427296930-Presentacion-Del-Valor-Del-Dinero-en-El-Tiempo.ppt

El VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO

Las decisiones financieras implican costos y
beneficios que se extienden a lo largo del tiempo.
• En la toma de decisiones financieras se tiene que
evaluar si los BENEFICIOS esperados en el
futuro justifican la inversión de dinero en el
momento que se va a realizar.
• Por tanto, se deben comparar los valores de sumas
de dinero en fechas distintas.

 Para realizar la comparación de los valores de
sumas de dinero en fechas distintas, se requiere
la comprensión del concepto del VALOR DEL
DINERO EN EL TIEMPO.
 El valor del dinero en el tiempo:
Se refiere al hecho de que el dinero (un peso,
un dólar) en la mano hoy vale más que la
expectativa de recibir el mismo monto en el
futuro.

VALOR DEL DINERO EN EL TIEMPO
Razones por las cuales este principio es cierto:
1. La primera es que se puede invertir el dinero en
mano hoy y ganar intereses y tener más en el
futuro.
2. La segunda es que el poder adquisitivo del
dinero puede cambiar con el transcurso del
tiempo debido a la inflación.
3. La tercera es que la recepción del dinero
esperada en el futuro es, en general incierta.

En consecuencia, antes de tomar decisiones
sobre una inversión:
Se necesita conocer la relación
existente entre un peso en el día de
hoy y un peso (posiblemente incierto)
en el futuro.

Es importante el conocimiento del valor del dinero a través
del tiempo en áreas tales como:
 La preparación del presupuesto de capital: análisis de proyectos y
selección de proyectos de inversión.
 Análisis de las cuentas por cobrar.
 Las decisiones de arrendar (Leasing) o comprar
 Acuerdos de financiamiento.
 Valoración de Empresas: Fusiones y Adquisiciones
 Costo de Capital.

AXIOMA :
1,000.00 1,000.00
El interés es el precio del dinero en el tiempo.
Interés = f (capital, tiempo, riesgo, inflación…)
4 8 12 meses
0
INTERES
1,000 AHORA  1,000 DENTRO DE 1 AÑO
Valor del dinero en el tiempo

NOTACION
P ------------------------------- Capital inicial depositado o colocado.
S ------------------------------- Capital final de efectivo a retirar o devolver
R ------------------------------- Serie uniforme de pagos
n ------------------------------- Plazo de la operación
i n ------------------------------- Tasa de interés nominal
i ef ------------------------------- Tasa de interés efectiva
i eq ------------------------------- Tasa de interés equivalente
DIAGRAMAS
Indica entrada de dinero
Indica salida de dinero
Notación y diagramas

VALOR FUTURO
 Es el monto al cual un flujo de efectivo o una
serie de flujos de efectivo crecerán a lo largo
de un período determinado de tiempo. Parte de
los valores actuales, o de los valores presentes (VP)
para calcular los valores futuros (VF).
 Valor Futuro es la suma de dinero que
alcanzará una inversión en alguna fecha
en el futuro devengando intereses a una
tasa compuesta

VALOR FUTURO
 VF = VP + VP i Factorizando: VF = VP ( 1 + i)
 Períodos múltiples:
 VF = VP (1 + i) (1 + i)
 VF = VP ( 1 + i)
 VF = VP (1 + i)
VF = VP ( 1 + i)n
n
2

 Ejemplo: Supóngase que una suma de $1,000 en la actualidad (VP) sea
INVERTIDA en depósitos bancarios a una tasa de interés del 18% anual
durante un de plazo de 5 años.
1) VF = $1,000.00 (1.18) = $1,180.00
2) VF = $1,180.00 (1.18) = $1,392.40
3) VF = $1,392.40 (1.18) = $1,643.03
4) VF = $1,643.03 (1.18) = $1,938.78
5) VF = $1,938.78 (1.18) = $2,287.76
 INTERES SIMPLE (IS): es el interés ganado sobre el capital original. (En el
ejemplo: IS = $1,000 x 0.18 x 5 = $900.00).
 INTERES COMPUESTO (IC): es el interés ganado sobre el interés ya
ganado capitalizado.
(En el ejemplo: IC = Intereses totales ganados – Suma de intereses Simple =
$1,287.76 - $900.00 = $387.76).
VF = VP ( 1 + i) n

VF = VP ( 1 + i)
n
VF5 = $1,000 ( 1.18) = $2,287.76
5
Año Monto inicial Intereses Ganados Monto final
1
2
3
4
5
1,000.00
1,180.00
1,392.40
1,643.03
1,938.78
180.00
212.40
250.63
295.75
348.98
1,180.00
1,392.40
1,643.03
1,938.78
2,287.76
Efecto de la Capitalización: Valor Futuro e Interés
Compuesto
Total intereses ganados = $1,287.76

El que se calcula sobre un capital que permanece
invariable o constante en el tiempo y el interés ganado
se acumula solo al termino de la transacción.
P= 1,000 S= 1,120
Ganancia ó Interés = Monto - Capital Inicial
Ganancia ó Interés = 1,120 - 1,000
Ganancia ó Interés = 120
4 8 12
0
n=12 meses
i =12% anual
Interés simple

En el interes compuesto, el interes (I) ganado en cada periodo (n) es
agregado al capital inicial (P) para constituirse en un nuevo capital (S) sobre el
cual se calcula un nuevo interes produciendose lo que se conoce como
capitalización la cual puede ser anual,trimestral, mensual, diaria; y se sigue
aplicando hasta que vence la transaccion de acuerdo a lo pactado.
0
meses
1 2 4
3
S1= P + P x i S2= S1+S1x i
P
i i i i
S
S3= S2 +S2 x i S4= S3+S3 x i
Interés Compuesto

Calculo del interés Compuesto
En los problemas de interés compuesto deben expresarse i y n en la
misma unidad de tiempo, efectuando las conversiones apropiadas cuando estas
variables correspondan a diferentes periodos de tiempo.
Datos
P= 1,000
i= 0.12 anual
i mensual = 0.12 / 12 = 0.01 o 1% mensual
n= 12 meses
I= ?
No.Periodos
(m)
Capital
Inicial
(P)
Interés
(I)
P x ip x n
Capital+Interes
(S)
P + I
1 1000.0 10.0 1010.0 S1
2 1010.0 10.1 1020.1 S2
3 1020.1 10.2 1030.3 S3
4 1030.3 10.3 1040.6 S4
5 1040.6 10.4 1051.0 S5
6 1051.0 10.5 1061.5 S6

VALOR PRESENTE
 Es el valor que tendría hoy un flujo de
efectivo futuro o una serie de flujos de
efectivo futuros.
 Indica también la suma que se tendría
que invertir hoy para tener una cierta
suma en el futuro.

VALOR PRESENTE
PROCESO DE DESCUENTO
 Es el proceso que consiste en la obtención
del valor presente de un flujo de efectivo
futuro o una serie de flujos de efectivo
futuros.
 Es lo opuesto al proceso de composición o
capitalización.

VALOR PRESENTE
 VF = VP (1 + i)
 Despejando a VP:
 VA =
n
VF
(1 + i)n

VALOR PRESENTE
 Aplicando el ejemplo:
 VP =
VF
(1 + i)n=
$2,287.76
(1.18)5 = $1,000

AMORTIZACION DE PRESTAMOS
PRESTAMO AMORTIZADO
•Es un préstamo que se paga en cuotas
periódicas iguales a lo largo de su vida
(anual, mensual, trimestral, etc.).
•Parte de cada pago es para cubrir intereses
sobre el saldo pendiente y parte se amortiza
al principal o capital.
•Después de cada pago, el saldo pendiente
se reduce por la cantidad abonada al
principal.

Cuotas Constantes ó fijas
En este sistema varían tanto las amortizaciones como los
intereses, siendo las amortizaciones crecientes y los intereses
decrecientes al utilizarse un cobro de interés a rebatir; de tal
forma que en cada periodo se paga una cuota igual fija.
Conocida esta cuota constante o fija, la amortización se halla
por simple diferencia con el interés calculado sobre el saldo
deudor en cada periodo construyéndose así la tabla de
amortización
La formula utilizada es la de Recuperación de Capital ya
estudiada.
R = P X ( i x ( 1 + i ) n )
( 1 + i ) n - 1

Cuotas Constantes ó fijas
P = 4,500.00
$ R = 4,500 x 0.016709 x ( 1 + 0.016709 ) 12
TEA= 20.00% ( 1 + 0.016709 ) 12
- 1
im = 1.67%
n = 12
R = $416.96
R = ?
Periodo Amortización Interés Cuota Saldo
0 4,500.00
1 341.77 75.19 416.96 4,158.23
2 347.48 69.48 416.96 3,810.74
3 353.29 63.67 416.96 3,457.45
4 359.19 57.77 416.96 3,098.26
5 365.20 51.77 416.96 2,733.06
6 371.30 45.67 416.96 2,361.76
7 377.50 39.46 416.96 1,984.26
8 383.81 33.15 416.96 1,600.45
9 390.22 26.74 416.96 1,210.23
10 396.74 20.22 416.96 813.48
11 403.37 13.59 416.96 410.11
12 410.11 6.85 416.96 0.00
Total 4,500.00 503.58 5,003.58
R = P X ( i x ( 1 + i ) n )
( 1 + i ) n - 1

Préstamo flat o directo o saldo soluto
Modalidad de pago muy usada en el medio comercial. No considera el
pago de interés a rebatir y se calcula un interés simple el cual se
suma al capital para ser dividido entre el plazo del crédito.
R = P + ( P X i X n )
n
R = 4,500 + 4,500 x .016709 x 12
P = 4,500
12
i = 1.67%
n = 12
R = 450.19
R = ?
Periodo Amortizacion Interes Cuota Saldo
0 4,500.00
1 375.00 75.19 450.19 4,125.00
2 375.00 75.19 450.19 3,750.00
3 375.00 75.19 450.19 3,375.00
4 375.00 75.19 450.19 3,000.00
5 375.00 75.19 450.19 2,625.00
6 375.00 75.19 450.19 2,250.00
7 375.00 75.19 450.19 1,875.00
8 375.00 75.19 450.19 1,500.00
9 375.00 75.19 450.19 1,125.00
10 375.00 75.19 450.19 750.00
11 375.00 75.19 450.19 375.00
12 375.00 75.19 450.19 -
Total 4,500.00 902.29 5,402.29

AMORTIZACION DE PRESTAMOS
Cuota
anual
1- ( 1+i )
Monto préstamo
=
i
-n =
[ ]
Monto préstamo solicitado = $5,500,000
Tasa de interés anual = 28%
Plazo = 5 años
1- ( 1.28)
$5,500,000
0.28
-5 =
[ ]
$5,500,000
2.532007
Cuota de Pago Anual = $2,172,189.89
-n

TABLA DE AMORTIZACION DE PRESTAMO
AÑO
CUOTA DE
PAGO ANUAL
(A)
INTERES ANUAL (28%)
(B) = (28%) (D)
AMORTIZAC.
PRINCIPAL (C)
= (A) - (B)
BALANCE
(D)
0
1
2
3
4
5
-
2,172,189.89
2,172,189.89
2,172,189.89
2,172,189.89
2,172,189.89
-
1,540,000.00
1,362,986.83
1,136,409.97
846,391.60
475,168.08
-
632,189.89
809,203.06
1,035,779.92
1,325,798.29
1,697,028.84
5,500,000.00
4,867,810.11
4,058,607.05
3,022,827.14
1,697,028.84
-
Tota
l
10,860,949.45 5,360,956.48 5,500,000.00

Tasa de actualización o de descuento
 - Tasa de rendimiento mínima esperada por el inversionista
por debajo del cual considera que no conviene invertir
 Tasa de oportunidad del mercado: mayor rendimiento que se
puede obtener si se invirtiera el dinero en otro Proyecto de
riesgo similar disponible en ese momento.
Para seleccionar la tasa adecuada no existe un criterio
común, algunos autores proponen el empleo de la tasa de
interés bancaria sobre prestamos a largo plazo, el índice de
inflación mas una prima de riesgo, el costo ponderado de
capital, etc.
 Si la tasa seleccionada es muy alta, puede rechazarse Proyectos
que tengan buenos retornos, una tasa muy baja puede dar
lugar a aceptar Proyectos que en los hechos conduzcan a
pérdidas económicas.

Tasa de Rentabilidad Mínima Atractiva (TREMA)
 Tasa que toma en cuenta el costo de oportunidad del dinero a través del costo
ponderado del capital: el monto del préstamo multiplicado por una tasa bancaria de
préstamo a largo plazo y el monto del capital propio multiplicado por una tasa bancaria
que se obtiene en un Depósito a Plazo Fijo (DPF). Ejemplo:
 La TREMA, se obtiene con la siguiente expresión:

TREMA = % Capital Propio x tasa de interés anual de un DPF + % Préstamo x
tasa anual de préstamo bancario a largo plazo
 TREMA = 0.30 x 0.07+ 0.70x0.17 =0.14 = 14%
 Entonces, el costo ponderado del capital es del 14%, que resulta de ponderar cada
fuente de Financiamiento, conocido también como el costo de capital promedio
ponderado.

VALOR ACTUAL NETO (VAN) O VALOR PRESENTE NETO (VPN)
 Sumatoria de los Flujos netos de caja anuales actualizados menos la Inversión inicial.
 Actualiza los flujos futuros al período inicial (cero) y los compara para verificar si los
beneficios son mayores que los costos: Si son mayores que los costos, significa que la
rentabilidad del proyecto es mayor que la tasa de descuento.
 Con el VAN conocemos el valor del dinero actual (hoy) que se va recibir en el futuro,
a una tasa de interés y un periodo determinado, a fin de comparar este valor con la
Inversión inicial.
 Previo al calculo del VAN, es necesario precisar que el Flujo neto de caja puede ser
constante anualmente o diferente; como también la tasa de actualización ser la misma
cada año o por el contrario distinta.
FC1 FC2 FC3 FC4 FCn
VPN= --------------- + ---------------- + ------------- + -------------- …..-------------- - I
(1+i) 1 (1+i) 2 (1+i) 3 (1+i) 4 (1+i) n

Ventajas del VAN :
a) Calcula la tasa real de interés
b) Es fácil de utilizar porque se basa en aproximaciones sucesivas
c) Es fácil de adaptarse al riesgo (empleando diferentes tasas de interés
en los años finales de un proyecto).
Desventajas:
a) La tasa meta o mínima es difícil de determinar
b) No da a conocer la tasa real de rendimiento sobre la inversión
c) Supone que todos los flujos de entradas de efectivo derivados de la
inversión se reinvierten inmediatamente a la tasa meta escogida para
el descuento.

Valor Actual Neto
Valor actual de los flujos netos de caja de un proyecto menos su
inversión inicial.
VAN = -I0 + Fn1 + Fn2 + Fnn
(1+ r) (1+r)2 (1 + r)n
*El criterio es aceptar todos los proyectos cuyo VAN sea positivo.
Simbología :
I0 = Inversión Inicial
Fn1,Fn2,Fnn = Flujos netos de caja
r = Tasa de descuento
n = Plazo del proyecto

Valor actual Neto
Ejemplo :
Año 0 1 2 3
Flujo de Caja -350,000 +16,000 +16,000 466,000
P S1 S2 S3
VAN = -350,000 + 16,000 + 16,000 + 466,000
(1.07) (1.07)2 (1.07)3
VAN = 59,323

TASA INTERNA DE RETORNO (TIR)
 Tasa de descuento que iguala el valor presente de los ingresos de
efectivo con el valor presente de los egresos o que hace el VPN igual
a cero. Se conoce también como Tasa de Rentabilidad Financiera
(TRF), representa aquella tasa porcentual que reduce a cero el valor
actual neto del Proyecto.
 A diferencia del VAN, donde la tasa se fija de acuerdo a alternativas
de Inversión externas, aquí no se conoce la tasa que se aplicara para
encontrar la TIR; la tasa buscada será la que reduce el VAN a
cero. En virtud a que la TIR proviene del VAN, primero se debe
calcular el valor actual neto.

Tasa Interna de Retorno
Es la tasa de descuento que hace que el Valor actual de los flujos
netos de caja de un proyecto menos su inversión inicial sea igual a 0.
VAN = - I0 + Fn1 + Fn2 + Fnn = 0
(1+ r) (1+r)2 (1 + r)n
*El criterio es aceptar todos aquellos proyectos cuya TIR sea mayor
que el costo de oportunidad del capital.
Simbología :
I0 = Inversión Inicial
Fn1,Fn2,Fnn = Flujos netos de caja
tir = Tasa interna de retorno
n = Plazo del proyecto

Tasa Interna de Retorno
Ejemplo :
Año 0 1 2 3
Flujo de Caja -350,000 +16,000 +16,000 466,000
P S1 S2 S3
VAN = -350,000 + 16,000 + 16,000 + 466,000
(1.1296) (1.1296)2 (1.1296)3
VAN = 0
La tasa de descuento que hace que el VAN sea =O es 12.96% (TIR)

Ventajas de la TIR
a) Evita tener que escoger una tasa mínima atractiva de rendimiento para
el descuento.
b) Se calcula la tasa real de rendimiento o mínima para el descuento.
c) Basa las preferencias en la tasa real de rendimiento, no en una
diferencia monetaria que se denomina valor actual neto.
d) No ofrece el problema de la reinversión que se describe en el valor
actual neto.
Desventajas de la TIR
a) Resulta complejo cuando los flujos periódicos son irregulares.
b) Es difícil de utilizar para análisis de riesgo, rentabilidad y sensibilidad.

CÁLCULO DE LA RENTABILIDAD
Calculado el monto de la inversión requerida y los flujos que generará el proyecto durante su vida
útil se procede a calcular su rendimiento. Se acostumbra representar los proyectos utilizando un
diagrama de flujos como el siguiente:
50.000 60.000 70.000 80.000
_________________________________________________________________
0 1 2 3 4
120.000
 Las flechas hacia abajo indican flujos de caja negativos o desembolsos, las flechas hacia arriba
se refieren a ingresos o entradas de caja.
 Así los 120.000 que se encuentran en el momento 0 representan la inversión inicial, de ahí que la
flecha se dibuje hacia abajo, los demás valores se representan hacia arriba indicando que son entradas
o flujos netos de caja positivos.
 Los números 1, 2, 3 y 4 se refieren a los periodos correspondientes a la vida útil del proyecto. Pueden
ser meses, trimestres, semestres, años o periodos más largos, pero se aconsejan que no sean mayores a
un año, ni tampoco demasiados cortos, a no ser las características del proyecto así lo requieran. Con
base en el ejercicio de arriba, se procede a ilustrar las técnicas que se acostumbran aplicar en la
práctica, para determinar la bondad económica del proyecto. Las Técnicas más utilizadas son:

CALCULO DE RENTABILIDAD
PERIODO RECUPERACIÓN INVERSIÓN
VALOR PRESENTE NETO (VAN)
TASA INTERNA DE RETORNO

Método Período de Recuperación: Consiste en determinar el tiempo que
tardará recuperar la inversión inicial. El período de recuperación, es el
número de años que se requieren para recuperar una inversión de efectivo,
a través de los flujos netos anuales netos de entradas de efectivo que genera
la inversión. Ventajas:
a) Es fácil de calcular y no requiere de muchos datos.
b) Se basa en flujos de efectivo, no en acumulaciones contables.
c) Mide el valor comparativo de inversión con suficiente exactitud para
algunos casos y personas que toman decisiones.
d) Puede filtrar los resultados para eliminar alternativas menos
satisfactorias.
e) Enfatiza aquellas alternativas que ofrecen un rendimiento de efectivo

39
Método Período de Recuperación:
Desventajas :
a) No mide la rentabilidad de una inversión.
b) No toma en consideración el valor del dinero en el tiempo.
c) No funciona cuando las inversiones alternas tienen vidas útiles notablemente
diferentes.
Cuándo se emplea el Período de Recuperación.
a) Cuando se desea una información rápida o estimación aproximada del valor de la
inversión.
b) Precisión no sea requisito
c) Vayan a analizarse un gran número de propuestas sobre una base preliminar.
d) El dinero y el crédito son difíciles de obtener.
e) El riesgo sea alto o los futuros potenciales más allá del período de recuperación,
resulten difíciles de evaluar.

PERIODO DE RECUPERACIÓN DE LA INVERSIÓN
 Para el ejemplo y suponiendo que cada periodo corresponde a un
año, la inversión inicial se recuperara en aproximadamente 2.14
años, calculado de la siguiente manera:
 AÑO SE RECUPERA ACUMULADA
1 50,000 50,0000
2 60,000 110,000
 Al finalizar el año 2 el proyecto ha recuperado 110.000, le
bastaría, por lo tanto, recuperar 10.000 adicionales para cubrir los
120.000 invertidos al principio. Como en el año 3 se recupera
70.000, la proporción del año necesaria para generar 10.000
faltantes, se encuentra con la siguiente formula:

FORMULA PERIODO DE RECUPERACION
PR =
Año anterior a la
recuperación total
+
Costo no recuperado al
principio del año
Flujo de caja durante el año de
recuperación
Al finalizar el año 2 el proyecto ha recuperado 110.000.
Bastaría, por lo tanto, recuperar 10.000 adicionales para cubrir
los 120.000 invertidos al principio. Como en el año 3 se
recupera 70.000, la proporción del año necesaria para generar
10.000 faltantes, seria:
PR = 2 +
10,000
70,000
= 2 + 0.14 = 2.14 AÑOS
= 2 años 1 mes y 21 días

CALCULO DEL VAN
 Primero se debe definir una tasa de descuento o tasa alternativa de interés
de invertir el dinero en otro proyecto o medio de inversión. Supongamos
que es el 28%.
50.000 60.000 70.000 80.000
VPN= --------------- + ---------------- + ------------- + -------------- - 120.000
(1+0.28) 1 (1+0.28) 2 (1+0.28) 3 (1+0.28) 4
VNP = 39.063 + 36.621 + 33.379 + 29.802 - 120.000
VNP = 138.865 -120.000 = 18.865
VPN =18.865
 Si la tasa de oportunidad del mercado no fuera de 28% sino por ejemplo del
38%, ya el proyecto no se aceptaría por dar un VPN = - 3.568, o sea que
representaría una perdida, al ser negativa.

CALCULO DE LA TASA INTERNA DEL RETORNO
 Se debe determinar claramente cual es la "Inversión
Inicial" del proyecto y cuales serán los "flujos de
Ingreso" y "Costo" para cada uno de los períodos que
dure el proyecto de manera de considerar los beneficios
netos obtenidos en cada uno de ellos. La ecuación que
permite calcular la TIR. Para este caso es la siguiente:
50.000 60.000 70.000 80.000
120,000 = -----------+ -----------+ ------------- + ---------
(1+r) 1 (1+r) 2 (1+r) 3 (1+r) 4

INFLACION, TASA DE INTERES,
VALOR PRESENTE Y VALOR FUTURO
 El manejo de la inflación conduce a un conjunto de reglas.
 Para tomar decisiones significativas de ahorro a largo
plazo, se debe considerar tanto la inflación como la tasa de
interés.
 Para tomar en cuenta ambos interés e inflación se tiene
que distinguir entre tasa de interés nominal y tasa de
interés real.

INFLACION Y TASA DE INTERES
 La tasa de interés nominal es la denominada en
valores a precios corrientes.
 La tasa de interés real se define como la tasa de
interés nominal que se obtiene corregida por el
cambio del poder adquisitivo del dinero.
 Es la denominada en unidades de bienes de
consumo.

Formula general que relaciona la
tasa de interés real con la tasa de
interés nominal y la tasa de
inflación
Tasa Real Tasa Interés Nominal – Tasa de Inflación
=
1 + Tasa de Inflación

 El uso de la tasa de interés nominal con
capitalización continua simplifica la relación
algebraica entre las tasas de rendimiento real y
nominal.
 Con capitalización continua la relación entre las
tasas de interés real y nominal se vuelve:
=

 Ejemplo: Dado que la tasa de inflación del país
en el 2005 fue de 7.44% y la tasa de interés
nominal sobre depósitos a plazo fue de un
promedio de un 14%.
 Determinar la tasa de interés real
Tasa Real
Tasa Interés Nominal – Tasa de Inflación
=
1 + Tasa de Inflación
Tasa Interés Real
0.14 – 0.0744
=
1 + 0.0744
=
0.0656
1.0744
= 6.1%

 Tasa de interés real con capitalización continua:
=
Tasa Interés Real 0.14 – 0.0744
= = 0.0656 6.56%
=

INFLACION Y VALORES FUTUROS
 Desde una perspectiva de planeación financiera,
representa una gran ventaja conocer la tasa de
interés real.
 Esto se debe a que, a final de cuentas, lo que
interesa es lo que se puede comprar en el futuro
con los ahorros acumulados.
 Para el cálculo del valor futuro nominal se debe
considerar la tasa de interés nominal.
 Para el cálculo del valor futuro real se debe
considerar la tasa de interés real.

 Para el cálculo del valor futuro nominal se debe
considerar la tasa de interés nominal.
 Para el cálculo del valor futuro real se debe
considerar la tasa de interés real.
VFnominal = VP ( 1 + in)n
VFreal = VP ( 1 + ireal)n
VF Real
Valor Futuro Nominal
=
Tasa de Inflación Esperada

 Se tienen $1,000 y la tasa de interés nominal es
de 14% anual, cuál es el monto que se tendrá el
próximo año?.
VFnominal = VP ( 1 + in)n
VFnominal = $1,000 ( 1.14) = $1,140

VFreal = VP ( 1 + ireal)
n
VF Real
Valor Futuro Nominal
=
1 + Tasa de Inflación Esperada
 Se tienen $1,000 y la tasa de interés nominal es de 14%
anual y se espera una tasa de inflación del 7.44% cuál
es el monto que se tendrá el próximo año?.
VFreal = $1,000 ( 1.061) = $1,061.06
VF Real $1,140
=
1.0744
= $1,061.06

INFLACION Y VALORES PRESENTES
CALCULAR
Se esperan recibir $1,200 en el próximo
año y la tasa de interés nominal es de
20% anual y se proyecta una tasa de
inflación del 10.5% cuál es el monto que
se tendrá el próximo año?.

 El valor presente nominal se debe descontar con
la tasa de interés nominal.
VPreal =
 El valor presente real se debe descontar con la
tasa de interés real.
=
VPnominal
VFnominal
(1 + in)
n
VFreal
(1 + ireal)
n

 Tomando los datos del ejemplo:
=
VPnominal
VFnominal
(1 + in)
n
=
VPnominal
$1,140
(1.14)
= $1,000

VPreal =
 Considerando los datos del ejemplo:
VFreal
(1 + ireal)n
VPreal =
$1,061
(1.061)
= $1,000

ANUALIDADES
 Es una serie de pagos iguales que se hacen a
intervalos fijos a lo largo de un número específico de
períodos.
 Generalmente LAS PENSIONES que reciben
las personas cuando se jubilan se otorgan
bajo la forma de una anualidad.
 Los ARRENDAMIENTOS , HIPOTECAS y la
SERIE DE PAGOS DE UN PRESTAMO A
PLAZO también son anualidades.

ANUALIDADES
TIPOS DE ANUALIDADES: Ordinaria y
Pagadera
 Anualidad Ordinaria (Diferida) consiste en una
serie de pagos iguales que se hacen al final de
cada período.
 Anualidad Pagadera consiste en una serie de
pagos iguales que ocurren al inicio de cada
período.

ANUALIDADES ORDINARIAS
 Valor Futuro para una Anualidad Ordinaria
VFAO = P (1+i)
0
+ P (1+i)
1
+ P (1+i)
2
+…….+P (1+i)
n-1
Ejemplo: Si se depositan $1,000 al final de cada año
durante tres años en una cuenta de ahorro que paga un
10% de interés por año. Cuánto se tendrá al final de tres
años?
VFAO = 1,000 (1.10)
n-3
+ 1,000 (1.10)
n-2
+ 1,000 (1.10)
n-1
VFAO = 1,000 (1.10)
0
+ 1,000 (1.10)
1
+ 1,000 (1.10)
2
VFAO = 1,000 + 1,100 + 1,210 = $3,310

 Valor Futuro para una Anualidad Ordinaria
VFAO = Pago - 1
(1 + i) n
i
[ ]
VFAO = 1,000 - 1
(1.10)
0.10
[ ]
3
VFAO = 1,000 [0.331/0.10]
VFAO = 1,000 [3.31]
VFAO = $3,310

 Valor Presente de una Anualidad Ordinaria
VPAO = P
(1+i)
+ P
(1+i)
+
2
P
(1+i)
+ ……. +
3
P
(1+i) n
VPAO = 1,000
(1.10)
+
1,000
(1.10)
+
2
1,000
(1.10)
3
VPAO = 1,000
(1.10)
+
1,000
(1.21)
+
1,000
(1.331)
VPAO = 909.09 + 826.45 + 751.31 = $2,486.85

 Valor Presente de una Anualidad Ordinaria
VPAO = Pago
1 - (1 + i)
-n
i
[ ]
VPAO = 1,000
1 - (1.10)
0.10
[ ]
-3
VPAO = 1,000 [0.248685/0.10]
VPAO = 1,000 [2.486850]
VPAO = $2,486.85

ANUALIDADES PAGADERAS
 Valor Futuro de una Anualidad Pagadera
VFAP = P (1+i)
1
+ P(1+i)
2
+ P(1+i)
3
+…….+ P (1+i)
n
VFAP = 1,000 (1.10)
n-2
+ 1,000 (1.10)
n-1
+ 1,000 (1.10)
n
VFAP = 1,000 (1.10)1 + 1,000 (1.10)2
+ 1,000 (1.10) 3
VFAP = 1,100 + 1,210 + 1,331 = $3,641
VFAP = 1,000 (1.10)+ 1,000 (1.21) + 1,000 (1.331)

ANUALIDADES PAGADERAS
 Valor Presente de una Anualidad Pagadera
VPAP =
(1+i)
+ P
(1+i)
+
1
P
(1+i)
+ ……. +
2
P
(1+i)
n-1
VPAP = 1,000
(1.10)
+
1,000
(1.10)
+
1
1,000
(1.10)
2
VPAP = 1,000
(1.00)
+
1,000
(1.10)
+
1,000
(1.21)
VPAP = 1,000 + 909.09 + 826.45 = $2,735.54
P
0
0

PERPETUIDAD
•Es una anualidad o corriente de
pagos iguales que se espera continúe
indefinidamente.
•Es una corriente constante e infinita
de flujos de efectivo. Es la anualidad
perpetua o perpetuidad.
•Los Bonos Británicos denominados
“consols”, son un ejemplo de ello.

PERPETUIDADES
 Valor Presente de una Perpetuidad
VPP = (Tasa de Interés)
Pago
=
P
i
Ejemplo: Supóngase que un Bono emitido para cancelar
deudas anteriores promete pagar $1,000 por año a
perpetuidad. Cuál será el valor de cada Bono si la tasa de
costo de oportunidad, o tasa de descuento, fuera del
10%?
VPP =
0.10
$1,000
= $10,000

PERPETUIDAD CRECIENTE
 Cuando se espera que los flujos de efectivo o pagos
crezcan a una tasa constante de manera indefinida.
VPP =
i - g
Pago
=
P
i - g
Ejemplo: Supóngase que el propietario de un edificio recibe un pago
total anual de $100,000 por concepto de alquiler. Se espera que
estos flujos aumenten en un 8% promedio anual por concepto de
inflación de manera indefinida. La tasa de interés relevante es de un
15%.
VPP =
0.15 – 0.08
$100,000
= $1,428,571.43

PERIODOS ANUALES Y SEMIANUALES
DE COMPOSICION
 PERIODOS ANUALES: el interés se añade una
vez al año.
 PERIODOS SEMIANUALES: el interés se añade
más de una vez al año.
( Semestral, Cuatrimestral, Trimestral, Bimensual,
Mensual y Diaria.)

PERIODOS ANUALES Y SEMIANUALES DE COMPOSICION
Períodos # períodos de composición (m)
Anualmente
Semestralmente
Trimestralmente
Mensualmente
Semanalmente
Diariamente
Continuamente
1
2
4
12
52
365
Límite

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