1. PRONÓSTICOS
PARA LA TOMA
DE DECISIONES

2. ÍNDICE
PÁGINA
INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS .............................4
INTRODUCCIÓN....................................................................................................................4
¿QUÉ ES PRONOSTICAR? ..............................................................................................5
DIFERENCIAS ENTRE PRONÓSTICOS Y PRESUPUESTOS............................6
CARACTERÍSTICAS INHERENTES A LOS PRONÓSTICOS ...........................7
TIPOS DE PRONÓSTICOS ................................................................................................8
MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUALITATIVOS .................9
CONSENSO DE UN PANEL .............................................................................................10
MÉTODO DELPHI .............................................................................................................10
INVESTIGACIÓN DE MERCADOS .............................................................................11
ANALOGÍA HISTÓRICA .................................................................................................12
PRONÓSTICO VISIONARIO ..........................................................................................12
HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS NECESESARIAS PARA EL
MANEJO DE LOS MÉTODOS DE PRONÓSTICOS............13
ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA ......................................................................................13
ESTADÍSTICA INFERENCIAL ......................................................................................19
Estimación estadística.............................................................................................................19
MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUANTITATIVOS ............21
PATRÓN ESTACIONARIO..............................................................................................22
PATRÓN DE TENDENCIA...............................................................................................23
PATRÓN DE TENDENCIA...............................................................................................24
PATRÓN CÍCLICO..............................................................................................................25
MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN .....................................................................................25
Promedios móviles simples.....................................................................................................28
Cálculo del error y el error cuadrado ............................................................................30
Selección del mejor modelo de pronósticos....................................................................31
Suavización exponencial simple (SES).................................................................................33
Suavización exponencial simple de respuesta adaptiva (SESRA) .....................................35
MÉTODOS DE SUAVIZACIÓN PARA DATOS CON PATRONES DE TENDENCIA 38
Promedio móviles lineales (dobles) .......................................................................................39
Suavización exponencial lineal (doble) ................................................................................40
Método de Brown...............................................................................................................41
Método de Holt...................................................................................................................41
Suavización exponencial cuadrática.....................................................................................42
Método de Brown Cuadrático ................................................................................................42
Método de Brown cuadrático...........................................................................................42

3. Ejemplo ............................................................................................................................44
Solución............................................................................................................................44
Método de Winters para patrones estacionales....................................................................46
Método de Winters ............................................................................................................46
Ejemplo ............................................................................................................................48
Solución............................................................................................................................48
Significado del valor de It ...............................................................................................48
MÉTODOS CAUSA-EFECTO.........................................................................................50
Regresión lineal simple .....................................................................................................50
Ecuaciones de regresión..................................................................................................51
El coeficiente de correlación y el de determinación .....................................................54
Coeficiente de determinación .........................................................................................56
MÉTODOS DE DESCOMPOSICIÓN DE SERIES DE TIEMPO.......................61

4. INTRODUCCIÓN A LOS PRONÓSTICOS
Introducción
A través de la historia el hombre siempre ha querido predecir el futuro; en la
antigüedad esta capacidad daba a algunos hombres el poder de influir en el
comportamiento de otros, así, se les conferían poderes sobrenaturales a estos
hombres y se les daba un tratamiento especial. Predecir el futuro proporciona
poder porque se conoce cual va a ser el orden de las cosas y eso proporciona la
ventaja de actuar antes que los demás y tomar ventaja de esta situación. En el
mundo de los negocios siempre ha sido importante conocer el futuro, una empresa
desea saber cuál va a ser el futuro comportamiento del mercado para de esta
manera producir productos que satisfagan las necesidades de sus clientes de una
mejor manera. Pronosticar no consiste en adivinar, la palabra pronóstico la
solemos asociar fundamentalmente con los famosos pronósticos deportivos que
permiten obtener una gran recompensa por acertar el resultado de una serie de 14
partidos semanales de fútbol de la primera división mexicana, a través de esta
obra nos vamos a dar cuenta de que el pronosticar es una acción totalmente
científica y con una metodología bien establecida y que no consiste sólo en la
acción de suponer un resultado en base a lo que suponemos que va a ocurrir o a
lo que nos dicta nuestra intuición.1 El desarrollo de los programas de computadora
en los últimos años ha permitido que los métodos de pronósticos sean cada vez
más sencillos de utilizar e interpretar; en los viejos tiempos realizar un pronóstico
implicaba grandes cálculos numéricos y horas de trabajo manual que además
significaba que se cometían una gran cantidad de errores, hoy en día cada vez es
más fácil hacer uso de programas especializados para pronosticar y aun las hojas
de cálculo comerciales como EXCEL2 o LOTUS 1233 facilitan enormemente la
acción de pronosticar.
1
Por supuesto siempre se va a poder pronosticar de manera intuitiva, sin embargo, para los fines de esta
antología siempre supondremos que el tomador de decisiones fundamenta su decisión basado en la
información.
2
EXCEL es una marca registrada de Microsoft Corporation.

5. ¿Qué es pronosticar?
Vamos a entender por pronosticar la acción de emitir un enunciado sobre lo que es
probable que ocurra en el futuro, tomando como base la información obtenida
hasta el presente.
Pronosticar es emitir un enunciado sobre lo
que es probable que ocurra en el futuro
basándose en información obtenida hasta el
presente.
Un pronóstico supone que el futuro es incierto y desconocido, pero que es posible
de estimar, es decir, es posible determinar con cierto grado de aproximación el
resultado futuro posible de un evento.
INCERTIDUMBRE
Información
Y RIESGO Suposición
del pasado del futuro
Por supuesto el futuro es desconocido y toda toma de decisiones lleva implícito un
riesgo, lo importante es que la información del pasado sirva de base para poder
suponer qué va a ocurrir en el futuro; pronosticar significa tender un puente entre
el presente y el futuro y permita resolver problema de toda la organización.
El principal propósito de hacer un pronóstico es obtener conocimientos sobre
eventos inciertos que son importantes en la toma de decisiones presente.
Pronosticar involucra una parte de ciencia y arte; la parte científica la suministra la
3
LOTUS 123 es una marca registrada de Lotus Corporation propiedad de IBM Co.

6. estadística, mientras que el arte está formado por el juicio, la intuición y la
experiencia del pronosticador.4
Diferencias entre pronósticos y presupuestos
Es importante hacer notar que un pronóstico no es lo mismo que un presupuesto,
aunque debería quedar claro de manera evidente este hecho, vale la pena
comentarlo y no darlo por sentado de manera automática. En general hablamos de
un presupuesto en términos de la planeación de necesidades económicas que
todas y cada una de las áreas funcionales de la organización van a requerir. Por
supuesto el presupuesto no puede exceder de las necesidades de la empresa,
aunque el departamento de ventas de una empresa de chocolates quisiera gastar
1´000,000 de pesos el próximo año en su fuerza de ventas, si la empresa no va a
tener ingresos superiores a esa cantidad, no podría destinar todos los recursos sólo
a ventas y tendría que repartirlos entre todos los departamentos de la misma. El
presupuesto de ventas esta limitado entonces por la capacidad de ingresos de la
empresa. Un pronóstico, sin embargo, no tiene que ver con la empresa, es el
resultado que el mercado proporciona sobre cierto aspecto, así, el mercado puede
demandar 1´000,000 de pesos de chocolates el próximo año, por lo que el
pronóstico de ventas es de 1´000,000.
Un pronóstico está relacionado con la demanda,
mientras que un presupuesto está relacionado con
la capacidad de la empresa.
Usos de los pronósticos5
Algunos usos tradicionales de los pronósticos son:
4
Como lo habíamos mencionado previamente la parte intuitiva no debe ser despreciada, en lo absoluto, sin
embrago una decisión no debe fundamentarse sólo en la parte intuitiva del tomador de decisiones.
5
Tomado en parte de: Bures Esperanza; Pronósticos en la toma de decisiones; ITESM, 1980.

7. 1) Mercadotecnia:
a. Ventas.
b. Desarrollo de productos.
c. Planes de publicidad.
d. Distribución.
2) Producción:
a. Programas de producción.
b. Inventarios.
c. Tendencias de costos.
d. Requerimientos de mantenimiento.
3) Finanzas:
a. Proyección de flujos de efectivo.
b. Proyección de liquidez.
c. Planeación de capital de trabajo.
d. Factibilidad de inversiones.
4) Recursos Humanos:
a. Planeación de la fuerza laboral.
b. Requerimientos de planes de entrenamiento.
c. Rotación de personal.
d. Búsqueda de talento.
Características inherentes a los pronósticos
Todas las situaciones en las que se requiere un pronóstico tratan con el futuro y el
tiempo está directamente involucrado, esto hace que la incertidumbre siempre
este presente en las situaciones de pronósticos y por lo tanto la confianza en la
información es básica en las situaciones de pronósticos. Los siguientes factores son
determinantes en la selección de cualquier modelo de pronósticos:
1) El contexto del pronóstico.
2) La relevancia y disponibilidad de datos históricos.
3) El grado de exactitud deseado.

8. 4) El periodo de tiempo que se va a pronosticar.
5) El análisis costo-beneficio del pronostico para la compañía.
6) El tiempo disponible para hacer el pronostico.
7) El punto del ciclo de vida donde se encuentre el producto.
8) ¿Cuál es el propósito del pronóstico?
9) ¿Cómo va a usarse?
10)¿Cuál es la dinámica y componentes del sistema para los que se hará
el pronóstico?
11)¿Qué tan importante es el pasado para estimar el futuro?6
Antes de iniciar un proceso de pronósticos es necesario que el pronosticador de
una respuesta adecuada a cada uno de los puntos anteriores a fin de no generar
expectativas superiores de los resultados esperados a las que en sentido estricto
se podría tener dada la información y el estado presente y sobre todo, futuro del
mercado.
Tipos de pronósticos
1) Pronósticos cualitativos: son aquellos que se basan en la
experiencia, intuición y juicio del pronosticador. Entre los más
importante se encuentran:
a. Método Delphi.
b. Investigación de mercados.
c. Consenso de un panel.
d. Pronóstico visionario.
e. Analogía histórica.
6
Este punto es de particular importancia en una economía como la de México, en la cual algunas empresas
exitosas de hace sólo algunos años, hoy en día no figura en la lista de las más importantes. O bien dada una
situación de crisis económica (como la vivida en 1995), a veces la información del pasado no tiene la mayor
importancia porque las reglas y el estado de la naturaleza han cambiado.

9. 2) Pronósticos cuantitativos: son aquellos que se basan en datos
estadísticos y usan herramientas de cómputo y matemáticas para
predecir el futuro. Las grandes áreas de esta clase de pronósticos
son:
a. Series de tiempo:
i. Métodos de suavización.
ii. Métodos de descomposición.
iii. Metodología Box-Jenkins
b. Modelos causales:
i. Análisis de regresión.
ii. Modelos econométricos.
iii. Modelos insumo-producto.
Para los fines de esta antología se hará una breve descripción de los métodos
cualitativos y con respecto a los cuantitativos sólo se estudiarán los métodos de
suavización, descomposición y el análisis de regresión. En cursos más avanzados
de pronósticos se pueden estudiar los métodos restantes.
MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUALITATIVOS
Junto con los pronósticos deportivos, la más frecuente mención que se hace sobre
pronósticos es el pronóstico del tiempo. Hoy en día sabemos que el tiempo se
pronostica tomando datos e información proporcionada por satélites que muestran
el comportamiento de las nubes y podemos afirmar si habrá lluvia, frío, calor o
nieve. Sin embargo, ¿quién no conoce a alguien que es capaz de predecir el
tiempo tan sólo por el color del cielo?. Estas personas han adquirido por años esta
capacidad a través de observaciones y vivencias que les permiten ver donde los
demás no somos capaces de hacerlo. En el mundo de los pronósticos en los
negocios también hay estos expertos, es gente que tiene la capacidad de tomar

10. decisiones y percibir hacia donde va el mercado de sin tanta información como el
resto de los demás. Se han creado diversas metodologías para hacer uso de la
experiencia de la gente a favor de los pronósticos. En esta unidad describiremos
algunos de estos métodos.
Consenso de un panel
Un panel de expertos está constituido por un grupo de personas con grandes
calificaciones y resultados en un área de la empresa. En general el grupo se ha
reunido para tomar una decisión de gran importancia para la empresa. La
metodología de solución puede ser a través de la lluvia de ideas o de la
administración interactiva7. Estas reuniones pueden pretender decidir si se lanza
un nuevo producto, si se cambian las políticas de crédito de la compañía, si se
renueva la estructura organizacional o si el perfil de un director de área debería
cambiar. Sin embargo, la decisión no debe ser tomada por mayoría sino por
consenso (es decir, todos los miembros del grupo deben aceptar la decisión), si no
se llega al consenso el grupo no termina la reunión y deberá seguir discutiendo y
debatiendo hasta decidir una solución en la que este de acuerdo todo el grupo.
Esta tipo de reuniones suelen ser muy productivas y enriquecedoras, sin embargo,
cuando no se logra la empatía entre los integrantes del grupo pueden llegar a ser
muy difíciles y desgastantes para el grupo.
Método Delphi
Un problema muy frecuente en los paneles es el arrastre por estatus; esto significa
que los puntos de vista del grupo pueden ser influenciados por algún miembro de
mayor jerarquía, antigüedad o experiencia y por lo tanto distorsionar la decisión
del grupo y no llevar a la mejor elección. La metodología Delphi pretende evitar
este arrastre por estatus al organizar un grupo de manera que los miembros sean
7
Metodologías donde los miembros del grupo dan su opinión sobre algún aspecto en particular en diversas
rondas de opinión, descartando las menos repetidas y votando sobre aquellas que más veces se presentaron.

11. anónimos y desconocidos inclusive entre ellos mismos. Hay un moderador que se
encarga de reunir las aportaciones de los miembros del grupo y recopila las
opiniones de todos y cada uno de los integrantes del grupo y hacer llegar los
resultados a todos. Se acostumbra diseñar un cuestionario que se hace llegar a los
participantes y quienes deben no dar a conocer su participación a nadie excepto al
moderador, una vez contestado dicho cuestionario se deposita en un buzón que se
pone para el depósito de los cuestionarios y el moderador los recoge, codifica,
examina y obtiene resultados que posteriormente publica. Si se llega a un acuerdo
desde el principio, se da por terminado el ejercicio, en caso contrario se vuelve a
repetir el cuestionario con las adaptaciones y observaciones surgidas de la ronda
anterior. Se repite tantas veces como sean necesario. Se menciona en Hanke y
Ritsch que la RAND Corporation fue la primera organización en usar esta
metodología.8
Investigación de mercados
La investigación de mercados es el estudio de las metodologías para la recolección,
codificación, análisis e interpretación de la información en el campo de la
mercadotecnia. Estas metodologías incluyen tanto técnicas cualitativas como
cuantitativas. Entre las más conocidas metodologías cualitativas se encuentran las
sesiones de grupo, las entrevistas de profundidad y los análisis de contenido.9
Las técnicas cuantitativas, por otro lado, se basan en métodos estadísticos de todo
tipo, desde análisis de frecuencias simples, hasta análisis multivariados. Los
análisis más comunes son los de tablas cruzadas que tratan de encontrar si existe
relación entre dos o más variables.
8
Hanke y Reitsch; Pronósticos en los Negocios; Prentice Hall; 1996
9
En los informes de gobierno es muy común hacer un análisis de contenido tomando como base la cantidad
de ocasiones en que el gobernante mencione tal o cual palabra; por ejemplo, si el gobernante menciona 20
veces democracia y sólo 10 veces seguridad, se supone que le da el doble de importancia al rubro democracia
que al rubro seguridad.

12. A pesar de que las metodologías de la investigación de mercados incluyen tanto
aspectos cualitativos como cuantitativos, para efectos de pronósticos TODAS las
técnicas se consideran cualitativas...¿por qué? La razón es que la investigación de
mercados en general toma datos de encuestas aplicadas a consumidores o
empresarios, estas encuestas reflejan la opinión de las personas sobre un asunto
en particular y no necesariamente la verdad de dicho fenómeno. Por ejemplo, se
podría hacer una encuesta sobre la belleza de la Gioconda y encontrar resultados
que digan que es muy fea; esto no significa que así sea, sólo quiere decir que con
la información recabada y con la gente a la que se le preguntó, se obtendría esa
conclusión.
Analogía histórica
Esta técnica esencialmente se usa para el desarrollo y lanzamiento de nuevos
productos. Dicha técnica cosiste en comparar los resultados de un producto de
similares características con aquel que se piensa introducir al mercado. En general
se compara si satisfizo las expectativas de utilidades y participación de mercado
esperadas. La analogía debe tomar en consideración las diferencias en las
situaciones económicas, políticas y de mercado y sólo así comparar uno con otro.
Pronóstico visionario
Esta clase de pronóstico está reservada para algunas personalidades con gran
influencia en el área de su competencia. Así, el presidente de la Reserva Federal
de los Estados Unidos es el gran dictador del rumbo de la economía mundial y
suele predeterminar el rumbo de la economía mundial. Para otras áreas también
se puede encontrar personalidades de este tipo y aun en áreas menores se dan
pronósticos visionarios por la experiencia y la sensibilidad de algún pronosticador o

13. personalidad de un área. El reconocimiento de la calidad del pronóstico debe ser
reconocida por toda la comunidad de dicha área.10
Es importante darse cuenta que estos pronósticos no pueden ser hechos por
cualquiera, sino sólo por expertos muy calificados en las áreas.
HERRAMIENTAS ESTADÍSTICAS NECESESARIAS PARA
EL MANEJO DE LOS MÉTODOS DE PRONÓSTICOS
La gran mayoría de las técnicas cuantitativas de pronósticos descansan sobre
algunos conceptos estadísticos fundamentales. En esta unidad damos una breve
revisión a dichos conceptos. La estadística maneja los siguientes conceptos como
regla general:
1) Población: se refiere a la colección de objetos de interés o bajo
investigación.
2) Muestra: es una parte de la población que se examina para hacer
suposiciones sobre dicha población.
3) Parámetro: es toda medida de la población, el promedio, el
porcentaje o la desviación estándar de la población se conocen como
parámetros. En general se denotan por letras griegas.
4) Estadísticos: es toda medida de la muestra que sirve para estimar o
inferir (hacer suposiciones) de los parámetros.
Estadística descriptiva
La estadística descriptiva es la explicación del comportamiento de una población
basándose en un conjunto de datos. Las medidas clave a considerar de la
estadística descriptiva son la media y la desviación estándar.
10
Algunos autores han descalificado esta clase de pronósticos por considerar que no es que el pronosticador
acierte en su opinión, sino que dicha opinión influye de tal manera en el medio ambiente que su opinión se
vuelve en el nuevo estado de la naturaleza; por ejemplo, si el presidente de la reserva federal dice que va a ver
recesión, probablemente no se deba a que puede percibir esta recesión mejor que los demás, sino que su
opinión influyo de tal manera que provocó dicha recesión.

14. Media de la población: la media (o promedio) de la población es la
suma de todos los datos, divididos entre el número de datos. Esta es
la medida más utilizada en la estadística tanto descriptiva como
inferencial.
o Notación: se denota por la letra griega µ.
o Fórmula
1 N x + x2 + x3 + K + xN
µ = ∑ xi = 1
N i=1 N
La media es la medida de mayor representatividad de la población, sin
embargo, hay que tener cuidado con ella, porque a veces puede ser
afectada por valores extremos.
Ejemplo: la compañía Mexplaz vende productos de belleza en la región del
centro del país que incluye los estados de San Luis Potosí, Aguascalientes,
Querétaro, Guanajuato y Zacatecas. Los datos de las ventas mensuales de
lápices labiales del año pasado se muestra en la tabla siguiente. Encuentre
la media de las ventas de Mexplaz del año pasado.
MESESTADO S.L.P. AGS. QRO. GTO. ZAC.
ENERO 234 453 121 304 322
FEBRERO 125 555 345 409 342
MARZO 321 412 432 408 543
ABRIL 212 321 388 470 321
MAYO 315 432 366 446 543
JUNIO 412 543 375 454 321
JULIO 342 121 342 432 543
AGOSTO 254 543 331 453 231
SEPTIEMBRE 654 543 332 409 333
OCTUBRE 223 675 343 430 543

15. NOVIEMBRE 102 398 221 389 432
DICIEMBRE 221 304 221 435 143
Tabla 1: Información de ventas mensuales por estado de lápiz labial.
Solución: en este caso por tratarse de la media de la población sumamos
los 60 datos de la tabla y los dividimos entre 60, sin importarnos el origen
de los mismos.
234 + 453 + 121 + K + 143 22188
µ= = = 369.8
60 60
Esto significa que en promedio se vendieron aproximadamente 370 lápices
labiales al mes por cada uno de los estados.
Desviación estándar: la otra medida de gran importancia en la
estadística descriptiva es la desviación estándar. Esta podría definirse
como la medida de la dispersión de los datos con respecto al
promedio. Permite ubicar que tan buena es la aproximación que da el
promedio ya que a menor desviación estándar, menor es la diferencia
entre los datos.
o Notación: se denota por la letra griega σ.
o Fórmula
1 N
σ= ∑ (x i − µ)
2
N i=1
Ejemplo: encuentre la desviación estándar para los datos del
ejemplo anterior.
Solución: tomando el valor de µ=369.8 encontrado en el ejemplo anterior,
la desviación estándar se calcula como sigue:

16. σ=
1
60
[ ]
(234 − 369.8)2 + (453 − 369.8)2 + K + (143 − 369.8)2 = 128.47
Media de la muestra: esta es la medida más utilizada en la
estadística. Esencialmente es igual a la media de la población sólo
que ahora tomando los datos de la muestra, es decir, la media de la
muestra es la suma de todos los datos de la muestra, divididos entre
el número de datos.
o Notación: se denota por una X con una línea por encima de
ella y se lee como equis barra. X
o Fórmula: la única variación que sufrirá la fórmula es que en
lugar de considerar N datos, se tomarán en cuenta n (por
tradición N es el tamaño de la población y n es el tamaño de la
muestra).
1 n X + X2 + K + Xn
X = ∑ XI = 1
n i=1 n
Ejemplo: Considere los datos de la tabla 1 y encuentre las
medias correspondientes a cada uno de los estados.
Solución: Tomemos los datos de cada estado y
encontremos el promedio:

17. 234 + 125 + K + 221
X SLP = = 284.58
12
453 + 455 + K + 304
X AGS = = 441.67
12
121 + 345 + K + 221
X QRO = = 318.08
12
304 + 409 + K + 435
X GTO = = 419.92
12
322 + 342 + K + 143
X ZAC = = 384.75
12
De estos resultados podemos observar que el estado con mayores
ventas en promedio es Aguascalientes y el estado con menores
ventas en promedio en San Luis Potosí.
Desviación estándar: también podemos calcular la desviación
estándar de la muestra que también se define como la medida de la
dispersión de los datos con respecto al promedio o media muestral.
Al igual que la poblacional permite ubicar que tan buena es la
aproximación que da el promedio ya que a menor desviación
estándar, menor es la diferencia entre los datos. Hay sin embargo
una pequeña variación que vale la pena mencionar en el cálculo de la
desviación estándar y es que a diferencia de la poblacional la suma
de los cuadrados de la diferencia de los datos observados menos la
media no se divide entre n, sino entre n-1. Esto se debe al concepto
de grados de libertad que se defina como el número de variables
aleatorias menos las restricciones en un experimento; en este caso
hay n variables aleatorias y una restricción, que es precisamente que
la información se obtendrá de esa muestra.
o Notación: se denota por la letra s.

18. o Fórmula
∑ (X i − X )
1 N 2
s=
n − 1 i=1
Ejemplo: para el mismo ejemplo que hemos trabajado de la
compañía Mexplaz encuentre la desviación estándar para cada uno de
los estados bajo estudio.
Solución: tomemos los datos por estado de la tabla 1, así como las
medias encontradas en el ejemplo anterior y encontremos esta
desviación estándar:
s SLP =
1
11
[ ]
(234 − 284.58)2 + (125 − 284.58)2 + K + (221 − 284.58)2 = 147.74
s AGS =
1
11
[ ]
(453 − 441.67 )2 + (555 − 441.67 )2 + K + (304 − 441.67 )2 = 146.92
s QRO =
1
11
[ ]
(121 − 318.08)2 + (345 − 318.08)2 + K + (221 − 318.08)2 = 87.06
s GTO =
1
11
[ ]
(304 − 419.92)2 + (409 − 419.92)2 + K + (435 − 419.92)2 = 43.37
s ZAC =
1
11
[ ]
(322 − 384.75)2 + (342 − 384.75)2 + K + (143 − 384.75)2 = 135.20
La primera observación interesante que nos permite hacer el cálculo de la
desviación estándar es que aunque Aguascalientes tiene un promedio más
grande en ventas, su dispersión también es de las más grandes (146.92),
esta dispersión es de más del 33% de la media; en ese sentido un estado
donde un pronostico de ventas basado en la media sería mas certero es en
Guanajuato, en el que la media es la segunda global, pero su desviación
estándar es mucho menor, tan sólo un poco superior al 10% de la media.

19. La primera idea importante al hacer un pronóstico es que mientras
menor dispersión tengan los datos, más certero será.
Estadística inferencial
La teoría de la inferencia estadística consiste en aquellos métodos con los cuales
se pueden realizar inferencias o generalizaciones acerca de una población.11
Esta teoría de la inferencia estadística se compone de dos grandes áreas: la
estimación estadística y las pruebas de hipótesis. Vamos a explicarlas brevemente
aunque no van a ser parte fundamental de este curso es posible que de manera
indirecta se mencionen en algunos casos.12
Estimación estadística
Básicamente consiste en obtener información de una muestra y con los resultados
obtenidos en ella inferir13 que estos resultados se van a seguir dando en la
población. Por ejemplo, tomemos una muestra de 20 trabajadores de la industria
del calzado de la ciudad de León e investiguemos su gasto semanal en bebidas
alcohólicas; con estos datos obtengamos el promedio. Vamos a suponer que el
promedio nos dio $ 50.00 semanales; podríamos inferir a partir de este resultado
que todos los trabajadores de la industria del calzado gasta $ 50.00 por semana.
Eso es básicamente hacer una estimación, es decir, dada una muestra, a la luz de
los resultados de esa muestra suponemos que la población sigue un
comportamiento más o menos semejante. Este método de estimación se llama
estimación puntual, por que simplemente tomamos el valor del estadístico y
decimos que es igual al del parámetro. Existe otra clase de estimación que es la
estimación por intervalo, en la cual dado el resultado poblacional podemos inferir
que el resultado está en un rango de valores. Por ejemplo en nuestro ejemplo, la
desviación estándar pudo haber sido de $ 5.00 por semana, por lo que
concluiríamos que el gasto semanal de los trabajadores de la industria del calzado
11
Walpole, Myers; Probabilidad y Estadística; McGraw-Hill; Publicado originalmente en 1984 y con
diversas ediciones y reimpresiones nuevas.
12
Para profundizar más en estos temas se recomiendan ampliamente el libro mencionado en el píe de página
superior a este.

20. está entre $ 45.00 y $ 55.00. Esto en general se trabaja con cierto margen de
error.
Una de las partes más importantes dela estadística inferencial la van a constituir
precisamente los pronósticos, que es el tema central de esta antología.
13
Suponer, generalizar.

21. MÉTODOS DE PRONÓSTICOS CUANTITATIVOS
Para poder hacer uso de los pronósticos es necesario que exista una certeza de
que lo que ha ocurrido en el pasado, seguirá ocurriendo en el futuro; esto es, debe
haber una constancia de certeza de la información. Los pronósticos toman la
información del pasado y con eso se infiere el futuro, de no continuar con el
mismo patrón de información, el pronostico no serviría de nada. La naturaleza y el
comportamiento humano han mostrado que existen en general cuatro patrones de
comportamientos de los datos, pero aclarando que todo pronóstico siempre
lleva inherente la posibilidad de cometer un error. Esto es, podemos definir
los pronósticos como la certeza de un patrón, más la ocurrencia de un error, así
tendríamos que:
Pronóstico = Patrón + Error
Los patrones básico que se tienen son:

22. Patrón estacionario
Es aquel en el que se la información no tiene grandes cambios a través del tiempo,
se considera que un patrón estacionario sería prácticamente constante y no sufriría
de grandes alteraciones en el tiempo. Algunos ejemplos de estos patrones sería el
consumo de alimentos básicos como la tortilla y el consumo de refrescos como
Coca-Cola.14
Patrón estacionario
14
Algunos autores afirman que las ventas de los refrescos son más bien estacionales y que se venden más
épocas de calor que de frío, esto siendo verdadero en la generalidad de los casos no lo reflejan las ventas de la
Coca-Cola en México, donde prácticamente permanecen constantes durante todo el año.

23. Patrón estacional
Es aquel cuyas altas y bajas en la demanda están bien determinadas de acuerdo
con determinadas estaciones del año. Así tenemos que hay productos cuya
demanda se incrementa con el calor (trajes de baños, playeras, shorts, etc.),
mientras que otros productos incrementan su demanda en el frío (chamarras,
abrigos, etc.). De hecho los alimentos también son estacionales, por ejemplo, los
pescados y mariscos tienen su alza en la época de cuaresma y el consumo de pan
de azúcar se incrementa en las temporadas de frío, mientras que las frutas y los
jugos ve incrementada su demanda en épocas de calor.
mayo Patrón estacional mayo

24. Patrón de tendencia
Es aquel que representa como es el estado de la naturaleza y hacía dónde va en
un momento dado. Por ejemplo, la tendencia en los últimos años ha sido a
consumir productos cada vez más saludables con menos colesterol y grasas; las
ventas de aceites de cártamo han bajado de manera considerable en los últimos
años contra las ventas de aceite de oliva que se han incrementado. Dado los
precios de ambos productos aun no se ve tan radicalmente el cambio, sin
embargo, es de esperar que en unos años las ventas de aceite de oliva crezca y
por este incremento en la demanda su precio disminuya, y que los aceites de
cártamo tiendan a desaparecer.15 En general la tendencia puede ser creciente o
decreciente y dentro de estas clasificaciones podría ser lineal, cuadrática o
exponencial. Evidentemente el crecimiento lineal es más lento que el cuadrático y
este a su vez es más lento que el exponencial.
Patrón de tendencia creciente Patrón de tendencia decreciente
15
Por supuesto todos hemos encontrado en un súper mercado aceites de cartamo libres de colesterol. Esta es
precisamente la reacción del productor cuando la tendencia le amenaza; es decir, tomar acciones para no dejar
que el mercado se pierda.

25. Patrón cíclico
En los estudios de economía se muestra que las economías de todos los países
pasan por el llamado Ciclo Económico que básicamente lo que dice es que una
nación tiene épocas de auge y época de recesión económica; cuando la economía
está en crecimiento hay condiciones para el éxito de ciertas empresas y cuando
está en recesión las condiciones cambian de tal manera que las empresas
redefinen sus estrategias de venta y trabajo. La economía y el ciclo económico
afectan la exactitud de un pronóstico, ya que no es lo mismo pronosticar ventas
para una época de auge que para una de recesión económica.
Año A Patrón cíclico Año B
Observamos que aunque el comportamiento gráfico de un patrón cíclico y un
estacional parece ser iguales, la deferencia estriba en que mientras en el cíclico no
sabemos el punto de las cimas y las simas, en el caso del patrón estacional si
están perfectamente determinadas los meses del año de cima y los de sima.
Métodos de suavización
Los primeros métodos de pronósticos cuantitativos que vamos a estudiar son los
métodos de suavización. Estos métodos tiene las característica:
Técnicas intuitivas.

26. De bajo costo.
Ponderan las observaciones del pasado para obtener un pronóstico a
futuro.
Se usan primordialmente en aquellos casos en los que hay que
pronosticar un gran número de artículos.
Para una mejor selección del método hay que determinar el patrón
que siguen los datos.
Se recomienda graficar la serie de tiempo antes de seleccionar el
método más adecuado.
En el caso de una empresa mediana y pequeña son los modelos que
más se recomendarían por la facilidad de su uso y por no necesitar
grandes inversiones en hardware ni en software.16
Para una empresa que está comenzando son casi los únicos métodos
que son posible utilizar.
A continuación mostramos un cuadro sinóptico de los métodos que aparecerán en
esta obra para su estudio.
16
De hecho son modelo que con una calculadora se podría utilizar aunque en estos tiempo el uso del Excel(R)
facilita enormemente sus cálculos.

27. Promedios móviles simples
Patrón
Suavización exponencial simple
estacionario
Suavización exponencial simple
de respuesta adaptiva
Promedios móviles lineales
Métodos de Patrón de Suavización exponencial
suavización tendencia lineal
Suavización exponencial
cuadrática
Patrón
Método de Winters
estacional

28. Promedios móviles simples
Consisten en tomar un conjunto de datos observados, encontrar el promedio de
esos valores y usar dicho promedio como el pronóstico del siguiente periodo.
El término promedio móvil se usa porque cada vez que se tiene disponible una
nueva observación, se puede calcular un nuevo promedio, desechando la
observación de mayor antigüedad y agregando la observación más reciente. Este
nuevo promedio se usa como el pronóstico del siguiente periodo.
Requisitos para el uso de los promedios móviles simples:
1. Debe tratarse de una serie de tiempo con patrón estacionario.
2. Se debe definir una magnitud del promedio móvil (es decir, cuántos
datos se van a incluir en mi promedio) que tenga sentido respecto
del problema que se está habando.
3. El primer pronóstico no se puede calcular mediante la fórmula, sino
que necesariamente requiere del cálculo completo del promedio.
Fórmula
x t − x t −L
Pt +1 = Pt +
L
Donde: Pt+1 : pronóstico para el periodo t+1
Pt : pronóstico para el periodo t
Xt : observación del periodo t (la más reciente)
Xt-L : observación del periodo t-L (la más antigua)
L : magnitud del promedio móvil
Ejemplo:
El día 31 de enero un vendedor de verduras del mercado de “La Soledad” desea
determinar cuántas zanahorias comprar para vender durante el mes de febrero. Él
ha identificado un patrón más o menos estacionario en sus ventas y decide
emplear el método de promedios móviles simples para obtener su pronóstico de

29. ventas. Llene la tabla siguiente usando una magnitud de promedio móvil igual a 3
y obtenga el pronóstico de venta de zanahorias de febrero.
Mes (t) Ventas (x t) Pronóstico
en kilos
Febrero 231
Marzo 229
Abril 232
Mayo 234
Junio 225
Julio 231
Agosto 227
Septiembre 221
Octubre 228
Noviembre 236
Diciembre 226
Enero 229
Solución
Encontremos primero el promedio móvil para el mes de mayo que se forma con los
datos de febrero, marzo y abril.
PFEB + PMAR + PABR 231 + 229 + 232
PMAY = = = 230.67
3 3
Con este valor procedemos a calcular el promedio móvil de junio de esta manera:

30. x MAY − x FEB 234 − 231
PJUN = PMAY + = 230.67 + = 231.67
3 3
Y así sucesivamente continuaríamos con el resto de los datos hasta llegar a llenar
completamente la tabla.
Con la tabla llena entonces, procedemos a encontrar el pronóstico de febrero:
x ENE − x OCT 229 − 228
PFEB = PENE + = 230.00 + = 230.33
3 3
El vendedor debe encargar 230.33 kilos de zanahoria para el mes de febrero.
Mes (t) Ventas (xt) en kilos Pronóstico
Febrero 231
Marzo 229
Abril 232
Mayo 234 230.67
Junio 225 231.67
Julio 231 230.33
Agosto 227 230.00
Septiembre 221 227.67
Octubre 228 226.33
Noviembre 236 225.33
Diciembre 226 228.33
Enero 229 230.00
Cálculo del error y el error cuadrado
Como habíamos mencionado todo pronóstico lleva consigo un error asociado, en la
medida que el error sea menor se considera que el pronóstico es más adecuado.
Se han diseñado diversas técnicas para comparar los errores entre los pronósticos,
sin embrago, el de mayor confiabilidad es el conocido como error cuadrado
conocido como el MSE por sus siglas en ingles. El MSE no es otra cosa que el
promedio de los errores elevados al cuadrado.

31. Pero ¿qué es el error? Pues no es otra cosa sino la diferencia entre el dato
observado y el dato pronosticado, esto es:
e t = X t − Pt
La técnica del MSE hace uso de los errores al cuadrado y no del los errores simples
porque una suma de errores simples en general tiende a cancelarse (es decir da
como resultado cero) y no es útil.
De esta manera tenemos que:
1 n 2
MSE = ∑ e i
n i=1
Selección del mejor modelo de pronósticos
El criterio para seleccionar el mejor o el más adecuado modelo de pronósticos para
un caso dado es escoger aquel método con el menor error cuadrado medio, esto
es, mientras más se acerque a cero este valor, más certero y adecuado será para
usar. Esto va a ser útil comparando entre dos o más métodos o aun entre el
mismo método con diferentes parámetros. Por ejemplo, yo pudiera buscar como
encuentro una mejor aproximación a la realidad usando promedio móviles simples,
ya sea tomando L=3 o L=4; dado esto tomaría un conjunto de datos de prueba y
llenaría una tabla de pronósticos, aquella en la que el MSE sea menor es el que
debería seleccionar.
Ejemplo
Tome los datos del vendedor de verduras anterior y compare el MSE con L=3 y
L=4. ¿Cuál magnitud de promedio móvil debería utilizar?
Solución
Hagamos las tablas de datos para ambos casos y encontremos el MSE
correspondiente. Primero hagamos para L=3.

32. Mes (t) Ventas (xt) en
kilos Pronóstico Error Error cuadrado
Febrero 231
Marzo 229
Abril 232
Mayo 234 230.67 3.33 11.11
Junio 225 231.67 -6.67 44.44
Julio 231 230.33 0.67 0.44
Agosto 227 230.00 -3.00 9.00
Septiembre 221 227.67 -6.67 44.44
Octubre 228 226.33 1.67 2.78
Noviembre 236 225.33 10.67 113.78
Diciembre 226 228.33 -2.33 5.44
Enero 229 230.00 -1.00 1.00
De aquí tenemos que:
11.11 + 44.44 + K + 1.00
MSE = = 25.83
9
Tomemos ahora los mismos datos pero llenemos esta tabla con L=4.
Mes (t) Ventas (xt) en
kilos Pronóstico Error Error cuadrado
Febrero 231
Marzo 229
Abril 232
Mayo 234
Junio 225 231.50 -6.50 42.25
Julio 231 230.00 1.00 1.00
Agosto 227 230.50 -3.50 12.25
Septiembre 221 229.25 -8.25 68.06
Octubre 228 226.00 2.00 4.00
Noviembre 236 226.75 9.25 85.56
Diciembre 226 228.00 -2.00 4.00
Enero 229 227.75 1.25 1.56

33. De aquí tenemos que:
42.25 + 1.00 + K + 1.56
MSE = = 27.34
8
La conclusión que sacaríamos de estos resultados es que para estos datos un
promedio móvil con L=3 es más adecuado que un promedio móvil con L=4.
Esta va a ser nuestra medida de comparación entre variaos métodos de
pronósticos y entre un mismo método con varios valores diferentes de sus
parámetros.
Suavización exponencial simple (SES)
La suavización exponencial simple es un procedimiento para revisar
constantemente un pronóstico a la luz de la experiencia más reciente. Dada su
estructura el error se va reduciendo de manera exponencial a medida que se va
aplicando el método. Su fundamento son los promedios móviles simples pero
considerando con mayor impacto los datos de las últimas observaciones.
Requisitos para el uso de la suavización exponencial simple
1. Debe tratarse de una serie de tiempo con patrón estacionario.
2. Se debe inicializar el método, esto es, el primer pronóstico será una
estimación subjetiva del posible resultado del periodo siguiente.

34. 3. Se debe definir una constante de suavización, conocida como α y
que será un valor entre cero y uno.17
Fórmula
Pt +1 = αX t + (1 − α )Pt = Pt + αe t
Donde:
Pt+1 : pronóstico para el periodo t+1
Xt : dato observado en el periodo t
et : error del periodo t
α: constante de suavización
Inicialización
P2 = X1
Ejemplo
Use los datos del vendedor de verduras de “La Soledad” para hacer el pronóstico
para febrero con α=0.5 (este valor es totalmente neutro, ya que da la misma
importancia a lo histórico que a lo presente).
Solución
El primer paso es inicializar la tabla de pronósticos, en este caso el pronóstico para
el periodo dos, es el dato observado en el periodo uno, es decir P2 = 231. Con
este dato se comienzan a hacer los cálculos para calcular el resto de pronósticos,
hasta obtener el de febrero próximo.
17
Este valor puede considerarse como un porcentaje de importancia que el pronosticador va a dar a la
información presente. Por la estructura de la fórmula, mientras más cercano a uno sea el valor de α, más valor
se le dará a la información presente, en tanto que mientras más cercano sea a cero más valor se le dará a la
información histórica.

35. PABR = αX MAR + (1 − α )PMAR = (0.5)(229 ) + (1 − 0.5 )(231.00 ) = 230.00
PMAY = αX ABR + (1 − α )PABR = (0.5)(232 ) + (1 − 0.5)(230.00 ) = 231.00
M
PENE = αX DIC + (1 − α )PDIC = (0.5)(226 ) + (1 − 0.5 )(231.18 ) = 228.59
Mes (t) Ventas (xt) en
kilos Pronóstico Error Error cuadrado
Febrero 231
Marzo 229 231.00 -2.00 4.00
Abril 232 230.00 2.00 4.00
Mayo 234 231.00 3.00 9.00
Junio 225 232.50 -7.50 56.25
Julio 231 228.75 2.25 5.06
Agosto 227 229.88 -2.88 8.27
Septiembre 221 228.44 -7.44 55.32
Octubre 228 224.72 3.28 10.77
Noviembre 236 226.36 9.64 92.94
Diciembre 226 231.18 -5.18 26.83
Enero 229 228.59 0.41 0.17
De esta manera el pronóstico para febrero sería de:
PFEB = αX ENE + (1 − α )PENE = (0.5)(229) + (0.5)(228.59) = 228.79 M
SE = 31.95
Suavización exponencial simple de respuesta adaptiva (SESRA)
Cuando se usa un SES se define un valor de α desde el principio y dicho valor ya
no es modificado a través del tiempo. La suavización exponencial simple de
respuesta adaptiva es un método que trata de que el valor de la constante de
suavización se adapte al cambio que están teniendo los datos. Es básicamente un
SES con algunas adecuaciones y anexiones, pero la filosofía y los casos de uso son
los mismos.
Una cuestión importante es que el valor de α va a depender de un valor β
(también entre cero y uno; aunque algunos autores lo limitan de 0.2 a 0.3) que va
a suavizar el error y no el pronóstico, por lo que se considera que es más sensible

36. a cambios en el medio y por lo tanto no será tan definitivo determinar dicha β
desde el principio.
Una cuestión importante es la siguiente; α es un valor entre cero y uno, si la
fórmula asociada con α da como resultado un número mayor o igual que uno,
vamos a asignarle siempre el valor de β.
Fórmulas
Pt +1 = α t X t + (1 − α t )Pt
Et
αt =
Mt
E t = β e t + (1 − β )E t −1
M t = β e t + (1 − β)M t −1
Observación
Es importante en todos los métodos tener cuidado con el manejo de los
subíndices; en particular sea cuidadoso en este método.
Inicialización
P2 = X 1
E1 = M1 = 0
Ei es conocida como el valor de suavización, mientras que Mi se le llama valor
absoluto de suavización.
Recuerde que α tomará el valor de β hasta que el resultado de la fórmula
proporcione un valor entre cero y uno.

37. Ejemplo
Vamos a continuar con nuestro ejemplo del vendedor de verduras tomando una
β=0.25
Solución
Inicializando en P2=231 tendríamos un error en el periodo 2 o de marzo de:
e2=229-231=-2. Calculemos E2 y M2.
E 2 = β e 2 + (1 − β )E 1 = (0.25 )(− 2 ) + (0.75)(0 ) = −0.5
M2 = β e 2 + (1 − β )E 1 = (0.25 )(2 ) + (0.75 )(0 ) = 0.5
Con estos datos calculamos el valor de α2:
E2 − 0.5
α2 = = = −1 = 1
M2 0.5
Como el valor de α2=1, para hacer el pronóstico para el periodo 3 tomamos el
valor de β, es decir, 0.25.
P3 = (0.25)(229) + (0.75)(231) = 230.5
Con este valor se calcula el nuevo error y así seguíamos hasta encontrar un valor
de α entre cero y uno.
Enseguida mostramos la tabla completa de SESRA. Recuerde que los
pronósticos son llenados con los valores de β hasta que tenemos que: 0
< α <1.
t Xt Pt et Et Mt αt
Febrero 231 0 0
Marzo 229 231.00 -2.00 -0.50 0.50 1.00
Abril 232 230.50 1.50 0.00 0.75 0.00
Mayo 234 230.88 3.13 0.78 1.34 0.58

38. Junio 225 232.69 -7.69 -1.34 2.93 0.46
Julio 231 229.18 1.82 -0.55 2.65 0.21
Agosto 227 229.56 -2.56 -1.05 2.63 0.40
Septiembre 221 228.54 -7.54 -2.67 3.86 0.69
Octubre 228 223.31 4.69 -0.83 4.06 0.20
Noviembre 236 224.27 11.73 2.31 5.98 0.39
Diciembre 226 228.80 -2.80 1.03 5.18 0.20
Enero 229 228.24 0.76 0.96 4.08 0.24
Podemos observar que en los meses de marzo y abril se tuvo que usar b para el
pronóstico, sin embargo, a partir de mayo el valor de a cumple con los
requerimientos necesarios y vemos como es un valor que trata de ajustarse al
comportamiento de los datos para dar un pronóstico más certero.
Encontremos el pronóstico para febrero:
PFEB = α ENE X ENE + (1 − α ENE )PENE = (0.24)(229) + (0.76)(228.24) = 228.63
Para estos datos el MSE=28.15. En este punto el lector debe ser capaz de
decidir cuál método de los hasta ahora vistos utilizar.
Métodos de suavización para datos con patrones de tendencia
Los casos que hemos visto hasta ahora corresponde a una serie de datos que tiene
un comportamiento de tipo constate o estacionario a través del tiempo. Ahora
veremos brevemente cuatro métodos que son útiles cuando la información
presenta un patrón de tendencia ya sea lineal o cuadrática. Mostraremos
inicialmente todos los modelos y después ilustraremos con dos ejemplos su uso.
Cabe destacar que los métodos vistos hasta ahora sólo tienen la capacidad de
pronosticar para el periodo inmediato al de los cálculos; estos métodos que
estamos por ver, son capaces de pronosticar tantos periodos de tiempo como sean
necesarios a futuro. Para efectos de una planeación serán más útiles que los
anteriores. Por supuesto siempre podremos usar estos nuevos métodos para datos
de patrón estacionario si consideramos que el valor de la tendencia de esos datos
es cero.

39. Promedio móviles lineales (dobles)
Si el método de promedios móviles simples se aplica a una serie de datos con
tendencia, el pronóstico continuamente subestimará los valores reales.
Este tipo de error sistemático puede evitarse modificando el método de promedios
móviles simples por uno de tendencia lineal.
La base de esta modificación es calcular un segundo promedio móvil.
Esto provoca un desfase que ajusta los datos.18
18
Es muy importante hacer notar que ahora el promedio móvil no es el pronóstico sino una herramienta para
calcular el pronóstico, por lo que se debe tener cuidado en los subíndices de las fórmulas que difieren de los
que anteriormente se habían mostrado. En los métodos simples el promedio se calcula en el periodo t y se
coloca en el periodo t+1. Ahora se calcula en el periodo t, mismo en el que es utilizado; así que no deben
confundirse con esto, siempre y cuando tengan bien claros dichos subíndices.

40. Fórmulas
Pt +m = a t + b t m
a t = 2S It − S II
t
bt =
2
(S It − S II )
L −1
t
X − X t −L
S It = S It −1 + t
L
S It − S It −L
S t = S t −1 +
I II
L
a1 = b 1 = X 1
Donde:
Pt+m : pronóstico por encontrar.
at : ordenada al origen del pronóstico.
bt: pendiente del pronóstico.
SIt : promedio móvil simple del periodo t.
SIIt : promedio móvil doble del periodo t.
Suavización exponencial lineal (doble)
Cuando se tiene una serie de tiempo con tendencia lineal, uno de los métodos
ampliamente recomendados es el de la suavización exponencial lineal (doble).
Hay dos métodos de suavización exponencial lineal:
El método de Brown de un parámetro.
El método de Holt de dos parámetros.
Estos métodos se prefieren a los de promedios móviles lineales porque se requiere
menos capacidad de almacenaje de información.

41. Método de Brown
Fórmulas
Pt +m = at + b tm
a t = 2S It − S II
t
α
bt = (S It − S II )
1−α
t
S It = αX t + (1 − α )S It −1
S II = αS It + (1 − α )S II−1
t t
S1 = S1 = X 1
I II
Donde:
Pt+m : pronóstico por encontrar.
at : ordenada al origen del pronóstico.
bt: pendiente del pronóstico.
SIt : suavización exponencial simple del periodo t.
SIIt : suavización exponencial doble del periodo t.
Observamos que este método es muy similar al de promedios móviles lineales, sólo
que se usan suavizaciones exponenciales en lugar de promedios móviles.
El método de Holt que se muestra en seguida, si difiere del resto ya que agrega
dos constantes de suavización.
Método de Holt
Fórmulas

42. Pt +m = S t + b t m
S t = αX t + (1 − α )(S t −1 + b t −1 )
b t = β S t + (1 − β )b t −1
S1 = X 1
b1 = 1
Donde:
Pt+m : pronóstico por encontrar.
St : ordenada al origen del pronóstico.
bt: pendiente del pronóstico.
Este método es diferente ya que trata de distribuir el error en dos partes de
suavizar y no sólo en una.
Suavización exponencial cuadrática
Método de Brown Cuadrático
Un modelo cuadrático supondría que el crecimiento o la tendencia esperada es de
mayor velocidad que un método lineal. desafortunadamente el único modelo que
tenemos para esta clase de patrones es uno muy complicado desarrollado por
Brown. No hay una forma fácil de determinar si un crecimiento es cuadrático, es
difícil de pronosticar esto, sin embargo, si usted está en una empresa con un
crecimiento más allá de lo lineal, pruebe este método.
Método de Brown cuadrático
Fórmulas

43. 1
Pt +m = a t + b t m + c t m2
2
a t = 3S It − 3S II + S III
t t
α
bt = ([6 − 5α]S It − [10 − 8α]S II + [4 − 3α]S III )
2(1 − α )
2 t t
2
 α  I
ct =   (S t − 2S1 + S1 )
II III
1 − α 
S It = αX t + (1 − α )S It −1
S II = αS It + (1 − α )S II−1
t t
S III = αS II + (1 − α )S III
t t t
S1 = S1 = S1 = X 1
I II III
Donde:
Pt+m : pronóstico por encontrar.
at : ordenada al origen del pronóstico.
bt: pendiente del pronóstico.
Ct : pendiente cuadrática
SIt : suavización exponencial simple del periodo t.
SIIt : suavización exponencial doble del periodo t.
SIIt : suavización exponencial triple del periodo t.
Vamos a ilustrar el uso de los métodos de Brown lineal y Holt con el siguiente
ejemplo.

44. Ejemplo
Un vendedor de periódicos desea determinar cuántos ejemplares del “La Gaceta
del Día” para los próximos tres meses. Nuestro vendedor no sabe exactamente
que tipo de tendencia tiene el diario pero él ha observado que en los 10 meses ha
habido una tendencia creciente. Con los datos de la tabla use los métodos de
Brown lineal, Holt y Brown cuadrático para pronosticar los próximos meses y
determine cuál de los tres debería tomar como base de futuros pronósticos. (Use
α=0.35 y β=0.65)
Solución
Usemos primero el método de Brown lineal y llenemos la tabla de pronósticos con
m=1.
Mes Ventas (Xt) S´t S´´t at bt Pt et e2t
ENE 35645 35645.00 35645.00
FEB 36000 12600.00 4410.00 20790.00 4410.00 35645.00 355.00 126025.00
MAR 36355 20788.25 10098.29 31478.21 5756.13 25200.00 11155.00 124434025.00
ABR 36710 26152.98 15616.45 36689.51 5673.52 37234.35 -524.35 274938.89
MAY 37065 29710.66 20393.26 39028.06 5017.06 42363.03 -5298.03 28069130.03
JUN 37420 32111.82 24290.82 39932.82 4211.31 44045.12 -6625.12 43892220.72
JUL 37775 33772.82 27366.61 40179.02 3449.49 44144.13 -6369.13 40565785.33
AGO 38130 34960.10 29750.67 40169.54 2805.08 43628.51 -5498.51 30233658.43
SEP 38485 35844.22 31585.90 40102.53 2292.94 42974.62 -4489.62 20156664.34
OCT 38840 36534.30 33001.98 40066.61 1902.02 42395.47 -3555.47 12641340.12
NOV 39195 37100.20 34106.34 40094.06 1612.08 41968.63 -2773.63 7693025.68
DIC 39550 37586.63 34983.38 40189.88 1401.75 41706.14 -2156.14 4648950.15
Observamos que los valores de diciembre son aene=40189.88 y bene=1401.75. Con
estos valores calculamos los pronósticos de enero, febrero y marzo simplemente
tomando m=1,2,3.
El valor de m=1 nos dará el pronóstico de enero; el de m=2 el de febrero y el de
m=3 el de marzo.

45. PENE = aDIC + b DIC (1) = 40189.88 + 1401.75(1) = 41591.63
PFEB = a DIC + b DIC (2) = 40189.88 + 1401.75(2) = 42993.38
PMAR = aDIC + b DIC (3) = 40189.88 + 1401.75(2) = 44395.13
De esta tabla obtenemos un MSE=28430523.97.
Llenemos la tabla de Holt con los mismos datos y con m=1:
Mes Ventas (Xt) St bt Pt et e2t
ENE 35645 35645.00 1.00
FEB 36000 35769.90 23250.79 35645.00 355.00 126025.00
MAR 36355 51087.70 41344.78 71769.90 -35414.90 1254215142.01
ABR 36710 72929.61 61874.92 87442.70 -50732.70 2573806367.33
MAY 37065 100595.69 87043.42 109639.61 -72574.61 5267073543.92
JUN 37420 135062.42 118255.77 137660.69 -100240.69 10048195916.18
JUL 37775 177878.07 157010.27 172482.42 -134707.42 18146089240.41
AGO 38130 231022.92 205118.49 215653.07 -177523.07 31514441889.69
SEP 38485 296961.67 264816.56 269152.92 -230667.92 53207690407.84
OCT 38840 378749.85 338873.20 335446.67 -296606.67 87975516790.65
NOV 39195 480173.23 430718.22 417589.85 -378394.85 143182661357.80
DIC 39550 605921.94 544600.64 519368.23 -479818.23 230225533362.07
Vemos que SDIC=605921.94 y bDIC=544600.64 y tomando m=1, 2 y 3 tenemos los
pronósticos de enero, febrero y marzo respectivamente.
PENE = S DIC + b DIC (1) = 605921.94 + 5446600.64(1) = 1150522.58
PFEB = S DIC + b DIC (2) = 605921.94 + 5446600.64(2) = 1695123.22
PMAR = S DIC + b DIC (3) = 605921.94 + 5446600.64(3) = 2239723.85
Estos valores nos da un valor de MSE=530359409112.99 19
Por supuesto con estos datos es mucho mejor usar el método Brown lineal que el
método de Holt.
19
Estos valores tan grandes no deben sorprendernos ya que dependen de una buena selección de los valores
de α y β; el lector puede probar otros valores de α y β y ver cuándo disminuye el MSE.

46. Método de Winters para patrones estacionales
Los patrones estacionales son muy comunes en el mundo de los negocios; los
organizadores de fiestas saben bien que en diciembre y mayo van a tener un
exceso de demanda y que en los meses de enero y agosto tienen un déficit en la
demanda. Así mismo los vendedores de paletas suponen que se incrementan sus
ventas en la época de calor y baja de ventas en la época de frió.
Para este tipo de situaciones existe la llamada suavización exponencial triple o
método de Winters.
Es un método que toma de base el método de Holt y le agrega un componente de
ajuste estacional.
Es un método que debe probarse con varias combinaciones de las constantes de
suavización (en este caso tres), hasta encontrar la situación que mayor
certidumbre posea.
El método consiste de un componente estacionario (St), un componente de
tendencia ( bt) y un componente estacional (I t)
El método es restrictivo en cuanto a que necesita de tener al menos un año de
información para poder ser utilizado; esto es debido a que se debe determinar los
periodos estacionales previo a poder usarlo como método de pronósticos.
Afortunada o desafortunadamente no existe ningún método alternativo para hacer
pronósticos de tipo estacional, así que el lector debe resignarse a usar este método
como medio de inferir resultados de patrones estacionales, sin embargo, por otro
lado, no hay más que este método así que lo único que debería hacer es probar
para diferentes combinaciones de α, β y γ.
En esto método se dirá que r es el número de estaciones por año.
Método de Winters
Fórmulas

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For Evaluation Only.
Pt +m = (S t + b t m)I t −r +m
X 
S t = α t  + (1 − α )(S t +1 + b t +1 )
I 
 t −r 
b t = β(S t − S t −1 ) + (1 − β )b t −1
X 
I t = γ  t  + (1 − γ )I t −r
S 
 t
1 r
Sr = ∑ X i
r i=1
br = 1
X1
I1 =
1 r
∑ Xi
r i=1
X
I2 = r 2
1
∑ Xi
r i=1
M
X
Ir = r r
1
∑ Xi
r i=1
Observemos que los valores iniciales de S, b e I son determinados después de un
periodo completo de información (normalmente un año).
El valor de I representa el componente estacional del modelo que es indispensable
para determinar el punto de estacionalidad de los datos.

48. Ejemplo
Una compañía de hielos desea determinar cuáles serán sus ventas de bolsas de
hielo individual para el próximo año, ellos tienen los datos de los dos últimos años
y con ellos desearían poder encontrar un pronóstico confiable del próximo año.
Usando α=0.75, β=0.5 y γ=0.01, pronostique las ventas del año próximo.
Solución
Desarrollemos la tabla de Winters para este ejemplo:
Estación Ventas St bt It
Primavera 90 1.38
Verano 100 1.53
Otoño 45 0.69
Invierno 25 65.00 1.00 0.38
Primavera 92 66.11 1.06 1.39
Verano 99 66.59 0.77 1.52
Otoño 46 67.19 0.68 0.69
Invierno 21 64.66 -0.92 0.38
Observamos que los valores del invierno de S=64.62 y de la b=-0.92. Con estos
valores procedemos a realizar los pronósticos del año próximo.
PPRI = (S INV + b INV (1))IPRI = (64.62 − 0.92(1) )1.39 = 88.29
Pver = (S INV + b INV (2))I ver = (64.62 − 0.92(2) )1.52 = 95.64
PotoI = (S INV + b INV (3))I oto = (64.62 − 0.92(3) )0.69 = 42.65
Pinv = (S INV + b INV (4 ))Iinv = (64.62 − 0.92(4) )0.38 = 22.92
Los pronósticos son muy cercanos al patrón que han seguido los datos, por lo que
nuestra selección de α, β y γ parece razonable y esperamos que siga el patrón de
datos.
Significado del valor de It
En el ejemplo anterior encontramos los valores de Ipri=1.39, Iver=1.52, Ioto=0.69 y
Iinv=0.38. Si sumáramos los valores de estas factores veríamos que el resultado da

49. cuatro. Siempre la suma de los factores estacionales debe ser igual al número de
estaciones en el problema.
El significado de estos factores tiene que ver con la demanda estándar del
producto, así, se considera normal una demanda de 1.00 de acuerdo a la
capacidad instalada de la empresa.
Cuando el valor es mayor que uno quiere decir que la demanda supera a la
capacidad instalada de la empresa, cuando es menor que uno quiere decir que hay
inventarios ociosos.
Piense por ejemplo en un restaurante y en que el número de mesas que hay en
este restaurante son 100. El valor de 1.39 significa que en un día normal la
demanda sería de 139 mesas. Un valor de 0.38 significaría que en un día normal la
demanda de mesas sería de 38.
Por supuesto esto debe ayudar a la empresa a planear que hacer con las
instalaciones ociosas o bien que hacer cuando se requiere de más mesas.
El valor promedio al año debe ser de uno porque con eso se garantiza que se
satisfacerá a demanda anual, aunque no la demanda estacional.

50. Métodos causa-efecto
Regresión lineal20
Con mucha frecuencia es necesario resolver problemas que implican conjuntos de
variables, cuando se sabe que existe una relación inherente entre ellos.
A menudo se tiene una sola variable dependiente o respuesta (conocida como
efecto) y la cual no se controla en el experimento. Esta variable tradicionalmente
se denota como Y.
Esta respuesta depende de una o más variables independientes o de regresión
(causas) que se denotan normalmente como X1, X2,...,XK.
Estas variables causa se miden en general con un error despreciable y en realidad,
en la generalidad de los casos, se controlan en el experimento.
Regresión lineal simple
La regresión lineal simple nos presenta el caso cuando sólo existe una variable de
regresión (causa) independiente X y una sola variable aleatoria independiente Y.21
El concepto de lineal surge dado que la relación entre estas variables puede
interpretarse como aquella que tienen las variables en la ecuación de una recta.22
20
Nuestro estudio de la regresión será simplemente introductorio y útil para una empresa mediana y pequeña.
Los métodos de regresión podrían durar de estudio varios semestres así que aquí haremos énfasis en las
aplicaciones y no profundizaremos en los aspectos matemáticos de la regresión. Para una referencia
matemática más completa ver las obras de Walpole & Myers y de Mendenhall.
21
Aunque en la práctica es difícil que esto ocurra, si es muy común medir la importancia de una sola variable
con respecto al efecto. Por ejemplo, se sabe que en economía la variable más importante de la cantidad
demandada es el precio; esto no excluye la importancia del precio de la competencia o el gasto en publicidad,
pero se pueden hacer muchas interpretaciones con sólo esta variable.
22
En la geometría analítica la ecuación de una recta es una ecuación de primer grado que al graficarla da de
resultado una línea recta en el plano XY.

51. Ecuaciones de regresión
Las ecuaciones de la regresión se van a obtener mediante el método de los
mínimos cuadrados que básicamente lo que hacen es minimizar el error de fallar
en el pronóstico. La idea consiste en minimizar el valor del MSE y a partir de ahí
escoger la mejor ecuación que represente los datos.
En general lo que sucede es que tenemos un conjunto de datos que al graficarlos
en un diagrama de dispersión23 se presentarían de esta forma:
Diagrama de dispersión
50
45
40
35
30
Ventas
25 Y
20
15
10
5
0
0 5 10 15 20 25
Días
La intención de este método es encontrar la recta que mejor se aproxime a este
cada uno de los datos, o en otra palabras, que mejor representen la relación entre
estos puntos.
Lo que vamos a hacer es encontrar la ecuación de la recta más representativa de
estos datos.
23
Diagrama donde se grafican lo datos en un conjunto de ejes XY.

52. Recordemos que la ecuación de una recta esta representada por:
y = a + bx
En el caso de la regresión vamos a tener información histórica de los valores de y
a determinados valores de x.
Usaremos dichos valores para encontrar los valores de a y b que minimizan el error
y aproximan más cualquier recta al conjunto de datos. Esto valores son llamados
los coeficientes de regresión y que es lo que estamos buscando.
Una vez encontrados estos valores se usa esta ecuación de regresión para
pronosticar y a diferentes valores de x.
El método para encontrar a y b requiere del uso de derivadas parciales que no son
el objetivo de este curso, por lo que daremos la fórmula directa para encontrar a y
b.24
n n n
n∑ x i y i − ∑ x i ∑ y i
b= i=1 i=1 i=1
2
n
  n
n∑ x −  ∑ x i 
2
i
i=1  i=1 
1 n b n
a = ∑ yi − ∑ xi
n i=1 n i=1
La ecuación de regresión sería entonces:
y = a + bx
Veamos un ejemplo de la regresión.
24
Una vez más para verificar la derivación del modelo ver el libro de Probabilidad y Estadística de Walpole
& Myers, editado por McGraw-Hill.

53. Ejemplo
En un estudio médico se cree que el consumo de carne de puerco es una causa
muy importante del sobre peso extremo antes de los 40 años. Se tomó una
muestra de 15 pacientes menores de cuarenta años y se investigó su consumo en
kilos de carne de puerco en los último cuarenta años, así como los kilos de sobre
peso que tenían. Con estos datos encuentra la ecuación de regresión para estos
hombres y pronostique que sobre peso se espera que tenga un hombre mayor de
40 años que consumió 25 kilos de carne de puerco el año pasado.
Solución
Veamos la siguiente tabla dónde se señala con negrilla la información original y en
itálica los cálculos realizados.
Kilos Kilos de
Datos consumidos sobrepeso
X Y XY X2 Y2
14 19.10 267.38 196.00 364.76
15 20.46 306.95 225.00 418.73
13 17.73 230.55 169.00 314.52
17 23.19 394.25 289.00 537.84
21 28.65 601.61 441.00 820.72
22 30.01 660.27 484.00 900.74
16 21.83 349.24 256.00 476.43
16 21.83 349.24 256.00 476.43
22 30.01 660.27 484.00 900.74
18 24.56 442.00 324.00 602.98
17 23.19 394.25 289.00 537.84
12 16.37 196.44 144.00 267.99
22 30.01 660.27 484.00 900.74
15 20.46 306.95 225.00 418.73
19 25.92 492.48 361.00 671.84
Total 259 353.33 6312.15 4627.00 8611.04
Las sumas de los totales de la parte inferior los usaremos para encontrar los
valores de a y b. Debe quedar claro que XY es el producto de X por Y, esto es,
(14)X(19.10)=267.38 y así cada valor; y X2 y Y2 son los valores de X y Y elevados
al cuadrado.

54. 15(6312.15 ) − (259 )(353.33)
b= = 1.3642
15(4627.00 ) − (259 )
2
1
a= (353.33) − 1.3632 (259) = −0.0097
15 15
Y = −0.0097 + 1.3642X
Para responder a nuestra pregunta, simplemente sustituyamos el valor de 25 en
nuestra ecuación:
Y = −0.0097 + 1.3642(25) = 34.10
Es decir, se esperaría que un hombre que tuvo un consumo de 25 kilos de carne
de puerco durante un año, al final del mismo haya ganado 34.10 kilos de sobre
peso.
El coeficiente de correlación y el de determinación
Ya dijimos que este modelo permite determinar como es la relación entre dos
variables, sin embrago, ¿qué tan fuerte es esa relación? La respuesta a esta
pregunta la va a dar el coeficiente de correlación.
Definamos las primeras el concepto de covariancias que no es otra cosa sino la
medida de la dispersión de los datos de una variable con respecto a otra. La
covariancia de una variable con respecto a sí misma es en realidad la variancia
(que es la desviación estándar elevada al cuadrada).
La fórmulas que utilizaremos serán los siguientes:

55. 2
 n 
∑ xi 
= ∑ x i2 −  
n
i =1
S xx
i =1 n
2
 n 
∑ yi 
= ∑ y i2 −  
n
i =1
S yy
i =1 n
 n  n 
 ∑ x i  ∑ y i 
= ∑ xi −   i=1 
n
i =1
S xy
i =1 n
El coeficiente de correlación va a ser la medida de la fuerza de la relación entre las
variables. Tomará valores desde –1 hasta 1. Cuando el valor del coeficiente se
acerca a 1 se habla de una fuerte correlación positiva25, mientras que cuando se
acerca a –1 se tiene una fuerte correlación negativa. Si el valor del coeficiente se
acerca a cero se dice que tiene poca o nula correlación.
La fórmula para la correlación es:
S xy
r=
S xx S yy
Como se puede observar es el cociente de la aportación de las variables, entre la
raíz cuadrada de las aportaciones individuales. Si Sxy=0, no hay correlación porque
las variables son independientes.
25
No debe confundir correlación positiva con bueno; por ejemplo existe una muy fuerte correlación positiva
entre el fumar y el padecer enfisema pulmonar y esto no es bueno.

56. En el caso de nuestro ejemplo tenemos:
S xx = 4627.00 −
(259.00 )
= 154.93
2
15
S yy = 8611.04 −
(353.33)2 = 288.34
15
S xy = 6312.15 −
(259.00 )(353.33) = 211.36
15
211.36
r= =1
(154.93)(288.34 )
En este caso la correlación ha dado uno, este es un valor que se refiere a una
correlación perfecta, es decir, el sobre peso depende totalmente del consumo de la
carne de cerdo,26 es decir, no hay otra variable que determine el sobre peso, esto
lo explica mejor el coeficiente de determinación.
Coeficiente de determinación
Al elevar al cuadrado el coeficiente de correlación, se obtiene el valor del
coeficiente de determinación. Este valor va a ser importantísimo porque nos va a
medir el porcentaje de cambio en y, debido al cambio en una unidad de x.
Esto se puede interpretar como el porcentaje de cambio en y por el efecto en x; si
la determinación es alta significa que la variable y depende en gran medida de la
variable x.
Ilustremos este concepto con ejemplo en el cual no haya una correlación perfecta.
Ejemplo
Un publicista supone que mientras más veces se transmita un comercial de
televisión mayores serán las ventas de pasta dental con saborizante para niños. Se
26
Esto no es común y sólo ha dado sólo como resultado de un ejemplo teórico.

57. toma información durante una semana del número de veces que se transmitió el
comercial y de las ventas de la pasta ese día en una tienda de autoservicio en
particular. La información se muestra en la tabla. ¿Qué porcentaje de las ventas de
pasta dental se deben a la exhibición del comercial?
Solución
Esta es la tabla de datos y las sumas correspondientes:
Veces que pasó el Ventas de la
Día mensaje pasta
X Y XY X2 Y2
LUNES 7 133.00 931.00 49.00 17689.00
MARTES 8 151.00 1208.00 64.00 22801.00
MÉRCOLES 7 143.00 1001.00 49.00 20449.00
JUEVES 9 149.00 1341.00 81.00 22201.00
VIERNES 9 157.00 1413.00 81.00 24649.00
SÁBADO 10 164.00 1640.00 100.00 26896.00
DOMINGO 16 213.00 3408.00 256.00 45369.00
Total 66 1110.00 10942.00 680.00 180054.00
Con estos datos tenemos:
S XX = 680 −
(66) 2
= 57.71
7
S YY = 180054 −
(1110 ) 2
= 4039.71
7
S XY = 10942 −
(66 )(1110 ) = 476.29
7
De ahí calculamos tanto el coeficiente de correlación como el de determinación:
476.29
r= = 0.9864
(57.71)(4039.01)
r 2 = (0.9864 ) = 0.9728
2

58. La interpretación que tiene este valor es que el 97.28% de las ventas de pasta se
deben a la exhibición del comercial y sólo el 2.72% se debe a otros factores como
pueden ser el precio, el sabor, etc.
Regresión lineal múltiple27
La regresión lineal múltiple no es sino la generalización a dos o más variables de
los conceptos de regresión simple. Ahora tenemos varias causas y un solo efecto.
El concepto es fácilmente generalizable ya que la ecuación sólo tiene que
expresarse en función de más de una variable, la ecuación quedaría así:
Y = b 0 + b1 X 1 + b 2 X 2 + b 3 X 3 + K + b k X k
La estimación de los coeficientes bi requiere del manejo de matrices ya que es un
arreglo matricial completo. Dicho sistema se representaría como:
B = A −1 g
Donde A, B y g son matrices compuestas por:
b0 
 
b 
B = 1
M
 
b 
 k
27
Este material requiere del dominio del tema de matrices y vectores. Aunque puede pasarse a la sección
siguiente sin pérdida de continuidad.

59.  n
 ∑x 1
K ∑x k 

 ∑ x1 ∑x ∑x x
2
1 k 
K
A=
1
M M K M 
 
 x x2 
∑ k ∑x 1 xk K ∑ k 
 ∑y 
 
 ∑ yx 1 
g=
M 
 
 yx 
∑ k 
La matriz A hay que invertirla por cualquier método que les sea familiar. Mientras
que el coeficiente de determinación se calculará de esta manera:
(∑ y ) 2
SSR = ∑ bg −
n
SST = S YY
SSR
R =2
SST
Ilustremos este método con un ejemplo. Los cálculos de la matrices se han hecho
en el software LOTUS-123(R) .
Ejemplo
Una vendedor de hot-dogs afuera de la iglesia cree que las ventas de sus
productos están relacionados con el precio de venta y con la duración de la misa.
Él toma información de precios de sus hot-dogs y de la duración de la misa y corre
una regresión lineal con estas dos variables. Encuentre la ecuación de regresión
del vendedor de hot-dogs y diga el porcentaje de las ventas de hot-dogs que se
deben al precio delos mismos y a la duración de la misa.

60. Solución
VTAS PRECIO DURACIÓN X1Y X2Y X1X2 X12 X22
25 2.75 35 68.75 875.00 96.25 7.56 1225.00
17 2.30 55 39.10 935.00 126.50 5.29 3025.00
22 2.35 40 51.70 880.00 94.00 5.52 1600.00
13 2.35 55 30.55 715.00 129.25 5.52 3025.00
24 2.80 40 67.20 960.00 112.00 7.84 1600.00
32 1.95 30 62.40 960.00 58.50 3.80 900.00
18 2.65 39 47.70 702.00 103.35 7.02 1521.00
24 2.45 35 58.80 840.00 85.75 6.00 1225.00
12 3.50 62 42.00 744.00 217.00 12.25 3844.00
32 2.00 29 64.00 928.00 58.00 4.00 841.00
219 25.10 420.00 532.20 8539.00 1080.60 64.82 18806.00
Con estos datos construimos las matrices respectivas:
 10 25.10 420 
 
A =  25.10 64.82 1080.60 
 420 1080.60 18806 
 
 219 
 
g =  532.20 
 8539 
 
Ahora se procede a calcular la inversa de la matriz A. Esto nos da como resultado:
 3.60 − 1.28 − 0.01 
 
A −1 =  − 1.28 0.82 − 0.02 
 − 0.01 − 0.02 0.00 
 
Multiplicando A-1g obtenemos B cuyo resultado es:

61.  48.92 
 
B =  − 2.10 
 − 0.52 
 
Por lo tanto nuestra ecuación de regresión es:
Y = 48.92 − 2.10 X 1 − 0.52X 2
El análisis de la ecuación es que ambos factores X1 y X2 tienen una relación inversa
con respecto a las ventas, sin embargo, la variable precio es más importante que
la variable duración; cada peso que se incrementa el precio de los hot-dogs se
reducen las ventas en 2.10, mientras que cada minuto que aumenta de duración la
misa, disminuye en 0.52 las ventas.
Calculando el coeficiente de determinación tenemos:
SSR = (48.92 )(219 ) + (− 2.10 )(532.20 ) + (− 0.52 )(8539 ) −
(219 ) 2
= 377.86
10
SST = 5235 −
(219) 2
= 438.9
10
377.86
R2 = = 0.8609
438.90
Esto significa que el 86.09% de las ventas se explica por el precio del hot-dog y
por la duración de la misa.
Métodos de descomposición de series de tiempo
Un método que utiliza los vistos anteriormente es la descomposición en series de
tiempo. Este método es complicado y laborioso y aplicable tal vez sólo a empresas
de muy alta infraestructura y de muchos años en el mercado.
El método requiere al menos de cinco años de información ya que involucra el
factor cíclico en sus cálculos.
Descompone un dato en cuatro componentes:

62. Tendencia.
Estacionalidad.
Cíclico
Error.
Cada uno de elementos se utilizará en un pronóstico posterior que va a permitir
inferir todo el año.
El concepto básico es que un dato (de ventas por ejemplo) está influido por estos
cuatro factores y que basta encontrar el porcentaje que cada uno tiene en el dato
para poder pronosticar las ventas del futuro.
Este es el desarrollo del método:
X t = Tt xI t xC t xE t
M t = Tt xC t
Xt T xI xC xE
= t t t t = I t xE t
Mt Tt xC t
Xt
Rt = → It
Mt
Mt
Tt = a + bt → = Ct
Tt
Este desarrollo, aunque parece complicado, es realmente sencillo, simplemente
consiste en hacer las operaciones señaladas arriba. Tomando en cuenta que la Tt,
que es el valor de la pendiente se calcula tomando cada periodo de tiempo como
una causa y cada dato observado como un efecto.
Los valores de las It se calculan con una tabla de promedios mediales surgida de
los datos originales. Esta tabla se calcula por separado.

63. Por otro lado el cálculo de Mt es un promedio móvil pero centrado, es decir, el
valor del promedio se coloca en el centro de los datos usados para el promedio.28
Al final de cuentas se supone el error desaparece o tiende a cero y se usa el
producto de los elementos restantes como pronóstico.
Hay varios métodos adicionales de descomposición, descomposición aditiva,
multiplicativa, Census II, etc. Nosotros usaremos la descomposición multiplicativa
por ser bastante sencilla de calcular y muy utilizada.29
A continuación mostramos una serie de tablas que resumen los pasos de una
descomposición de series de tiempo.
Tabla 1: Datos originales.
AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct
1 PRIM 10
VER 14
OTO 21
INV 34
2 PRIM 11
VER 15
OTO 22
INV 35
3 PRIM 12
VER 16
OTO 23
INV 36
28
Hay que distinguir dos casos: cuando tenemos un número impar de datos simplemente se pone a la altura
del dato central Cuando es un número par, hay varias versiones, nosotros hemos preferido usar la idea de
Makridakis (Forecasting; methods and applications) quien simplemente lo pone en el dato más reciente en
tiempo. Esto facilita los cálculos y la comprensión y no afecta mayormente en el pronóstico.
29
Tomada también de Makridakis.

64. 4 PRIM 13
VER 17
OTO 24
INV 37
5 PRIM 14
VER 18
OTO 25
INV 38
6 PRIM 15
VER 19
OTO 26
INV 39
Ahora procedemos al cálculo de la Mt, el primero sería tomando los datos del año 1
y colocamos el promedio en la celda correspondiente al otoño del año 1. Luego
calculamos el promedio agregando la primavera del año 2 y quitando la primavera
del año 1 y colocando el resultado en la celda correspondiente al invierno del año
1 y así sucesivamente llenamos la tabla hasta terminar con el sexto año y
poniendo el resultado en el otoño del años seis.
El resultado nos generaría la tabla siguiente:

65. Tabla 2: tabla con los promedios móviles centrados
AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct
1 PRIM 10
VER 14
OTO 21 19.75
INV 34 20.00
2 PRIM 11 20.25
VER 15 20.50
OTO 22 20.75
INV 35 21.00
3 PRIM 12 21.25
VER 16 21.50
OTO 23 21.75
INV 36 22.00
4 PRIM 13 22.25
VER 17 22.50
OTO 24 22.75
INV 37 23.00
5 PRIM 14 23.25
VER 18 23.50
OTO 25 23.75
INV 38 24.00
6 PRIM 15 24.25
VER 19 24.50
OTO 26 24.75
INV 39
Ahora calculamos las razones a promedio móvil (Rt), que es simplemente el
cociente entre el dato (Xt) y el promedio móvil; como señalábamos este valor nos
servirá para encontrar el factor estacional (It).

66. Tabla 3: tabla con razones a promedios móviles
AÑO ESTACIÓN XT MT RT IT Ct
1 PRIM 10
VER 14
OTO 21 19.75 1.06
INV 34 20.00 1.70
2 PRIM 11 20.25 0.54
VER 15 20.50 0.73
OTO 22 20.75 1.06
INV 35 21.00 1.67
3 PRIM 12 21.25 0.56
VER 16 21.50 0.74
OTO 23 21.75 1.06
INV 36 22.00 1.64
4 PRIM 13 22.25 0.58
VER 17 22.50 0.76
OTO 24 22.75 1.05
INV 37 23.00 1.61
5 PRIM 14 23.25 0.60
VER 18 23.50 0.77
OTO 25 23.75 1.05
INV 38 24.00 1.58
6 PRIM 15 24.25 0.62
VER 19 24.50 0.78
OTO 26 24.75 1.05
INV 39
Los valores de Rt servirán para construir una tabla de promedios mediales30 y con
estos resultados sacaremos los factores estacionales.
30
Un promedio medial es aquel en el que se eliminan los valores mayores y menores para evitar sesgo y se
obtiene el promedio de lo valores resultantes.

67. Tabla 4: tabla de promedios mediales para obtener los factores estacionales
AÑOEST PRI VER OTO INV
1 1.06 1.70
2 0.54 0.73 1.06 1.67
3 0.56 0.74 1.06 1.64
4 0.58 0.76 1.05 1.61
5 0.60 0.77 1.05 1.58
6 0.62 0.78 1.05
PROMEDIO 0.58 0.76 1.06 1.64
MEDIAL
Con esta tabla se procederá a encontrar los factores estacionales que
permanentemente se usarán para el pronóstico.
El cálculo es el siguiente:
1. Obtener un valor constante llamado índice de estacionalidad que se
calcula como la razón del número de estaciones por año, dividido
entre la suma de promedios mediales.
2. Multiplicar este factor por cada promedio medial.
3. El resultado de dicha multiplicación es el factor estacional de la
descomposición de series de tiempo.
4
En nuestro caso: k= = 0.99
4.03
Con esto calculamos los factores estacionales:
I PRI = (0.58 )(0.99) = 0.58
I VER = (0.76 )(0.99 ) = 0.75
I OTO = (1.06 )(0.99 ) = 1.05
I INV = (1.64 )(0.99) = 1.63
Incrustamos estos valores en la tabla 5.
Tabla 5: tabla de descomposición con factores estacionales.