Este documento trata sobre expresiones algebraicas y operaciones con monomios. Explica que una expresión algebraica contiene letras, números y operaciones, y que el valor numérico de una expresión depende de los valores asignados a las letras. Define un monomio como una expresión con solo productos y potencias, y describe cómo sumar, restar, multiplicar y dividir monomios.

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EXPRESIONES ALGEBRAICAS
Una expresión algebraica es aquella en la que se utilizan letras, números y signos
de operaciones.
Ejemplo. Expresar el valor del perímetro y del área de un terreno rectangular.
Si suponemos que mide "x" metros de largo e "y" metros de ancho, obtendremos:
----------------Perímetro: 2x + 2y ; -------- ----Area: xy
Ambas son expresiones algebraicas (recuérdese que el signo de la multiplicación
acostumbra a no ponerse).Otras expresiones algebraicas podrían ser:
Suma de cuadrados: a2 + b2
Triple de un número menos doble de otro: 3x - 2y
Suma de varias potencias de un número: a4 + a3 + a2 + a
VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN
ALGEBRAICA
Si en una expresión algebraica se sustituyen las letras por número y se realiza la
operación indicada se obtiene un número que es el "valor numérico" de la
expresión algebraica para los valores de las letras dados.
En el ejemplo anterior, si el largo del terreno fueran 50 m ( a = 50) y el ancho 30 m
(b = 30), el valor numérico de:
Perímetro = 2 · 50 + 2 · 30 = 100 + 60 = 160 m
Área = 50 · 30 = 1500 m2
Naturalmente debe observarse que el valor numérico de una expresión algebraica
no es único sino que depende del valor que demos a las letras que intervienen en
ella.
Ejercicio
Calcular el valor numérico de la expresión algebraica a2 - 2ax + 4 en los casos:
a) a = 2 ; x = 3
b) a = -2 ; x = 1
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Obsérvese en la escena adjunta la expresión y su valor numérico en el caso a).
Cambiar los valores de a y x para obtener el valor numérico en el caso b) y
cualquier otro caso que se desee.
MONOMIOS
Si se observan las siguientes expresiones algebraicas se verá que en ellas
aparecen distintas operaciones:
Ejemplo
1) 3ax; 2) -2xy2; 3) 8ab3x; 4) 3ax - 2y; 5) x2 + 2x - 4
En las tres primeras expresiones no aparecen sumas entre términos mientras que
en a 4) y la 5) sí. En los tres primeros casos se trata de monomios mientras que
en los otros dos no.
Podemos decir por tanto que: Un monomio es una expresión algebraica en la que
las únicas operaciones que aparecen entre las letras son el producto y la potencia
de exponente natural.
Se llama coeficiente de un monomio al número que aparece multiplicando a las
letras. Normalmente se coloca al principio. Si es un 1 no se escribe y nunca es 0
ya que la expresión completa sería 0. En los tres ejemplos de monomios
anteriores los coeficientes son 3 ; -2 ; y 8 respectivamente.
Se denomina grado de un monomio a la suma de los exponentes de las letras. De
este modo los tres monomios anteriores serán: 1) de grado 2. 2) de grado 3 . 3) de
grado 5 (como es sabido cuando el exponente es 1 no se escribe).
En la escena se puede observar el coeficiente y el grado de un monomio. En la
parte superior se pueden cambiar los exponentes de las letras (hemos a los
exponentes de a, b y x expa, expb, expx, dejando el exponente de y fijo e igual a
1) para cambiar el grado y en la parte inferior de la escena el coeficiente del
monomio (coef).
En todas las escenas del tema vamos a suponer que los coeficientes de los
monomios no pueden ser menores que -9 para favorecer la presentación de la
escena. En la mayor parte de los casos los monomios que se utilizarán serán más
simples ya que sólo estarán formados por una letra, normalmente la x, el
exponente correspondiente que será el grado del monomio y un coeficiente.
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Por ejemplo: -2x2 ; 3x ; -5x3 ; x5 son cuatro monomios de grados 2, 1, 3 y 5
respectivamente.
Los coeficientes de un monomio pueden no ser enteros ( por ejemplo 0,6 ; 1/2 ; -
5/6 etc) aunque normalmente serán enteros y así lo vamos a suponer en este
tema.
MONOMIOS SEMEJANTES
Son monomios semejantes entre sí aquellos en los que aparecen las mismas
letras con los mismos exponentes.
Ejemplo.
Son monomios semejantes: 2ax4y3 ; -3ax4y3 ; ax4y3 ; 5ax4y3. Mientras que por
ejemplo no son semejantes a los anteriores: axy3 ; 3a2x4y3 ; 2bx4. Por tanto "
Dos monomios semejantes sólo se pueden diferenciar en el coeficiente"
En la escena del apartado anterior, si no se modifican los valores de la parte
superior de la misma, modificando los de la parte inferior se obtienen monomios
semejantes. Observar que los monomios semejantes tienen el mismo grado.
Operaciones con monomios
SUMA Y RESTA
Observar las siguientes operaciones:
Ejemplo.
1) 5ax4y3 - 2ax4y3 = 3ax4y3
2) 4ax4y3 + x2y
En el primer caso la resta de monomios se puede realizar mientras que en el
segundo caso la suma no.
En el primer caso se trata de monomios semejantes y en el segundo no. Por tanto:
para sumar o restar dos monomios tienen que ser semejantes. La suma o resta es
otro monomio semejante a ellos que tiene por coeficiente la suma o diferencia,
según el caso, de los coeficientes.
Cuando los monomios no son semejantes la suma queda indicada y el resultado
es un polinomio como veremos en este tema.
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Ejercicio. Calcula las sumas de los monomios que se indican:
a) 2ax4 - 3ax4 + 5ax4
b) 2x3 - x + x3 + 3x3 +2x
- El primer caso a) es el que se puede observar en la escena.Se pueden cambiar
los coeficientes (c1, c2, c3 respectivamente) y observar otros resultados.
- En el caso b) obsérvese que no todos los monomios son semejantes entre sí. Se
deben sumar los que lo sean. (Solución: 6x3 +x)
PRODUCTO DE MONOMIOS
Para multiplicar monomios se debe recordar el producto de potencias que, como
sabemos se puede realizar si tienen la misma base. Por ejemplo 5x2 · 3x4 = 15x6
ya que: "Para multiplicar potencias de la misma base se deja la misma base y se
suman los exponentes"
Con ello, para multiplicar monomios, se multiplican los coeficientes de cada uno
entre si y las potencias que tengan la mima base de cada uno, dejando las de
distinta base como estén.
Ejemplo
Calcular el producto de los siguientes monomios: 4ax4y3 · x2y · 3ab2y3 . Se
procede:
a) Se multiplican los coeficientes: 4, 1 y 3 respectivamente. Resultado: 12
b) Se multiplican todas las potencias de base a. Resultado: a2
c) Se multiplican todas las potencias de base b. Resultado: b2
c) Se multiplican todas las potencias de base x. Resultado: x6
d) Se multiplican todas las potencias de base y. Resultado: y7
Resultado final: 4ax4y3 · x2y · 3ab2y3 = 12a2b2x6y7
Ejercicio
Calcular el producto de los monomios siguientes: 2ax2 · (-3a3x) · 5y4x3
Obsérvese el resultado en la siguiente escena. Puede observarse que el
exponente 1 en la escena aparece escrito, aunque habitualmente no se escribe.
Ejercicio
Plantear otra suma de monomios semejantes a los tres anteriores. Cambiar los
valores de los coeficientes y los exponentes y calcularla.
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En la escena anterior se puede cambiar el valor de los coeficientes en la parte
inferior (siempre con un valor mínimo de -9) y el de los exponentes en la parte
superior de la escena (siempre con un valor mínimo de 1 ya que sino no serían
monomios).
DIVISIÓN DE MONOMIOS
Dos monomios no siempre se pueden dividir. Observarlos siguientes ejemplos:
Ejemplo
a) 4ax4y3 : 2x2y , -----------------------------b) 6x4y : ax3
En el primer caso a) se pueden dividir los coeficientes entre si y las letras del
dividendo entre las del divisor, aunque en el divisor no esté la "a". Se obtendría
como resultado a) 2ax2y2, en el segundo caso b), al no existir la "a" en el
dividendo, no es posible la división.
Quizás se entienda mejor si expresamos la división como una fracción y la
"simplificamos", restando los exponentes de las potencias de la misma base:
En el segundo caso b) obviamente no podemos hacer lo mismo al no poder
simplificar la "a" del denominador. "Tampoco pueden dividirse los monomios
cuando en el divisor aparece una letra con una potencia mayor que en el
dividendo. El resultado no sería un monomio pues quedaría, al restar los
exponentes, un exponente negativo (recuérdese que los exponentes de las letras
deben ser positivos)".
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