El documento habla sobre la cristalografía. Explica la fórmula de Euler para poliedros convexos, que establece que el número de caras más el número de vértices es igual al número de aristas más dos. También describe los sistemas cristalinos, las redes de Bravais y las leyes fundamentales de la cristalografía como la ley de constancia de ángulos y la ley de racionalidad de índices.

2. • Teorema de Euler
• La fórmula de Euler establece que, en un poliedro convexo, el número de
caras más el números de vértices es igual al número de aristas más dos.
Llamando C al número de caras, V al de vértices y A al de aristas se tiene
que:C + V = A + 2
• Las consecuencias más importantes del teorema de Euler son:
• 1) No puede existir un poliedro convexo con menos de seis aristas, cuatro
caras y cuatro vértices.
• 2) Sólo existen cinco poliedros convexos cuyas caras sean polígonos de
igual número de lados y cuyos ángulos poliedros tengan entre sí el mismo
número de aristas y que son: tetraedro, octaedro, icosaedro, hexaedro y
dodecaedro.
• 3) La suma de todas las caras de un poliedro convexo es igual a tantas
veces cuatro rectos como el número de vértices que tiene menos dos.
• Piensa en el cubo, ¿se cumple la fórmula?
•

3. Cristalografía
• Sistemas cristalinos: puede ser definido como la forma,
simetría y número de facetas que un mineral tiende a
formar en su superficie en el momento de su
cristalización, esta propiedad afecta otras características
como el hábito, clivaje, lustre, dureza y color.
• La clase cristalográfica a que pertenece un cristal puede
ser estudiada por medio de proyecciones cristalográficas,
gracias a la estrecha dependencia existente entre las caras
del cristal y su disposición reticular.
• Las combinaciones posibles con los elementos de simetría
(planos, ejes y centros) se reducen a 32 clases de simetría,
que presentan las catorce Redes de Bravais. Éstas redes
permiten que puedan ser agrupadas en seis sistemas
cristalinos(cúbico o regular, tetragonal, hexagonal, rombo
édrico o trigonal, diagonal y triclínico), y siete singonías
(cúbico o regular, tetragonal, hexagonal, romboédrica o
trigonal, rómbica, monoclínica y triclínica).

4. • Singonías cristalinas:
1-Cúbica o regular (3 ejes cuaternarios y 4 ejes ternarios); 2-tetragonal (1 eje cuaternario); 3-hexagonal
(1 eje senario); 4-romboédrica o trigonal (1 eje ternario); 5-rómbico (1 eje binario); 6-monoclínica (1 eje
binario); 7-triclínica (no tiene eje)
• Las singonías son formas fundamentales, resultantes de la relación
de las constantes cristalográficas entre sí.
•
El apatito es un ejemplo de prisma incluido en el sistema romboédrico o trigonal, por presentar
tres ejes colocados en un plano con ángulos de 60º entre sí, y un eje algo mayor vertical a este
plano
• En cada uno de los sistemas, la clase que posee el
mayor número de elementos de simetría, es decir,
que engendra formas con el máximo número de caras
y máximo grado de simetría, se
llama holoédrica (las formas simples que pertenecen
a ella se llaman holoedros). Las demás clases que se
deducen de las holoédricas (cristales que tienen
menos elementos de simetría) se llaman meroedros;
si éstos tienen la mitad de elementos se identifican
como hemiedros, o tetraedros si tienen solo la
cuarta parte.

5. • La ley de Steno o ley de constancia de ángulos
nos dice que en los cristales de igual especie
cristalina, el tamaño, la forma de las caras y la
distancia que las separa puede ser distinta pero
los ángulos diedros que forman caras homologas
son iguales.
• A igual distancia le corresponde igual
morfología. Se traduce de la constancia de los
ángulos en las caras homologas.

6. Leyes fundamentales de la cristalografía
• En base al estudio de la forma externa de un cristal.
• Ley de la constancia de los ángulos diedros
• Fue enunciada en 1669 por Steno. Establece que, en una
misma especie mineral, los ángulos diedros formados
entre las caras son iguales, aunque dichas caras puedan
variar en cuanto a su forma y tamaño.
• Ley de racionalidad de los índices
• Fue enunciada en 1782 por Haüy, y estudia la posición que
poseen las distintas caras en un cristal, y la relación que
tome con otra cara llamada fundamentaltomada como
referencia. Establece que la relación entre los
parámetros de todas las caras existentes o posibles en
un cristal, sobre un mismo eje, da siempre números
racionales (pueden determinarse por tres números
enteros).
• Ley de la constancia de la simetría
• La ley de constancia de la simetría establece que, en un
cristal, el grado de simetría que presenta un conjunto
formado por cualquiera de sus caras, permanece
invariable aunque se combine con otro cuando
aparecen caras nuevas.

8. Todos los SISTEMAS CRISTALINOS y ejemplos con sus formas
-Ningun plano de simetria
3 ejes desiguales no perp.
-1 plano de simetria
-3 ejes desiguales, solo Cy B perp. Entre si
-3 planos de simetria
-3 ejes perp. Entre si y desiguales
-5 planos de simetria
-3 ejes perp., el eje ver. Es mas largo
o corto
-7 planos de simetria
-4 ejes 3 iguales y 1 horiz
-9 planos de simetria
-3 ejes perp entre si

9. Redes tridimensionales
Del apilamiento de estas redes se obtienen las redes tridimensionales. Existen 14
tipos diferentes de redes tridimensionales (redes de Bravais) que se agrupan en 7
sistemas cristalinos diferentes. Cada sistema cristalino viene caracterizado por unos
determinados valores de las traslaciones y de los ángulos que forman de su celda
unidad:

12. 4. CRISTALOGÉNESIS
Independientemente del mecanismo ambiental que ha originado un cristal, su
formación o cristalogénesis sigue una serie de etapas denominadas nucleación y
crecimiento.
1. NUCLEACIÓN.- La formación de un cristal comienza con la formación de
un núcleo o partícula inicial con las propiedades de un cristal, a partir de la
cual éste ya puede crecer. Existen dos modalidades de nucleación:
Nucleación homogénea: Cuando la
partícula es de la misma composición y
estructura del cristal que se va a formar.
Nucleación heterogénea: Cuando el
núcleo es una sustancia diferente y
preexistente que favorece su
cristalización. Las partículas extrañas
quedan incluidas dentro del nuevo cristal
como impurezas o inclusiones.

17. Cristalografía Geométrica

19. BIBLIOGRAFIA
1- Portal Educativo de Ciencias Naturales y
aplicadas. Asociación Española para la Cultura, el
Arte y la Educación -ww.asocae.org
2012.
2-CEMA , 2012
http://www.roquesalcarrer.ad/pdf/ESP/unitat_els%
20minerals.pdf
3. Howard Mark and Darcy 2012
Introduction to sistems
http://www.rockhounds.com/rockshop/xtal/part6.s
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