavimentos, en el
cual E1 >> E2.

6. Las curvas de influencia de Burmister muestran los esfuerzos en cualquier
punto de la masa del medio y no sólo en la vertical, bajo el centro del área
cargada y además determinó que el desplazamiento vertical elástico del
sistema depende de un factor adimensional que a su vez depende de la
relación E1/E2 y h/r, de la presión uniforme del área circular, del radio del
circulo y del módulo de elasticidad de la capa semi-infinita.
Δ = 1.5 F ( p r/ E2)
Recientemente se están haciendo estudios en medios semiinfinitos no
lineales y no homogéneos, es decir, con materiales que al ser sometidos a
compresión simple muestran una relación esfuerzo-deformación del tipo
indicado en la figura. Las conclusiones dan como resultado que los
esfuerzos verticales bajo la carga concentrada son menores que los
determinados por Boussinesq y que los desplazamientos verticales de los
puntos bajo la carga ocurren en forma mucho más concentrada en la
cercanía de la superficie, justificando que para el cálculo de asentamientos
se debe considerar una profundidad entre una y media y dos veces el
ancho del cimiento.
4. ASENTAMIENTOS ELÁSTICOS
Es un movimiento vertical debido a la deformación (vertical) elástica del
medio poroso, en este tipo de asentamiento la compresión ocurre de
inmediato después la aplicación de la carga y la deformación elástica
vertical es preeminente a otra deformación (ej. Horizontal).