Este documento presenta información sobre modelos de redes y su aplicación en la investigación de operaciones y la administración de proyectos. Explica conceptos clave como nodos, arcos y flujos y presenta modelos matemáticos como el de transporte, asignación y transbordo. También describe algoritmos para problemas como la ruta más corta, árbol de extensión mínima y flujo máximo. Finalmente, cubre la aplicación de redes en la planeación, programación y control de proyectos usando métodos como PERT/CPM.

1. Universidad Nacional
José Faustino Sánchez
Carrión
FACULTAD DE INGENIERÍA
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES II
Mg. Alcibiades Sosa
Palomino

2. TEMA 1 : MODELO DE REDES
INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
Se han dado muchas definiciones. Según Ackoff y Arnof en Prawda : “La Investigación de
operaciones es la aplicación , por grupos interdisciplinarios, del método científico a
problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas a fin de que se
produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización”.
PROCESO EN LA TOMA DE DECISIONES ANALISIS DEL PROBLEMA
ESTRUCTURA DEL PROBLEMA Analísis
Cuant.
Evaluac. Toma de
Problema Modelo Solución decisiones
AHS
Análisis
Cualit.
MODELO DE REDES
Modelo que permite tomar decisiones óptimas en un sistema , utilizando para ello el
modelo de programación lineal y otros algoritmos para casos especiales.
Mediante el modelo de redes se han resuelto con éxito diversos problemas industriales y en
otras áreas tales como en sistemas de transporte, proyectos, etc.
Algunos casos de modelos de redes son:
 M. Transporte.
 M. Asignación.
 M. Transbordo.
 M. Ruta mas corta.
 M. Arbol de extensión mínima.
 M. Flujo máximo.
 M . PERT/CPM
ELEMENTOS BASICOS DE UNA RED
1. NODO.- Línea cerrada que representa : ciudad, almacén, intersección de pistas ; etc.
Pueden presentarse como:

3. FUENTE
i
Emisor
TRANSBORDO
DESTINO
j
Receptor
2. ARCOS .- Línea o flecha que representa la trayectoria de un nodo a otro.
Pueden ser:
 Dirigidos xij j
i
 No dirigidos
3. FLUJO.- Representan los valores de xij
Estos valores pueden ser: n° de vehículos que circulan por una pista, volumen
de agua que fluye por una cañería, etc.
RED .- Diagrama formado por la inter relación de nodos, arcos y flujos básicamente.
Las redes pueden presentarse como cadenas, anillos, árbol abierto, combinación de
todos ellos.
Cadena Anillo Arbol Red
CARACTERISTICA DEL MPL DE UNA RED
 Los elementos de la matriz tecnológica es 1 ó –1 ( a ij )
 Existe una restricción para cada nodo.
 Cada arco representa una variable de decisión.
 Todo modelo matemático que tiene estas características se puede representar mediante
una red y viciversa.
MODELO DE TRANSPORTE
El modelo general de programación lineal de transporte con m orígenes y n destinos es:
m n
Min ∑∑c
i =1 j =1
ij
x ij
Sujeta a
n
∑x
j =1
ij ≤ si i = 1; 2 ; … ; m oferta

4. m
∑x ij =dj
i =1 j=1;2;…;n demanda
xij ≥ 0 para toda i y para toda j.
Pueden añadirse restricciones adicionales de la forma xij < Lij si la ruta que va del origen i
al destino j , tiene la capacidad Lij . (Problema de transporte con capacidades )
MODELO DE ASIGNACIÓN
El problema general de asignación implica n agentes y m tareas; en donde los valores de x ij
es cero ó uno
m n
Min ∑∑c
i =1 j =1
ij x ij
Sujeta a
n
∑x
j =1
ij
≤1 i = 1; 2 ; … ; m agentes
m
∑x ij =1
i =1 j=1;2;…;n tareas.
xij ≥ 0 para toda i y para toda j.
MODELO DE TRANSBORDO
Es una ampliación del problema de transporte.
Existen nodos intermedios ( nodos de transbordo)
Básicamente se presentan las siguientes restricciones: restricciones de origen, de transbordo
de destino y de capacidad de flujo.
El modelo general de programación lineal para el problema de transbordo es:
Min ∑C ij
X ij
Todos los arcos
Sujeta a
∑x ij − ∑ x ij ≤ s i Nodo origen i
arcos que salen arcos que entran
∑ x ij − ∑ x ij = 0 Transferencia de nodos
arcos que salen arcos que entran

5. ∑x ij − ∑ x ij = −d j Nodos destino j
arcos que salen arcos que entran
xij ≥ 0 para toda i o j .
Además pueden darse restricciones de capacidades de ruta ( Problemas de transbordo
con capacidades )
PROBLEMA DE LA RUTA MAS CORTA.
Aplicación de redes en la que el objetivo primordial consiste en determinar la ruta más corta ó el
camino más reducido a través de la red.
ALGORITMO. Distancia acumulada desde el nodo inicial Nodo precedente
1. Asignar al nodo 1 el rótulo permanente [ da, ni-1 ]
2. Determinar rótulos tentativos para los nodos a los que puede llegarse en forma directa desde el
nodo 1 .
3. Identificar el nodo con la etiqueta tentativa que tenga el menor valor de distancia , y
considerarlo como rotulado en forma permanente.
4. Considérense todos los nodos que no tienen etiqueta permanente y a los que pueden llegar en
forma directa desde el nuevo nodo con etiqueta permanente que se estableció en el paso 3.
 En caso que el nodo tiene rótulo, si el acumulado es menor o igual rotular ambos resultados.
 En caso que el nodo no tiene rótulo , registrar los resultados.
5. Retornar al paso 3 hasta rotular en forma permanente todos los nodos. Los rótulos permanentes
identifican la distancia más corta desde el nodo 1 hasta cada uno de los nodos.
EL PROBLEMA DEL ARBOL DE EXTENSION MINIMA
Se refiere a utilizar las ramas (arcos), de la red para llegar a todos los nodos de la red de tal manera
que se minimice la longitud total de todas las ramas. Estas conexiones deben realizarse sin formar
anillos.
ALGORITMO
1. Comenzar en forma arbitraria en cualquier nodo y conectarlo con el nodo más próximo . A
estos nodos se les denomina nodos conexos y a los restantes nodos inconexos.
2. Identificar el nodo no conectado que está más cerca de uno de los conectados. Deshacer los
empates en forma arbitraria. Agregar este nodo al conjunto de nodos conectados. Repetir esta
iteración hasta que se hayan conectados todos los nodos.
EL PROBLEMA DEL FLUJO MAXIMO
El objetivo es terminar el flujo máximo que puede entrar y salir del sistema de una red en un
periodo determinado de tiempo y además la distribución del flujo en la red.
ALGORITMO
1. Encontrar cualquier camino del nodo de entrada (fuente) al nodo de salida (antifuente)que tenga
capacidades de flujo.

6. 2. Encontrar la menor capacidad de la rama ( pf), sobre el camino elegido en 1.
3. Para el camino elegido en 1 aumentar en p f a las capacidades de flujo en sentido contrario y
reducir en pf las capacidades en el sentido del flujo. Volver al paso 1 hasta saturar todo los
caminos posibles, encontrándose de esta manera la solución óptima.
FLUJO MAXIMO A COSTO MINIMO
Se puede utilizar este modelo cuando existe la posibilidad de utilizar más de una
máquina de características diferentes por capacidad(unidades /hora máquina ) y costo
($/unidad); en la secuencia operativa del proceso de elaboración de un artículo de gran
demanda.
En este modelo es posible maximizar el flujo de producción (unidades/hora), logrando que
se obtenga al mínimo costo posible.
El algoritmo que se utiliza es de BUSACKER que consiste en :
1. Se construye una red donde los nodos representan las máquinas (ó grupos similares)
disponibles para el proceso y cada arco una posible ruta.
2. En cada arco debe figurar el costo unitario y el flujo máximo (cu,fm).
3. Se procede a etiquetar las máquinas en la red eligiendo las de menor costo, empezando
por el nodo S(start-inicio) hasta llegar al nodo final.
La secuencia de máquinas etiquetadas representa la ruta óptima.
La etiqueta consta de ( c acumulado, máq. de donde proviene, f que pasa por la máq.)
4. Para determinar cuánto es lo que aún puede procesar cada máquina se recorre la ruta
elegida de modo inverso, colocando bajo los arcos la cantidad que fue procesada y lo
que aún se puede procesar.
5. Se calcula el flujo y el costo de esta primera iteración de la etiqueta final.
6. Se repite el proceso hasta saturar todas las rutas.
7. Se obtiene la sumatoria de los costos y flujos parciales
PROBLEMAS
1. Una empresa metal mecánica se propone a producir piezas de gran demanda , tratando de
elaborar la máxima cantidad por hora y fabricándose al mínimo costo.
Ante la necesidad de elaborar con celeridad un cuantioso pedido para componentes
de teléfono público, la secuencia: corte, troquelado, acuñado y abrillantado puede ser
realizada en las guillotinas A y B, en las prensas tipo E y F, en las prensas tipo E y F, en las
prensas H e I, y en los tambores L. Más información se observa en el siguiente cuadro.
N° DE MAQ. FLUJO MAX. COSTO
OPERACION MAQUINAS HM/U DISPONIBLES EN LAS MAQ. UNITARIO
(Miles de U/H )
1 A 0.00025 1 4 3
B 0.00014 1 7 5
2 E 0.00020 2 10 5
F 0.00025 2 8 3
3 H 0.00033 2 6 2

7. I 0.00040 4 10 4
4 L 0.00014 2 14 5
¿Cuál es el flujo máximo en este proceso a costo mínimo ?
2. La empresa de servicio de taxis “Huacho querido” ha identificado 10 lugares principales ;
en un esfuerzo para minimizar el tiempo de viaje , mejorar el servicio a los clientes , y
mejorar la utilización de la flota de taxis de la empresa , a los administradores les gustaría
que los conductores de los taxis tomaran la ruta más corta entre estos diversos lugares,
cuando sea posible. Aplicando la red de caminos y calles que se muestra en seguida . ¿Cuál
es la ruta que debería un conductor que sale del lugar 1 y debe llegar al lugar 10 ?. En los
arcos de la red se muestran los tiempos de viaje en minutos.
2 7
8 15 4 10
1 5 4
13 5 4 7
3 6
15 6 2
3 5 8 5
4
10 4 9 9
5 12
3. La empresa de Televisión por cable “El solitario” identifica los puntos donde deben llegar sus líneas
primarias representando la distribución en la siguiente red, donde los arcos muestran la distancia en
Km entre los puntos de distribución. Determine la distribución con una longitud mínima de la línea
de cable primario.
4 3
8 9
2
3 4
2 3 4 11
1 3 7
4 7
3
2 4 2 6 10 4
2
6
4 3 5
4 5
3 4
5
4. ¿Cuál es el flujo máximo de vehículos que puede circular por el siguiente sistema de carreteras
norte– sur ?. Los arcos muestran el fluido de miles de vehículos por hora .
2 4 5
2 1 1
6
1
4
3

8. Norte 3 Sur
3
6 3 2
TEMA 2 : MODELO DE REDES . ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
La redes proporcionan una ayuda conceptual poderosa para visualizar las relaciones entre
los componentes de sistemas complicados ; de allí su utilidad en la administración de
proyectos.
CONCEPTOS BASICOS
1. Proyecto .- Conjunto de actividades inter relacionadas que deben efectuarse en un cierto
orden lógico.
2. Actividad.- Trabajo que consume recursos ( tij , cij, …) para su ejecución.
3. Red.- Gráfica formada por nodos , arcos y flujos.
Cada flecha en la red representa una actividad ( xij ). i < j
Las actividades ficticias no consumen recurso y se representan por líneas punteadas.
Las actividades ficticias se utilizan para indicar precedencia y para evitar duplicidad de
variables de decisión .
APLICACIÓN DEL MR EN LA ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS.
FASES:
1. PLANEACIÓN.-
 Identificación de actividades.
 Secuencia lógica de actividades (precedencia )
 Elaboración de la red.
2. PROGRAMACIÓN.-
 Determinación de la ruta crítica y las holguras aplicando el PERT/CPM.
PERT(Program Evaluation and review technique – Técnica de evaluación y revisión
de programa.
CPM ( Critical Path Method – Método de la ruta crítica ).
 Programa de actividades.
3. CONTROL

9.  Análisis de la red utilizando PERT/COST ó contracción de la red en caso necesario.
 Reportes periódicos en base al análisis.
Según las características del proyecto el MR puede ser:
1. DETERMINISTICO
2. PROBABILISTICOS.
MR: DETERMINISTICOS
 Proyectos repetitivos (mantenimiento, proyectos con antecedentes, … ) ; se caracteriza
por que el consumo de recurso esta estandarizado.
 El MPL es de MAX y sus restricciones son similares al modelo de ruta más corta.
PROCEDIMIENTO DE RUTA CRÍTICA PERT/CPM
1. Elaborar una lista de las actividades que conforman el proyecto.
2. Determinar la precedencia para cada actividad del proyecto.
3. Estimar el tiempo de terminación de cada actividad.
4. Construir la red.
5. Determinar el tiempo más cercano de inicio y el tiempo más cercano de terminación
para cada actividad, realizando el paso hacia delante en la red. El tiempo más cercano
de terminación para la última actividad del proyecto establece el tiempo que se requiere
para terminar el proyecto.
6. Determinar el tiempo más lejano de inicio y de terminación de cada actividad
efectuando el paso hacia atrás en la red.
7. Utilizando la diferencia entre los tiempos más lejanos y más cercanos de iniciación para
cada actividad obtener la holgura disponible para cada actividad.
8. Las actividades de la ruta crítica son las que tienen holgura cero.
9. Utilizar la información de los pasos 5 y 6 para elaborar el programa de actividades del
proyecto.

10. PROBLEMAS
1. El departamento de investigación y desarrollo de una empresa productora de TV está
desarrollando una nueva fuente para la consola de un televisor, con tal propósito, ha
descompuesto el trabajo en la forma siguiente:
TRABAJO DESCRIPCIÓN PRECEDENCIA TIEMPO
(días)
A Determinar los voltajes de salida - 5
B Determinar si se utilizan rectificadores de salida A 7
C Escoger los rectificadores B 2
D Escoger los filtros B 3
E Escoger el transformador C 1
F Escoger el chasis D 2
G Escoger el soporte del rectificador C 1
H Dibujar el chasis E,F 3
I Construir y probar G,H 10
 Determinar la ruta crítica.
 Cuál es el tiempo mínimo para finalizar el proyecto.
 Determinar la holguras.
 Elabore el programa de actividades.
2. La siguiente tabla resume las actividades para reubicar 1700 pies de una línea eléctrica
primaria de 13.8 KV debido al ensanchamiento de la sección del camino en la cual está
instalada la línea actualmente.
Aij Descripción Preced. tij(días)
A Revisión del trabajo - 1
B Concejo a clientes de interrupción temporal A 2
C Almacenes de requisición A 3
D Reconocimiento del trabajo A 1
E Obtención de postes y materiales C,D 3
F Distribución de postes E 4
G Coordinación de ubicación de los postes D 1
H Preparación G 1
I Cavar agujeros H 3
J Preparar y colocar postes F,I 4
K Cubrir conductores antiguos F,I 1
L Colocar nuevos conductores J,K 2
M Instalación de material restante L 2
N Colgamiento del conductor L 2
O Poda de árboles D 2
P Conmutación de líneas B,M,N,O 1
Q Energización de la nueva línea P 5

11. R Limpieza Q 1
S Remoción del conductor anterior Q 1
T Remoción de postes anteriores S 2
U Devolución de material a los almacenes. I 2
 Dibujar la red.
 Hallar la ruta crítica.
 Elaborar el programa de actividades.
3. La siguiente tabla muestra información respecto a un proyecto de mantenimiento de
alumbrado de un estadio:
Aij Descripción Preced. tij(días)
A Integrar el equipo - 1
B Verificar lámparas quemadas - 1
C Obtener lámparas necesarias B 2
D Pintar estándares luminosos debajo de los bancos A 14
E Remplazar lámparas quemadas C 3
F Desactivar el sistema. B 1
G Verificar defectos ene el cableado A,F 4
H Obtener alambre necesario G 2
I Limpiar lentes de las luces A,F 6
J Quitar alambres defectuosos G 7
K Cortar alambres para las lámparas que las requieren J,H 3
L Verificar los aisladores de soporte de los alambres J 2
M Remplazar los aisladores defectuosos L 2
N Remplazar alambre usado M,K 4
O Empalmar nuevo alambre con el antiguo N 3
P Aislar los empalmes O 1
Q Pintar los bancos de luces P 4
R Remplazar lentes rotos E 4
S Reactivar sistema Q,D,I,R 1
T Limpieza R 2
 Dibujar la red.
 Hallar la ruta crítica.
 Elaborar el programa de actividades.

12. 4. La siguiente información corresponde al mantenimiento de un carro de
competencia:
Aij Descripción Preced. tij(Sem)
A Especificación de diseño - 5
B Construcción de maqueta a escala para prueba en túnel de viento A 7
C Planos para la máquina A 2
D Prueba preliminar de túnel de tiempo B 1
E Diseño de ejes de trasmisión A 8
F Análisis y cambio de alas D 4
G Cambios aerodinámicos de cuerpo D 6
H Fabricación de la cubierta de la trasmisión y ejes E 10
I Fabricación del acople de la caja de velocidad E 4
J Fabricación de piñones E 2
K Fabricación de bloques de la máquina C 10
L Fabricación de válvulas C 12
M Fabricación de ejes de levas C 12
N Fabricación de la suspensión F,G 1
O Decidir relación de engranajes que se deben usar H 5
P Ensamble de la máquina H,I,J 1
Q Fabricación de chasis K,L,M 2
R Prueba de dinamómetro N 21
S Fabricación de carrocería P,Q 1
T Decisión en aros y llantas R 4
U Alteraciones de la máquina N,O 2
V Ensamble final de chasis S 4
W Prueba final de chasis T,U 1
X Prueba final de dinamómetro V 1
Y Instalación de máquina en el chasis W,X 4
Z Enviar carros a pistas de prueba Y 2
AA Probar suspensión Z 4
BB Probar ajustes Z 2
CC Probar engranaje Z 3
DD Probar diferentes ajustes de máquina Z 2
EE Cambios aerodinámicos y de suspensión AA,BB 4
FF Cambios en la máquina y tren de impulso CC,DD 2
GG Enviar carro a la siguiente pista de competencias EE,FF 5

13.  Construya la red
 Determine la ruta crítica y las holguras
 Elabore el programa de actividades.
TEMA 3 : MODELO DE REDES . ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
CASO: PROBABILISTICO
 Proyectos de investigación.
 No existe base de datos
 Existen incertidumbres en los parámetros.
Los tij se consideran :
a. Optimista aij.
b. Pesimista bij
c. Realista mij
El valor esperado de tij se obtiene :
tij = ( aij + 4mij + bij )/6
La ruta critica se obtiene aplicando el PERT/CPM ; en donde :
Tij = Σ tij
Aij∈RC
Además la varianza σij2 de Aij está dado por:
σij2 = ( bij - aij )2 / 36
donde :
σij2 = Σ σij2
Aij∈RC
Y la desviación estándar esta dada por : σij = √ Σ σij2
Aij∈RC
Dado que Tij es una variable aleatoria con media T ij y una varianza σij2 ; la probabilidad de
que la duración del proyecto sea menor ó igual a una cantidad Z esta dada por :

14. P(Tij ≤ Z ) = ϕ { ( Z - Tij ) / σij }
Donde ϕ es la distribución normal estandarizada . ( Ver tabla )
CASO 1
La siguiente tabla muestra la información respecto a un proyecto de factibilidad para la
fabricación de un nuevo producto
Aij Precedencia DIAS
a m b
A - 3 7 11
B - 2 2.5 6
C A 2 3 4
D A 6 7 14
E A 2 3 4
F C 2.5 3 3.5
G D 3 4 5
H B,E 4.5 5.5 9.5
I H 1 2 3
J F,G,I 1 2 3
 Calcule el tiempo esperado y la varianza de cada actividad.
 Elabore el programa de actividades.
 ¿Cuáles son las actividades de la ruta crítica?.
 ¿Cuál es el tiempo de terminación del proyecto?.
 ¿Cuál es la probabilidad de que el proyecto se termine dentro de 20 semanas?.

15. CASO 2
Se desea realizar un estudio para la creación de un nuevo programa de Post-Grado en
Ingeniería en la Universidad Nacional “J.F. Sánchez Carrión” de Huacho; para lo cual se
obtiene la siguiente información:
Aij Denominación SEMANAS
aij mij bij
A12 Consultar con el sector Industrial 10 15 20
A13 Consultar con el sector Público 3 5 10
A14 Consultar con el sector Académico 6 10 20
A15 Consultar con el Gobierno 2 3 10
A26 Objetivos y Diseño de un Programa Industrial 20 25 40
A37 Objetivos y Diseño de un Programa Administrativo 50 60 80
A49 Ficticia 0 0 0
A59 Ficticia 0 0 0
A68 Integración Administrativa al Programa Industrial 20 30 35
A78 Integración Administrativa al Programa Administrativo 25 30 35
A89 Ficticia 0 0 0
A9,10 Estudio y Aprobación del Programa por las autoridades 30 40 50
A10,11 Campaña de publicidad 2 3 5
A10,12 Contratación de Profesores 4 8 10
A11,12 Ficticia 0 0 0
A12,13 Primer año de Prueba 26 35 45
A13,14 Ajuste del Programa 3 5 10
 Hallar la ruta crítica.
 Determine la probabilidad de terminar el proyecto a lo más en 180 semanas.
 Determinar el tiempo que le corresponde a una probabilidad de 0.20

16. CASO 3
La siguiente tabla muestra la información de un proyecto para mecanizar la producción de
un producto.
Aij Denominación DIAS Antecedente
a 2m b
A Inicio 0 0 0 -
B Financiación 30 80 60 A
C Copiar planos 3 6 3 A
D Consulta nuevas máquinas 15 50 40 C
E Estudio de proceso 5 10 5 C
F Consulta de forja y entrega 60 180 120 C
G Consulta de despiece 10 30 30 C
H Proyecto de secciones 3 6 3 D
I Verificación y control 10 30 25 E, D
J Diseño y colocación 10 30 25 E,D
K Construcción de secciones 80 180 120 E,D
L Control , análisis 20 60 45 F
M Control de muestras 15 40 40 G
N Presupuesto 10 40 30 I
Ñ Presupuesto de diseño I. 5 20 20 J
O Diseño II. 10 30 25 J
P Construcción de servicios 30 80 60 J
Q Adquisición de máquinas 90 240 150 D,B
R Instalación de máquinas 15 50 45 H
S Construcción de medios de control 45 180 120 N
T Acopio de forjas 20 60 45 L
U Presupuesto II. Colocaciones 5 20 20 Ñ;O
V Colocación de nuevas máquinas 10 30 30 R,Q
W Selección de personal 4 8 4 R,Q
X Construcción. Colocación I. 20 90 60 Ñ;O
Y Construcción. Colocación II. 20 90 60 U,X
Z Acopio de despiece 30 80 50 M
AA Puesta en marcha 20 60 60 T,S,Y,P,K,V

17. BB Mecanizar muestra 10 30 20 AA , Z
CC Adiestramiento 15 40 30 W
DD Control final 3 6 3 BB
EE Fin 0 0 0 DD , CC
 Hallar la ruta crítica.
 Determine la probabilidad de terminar el proyecto a lo más en 200 días.
 Determinar el tiempo que le corresponde a una probabilidad de 0.82
CASO 4
En una empresa dedicada a la producción de refrigeradoras se ha decidido iniciar la
fabricación de un nuevo modelo para lo cual tiene que realizar las actividades codificada
que se muestran en la tabla ; además se tienen los tiempos optimista, más probable y
pesimista de cada actividad.
Actividades y precedencia DÍAS
a m b
A < B 4 6 8
A < B < C,D,E,S 1 3 4
B < C < H 5 6 9
B < D < G 3 5 8
B < E < F,P 6 7 10
E < F < L 4 5 8
D < G < J,K 2 2 2
C < H < I 1 4 7
H < I < T 3 4 5
G < J < N 7 8 9
G < K < N 3 4 6
F < L < U 2 3 6
T < M < U 3 4 6
J,K < N < O,P,Q 3 4 5
E,N < O < R 3 5 8
E,N < P < R 6 7 10
E,N < Q < R 4 5 6
O,P,Q < R < V 4 6 8
B < S < T 7 8 9
I,S < T < M 3 4 5
L,M < U < V 3 6 9

18. R,U < V < W 8 9 10
V < W 4 6 8
 Confeccione el grafo sagital ( red)
 Elabore el programa de actividades.
 Confeccione la carta Gantt.
TEMA4. :MODELO DE REDES . ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
SISTEMA PERT /COST
La técnica PERT/COST permite planear, programar y controlar los costos de los proyectos.
El objetivo fundamental de esta técnica es ofrecer la información que sirva para mantener
los costos del proyecto dentro de un presupuesto especificado.
 El PERT/CPM nos permitió analizar el recurso t ij , de manera que pueda terminarse de
acuerdo a lo planificado un proyecto.
 El PERT/COST nos permite analizar el recurso costo ( c ij ) ; es decir nos permite
planear, programar y controlar el recurso costo en un proyecto.
Para ello el proyecto total se divide en componentes que sean convenientes en términos
de la medición y el control de costos ; cuando el proyecto tiene muchas actividades se
pueden agrupar en paquetes para realizar una eficiente evaluación de costos y
presupuestar en forma adecuada los costos por actividad o paquetes de actividades.
 Teniendo en cuenta el programa obtenido mediante el PERT/CPM y el presupuesto de
cada actividad se puede elaborar el programa de costos del proyecto y establecer la
región factible que nos permitirá realizar un control de costos durante la ejecución del
proyecto.
 Para realizar controles en los tiempos que uno estima conveniente y realizar el reporte
correspondiente del mismo se requiere de la siguiente información.
a. Costo real a la fecha por actividad.
b. % de avance a la fecha que nos permite calcular el valor del trabajo efectuado Vi
y se obtiene mediante:
Vi = ( pi /100) B i
donde:
pi : porcentaje de avance de la actividad y

19. c. con la información de (a ) y (b) se obtiene los alzamientos y abatimientos de los
costos Di por actividad.
Di = CR - Vi
d. La sumatoria de Di muestra el alzamiento o abatimiento del proyecto a la fecha ;
esta información nos permitirá tomar decisiones .
PROBLEMA 1.
Una empresa está modificando las operaciones en su almacén instalando un sistema de
manejo de existencias automatizado . Las actividades especificas incluyen el rediseño del
almacén , la instalación del equipo nuevo , pruebas para el equipo nuevo ; etc.
La información que se tiene es la siguiente:
Aij Precedencia te (s) σ2 CIJ($) CR($) % de avance
A - 3 0.3 6000 5000 100
B A 2 0.5 4000 4000 100
C - 8 2.0 16000 18000 100
D C 0 0.0 0 0
E B,D 6 1.0 18000 9000 50
F C 4 0.2 20000 18000 75
G E,F 5 0.4 15000
H E,F 1 0.1 2000
I G 0 0.0 0
J G 5 1.0 5000
K I,H 6 0.6 12000
Elabore la red, ruta crítica, programa de actividades, programa de costos.
Represente en forma gráfica la región factible del presupuesto.
Realice un reporte después de 12 semanas con la información que se proporciona .
Evaluar la probabilidad de culminación en 26 semanas.
PROBLEMA 2.
Un proyecto de investigación y desarrollo ; requiere de las actividades que se dan en la
siguiente tabla , se supone que cada actividad es un paquete de trabajo aceptable y que ya se
ha realizado un análisis detallado de costos de cada actividad. Para utilizar el PERT/COST
se supone que las actividades ( paquetes de trabajo) se han definido de manera que sus
costos ocurran a un ritmo constante a lo largo de la duración de las actividades.
Aij Precedencia te (meses) CIJ($) CR($) % de avance
A - 3 10000 12000 100
B - 2 30000 30000 100

20. C A 8 3000 1000 50
D B 0 6000 2000 33
E B 6 20000 10000 25
F C,D 4 10000
G E 5 8000
Elabore el programa de actividades y de costos.
Represente en forma gráfica la región del presupuesto factible.
Elabore el reporte al cuarto mes con la información de la tabla.
PROBLEMA 3
Una prestigiosa empresa dedicada al mantenimiento de fabricas industriales recibe una
oferta para llevar a cabo el mantenimiento de una fábrica de conservas ; para ello deriva la
elaboración del proyecto a su departamento de Investigación de Operaciones que después
de un análisis de la planta reporta lo siguiente:
Aij Precedencia te (s) CIJ($) CR($) % de avance
A - 6 90000 85000 100
B - 2 16000 16000 100
C A 3 3000 1000 33
D A 5 100000 100000 80
E A 3 6000 4000 100
F C 2 2000
G D 3 60000
H B,E 4 20000 10000 25
I H 2 4000
J F,G,I 2 2000
Elabore el programa de actividades y de costos.
Represente en forma gráfica la región factible.
Realice un reporte al finalizar la décima semana según la información de la tabla.
PROBLEMA 4
La empresa “XXT” ha elaborado un proyecto para presentar un nuevo sistema
computarizado para oficinas que mejoraría el procesamiento de documentos y las
comunicaciones internas en una compañía. En la proposición se incluye una lista de
actividades que se deben llevar a cabo para realizar el proyecto del nuevo sistema. Se
muestra en seguida la información con respecto a las actividades.
Aij Precedencia te (s) CIJ ($) CR ($) % de avance
A - 5 700 800 100
B A 3 200 100 67

21. C - 6 500 450 100
D C 2 350 250 50
E B,D 2 300 0 0
 Indique la gráfica de los presupuestos factibles para el costo total del proyecto.
¿representa esta región poco común para el presupuesto factible?. Explique.
 Supóngase que se encuentra el reporte indicado en la tabla del estado de las actividades
al inicio del octavo día. ¿Está el proyecto dentro de lo programado?. ¿Qué acción
recomendaría?
TEMA : MODELO DE REDES . ADMINISTRACIÓN DE PROYECTOS
CONTRACCIÓN DE LA RED
 Una vez hallada la ruta crítica , el T ij y programa de actividades de un proyecto ;
interesa muchas veces realizar el proyecto en menos tiempo ; es decir reducir el T ij ,
esto se consigue aumentando recursos ( maquinaria, personal, etc. ) para llevar a cabo
en menos tiempo las actividades.
 Es te proceso es llamado también contracción de la red o colisión del proyecto.
La red se puede contraer de las siguientes formas:
1. Analizando las actividades de la ruta crítica; empezando por aquellas actividades cuyo
costo de reducción es menor.
El costo de reducción Kj para cada actividad por unidad de tiempo se obtiene mediante:
Kj = (Cj1 – Cj) / Mj ; donde:
Cj1: Costo estimado para la actividad j con reducción máxima.
Cj : Costo estimado para la actividad j con tiempo normal esperado
1
Mj = tj - tj tj : tiempo normal para la actividad j.
tj1 : tiempo para la actividad j con reducción máxima.
2. Para redes mayores se recurre al MPL para reducir Tij
 Las variables de decisión son:
xi : tiempo de ocurrencia del evento y
yj : tiempo de reducción para la actividad j
 La función objetivo.
Min W = Σ kj yj
 Restricciones :
a. Descripción de la red
xi ≥ tj - yj + xi – 1 ; restricción para cada nodo en función del arco que llega.
b. Tiempo de reducción por actividad.

22. yj ≤ Mj
c. Contracción de la red.
xn ≤ Tij1
d. Condición de no negatividad
yj ≥ 0
xi ≥ 0
PROBLEMA 1
Un proyecto que se refiere a la instalación de un sistema de computo consta de 8
actividades . Se indican en seguida las actividades . Supóngase que se necesita terminar
el proyecto en 16 semanas . Es necesario entonces reducir los tiempos del proyecto . Se
muestra en seguida la información relevante.
AIJ Antecedente Semanas Dólares
t t´ C C´
A - 3 1 900 1700
B - 6 3 2000 4000
C A 2 1 500 1000
D B,C 5 3 1800 2400
E D 4 3 1500 1850
F E 3 1 3000 3900
G B,C 9 4 8000 9800
H F,G 3 2 1000 2000
 Cuál es el costo adicional en el que se incurren para satisfacer el tiempo de
terminación de 16 semanas.
 Plantee un modelo de Programación Lineal que pueda utilizarse para tomar la
decisión de reducción del tiempo en la ejecución del proyecto.
 Desarrolle un programa completo de actividades utilizando los tiempos reducidos de
las actividades.
PROBLEMA 2
En la tabla se define un proyecto de mantenimiento de dos máquinas que consta de 5
actividades . Como los administradores han tenido considerable experiencia en proyectos
similares , se considera que los tiempos para las actividades de mantenimiento son
conocidos ; por ello se proporciona una sola estimación para cada actividad.
Supóngase que los niveles actuales de producción hacen que sea imperativo que el proyecto
de mantenimiento se termine en 10 días .
¿Cuál es el costo adicional necesario , para satisfacer este requerimiento?
Plantee un modelo de PL que pueda utilizarse para tomar esta decisión.

23. Desarrolle el programa de actividades con la reducción de los tiempos.
Los datos necesarios se observa en la tabla.
AIJ Descripción Antecedente DÍAS DÓLARES
t t´ C C´
A Reparac. Máq. I. - 7 4 500 800
B Ajuste de Máq. I. A 3 2 200 350
C Reparac. Máq. II. - 6 4 500 900
D Ajuste de Máq. II. C 3 1 200 500
E Prueba de sistema B,D 2 1 300 550
PROBLEMA 3
Se tienen disponibles los siguientes datos sobre reducciones para un proyecto.
AIJ Antecedente Meses Dólares x 1000
t t´ C C´
A - 4 2 50 70
B - 6 3 40 55
C A 2 1 20 24
D A 6 4 100 130
E C,B 3 2 50 60
F C,B 3 3 25 25
G D,E 5 3 60 75
 Cuál es el costo adicional en el que se incurren para satisfacer el tiempo de
terminación de 12 meses.
 Plantee un modelo de Programación Lineal que pueda utilizarse para tomar la
decisión de reducción del tiempo en la ejecución del proyecto.
 Desarrolle un programa completo de actividades utilizando los tiempos reducidos de
las actividades.
PROBLEMA 4
El gerente de operaciones de una empresa desea automatizar el sistema de
almacenamiento de sus productos , después de consultar con el personal de ingeniería y
el personal administrativo recopila la siguiente información:
SEMANAS $X1000
AIJ Descripción Ant. a m b t´ C C´
A Determinar las necesidades de equipo - 4 6 8 4 1 1,9
B Obtener propuesta de proveedores - 6 8 16 7 1 1,8
C Seleccionar el proveedor. A,B 2 4 6 4 1,5 2,7
D Ordenar el sistema. C 8 10 24 8 2 3,2

24. E Diseñar la nueva disposición del almacén. C 7 10 13 7 5 8
F Diseñar el almacén. E 4 6 8 4 3 4,1
G Diseñar la interfaz del sistema de computo. C 4 6 20 5 8 10,25
H Acoplar el sistema de computadoras. D,F,G 4 6 8 4 5 6,4
I Instalar el sistema. D,F 4 6 14 4 10 12,4
J Capacitar a los operadores del sistema. H 3 4 5 3 4 4,4
K Probar el sistema. I,J 2 4 6 3 5 5,5
 Formule el MPL para contraer su red en 4 semanas.
 Cuál es el costo adicional para contraer su red en 4 semanas.
PROBLEMA 5
En la fabricación a pedido los plazos de entrega deben ser confiables, por el prestigio del
productor y por las penalidades por moras pactadas. El plazo de entrega se puede definir
mediante el método probabilístico (PERT/CPM). Cuando el cliente exige la reducción del
plazo , deberá tener en cuenta que la diferencia implicará un extracosto que
contractualmente se podría acordar como bonificación por día ganado.
CASO
Una prestigiosa tintorería tiene como política señalar plazos de entrega con probabilidades
de ocurrencia de 80 a 90%.
Un importante cliente requiere con urgencia , en tiempo impuesto t i = 50 días, un lote de
pernos con tuerca , preguntándose el fabricante si podría satisfacer sin o con extracosto.
Para ello el Ingeniero de Operaciones elabora la secuencia de actividades que se muestra a
continuación:
Aij Descripción Prec. Responsable días t´e $
a m b te C C´
A Emisión del pedido a Ing. - Ventas 1 1 7 2 1 200 300
B Preparación de planos. A Ing. 3 7 11 7 3 120 400
C Preparac. de hojas de ruta. A Ing. 1 1 1 1 1 50 50
D Diseño herramental. B,C Ing. 2 5 14 6 2 450 600
E Cálculo y prep. de vales. B,C Ing. 1 1 1 1 1 50 50
F Prep. de normas de CC. B,C Ing. 1 2 3 5 3 150 200
G Compra de MP. D Suministros 1 3 23 6 4 120 240
H Separación de MP. E Suministros 1 7 13 7 3 300 600
I Fabricación de herramient G Fabricación 3 10 29 12 6 130 230
J Emisión y oferta de fab. F,H,I Ing. 1 1 1 1 1 40 40
K Torneado de pernos. J Fabricación 5 10 15 10 4 40 240
L Torneado de tuercas. J Fabricación 4 8 12 8 5 120 180
M Acabado de pernos. K Fabricación 1 2 3 2 1 30 60
N Hermanado y empaque. L Fabricación 4 8 18 9 4 120 200

25. O Confección de guía. M,N Ventas 1 1 1 1 1 20 20
P Tramites finales. O Ventas 1 2 3 2 1 140 200
Q Despacho. P Ventas 1 2 3 2 1 20 30
TEMA 6: TOMA DE DECISIONES CON CRITERIOS MÚLTIPLES
Se han analizado modelos que pueden aplicarse a problemas que tienen un objetivo, como
el de maximizar utilidades o minimizar costos. Sin embargo en el mundo real , se
consideran problemas con objetivos múltiples en forma simultánea ; por ejemplo en la
ubicación de una nueva planta sus objetivos pueden ser: maximizar utilidades, maximizar la
participación en el mercado, minimizar costos de terreno; etc. por lo tanto es necesario
utilizar técnicas que permitan evaluar estos criterios múltiples para llegar a la mejor
decisión global ; para ello se consideran las siguientes técnicas.
1. PROGRAMACIÓN DE METAS (PM).
2. PROCESO ANALÍTICO DE JERARQUÍAS ( PAJ ).
PROGRAMACIÓN META (PM )
 Este técnica permite manejar situaciones con criterios múltiples, dentro de la estructura
general de la programación lineal.
 Un factor clave que diferencia la PM de la lineal es la estructura y la función objetivo.
En la PL se incorpora una meta en la función objetivo, mientras que en la PM se
incorporan muchas metas. Esto se logra expresando la meta en forma de restricción,
incluyendo una variable de desviación para reflejar la medida en que se llegue o no a
lograr la meta , e incorporando esa función en la función objetivo.
 En la PL el objetivo es MAX ó MIN; en tanto que en la PM el objetivo es minimizar las
desviaciones de las metas especificadas ( Todos los problemas de PM son de MIN ).
 Dado que se minimizan las desviaciones del conjunto de metas, un modelos de PM
puede manejar metas múltiples con dimensiones o unidades de medidas distintas.
 Si existen metas múltiples puede especificarse una jerarquización ordinal o prioridades.
PROCEDIMIENTO
1. Identificar las metas y nivel de prioridades.
2. Definir las variables de decisión.

26. 3. Plantear las restricciones.
 Restricción del sistema(duras).
 Restricciones metas ( suaves) ; ( se incluyen las variables de desviación “d “ )
d+ : por encima de la meta.
d- : por debajo de la meta.
4. Plantear la función objetivo ( MIN: d+ ó d- ).
5. Solución del modelo.
PROCESO ANALÍTICO DE JERARQUÍAS ( PAJ )
Permite la inclusión de factores subjetivos para llegar a la decisión que se recomienda. En
este método el decisor debe formular juicios respecto a la importancia relativa de cada uno
de los criterios de decisión , y después especifica su preferencia respecto a cada una de las
alternativas de decisión y respecto a cada criterio ; el resultado es una jerarquización con
prioridades que indica la preferencia global según cada alternativa de decisión.
PROCEDIMIENTO
1. Desarrollo de jerarquías.
META GLOBAL
CRITERIOS …
A A A A
ALTERNATIVAS B B B B
. . . .
. . . .
2. Elaboración de la matriz de comparaciones pareadas.
3. Sintetización.
 Vector de prioridades.
4. Jerarquización global.
PRUEBA DE CONSISTENCIA
Evalúa la calidad de las comparaciones pareadas mediante la relación de consistencia (RC).
RC = IC / IA ; si RC ≤ 0.10 ; se considera un nivel de consistencia aceptable.
 El índice aleatorio ( IA ) depende del número de elementos que se comparan (Tabla).

27. n 3 4 5 6 7 8
IA 0.58 0.90 1.12 1.24 1.32 1.41
 El índice de consistencia ( IC ) se obtiene mediante:
IC = ( λmáx - n ) / ( n - 1 )
Para hallar λmáx : 1. Se halla el vector suma ponderada.
2. Se divide los elementos del vector suma ponderada
entre el correspondiente valor de prioridad.
3. λmáx es el promedio de (2).
PROBLEMAS
1. Una empresa produce dos adhesivos que se utilizan en el proceso de manufactura de aviones. Los
adhesivos, que tienen diferente adherencia , requieren de distintos tiempos de producción : el adhesivo
IC100 requiere de 20 minutos por galón de producto terminado, y el IC200 utiliza 30 minutos por galón.
Ambos productos emplean una libra de una resina rápidamente perecedera para cada galón de producto
terminado. Existen 300 libras de la resina en inventario y se puede obtener una mayor cantidad si es
necesario. Sin embargo debido a la vida útil del material se descarta cualquier cantidad que no se utilice
en las dos semanas siguientes.
La empresa tiene pedidos existentes para 100 galones de IC100 y 120 galones de IC200. En condiciones
normales , el proceso de producción opera 8 horas al día , 5 días a la semana . Los administradores
pretenden programar la producción para las dos semanas siguientes con el objeto de lograr las siguientes
metas:
Meta con nivel de prioridad 1
Meta 1: Evitar la subutilización del proceso de producción.
Meta 2 : Evitar el tiempo extra en exceso de 20 horas por las dos semanas.
Meta con nivel de prioridad 2
Meta 3 : satisfacer los pedidos existentes para el adhesivo IC100.
Meta 4 : Satisfacer los pedidos existentes para el adhesivo IC200.
Meta con nivel de prioridad 3
Meta 5 : Utilizar toda la resina disponible.
Plantee un modelo de programación de metas para este problema. Suponga que tanto las metas de nivel
de prioridad 1 como las metas con nivel de prioridad 2 tienen la misma importancia.
2. Una financiera debe desarrollar una cartera de inversión para un cliente nuevo. Como estrategia inicial al
cliente le interesa restringir la cartera a una combinación de las dos siguientes acciones:
Acción Precio por acción Rendimiento anual estimado
A $50 6%
B $100 10%
El cliente tiene $ 50 000 para inversión y ha establecido las dos siguientes combinaciones de inversión:
Meta con nivel de prioridad 1
Meta 1 : Obtener un rendimiento anual de cuando menos 9%
Meta con nivel de prioridad 2
Meta 2: Limitar la inversión en B , la inversión mas riesgosa , a cuando mucho el 60% de la inversión
Total.
Plantee un modelo de programación de metas para esta financiera.

28. 3. Un estudiante está considerando para fiestas patrias la adquisición de una computadora y ha considerado
tres criterios qué varían en términos de precio(P) , capacidad (Q) y presentación (F). Después de realizar
el análisis correspondiente cuenta con las siguientes matrices de comparaciones pareadas.
Criterio P Q F Precio A B C Calidad A B C Forma A B C
P 1 3 4 A 1 4 2 A 1 A 1 4 2
Q 1 3 B B 2 B 1
F C 3 C 4 3 C
a. Represente la jerarquía para este problema y calcule las prioridades para cada una de las matrices.
b. Determine la prioridad global e indique la decisión a tomar.
c. Evalúe la consistencia para la matriz de calidad.
4. Un Ingeniero está considerando la adquisición de un automóvil y ha considerado tres criterios qué varían
en términos de precio(P) , consumo de combustible (Q) comodidad (F) y estilo (G). Después de realizar
el análisis correspondiente cuenta con las siguientes matrices de comparaciones pareadas.
Criterio P Q F G Precio A B C (Q) A B C ( F) A B C
P 1 3 2 2 A 1 1/3 1/4 A 1 ¼ 1/6 A 1 2 8
Q 1/3 1 1/4 1/4 B 3 1 1/2 B 4 1 1/3 B ½ 1 6
F 1/2 4 1 1/ 2 C 4 2 1 C 6 3 1 C 1/8 1/6 1
G ½ 4 2 1
Estilo (G) A B C
A 1 1/3 4
B 3 1 7
C ¼ 1/7 1
d. Represente la jerarquía para este problema y calcule las prioridades para cada una de las matrices.
e. Determine la prioridad global e indique la decisión a tomar.
f. Evalúe la consistencia para la matriz de combustible.

29. TEMA 7 : MODELO DE DECISIONES
Como cualquier humano todos los días tomamos decisiones con diferente grado de
importancia a corto a mediano y largo plazo. Los modelos de decisión nos permiten evitar
la toma de decisiones en forma arbitraria sin previo análisis. Los modelos de decisión
proporcionan una estructura para examinar el proceso de toma de decisiones.
Con frecuencia se toman decisiones en entornos que tienen incertidumbre estas se pueden
analizar teniendo en cuenta las probabilidades a priori y a posteriori.
TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI
El modelo general tiene la siguiente estructura general:
Sj Estados de la naturaleza
d(i) S1 S2 ... Sj ... Sn
d1 V(d1;S1)
d2
.
di V(di;Sj)
.
dm
p(Sj) p1 p2 ... pj ... Pn
TERMINOLOGIA UTILIZADA EN LOS MODELOS DE TOMA DE DECISIONES
1. Alternativas de decisiones ( di ) .- Controladas por el decisor.
2. Estados de la naturaleza ( Sj ) .- No controladas por el decisor , acciones externas que
afectan el resultado de la decisión.
3. Resultados V(di , Sj ) .- Para cada combinación de estrategias y estado de la naturaleza
habrá un resultado, que se debe expresar mediante alguna medida ; el conjunto de
resultados constituye la matriz de pagos.

30. 4. Arbol de decisión .- Esta formada por nodos de decisión ; nodos de estado ,
enlace entre los nodos (ramas) y resultados al final de las ramas.
Representa graficamente el proceso de toma de decisiones.
S1
d1 V(d1 , S1 )
CRITERIOS DE DECISIÓN
TOMA DE DESICIONES SIN PROBABILIDADES
Este criterio es apropiado cuando el decisor tiene poca confianza en su actitud para evaluar
la probabilidad de los estados de la naturaleza.
1. EL MÉTODO OPTIMISTA
Se evalúa cada alternativa de decisión , en término del mejor resultado que puede
ocurrir. La alternativa de decisión que se recomienda es la que ofrece la mejor
consecuencia posible.
Para un problema en el que se desea maximizar utilidades , la alternativa elegida
corresponde aquella que brinda las utilidades mas altas.
Para un problema en el que se desea minimizar , la alternativa elegida corresponde
aquella que brinde el menor resultado.
2. EL MÉTODO CONSERVADOR
Se evalúa cada alternativa de decisión en términos del peor resultado que pueda ocurrir.
La alternativa decisoria que se recomienda es la mejor de la peores consecuencias
posibles es decir:
 Para un problema de maximización le corresponde el max (min)
 Para un problema de minimización le corresponde el min (max)
3. EL MÉTODO DE LA DEPLORACIÓN
Se evalúa el costo de oportunidad ( deploración)
Para un problema de maximización

31.  Se obtiene la matríz de costo de oportunidad mediante R(di,Sj) = V*(Sj) - V(di,Sj)
V*(Sj) : mayor valor
 Se identifica los máximos valores para cada alternativa en la matríz de costo de
oportunidad.
 Se elige la mejor decisión aplicando el min (max) a los valores obtenidos
Para un problema de minimización
 Se obtiene la matríz de costo de oportunidad mediante R(di,Sj) = V(di,Sj) - V*(Sj)
V*(Sj) : menor valor
 Se identifica los mínimos valores para cada alternativa en la matríz de costo de
oportunidad.
 Se elige la mejor decisión aplicando el max(min) a los valores obtenidos
TOMA DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A PRIORI
1. CRITERIO DE PROBABILIDAD MÁXIMA
Se centra en el estado de la naturaleza con mayor probabilidad.
Procedimiento:
a. Identificar el estado Sj con la probabilidad a priori p(Sj) mayor.
b. Elegir la alternativa de decisión que tiene el mayor pago para este estado de la
naturaleza..
2. CRITERIO DE IGUAL PROBABILIDAD.
Por lo general es difícil tener mucha fe en las probabilidades a priori; por lo tanto se
asume igual p(Sj) a cada estado del modelo.
Procedimiento:
a. Para cada alternativa de decisión calcule el promedio de sus pagos sobre todos los
estados de la naturaleza.
b. Seleccione la alternativa con el mayor pago promedio.
3. REGLA DE DECISIÓN DE BAYES
Utiliza el concepto de valor esperado o esperanza matemática
Procedimiento:
a. Para cada alternativa de decisión calcule el valor esperado VE(di).

32. n
VE ( di ) = ∑
j =1
p(Sj) V ( di , Sj )
Donde: n es el número de posibles estados de la naturaleza
p( Sj) es la probabilidad de ocurrencia del estado de la naturaleza Sj.
Las probabilidades correspondientes deben satisfacer las siguientes condiciones:
P( S j ) ≥ 0 para todos los estados de la naturaleza.
n
∑j =1
p(Sj) = p (S1) + p(S2) + … + p(Sn ) = 1
b. Seleccione la alternativa con el mayor valor esperado
ANALISIS DE SENSIBILIDAD
 Considera como los cambios en las estimaciones de las probabilidades para los
estados de la naturaleza pueden afectar la decisión que se recomienda.
 El análisis de sensibilidad se puede realizar considerando probabilidades
diferentes para los estados de la naturaleza y después volver a calcular el VE de
cada alternativa de decisión ; repitiendo este proceso se observa la forma en que
los cambios en las probabilidades afectan la decisión recomendada.
 Para el caso con dos estados de la naturaleza , se puede realizar un análisis de
sensibilidad utilizando un procedimiento gráfico; para ello se le asigna:
p(S1) = p y p( S2) = ( 1 – p )
Luego se evalúa el VE(di) ; graficando estas ecuaciones lineales en:
VE
VE (di )
p
En el gráfico se realiza el análisis correspondiente , estableciéndose los rangos de
variación de p y las modificaciones de las decisiones recomendadas.
VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION PERFECTA (VEdeIP)

33. Si existe la posibilidad de llevar a cabo un estudio de investigación de mercado para
obtener la información perfecta , se puede realizar siempre en cuando no supera el
valor de la información perfecta.
VEdeIP = VEconIP - VE*
n
VEconIP = ∑ p(Sj) . ( mejor valor en Sj)
j =1
VE*: Mejor valor esperado
PROBLEMA 1
La compañía “Transporandes” ubicada en Huacho, tiene solicitudes para transportar dos
remesas , una al Callao , y otra a Lima. Debido a un problema de programación
Transporandes puede aceptar solamente uno de esos trabajos . El cliente del Callao ha
garantizado un envío de regreso, pero el de Lima no. Por tanto si Transporandes acepta el
embarque de Lima y no puede encontrar un embarque de regreso de Lima a Huacho, el
camión regresa vacío . La tabla que muestra las utilidades es la siguiente.
Remesa a Envío de regreso de Lima. No hay envío de regreso de Lima
S1 S2
Callao d1 2000 2000
Lima d2 2500 1000
a. Si la probabilidad de lograr un envío de regreso de Lima es 0.4 , ¿Qué debe hacer
Transporandes?.
b. Aplique un análisis de sensibilidad gráfico para determinar los valores de probabilidad
del estado de la naturaleza S1 para que d1 tenga el mayor valor esperado.
c. Halle el valor de la información perfecta. Que comentario le merece.
PROBLEMA 2
Considere un problema de análisis de decisión cuyas utilidades (en miles de dólares ) están
dados por la siguiente matriz de resultados :
Estados de la naturaleza
S1 S2
A1 80 25
Alternativas
de decisión A2 30 50

34. A3 60 40
Probabilidad a priori P(Sj) .40 .60
a. ¿Qué alternativa debe elegirse según el criterio de probabilidad máxima?.
b. ¿Qué alternativa debe elegirse según el criterio de igual probabilidad ?.
c. ¿Qué alternativa debe elegirse según la regla de decisión de Bayes?.
d. Realice un análisis de sensibilidad gráfico respecto a la probabilidad a priori para
determinar los puntos de cruce donde cambia la decisión de una alternativa a otra.
e. Halle el valor de la información perfecta. Que comentario le merece.
PROBLEMA 3
Un procesador de alimentos está considerando corridas diarias de producción de 100;
200 y 300 cajas . las posibles demandas para el producto son 100 y 300 cajas . La
matriz de utilidades se muestra a continuación
Demanda
100 300
S1 S2
100 d1 500 -100
PRODUCCIÓN
200 d2 -400 700
300 d3 -1000 1600
 Determine la decisión recomendable empleando los métodos optimista; conservador
y deploración.
 Trace un árbol de decisión para este problema.
 Si P ( S1)=0,4 . ¿Cuál es la mejor decisión a tomar?.
 Hallar el valor esperado de la información perfecta.
 Realice el análisis de sensibilidad e interprete sus resultados.
PROBLEMA 4
Se presenta en seguida la tabla de resultados que muestra las utilidades para un problema de
decisión con dos estados de la naturaleza y tres alternativas de decisión:
S1 S2

35. d1 15 10
d2 10 12
d3 8 20
 Determine la decisión recomendable empleando los métodos optimista; conservador
y deploración.
 Trace un árbol de decisión para este problema.
 Si P ( S2)=0,3 . ¿Cuál es la mejor decisión a tomar?.
 Hallar el valor esperado de la información perfecta.
 Realice el análisis de sensibilidad e interprete sus resultados.
TEMA 8. : MODELO DE DECISIONES CON PROBABILIDADES A POSTERIORI
USO DE NUEVA INFORMACIÓN PARA ACTUALIZAR PROBABILIDAD
Las probabilidades a priori de los estados de la naturaleza , con frecuencia son de
naturaleza subjetiva , de modo que pueden ser sólo estimaciones burdas de las
verdaderas probabilidades . Por fortuna muchas veces es posible hacer pruebas o
sondeos adicionales ( a cierto costo ) para mejorar estas estimaciones. Estas
estimaciones mejoradas se llaman probabilidades a posteriori.
ANALISIS BAYESIANO
Se combina los datos previos ( probabilidades a priori) con datos muestrales o de
prueba, utilizando la fórmula desarrollada por BAYES.
 Con frecuencia lo TD tienen estimaciones preliminares o previas de las
probabilidades de los estados de la naturaleza p( Sj).
 Sin embargo a fin de adoptar la mejor decisión ; es posible que el TD pretenda
obtener información adicional sobre los estados de la naturaleza con el
propósito de actualizar las probabilidades previas. A la nueva información se le
llama INFORMACION MUESTRAL.
 A la información nueva combinada con la probabilidad previa mediante el
procedimiento BAYESIANO se le llama probabilidad posteriori o modificada.
 A la nueva información se le llama indicador (Ik ) o información muestral.
 Para el proceso bayesiano se utiliza:
P( Ik / Sj) probabilidad condicional que indica que ocurre Ik dado que ocurrio Sj
que por lo general se conoce por datos históricos.
p ( I K / S j ) p( S j )
 Según la ley de BAYES p(Sj / IK) =
p( I K )

36. Donde:
N
p( IK ) = ∑
j =1
p(IK/ Sj) p ( Sj ).
 El análisis Bayesiano se puede realizar en un árbol de decisión.
Un árbol de decisión proporciona una gráfica de la progresión de las decisiones
Y los eventos aleatorios.
P (Sj / IK)
di
p( IK)
…
VALOR ESPERADO DE LA INFORMACION MUESTRAL ( VEIM)
VE deIM = [ Valor óptimo esperado con la información muestral ] – [Valor óptimo
esperado sin información muestral ]
El valor óptimo esperado con información muestral se obtiene previo análisis en el
árbol de decisión.
EFICIENCIA DE LA INFORMACION MUESTRAL
E = VE deIM / VE deIP
 Para valores de E bajos es recomendable buscar otros tipos de información.
 Para E altos la información muestral es casi tan buena como la información
perfecta.

37. PROBLEMAS
1. La compañía “Transporandes” ubicada en Huacho, tiene solicitudes para transportar dos
remesa , una al Callao , y otra a Lima. Debido a un problema de programación
Transporandes puede aceptar solamente uno de esos trabajos . El cliente del Callao ha
garantizado un envío de regreso, pero el de Lima no. Por tanto si Transporandes acepta
el embarque de Lima y no puede encontrar un embarque de regreso de Lima a Huacho,
el camión regresa vacío . La tabla que muestra las utilidades es la siguiente.
Remesa a Envío de regreso de Lima. No hay envío de regreso de Lima
S1 S2
Callao d1 2000 2000
Lima d2 2500 1000
d. Si la probabilidad de lograr un envío de regreso de Lima es 0.4 , ¿Qué debe hacer
Transporandes?.
e. Aplique un análisis de sensibilidad gráfico para determinar los valores de probabilidad
del estado de la naturaleza S1 para que d1 tenga el mayor valor esperado.
f. Transporandes puede llamar por teléfono a un centro de despacho de camiones en Lima
para determinar si la actividad general de transporte en Lima es activa ( I 1 ), o lenta
(I2). Si el reporte indica que es activa , aumenta n las posibilidades de obtener un
embarque de regreso. Supóngase que se dan las siguientes probabilidades
condicionales:
P(I1/S1) = .6 P(I2/S1) = .4
P(I1/S2) = .3 P(I2/S2) = .7
¿Qué debe hacer Transporandes?.
g. Si el reporte de la actividad en Lima es (I 1), ¿Cuál es la probabilidad de que la empresa
obtenga un embarque de regreso si realiza el viaje a Lima?.
h. ¿Cuál es la eficiencia de la información telefónica?.

38. 2. La empresa constructora “ctx” está realizando una encuesta que le ayudará a evaluar la
demanda de su nuevo complejo de condominio . El cuadro de resultados ( utilidades )
de la ctx es como sigue:
Estados de la naturaleza
Baja Media Alta
S1 S2 S3
Pequeña d1 400 400 400
Alternativas
de decisión Mediano d2 100 600 600
Grande d3 -300 300 900
P(Sj) .20 .35 .45
La encuesta dará como resultado tres indicadores de la demanda : débil (I1) , promedio
(I2) , y fuerte ( I3) en donde las probabilidades condicionales son las siguientes:
P(Ik/Sj)
I1 I2 I3
S1 .6 .3 .1
S2 .4 .4 .2
S3 .1 .4 .5
a. Cuál es la estrategia óptima de la empresa.
b. Cuál es el valor de la información muestral.
c. Cuál es la eficiencia de la información de la encuesta.
3. La empresa TV.H está evaluando la posibilidad de fabricar un episodio piloto destinado
a una serie de programas para una importante red de televisión . La red podría rechazar
el programa piloto y la serie , pero también es posible que adquiera el programa para
uno o dos años . La TV.H puede decidir fabricar el programa o transferir los derechos
de la serie a un competidor por $ 100 000 . En el siguiente cuadro de resultados se
resumen las utilidades:
Estados de la naturaleza
Rechazar 1 año 2 años
Fabricar el d1 -100 50 150
producto piloto
Vender al d2 100 100 100
competidor
P(Sj) .2 .3 .5
Según un honorario por consultoría de $ 2 500 una agencia revisaría los planes de la
serie de televisión e indicaría las probabilidades globales de que la red reaccione de

39. manera favorable ante la serie . Si la revisión especial de la agencia da como resultado
una evaluación favorable ( I1) o una evaluación desfavorable ( I 2), ¿Cuál debe ser la
estrategia de decisión de la empresa?. Si la probabilidades condicionales son
evaluaciones realistas de la agencia:
P(I1/S1) = .3 P(I2/S1) = .7
P(I1/S2) = .6 P(I2/S2) = .4
P(I1/S3) = .9 P(I2/S3) = .1
a. Elabore el árbol de decisiones para este problema.
b. ¿La información vale el honorario por consultoría de $ 2 500 ?.
c. ¿Cuánto es lo máximo que la TV.H debe estar dispuesta apagar por la consultoría?.
TEMA 9. : PROGRAMACIÓN DINÁMICA
 Técnica que soluciona modelos matemáticos de gran magnitud, descomponiéndolos en
sub-modelos (etapas).
 Integra la solución óptima de los sub – modelos mediante una función recursiva.
 No cuenta con una formulación matemática STANDARD. C/Problema tiene su
algoritmo específico.
 El comportamiento de los parámetros de cada etapa pueden ser determinístico o
probabilístico; teniendo en cuenta este comportamiento los modelos de Programación
Dinámica pueden ser Determinísticos y Probabilísticos.
Max z = 2x1 + x2 Max z = 4x1 + x2 Max z = 2x1 + 5x2 Max z = x1 + x2
St: x1 + 3x2 < 12 St: x1 + 3x2 < 18 St: x1 + 3x2 < 20 St: x1 + 3x2 < 14
PROCEDIMIENTO GENERAL
1. Identificar las etapas.
2. En cada etapa identificar
d n : Variable de decisión
fn
x n: variable de estado x n+1
Función recursiva

40. r n: rendimiento resultado
x n : Situación actual antes de tomar la decisión
d n : Decisión a tomar en cada etapa.
r n : Contribución en cada etapa ( Utilidad, costo, etc. ) .
r n = f (x n , d n )
f n : Integra la solución óptima de una etapa con otra
f n (s) = r n + f * n+1
s : estado
n : etapa
3. Se resuelven los sub – modelos empezando por el fin.
PROBLEMAS
1. Una empresa de caudales tiene que llevar dinero desde una entidad bancaria hasta una
empresa para pagar a sus trabajadores; pero existen serios peligros en el trayecto de ser
asaltados. En la figura se muestran las posibles rutas para viajar desde el banco ( 1 ) a la
empresa ( 10 ) y en cada arco el riesgo de una calle a otra ( c ij ). La empresa esta
preocupada por la seguridad del dinero y le encarga al gerente de operaciones obtener la
ruta óptima a seguir.
7 1
2 4 5
2 6 4 8 3
3 6
1
1 4 3 2 6 0
3
3 4 4
4 3 9
1
4 5 7 3
2. En una empresa se han desarrollado pronósticos de la demanda para un producto
determinado y para un cierto número de periodos , y que se desearía decidir sobre la
cantidad que se debe fabricar en cada uno de esos periodos para satisfacer la demanda a
un costo mínimo. Existen dos costos que es necesario considerar: costos de producción

41. y costos de tenencia de inventario. No se consideran los costos de preparación en cada
periodo. Se permiten que los costos de producción y tenencia de inventario varían de un
periodo a otro. Los datos del problema se dan en la siguiente tabla:
MES DEMANDA CAPACIDAD DE CAPACIDAD COSTO DE PRODUCCION COSTO DE TENENCIA POR
PRODUCCION DE ALMACEN POR UNIDAD UNIDAD
ENER. 2 3 2 $175 $30
FEBR. 3 2 3 150 30
MARZ. 3 3 2 200 40
Considere el inventario inicial de Enero de 1 unidad.
3. Una empresa tiene un problema de producción y control de inventarios para un
componente que la empresa fabrica para un generador eléctrico . Los datos disponibles
para el siguiente periodo de planeación de 3 meses son los que se presentan en seguida.
MES Demanda Capacidad de Capacidad de Costo de Costo de tenencia
producción almacén producción por por unidad
unidad
1 20 30 40 $ 2.00 $0.30
2 30 20 30 1.50 0.30
3 40 30 20 2.00 0.20
Utilizando el método de programación dinámica , obtenga las cantidades de producción y los niveles
de inventario óptimos en cada periodo para esta empresa . Supóngase que se tiene un inventario
inicial de 10 unidades el principio del mes 1 y que las corridas de producción se llevan a cabo en
múltiplos de 10 unidades, ( es decir, 10 , 20 o 30 unidades ).
4. El jefe de producción de una empresa debe hacer una selección óptima quincenal de
tareas que se debe procesar durante el siguiente periodo de dos semanas ( 10 días ) para
ello cuenta con la información que se muestra en la tabla. Cuál es la selección óptima .
TAREA N°de tareas que se procesarán Tiempo estimado de Calificación(valor)
terminación por tarea (días)
Categoría 1 4 1 2
Categoría 2 3 3 8
Categoría 3 2 4 11
Categoría 4 2 7 20
5. Considere que se carga un barco con N artículos “i” que tienen un peso wi y un valor
vi ( i = 1,2,…,N ) El peso de carga mínima es W.

42. Se requiere determinar la cantidad de carga mas valiosa sin que se exceda al peso máximo
disponible en el barco.
Específicamente, consideré el caso siguiente de tres artículos y suponga que W = 5.
i wi Vi
1 2 65
2 3 80
3 1 30
TEMA 10. : PROCESO DE MARKOV.
 Familia de modelos dinámicos que son estocásticos y dependientes del tiempo.
 Se utiliza para describir diversas situaciones.
 Buscan determinar en forma secuencial las probabilidades de ocurrencia de eventos.
TERMINOLOGIA:
Estado : Condiciones iniciales y finales del proceso de Markov.
Ensayo: Ocurrencias repetidas del evento que se estudia.
Probabilidad de Transición : Probabilidad de pasar de un estado actual al siguiente.
CADENA DE MARKOV:
Proceso de Markov que presenta las restricciones:
1. Existe un número finito de estados.
2. Las probabilidades de transición son constantes.
MODELO MATEMATICO
Notación:
pij : Probabilidad de cambiar del estado “i” al estado “j”.
P : Matriz formada por los valores de pij (Matriz de transición).
Si(t) : Probabilidad de encontrarse en el estado “i” en el periodo “t”.
S(t) : Vector de probabilidad de estado en el periodo “t”.
Planteamiento:

43. Si(t) + S2(t) +…+ Sn(t) = 1 “ n estados “.
pi1 + pi2 + … + pin = 1
La transición de un periodo al siguiente se expresa como :
S(t + 1 ) = S( t) P
Para el primer periodo : S ( 1 ) = S (0 ) P
Para el segundo periodo : S ( 2 ) = S ( 1 ) P = S ( 0 ) P2
En general :
S ( t ) = S ( 0 ) Pt
Por la condición de estado estacionario:
S = S(t+1)=S(t)
Donde S : vector de probabilidad de estado estacionario que es el mismo sin
importar el periodo.
⇒ S=SP
Es decir el vector de estado estacionario sigue siendo igual después de la transición de una
etapa.
RESUMEN
El desarrollo de las cadenas de Markov dada una matriz de transición de una etapa P = [Pij]
y un vector de estado para el periodo “ t “ , S ( t ) esta dado por:
S(t+1)=S(t)P
Y dado que :
S ( t + 1 ) = S ( t )P = S ( t – 1 )P2 = … = S ( 1 )Pt-1 = S ( 0 ) Pt
Se tiene que :
S ( t ) = S ( 0 ) Pt
También: Puede obtenerse el vector de probabilidades de equilibrio o de estado
estacionario, S , resolviendo el sistema de ecuaciones:

44. S = SP
m
∑S
i =1
i =1
CADENA DE MARCOV CON ESTADOS ABSORBENTES
Un estado absorbente es aquel que una vez que se alcanza no pueden abandonarse.
Cuando un proceso de Markov tiene estados absorbentes , no se calculan probabilidades de
estados estables; ya que en algún momento, el proceso termina en alguno de los estados
absorbentes. Sin embargo , podría interesar saber la probabilidad de terminar en uno de los
estados absorbentes.
PROBLEMAS
1. Se ha elaborado la siguiente matriz de transición utilizando datos recopilados en años
anteriores y referentes a la forma en que los televidentes tienden a cambiar de un canal
a otro, semana a semana para un programa noticiero:
ATV PANTEL AMERICA
ATV 0.2 0.4 0.4
PANTEL 0.3 0.3 0.4
AMERICA 0.2 0.2 0.6
a. Trace el diagrama de árbol de dos periodos para un televidente que vio su noticiero
la última semana en PANTEL. Analice sus resultados.
b. Determine la matriz estacionaria.
c. Si la última semana 2000 vieron ATV, 5000 PANTEL y 4000 AMÉRICA. Después
de 2 semanas cuántos están observando cada uno de estos programas.
2. La empresa “RC” arrienda camiones para mudanza . El gerente esta considerando
aplicar un cargo por traslado de camiones , para lo cuál a dividido su atención en la
región norte, centro y sur. De registros previos se ha determinado que de los camiones
que se rentan cada mes en el norte 20% van a una ciudad del norte, 30 % terminan en el
centro y 50% en el sur; el mismo significado representan los datos de la tabla.
Van N C S
Renta
N .2 .3 .5
C .3 .4 .3
S .2 .4 .4

45. En este momento 40% de los camiones se encuentran en el norte , 30 % en el centro y
30% en el sur.
El gerente está interesado en saber:
1. ¿ Qué proporción de los camiones se encontrará en cada región después de un
mes ?.Después de 2 meses.
2. ¿Qué proporción de los camiones estará en cada región después de periodo largo ?.
3. La empresa “HD” tiene dos categorías de antigüedad para sus cuentas por cobrar: De 0
a 30 días y de 31 a 90 días. Para lo cual la empresa considera un ensayo de Markov
donde:
Estado 1 : Categoría de pagado
Estado 2 : Categoría de cuenta incobrable.
Estado 3 : Categoría de antigüedad de 0 a 30 días.
Estado 4 : Categoría de antigüedad de 31 a 90 días.
Por datos históricos obtiene:
1 0 0 0
0 1 0 0
P= .4 0 .3 .3
.4 .2 .3 .1
La empresa está interesada en saber la probabilidad de que la u.m. termine en cada uno
de los dos estado absorbentes.
4. La empresa KLM es propietaria de un vivero con 5000 árboles . En la actualidad
1500 árboles se clasifican como árboles protegidos ( pequeños ) , mientras que los
3500 restantes están disponibles para su corte . Aunque la mayoría de los árboles
que no se cortan en un año determinado siguen de pie hasta el año siguiente,
algunos árboles mueren durante ese año y se les pierde.
La KLM ha considerado esta operación como un proceso de Markov, con periodos
anuales, se definen los cuatro siguientes estados:
Estado 1 : Cortado y vendido.
Estado 2 : Perdido por enfermedad.
Estado 3 : Demasiado pequeño para corte.

46. Estado 4 : Disponibilidad para corte pero no cortado y vendido.
La siguiente matriz de transición resulta apropiada:
1 0 0 0
0 1 0 0
P = 0.1 0.2 0.5 0.2
0.4 0.1 0 0.5
¿Cuántos de los 5000 árboles del vivero se venderán en algún momento dado y
cuantos se perderán?.
TEMA 11: TEORIA DE JUEGOS
La vida esta llena de conflictos y competencias; las organizaciones empresariales y
los negocios no escapan de estos acontecimientos, algunos ejemplos podrían ser:
- Campañas de publicidad entre dos empresas.
- Campañas políticas.
- Etc.
♦ El éxito de estas situaciones depende primordialmente de las estrategias seleccionadas
por los adversarios. Una estrategia es una regla predeterminada que especifica por
completo como se intenta responder a cada circunstancia posible en cada etapa de
juego.
♦ En general un juego entre competidores se caracteriza por:
1. Las estrategias de los competidores.
2. La matriz de pago.
♦ Una jugada real consiste en que los jugadores eligen simultáneamente sus estrategias
sin conocer la elección del oponente.
♦ Por lo general, la matriz de pago se da para el jugador I., ya que del jugador II es
negativo, debido a la naturaleza de la suma cero.
Los casos fundamentales que se pueden presentar se pueden resolver aplicando los
siguientes procedimientos:
1. PUNTO SILLA
La estrategia óptima esta dada por:
En el punto : maximin de la fila = minimax de la columna
2. ESTRATEGIAS DOMINANTES.

47. Se pueden aplicar para filas y columnas.
3. ESTRATEGIAS MIXTAS.
Se utiliza cuando no existe punto silla ni estrategias dominantes y las estrategias son
2xn ó mx2.
4. PROGRAMACION LINEAL
Se aplica cuando los competidores tienen mxn estrategias
PROBLEMA 1
Dos políticos que postulan a la presidencia de un país. En este momento deben hacer
sus planes de campaña para los dos últimos días antes de las elecciones; se espera que
estos días sean cruciales por ser tan próximos al final. Por esto, ambos quieren
emplearlos para hacer sus campañas en dos ciudades importantes: B y M. Para evitar
pérdidas de tiempo , están planeando viajar en las noches y pasar un día completo en
cada ciudad o dos días en sólo una de las ciudades.
Cada político tiene un jefe de campaña en cada ciudad para asesorarlo en cuanto al
impacto que tendrán ( en términos de votos ganados ó perdidos ) las distintas
combinaciones posibles de los días dedicados a cada ciudad por ellos o por sus opositor.
Ellos quieren emplear esta información para escoger su mejor estrategia .
A continuación se presentan diversas matrices de pago.
II II II
1 2 3 1 2 3 1 2 3
1 -3 -2 6 1 1 2 4 1 0 -2 2
I 2 2 0 2 I 2 1 0 5 I 2 5 4 -3
3 5 -2 -4 3 0 1 -1 3 2 3 -4
Según la forma en que se estableció el problema, cada jugador tiene tres estrategias:
1. Pasar un día en cada ciudad.
2. Pasar ambos días en la ciudad A.
3. Pasar ambos días en la ciudad B.

48. PROBLEMA 2
Dada las siguientes matrices de pago:
a) b)
II II
1 2 3 1 2 3
I 1 4 3 1 1 4 -1 6
2 0 1 2 2 -2 7 -1
I 3 2 0 3
4 1 5 3
 Para la matriz (a) utilice el método de estrategias mixtas para obtener las
estrategias optimas de los competidores.
 Para la matriz (b) formule el modelo de programación lineal para obtener las
estrategias óptimas de los competidores.
TEMA 12: MODELOS DE LINEA DE ESPERA
Población Cliente Servicio Salida Sistema de LE
Recuerda Ud. la última vez que tuvo que esperar ante la caja para pagar su derecho
de matrícula y otros y habrá experimentado que el tiempo de espera es molestoso ; este es
un problema que se puede analizar mediante la teoría de colas ó modelos de línea de espera.
El común denominador del problema de colas es el costo ocasionado al cliente y al servidor
que tienen correlación inversa.
La teoría de líneas de espera tiene los siguientes objetivos:
- Caracterizar cuantitativa y cualitativamente una fila de espera.
- Determinar los niveles adecuados de ciertos parámetros del sistema , que armonicen el
costo social de la espera con el costo asociado al consumo de recursos.
La cuantificación de una línea de espera puede hacerse mediante un análisis matemático o
un proceso de simulación
Se han desarrollado modelos cuantitativos que permiten tomar decisiones ante estos
problemas de línea de espera. Estos modelos forman relaciones matemáticas que pueden
utilizarse para determinar las características de operación de una línea de espera. Alguna de
las características de operación que son de interés son:
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema P0
2. El número promedio de unidades en la línea de espera Lq
3. Numero promedio de unidades en el sistema L

49. 4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera Wq
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema W
6. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar para recibir el servicio Pw
7. Probabilidad de que haya “n” unidades en el sistema Pn
 Los clientes pueden ser: personas, máquinas, documentos; etc.
 Los servicios (canales) pueden ser : talleres , cajeros, cabina telefónica; etc.
Teniendo en cuenta las características particulares de las líneas de espera se pueden
clasificar :
1. Considerando sus canales:
 Etapa única
 Múltiples etapas
 Canales múltiples
 Una sola línea de espera con canales múltiples
2. Considerando la tasa de llegada y tasa de servicio:
Para ello se utiliza la notación Kendall: A/B/C
A: distribución de llegada
B: Distribución de servicio
C: N° de canales
A y B pueden ser: M,D,G
M: Modelo probabilístico
D: Modelo determinístico
G: Modelo general
C puede ser : 1,2,3,…,k
3. De acuerdo a la naturaleza de la cola se pueden considerar otros casos.
ANALISIS ECONOMICO DE LINEAS DE ESPERA
Con el propósito de realizar un análisis económico de un sistema de líneas de espera , debe
desarrollarse un modelo de costo total, que incluye el costo de espera y el de ofrecer el
servicio.
Para desarrollar el modelo de costos totales para un sistema de líneas de espera , se utiliza
la siguiente notación:
Cw : Costo de la espera por periodo para cada unidad.
L : número promedio de unidades en el sistema .
Cs: costo de servicio por periodo para cada canal.
K : número de canales.
CT: costo total por periodo
CT = CwL + CsK

50. La forma general de las curvas del costo de la espera , del costo del servicio y del costo
total, en modelos de líneas de espera se aprecia en el siguiente gráfico:
Costo total
CT
Cw Cs
K(n° de canales)
MODELO M/M/1
Restricciones :
- La línea de espera tiene un solo canal.
- El patrón de llegada sigue una distribución probabilística de Poisson.
- Los tiempos de servicio siguen una distribución probabilística exponencial.
- La disciplina de la línea de espera es “Primero que Llega, Primero que se atiende”
(PLPA).
Notaciones: λ número promedio de llegada por periodo(tasa promedio de llegada).
µ número promedio de servicio por periodo(tasa promedio de servicio).
Las características de este modelo se pueden utilizar las siguientes ecuaciones:
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.
λ
P0 =1 −
µ
2. Número promedio de unidades en la línea de espera(largo de la fila).
λ2
Lq =
µ( µ − λ)
3. Número promedio de unidades en el sistema ( largo total ).
λ
L = Lq +
µ
4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera.
Lq
Wq =
λ

51. 5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.
1
W =Wq +
µ
6. Probabilidad que una unidad que llega tenga que esperar para obtener el servicio(factor
de utilización).
λ
Pw =
µ
7. Probabilidad que haya “n” unidades en el sistema.
n
λ 
Pn =   P0
µ 
♦ Para utilizar estas ecuaciones se debe tener que: µ > λ
MODELO M/M/k
Restricciones:
- La línea de espera tiene dos o más canales.
- Tiene llegadas tipo Poisson.
- El patrón de servicio es de tipo exponencial.
- µ es lo mismo para todos los canales.
- Las unidades que llegan aguardan en una sola línea de espera y después pasan al primer canal abierto
para obtener el servicio.
- La disciplina de la fila es (PLPA)
Notación:
λ tasa promedio de llegadas para el sistema.
µ tasa promedio de servicio para cada canal.
K número de canales.
Las fórmulas son aplicables para kµ > λ
Las ecuaciones para este modelo son:
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.
1
P0 =
k −1
(λ / µ ) n
(λ / µ ) k  kµ 
∑ n! +
k!

 kµ − λ 

n =0  
2. Número promedio de unidades en la línea de espera.
(λ / µ ) k λµ
Lq = P0
(k − 1)! (kµ − λ ) 2
3. Número promedio de unidades en el sistema.
λ
L = Lq +
µ
4. Tiempo promedio que cada unidad pasa en la línea de espera.
Lq
Wq =
λ
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.
1
W = Wq +
µ
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar.

52. k
1  λ   kµ 
Pw =    P0
k!  µ   kµ − λ 
   
7. Probabilidad de que haya “n” unidades en el sistema
Para n ≤ k
(λ / µ) n
Pn = P0
n!
Para n > k
(λ / µ) n
Pn = P0
k! k ( n −k )
MODELO M/G/1
Notación: λ tasa promedio de llegadas para el sistema.
µ tasa promedio de servicio para cada canal.
1/µ tiempo promedio de servicio.
σ desviación estándar del tiempo de servicio.
Las ecuaciones que se utilizan en este caso son :
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.
λ
P0 =1 −
µ
2. Número promedio de unidades en la línea de espera.
λ 2 σ 2 + (λ / µ ) 2
Lq =
2(1 − λ / µ )
3. Número promedio de unidades en el sistema.
λ
L = Lq +
µ
4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera.
Lq
Wq =
λ
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.
1
W =Wq +
µ
6. Probabilidad de que una unidad que llega tenga que esperar.
λ
Pw =
µ

53. MODELO M/G/K SIN LINEA DE ESPERA.
Restricciones:
- El sistema tiene k canales.
- La llegada es tipo Poisson.
- Los tiempos de servicio para cada canal pueden tener cualquier distribución de
probabilidad.
- La tasa promedio de servicio µ es la misma para todo los canales.
Una de las principales aplicaciones de este modelo se refiere al diseño de sistemas
telefónicos, u otros sistemas de comunicación. Cuando todos los canales están ocupados ,
las llamadas adicionales reciben una señal “ocupado” y no se le permite el acceso al
sistema.
En este caso se evalúa la probabilidad de que exactamente j de los k canales estén
ocupados para j = 0, 1,2,…,k.
Este calculo se realiza mediante :
(λ / µ ) j / j!
Pj = k
∑ (λ / µ )
i=0
i
/ i!
Es posible qué el calculo mas importante sea P k , que es la que todos los canales estén
ocupados.
Otra característica que interesa en este caso es el promedio de unidades que se encuentran
en el sistema, y esta evaluación se lleva a cabo mediante:
λ
L= (1 − Pk )
µ

54. MODELO M/M/1 CON POBLACION DEMANDANTE FINITA.
En este caso N es el tamaño de la población .
Restricciones:
- Tiene un solo canal.
- Población a ser atendida finita.
- Llegada tipo Poisson.
- Tasa de servicio exponencial.
- Disciplina de de cola PLPA.
Para evaluar este modelo se utilizan las siguientes ecuaciones:
1. Probabilidad de que no haya unidades en el sistema.
1
P0 = n
N
N!  λ 
∑ ( N − n)!  µ 
 
n =0  
2. Número promedio de unidades en la línea de espera(largo de la fila).
λ+µ
Lq = N − (1 − P0 )
λ
3. Número promedio de unidades en el sistema ( largo total ).
L = L q + (1 − P0 )
4. Tiempo promedio que una unidad pasa en la línea de espera.
Lq
Wq =
( N − L )λ
5. Tiempo promedio que una unidad pasa en el sistema.
1
W =Wq +
µ
6. Probabilidad que haya “n” unidades en el sistema.
n
N! λ
Pn =  
( N − n)!  µ 
 
Para n = 0 ; 1 ; 2 ; … ; N

55. PROBLEMA 1
En un taller dedicado a la reparación de bicicletas la llegada de clientes sigue una
distribución de Poisson y los servicios una distribución exponencial. Este taller opera con
una disciplina de “primero en llegar primero en ser atendido”. Las llegadas son 3 por día y
los clientes se atienden a 6 por día. Suponiendo que la población es infinita y la longitud de
fila ilimitada, determinar los parámetros que describen el fenómeno de línea de espera.
PROBLEMA 2.
Una empresa suministra dispensadores de alimentos a una Universidad . Como los
estudiantes acostumbran deteriorar las máquinas , la gerencia tiene que afrontar un
problema constante de reparaciones . En promedio se averían tres máquinas por hora , y las
averías se distribuyen de manera Poisson. El tiempo muerto le cuesta a la compañía $25
por hora por máquina y a cada empleado de mantenimiento le pagan $ 4 por hora. Un
empleado puede reparar las máquinas a una tasa promedio de 5 por hora, distribuida
exponencialmente; dos empleados que trabajan juntos pueden reparar 7 máquinas por hora
distribuidas exponencialmente; y un equipo de tres trabajadores puede reparar 8 por hora
distribuidas exponencialmente.
¿Cuál es el tamaño óptimo del equipo de mantenimiento para reparar las máquinas?.
PROBLEMA 3.
Una oficina de correos dispone de 6 servidores . La llegada de los clientes es de
acuerdo a una distribución de Poisson de tasa 4 por minuto. El tiempo de servicio es
exponencial con un promedio de 1 minuto 12 segundos.
Determinar los parámetros que describen el sistema.
PROBLEMA 4
Una Clínica especializada en tratamientos de alergias tiene un sistema excelente para
atender a sus clientes que van a aplicarse inyecciones contra la alergia. En cierto momento
del día , la carga de pacientes disminuye y solo se necesita una enfermera para poner la
inyección. Si los pacientes llegan de manera Poisson y la tasa de servicio de la enfermera
tiene una distribución exponencial y los pacientes llegan a intervalos de tres minutos
aproximadamente. La enfermera emplea dos minutos en promedio para preparar el suero
del los paciente y aplicar la inyección.
Determinar los parámetros que describen este sistema.

56. PROBLEMA 5
Un centro de comunicaciones al que llegan mensajes de forma aleatoria con un tiempo
medio de 10 minutos entre una llegada y la siguiente, dispone de una radiotelegrafista . Se
supone que el tiempo medio de servicio para enviar estos mensajes se distribuye
exponencialmente con una media de tres minutos. Se desea conocer:
 Número medio de mensajes en la fila.
 Número medio de mensajes en el sistema.
PROBLEMA 6
En un taller , las máquinas suelen fallar según una ley de Poisson de tas a 3 maq/hora ;
evaluándose el costo de parada de una máquina en S/. 1000 por hora . En esta situación
pueden elegirse entre una de las siguientes alternativas.
a. Un mecánico que repare las máquinas según una ley de servicio exponencial de tasa
4 maq/hora y desea cobrar 300 pesetas por hora.
b. Un mecánico muy experimentado que repara las máquinas según distribución
análoga al anterior de tasa 5 maq/hora pero que exige 400 pesetas por hora.
¿Cuál de las dos alternativas resulta más beneficiosa ?.
PROBLEMA 7
Una oficina que dispone de una fotocopiadora ha observado que, generalmente , los
requerimientos de utilización de la misma , durante las ocho horas de trabajo, son
aleatorios con una tasa de 5 personas por hora.
Las fotocopias que se realizan varían en magnitud y en el número de copias pero la tasa
de servicio puede estimarse en 10 trabajos a la hora. Si el costo de una persona que
accede a realizar un trabajo es de $3.5 por hora, se desea conocer:
 Utilización de la fotocopiadora.
 Porcentaje de tiempo que una llegada tiene que esperar.
 Tiempo promedio de espera en el sistema.
 Costo promedio diario ocasionado por esperar .
PROBLEMA 8
Un restauran de comida rápida presenta un problema de colas . Analizando datos sobre la
llegada de clientes se ha llegado a la conclusión de que la tasa promedio de arribo es de 45
clientes por hora . Supóngase además que se ha estudiado el proceso de atención y que se
ha encontrado que el único empleado que sirve los alimentos puede procesar un promedio
de 60 ordenes de clientes por hora. Analizar este sistema de colas cuyo modelo se adapta al
M/M/1.
PROBLEMA 9
La HN es una tienda especializada en venta de artefactos. Después de realizar un análisis
del problema de colas que se genera en la tienda llega a la conclusión que corresponde a un
modelo M/G/1. Y la tasa promedio de llegada es de 21 clientes por hora y el tiempo

57. promedio de servicio es de 2 minutos por cliente con una desviación estandar de 1.2
minutos. Evaluar las características de este sistema.
TEMA 13: MODELO DE SIMULACION
Es el proceso de diseñar un modelo de un sistema real y llevar a cabo experiencias
con él, con la finalidad de aprender el comportamiento del sistema o de evaluar diversas
estrategias para el funcionamiento del sistema.
En la práctica existen básicamente dos procedimientos para obtener modelos
matemáticos de un sistema real: el análisis teórico y el análisis experimental. En este caso
se utiliza el experimental ya que se construye el modelo matemático a partir de medidas
realizadas directamente sobre el sistema y luego se experimenta con él permitiendo
recopilar información .
Este modelo es aplicable cuando es imposible por diferentes circunstancias experimentar en
el sistema real , para lo cual se construye un modelo captando las variables que nos interesa
analizar y descartando aquellas que no son de utilidad para nuestro interés.
NUMEROS ALEATORIOS
Es uno de los componentes fundamentales para realizar la simulación y existen diversos
procedimientos para generarlos, si bien tiene un cierto deterioro en la noción de azar a estos
números se les llama pseudoaleatorios y son adaptados a los ordenadores digitales.
Método de los cuadrados medios:
1. Tomar un número al azar x0 = 2n cifras.
2. Efectuar x02 , tomar las 2n cifras centrales que será x1
3. Se continua ….
Método de Lehmer:
1. Se parte de un número al azar x0 de n cifras.
2. Se le multiplica por un número al azar de k cifras, dando lugar a un número de n+k
cifras.
3. Se separa la k cifras de la izquierda, obteniéndose un número de n cifras del cual se le
resta el número de k cifras que se había separado el resultado es el número x1
4. Se continua…..

58. TEST DE LAS RACHAS.
Evalúa la consistencia de los números seudoaleatorios.
Dados los números x1, x2,…,xn se construye una sucesión formada por signos + si xy<xy+1 , y
signo - si xy>xy+1.
1. Calcular el número de rachas R.
2. Evaluar :
1
R − ( 2n − 1)
Z= 3
1
(16n − 29)
90
3. Fijar un nivel de significancia y aceptar la aleatoriedad de la secuencia si el valor de Z
verifica :
Z < Zα
2
Zα
Para α = 5% , 2
= 1,96
NUMERO DE SIMULACIONES
Z α2 S 2
−
Se puede obtener utilizando: N = ; donde : d = x−µ
2
d 2
Debido a que en la práctica la media de la población no se conoce se requiere hacer la
suposición para d.
Para obtener los valores de las varianza y la media muestral es recomendable realizar una
simulación previa de al menos 100 corridas.
LENGUAJES DE SIMULACION
En general , al llevar a la práctica un modelo de simulación es necesario la utilización de un
ordenador para lo cual es necesario elegir una de las dos opciones siguientes:
a. Escribir un programa especial en uno de los lenguajes de programación de uso
corriente: BASIC, FORTRAN, ALGOL, PL/1, PASCAL, etc.

59. b. Utilizar lenguajes de simulación desarrollados y comercializados: SIMULA, GPSS,
SIMPAC, SIMSCRIPT, etc.
CONCLUSION:
En conclusión para aplicar esta técnica de simulación se debe tener en cuenta la siguiente
secuencia:
Inicio
Definir el problema
Construir el modelo de
simulación
Especificación de los
parámetros y
Especificación de las
normas de
Hacer funcionar la simulación
Evaluar los resultados
Validar
Proponer nuevo experimento

60. Detenerse
PROBLEMAS
1. Considérese la consulta de un médico en la que a los pacientes se les cita cada 20
minutos . El tiempo empleado por el médico en examinar a un paciente es una variable
aleatoria con función de densidad:
1 −(1 / 25 ) t
f (t ) = e ; t>0
25
Realizar 20 simulaciones para el tiempo de servicio.
2. El encargado de ventas en una tienda de electrodomésticos tiene anotado el número de
aparatos que diariamente se han demandado de una determinada clase durante los
últimos 4 años. Se supone que el número de días que la tienda permanece abierta
durante el año es de 250. Estos datos se muestran en la siguiente tabla:
N° de artículos demandados 1 2 3 4 5 6 7 8 9
N° de días(frecuencia de las 135 271 271 180 90 36 12 4 1
demandas)
La fabrica donde se construye el aparato no garantiza plazo de entrega, pero se tiene
anotado el número de días que han tardado en servir los últimos 100 pedidos. Los datos
quedan reflejados en la siguiente tabla :
Días transcurridos hasta la entrega de los 2 3 4
aparatos
N° de veces 30 40 30
Se fija el punto de pedido en 11 unidades , y el día en el que el número de artículos en
inventarios sea menor ó igual a 11 se realiza un pedido por una cantidad igual a la cantidad
demandada durante los últimos 5 días , incluido el día del pedido. Cada semana cuenta con
5 días hábiles . Los pedidos llegan al final del día , por lo que no pueden ser utilizados para
satisfacer la demanda hasta el día siguiente.
Se supone que cada aparato tiene un costo de 1500 unidades monetarias, el costo de pedido
y recepción de cada pedido es de 6000 unidades monetarias, el costo de mantenimiento del
inventario es del 20 % anual sobre el valor ( precio de compra) del inventario promedio , y
el costo por aparato no vendido es de 1500 unidades monetarias.
Simular este problema de inventario teniendo en cuenta que el inventario inicial es de 10
unidades y que el último día hábil se había efectuado un pedido de 9 unidades y el periodo
de espera de este pedido se corresponde con el primer número simulado de días de espera.

61. 3. La demanda semanal de un producto tiene la distribución que se muestra en la tabla
N°1. Cuando se formula un pedido para reabastecer el inventario , hay una demora de
entrega , la cual es una variable aleatoria que se muestra en la tabla N°2.
TABLA 1 TABLA 2
Cantidad N°de semanas desde
Probabilidad el pedido hasta la Probabilidad
demandada entrega
0 0.10 2 0.20
1 0.40 3 0.60
2 0.30 4 0.20
3 0.20
Considerando la cantidad óptima de pedido de Q = 15 unidades , el punto de pedido R = 5
unidades( es decir realizar el pedido cuando el inventario final es de 5 unidades) y el
inventario inicial de 10 unidades; realice una simulación de 20 corridas. Además considere
5 semanas para el proceso de estabilización.
Realice la prueba de las rachas para sus números aleatorios.
Analice sus resultados y cuales son las conclusiones que obtiene
4. Considere un almacén con un andén para descarga de vagones. Los vagones llegan
durante la noche y se descargan durante el día, requiriéndose medio día exactamente
para descargar cada vagón , si hay mas de dos vagones por descargar se posterga la
descarga para el siguiente día. Se cuenta con la información de la tabla por experiencia
anterior. Realizar una simulación para 50 días para determinar el número promedio de
llegadas
Número de vagones que llegan Frecuencia relativa
0 0.23
1 0.30
2 0.30
3 0.10
4 0.05
5 0.02
6 ó mas 0.00

62. PROBLEMA 5
Una posta médica recibe una entrega de plasma fresco una vez por semana por parte del
banco central de sangre . El suministro varía de acuerdo con la demanda de otras postas y
hospitales de la región pero se sitúa entre 4 y 9 bolsas del tipo de sangre más utilizado, el
tipo O. El número de pacientes por semana que requieren este tipo de sangre varía de cero a
cuatro y cada uno puede necesitar de uno a cuatro bolsas. Dadas las siguientes cantidades
de entrega , la distribución de los pacientes y la demanda por paciente, ¿cuál sería el
número de bolsas sobrantes o faltantes para un periodo de seis semanas ?. Utilice la
simulación para obtener su respuesta. Considere que el plasma es almacenable y que
actualmente no existe disponibilidad alguna.
Cantidad de entrega Distribución de pacientes Demanda por paciente
Bolsas/semana probabilidad pacientes / semana probabilidad bolsas probabilidad
Que requieren sangre
4 0.15 0 0.25 1 0.40
5 0.20 1 0.25 2 0.30
6 0.25 2 0.30 3 0.20
7 0.15 3 0.15 4 0.10
8 0.15 4 0.05
9 0.10
PROBLEMA 6
La demanda semanal de un producto tiene la distribución que se muestra en la tabla N°1.
Cuando se formula un pedido para reabastecer el inventario , hay una demora de entrega ,
la cual es una variable aleatoria que se muestra en la tabla N°2.
TABLA 1 TABLA 2
Cantidad N°de semanas desde
Probabilidad el pedido hasta la Probabilidad
demandada entrega
0 0.10 2 0.20
1 0.40 3 0.60
2 0.30 4 0.20
3 0.20
Considerando la cantidad óptima de pedido de Q = 15 unidades , el punto de pedido R = 5
unidades( es decir realizar el pedido cuando el inventario final es de 5 unidades) y el
inventario inicial de 10 unidades; realice una simulación de 20 corridas. Además considere
5 semanas para el proceso de estabilización.
Realice la prueba de las rachas para sus números aleatorios.
Cuál es el inventario final .

63. BIBLIOGRAFÍA O FUENTES DE INFORMACION.
1. Investigación de Operaciones . Hamdy A. Taha.
2. Investigación de Operaciones .Herbert Moskowitz
3. Investigación de Operaciones.. Hillier/ Lieberman
4. Investigación de Operaciones . Robert J. Thierauf.
5. Métodos y Modelos de Investigación de Operaciones . Juan Prawda
6. Programación Lineal.. Bazaraa.
7. Prob. y Estad.. Irwin Miller.
8. Mod. Cuant. Para Adm.. Davis /Mc Kewon.
9. Int. A los Mod. Cuant. Para la Administración. David R. Anderson
10. Simulación. Sheldon M. Ross

64. ANEXO

65. TABLA I. Valores de la función de distribución estándar
Z

66. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
- 3. .0013 .0010 .0007 .0005 .0003 .0002 .0002 .0001 .0001 .0000
- 2.9 .0019 .0018 .0017 .0017 .0016 .0016 .0015 .0015 .0014 .0014
- 2.8 .0026 .0025 .0024 .0023 .0023 .0022 .0021 .0021 .0020 .0019
- 2.7 .0035 .0034 .0033 .0032 .0031 .0030 .0029 .0028 .0027 .0026
- 2.6 .0047 .0045 .0044 .0043 .0041 .0040 .0039 .0038 .0037 .0036
- 2.5 .0062 .0060 .0059 .0057 .0055 .0054 .0052 .0051 .0049 .0048
- 2.4 .0082 .0080 .0078 .0075 .0073 .0071 .0069 .0068 .0066 .0064
- 2.3 .0107 .0104 .0102 .0099 .0096 .0094 .0091 .0089 .0087 .0084
- 2.2 .0139 .0136 .0132 .0129 .0126 .0122 .0119 .0116 .0113 .0110
- 2.1 .0179 .0174 .0170 .0166 .0162 .0158 .0154 .0150 .0146 .0143
- 2.0 .0228 .0222 .0217 .0212 .0207 .0202 .0197 .0192 .0188 .0183
- 1.9 .0287 .0281 .0274 .0268 .0262 .0256 .0250 .0244 .0238 .0233
- 1.8 .0359 .0352 .0344 .0336 .0329 .0322 .0314 .0307 .0300 0294
- 1.7 .0446 .0436 .0427 .0418 .0409 .0401 .0392 .0384 .0375 .0367
- 1.6 .0548 .0537 .0526 .0516 .0505 .0495 .0485 .0475 .0465 .0455
- 1.5 .0668 .0655 .0643 .0630 .0618 .0606 .0594 .0582 .0570 .0559
- 1.4 .0808 .0793 .0778 .0764 .0749 .0735 .0722 .0708 .0694 .0681
- 1.3 .0968 .0951 .0934 .0918 .0901 .0885 .0869 .0853 .0838 .0823
- 1.2 .1151 .1121 .1112 .1093 .1075 .1056 .1038 .1020 .1003 .0985
- 1.1 .1357 .1335 .1314 .1292 .1271 .1251 .1230 .1210 .1190 .1170
- 1.0 .1587 .1562 .1539 .1515 .1492 .1469 .1446 .1423 .1401 .1379
- 0.9 .1841 .1814 .1788 .1762 .1736 .1711 .1685 .1660 .1635 .1611
- 0.8 .2119 .2090 .2061 .2033 .2005 .1977 .1949 .1922 .1894 .1867
- 0.7 .2420 .2389 .2358 .2327 .2297 .2266 .2236 .2206 .2177 .2148
- 0.6 .2743 .2709 .2676 .2643 .2611 .2578 .2546 .2514 .2483 .2451
- 0.5 .3085 .3050 .3015 .2981 .2946 .2912 .2877 .2843 .2810 .2776
- 0.4 .3446 .3409 .3372 .3336 .3300 .3264 .3228 .3192 .3156 .3121
- 0.3 .3821 .3783 .3745 .3707 .3669 .3632 .3594 .3557 .3520 .3483
- 0.2 .4207 .4168 .4129 .4090 .4052 .4013 .3974 .3936 .3897 .3859
- 0.1 .4602 .4562 .4522 .4483 .4443 .4404 .4364 .4325 .4286 .4247
- 0.0 .5000 .4960 .4920 .4880 .4840 .4801 .4761 .4721 .4681 .4641

67. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .9714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
0.7 .7586 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .85554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
1.4 .9192 .9207 .9222 .9236 .9251 .9265 .9278 .9292 .9306 .9319
1.5 .9332 .9345 .9357 .9370 .9382 .9394 .9406 .9418 .9430 .9441
1.6 .9452 .9463 .9474 .9484 .9495 .9505 .9515 .9525 .9535 .9545
1.7 .9554 .9564 .9573 .9582 .9591 .9599 .9608 .9616 .9625 .9633
1.8 .9647 .9648 .9656 .9664 .9671 .9678 .9686 .9693 .9700 .9706
1.9 .9713 .9719 .9726 .9732 .9738 .9744 .9750 .9756 .9762 .9767
2.0 .9772 .9778 .9783 .9788 .9793 .9798 .9803 .9808 .9812 .9817
2.1 .9821 .9826 .9830 .9834 .9838 .9842 .9846 .9850 .9854 .9857
2.2 .9861 .9864 .9868 .9871 .9874 .9878 .9881 .9884 .9887 .9890
2.3 .9893 .9896 .9898 .9901 .9904 .9906 .9909 .9911 .9913 .9916
2.4 .9918 .9920 .9922 ..9925 .9927 .9929 .9931 .9932 .9934 .9936
2.5 .9938 .9940 .9941 .9943 .9945 .9946 .9948 .9949 .9951 .9952
2.6 .9953 .9955 .9956 .9957 .9959 .9960 .9961 .9962 .9963 .9964
2.7 .9965 .9966 .9967 .9968 .9969 .9970 .9971 .9972 .9973 .9974
2.8 .9974 .9975 .9976 .9977 .9977 .9978 .9979 .9979 .9980 .9981
2.9 .9981 .9982 .9982 .9983 .9984 .9984 .9985 .9985 .9986 .9986
3.0 .9987 .9990 .9993 .9995 .9997 .9998 .9998 .9999 .9999 1.000
NOTA: Por , para cuatro cifras decimales;
Para , para cuatro cifras decimales.

68. z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
0.0 .5000 .5040 .5080 .5120 .5160 .5199 .5239 .5279 .5319 .5359
0.1 .5398 .5438 .5478 .5517 .5557 .5596 .5636 .5675 .9714 .5753
0.2 .5793 .5832 .5871 .5910 .5948 .5987 .6026 .6064 .6103 .6141
0.3 .6179 .6217 .6255 .6293 .6331 .6368 .6406 .6443 .6480 .6517
0.4 .6554 .6591 .6628 .6664 .6700 .6736 .6772 .6808 .6844 .6879
0.5 .6915 .6950 .6985 .7019 .7054 .7088 .7123 .7157 .7190 .7224
0.6 .7257 .7291 .7324 .7357 .7389 .7422 .7454 .7486 .7517 .7549
0.7 .7586 .7611 .7642 .7673 .7703 .7734 .7764 .7794 .7823 .7852
0.8 .7881 .7910 .7939 .7967 .7995 .8023 .8051 .8078 .8106 .8133
0.9 .8159 .8186 .8212 .8238 .8264 .8289 .8315 .8340 .8365 .8389
1.0 .8413 .8438 .8461 .8485 .8508 .8531 .85554 .8577 .8599 .8621
1.1 .8643 .8665 .8686 .8708 .8729 .8749 .8770 .8790 .8810 .8830
1.2 .8849 .8869 .8888 .8907 .8925 .8944 .8962 .8980 .8997 .9015
1.3 .9032 .9049 .9066 .9082 .9099 .9115 .9131 .9147 .9162 .9177
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NOTA: Por , para cuatro cifras decimales;
Para , para cuatro cifras decimales.

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NOTA: Por , para cuatro cifras decimales;
Para , para cuatro cifras decimales.

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NOTA: Por , para cuatro cifras decimales;
Para , para cuatro cifras decimales.