El documento describe el problema de flujo máximo en redes y presenta un ejemplo para encontrar el flujo máximo que puede pasar a través de una red de ductos que transporta gasolina entre refinerías y terminales. Se explica que el método involucra establecer trayectorias posibles de flujo a través de la red y asignar flujo a la trayectoria con mayor capacidad remanente. En el ejemplo, las trayectorias con mayor flujo máximo son de 30 y 20 barriles por minuto.

1. Problema de flujo máximo
TEORIA DE REDES
Investigación de operaciones II
MATERIAL PREPARADO POR:
M.C. ADRIANA NIETO CASTELLANOS
INSTITUTO TECNOLOGICO DE TEHUACÁN
18/04/2011

2. Hay problemas en donde lo importante es la
cantidad de flujo que pasa a través de la red,
como por ejemplo: en las líneas de gasoductos,
redes eléctricas o de transmisión de datos.
En dichos problemas, podría ser interesante
determinar el flujo máximo que pasa a través de
dicha red.
Naturalmente, en este tipo de problemas, es
necesario que existan restricciones para la
capacidad de los arcos.

3. Ejemplo: Tres refinerías envían su producto de gasolina a dos
terminales. La demanda que no se pueda satisfacer se adquiere
de otras fuentes. El producto de gasolina se transporta a las
terminales por medio de una red de conductos que son
impulsados por tres estaciones de bombeo. La tabla siguiente
contiene la información de la red, sus enlaces y su capacidad de
bombeo (en barriles por minuto):
Refinerías: R1, R2, R3
Estaciones de bombeo: E1, E2, E3
Terminales: T1, T2
De A Capacidad De A Capacidad
R1 E1 20 E1 E3 10
R2 E1 35 E2 E3 30
R2 E2 45 E1 T1 10
R3 E2 15 E2 T2 30
E1 E2 20 E3 T1 50
E2 E1 10 E3 T2 20

4. ¿Cuánto flujo, como máximo, debe pasar por cada estación de bombeo?.
Se muestra el diagrama de red del problema, donde se muestra la capacidad
de cada arco:
R1
20
10
E1 T1
35 10
50
R2 20 10 E3
20
30
45
E2 T2
30
15
R3

5. Es necesario introducir los nodos ficticios I (inicio) y F (fin) para que la red
tenga un inicio y un fin, que indique el flujo máximo desde un nodo a otro.
Las capacidades asignadas a los arcos ficticios, derivados de la
generación de estos nodos, será considerada infinita ().
R1
20
10
 35
E1 T1 
10
50
I  R2 20 10 E3 F
20
30
45
 E2
30
T2

15
R3

6. El concepto principal del método para encontrar el
flujo máximo a través de una red es la de establecer
trayectorias (llamadas de penetración) desde el
nodo inicial al final, e ir asignando el mayor “tránsito”.
Si es necesario se hace una pequeña modificación al
diagrama, transformando los arcos dirigidos a no
dirigidos, indicando la cantidad de flujo desde el
nodo hacia la dirección del flujo.

7. Red modificada para iniciar el método:
Una manera de escoger la trayectoria de penetración
es a través de los arcos con mayor capacidad
remanente. Dicha capacidad es resultado de restar
en el sentido del flujo (y sumarlo en el sentido
opuesto) el flujo máximo remanente que puede pasar
por esa trayectoria.
Capacidad
Trayectoria
remanente
1 I  R2  E2  T2  F 30
2 I  R2  E1  E2  E3  T1  F 20
3 I  R1  E1  T1  F 10
4 I  R2  E1  E3  T1  F 10
5 I  R3  E2  E3  T2  F 10

8. R1
20
10
E1 T1
35
10
50
I R2 20 10 E3 F
30 20
45
E2 T2
30
15
R3
0 R1 20
0
10 0
0 E1 T1 ∞
 20
10 0
35 0 50 0
I  0 R2 E3 F
45 0 20 0
 0 10 30 0
E2 T2
0 30 0 ∞
0 R3
15
Transformación de arcos dirigidos a arcos no dirigida

9. 0 R1 20
0
0 E1 10 0
T1 ∞
 20 10
0
30 35 50 0 30
I  30 R2 0
E3 F
15 10 0 20 30
 30 30 0
E2 T2 ∞
0 0 30
0 R3 15
0 R1 20
0
0 E1 10 0
T1 
 20 10
0
35 50 0
30
I  30 R2 0
E3 F
30
15 10 0 20 30
 30 30 0
E2 T2 
0 0 30
0 R3 15
Procedimiento de solución del problema: Trayectoria 1: I  R2  E2  T2  F
Flujo máximo: 30

10. Trayectoria 2: I  R2  E1  E2  E3  T1  F Flujo máximo: 20
0 R1 20
0
0 E1 10 0
T1 ∞
 20 10
0
35 50 0
20
I  30 R2 0
E3 F
20
15 10 0 20 30
 30 30 0
E2 T2 ∞
0 0 30
0 R3 15
0 R1 20
0
20 E1 10 0
T1 ∞
30  0 10 30 20
20 30
15
20
I  50 R2 0
E3 F
20
15 20 20 20 30
 30 10 0
E2 T2 ∞
0 0 30
0 R3 15

11. Trayectoria 3: I  R1  E1  T1  F Flujo máximo: 10
0 R1 20
0
20 E1 10 0
T1 ∞
 0 10 30 20
20
15
I  50 R2 0
E3 F
15 20 20 20 30
 30 10 0
E2 T2 ∞
0 0 30
0 R3 15
10 R1 10
10
30 0 10 30
20 E1 T1 ∞
20  0 10 30 20
30 20
10 15
I  50 R2 0
E3 F
10
15 20 20 20 30
 30 10 0
E2 T2 ∞
0 0 30
0 R3 15

12. Trayectoria 4: I  R2  E1  E3  T1  F Flujo máximo: 10
10 R1 10
10
E1 0
10
20 T1 
 0
10 30 20
30
15 0
I  50
R2 E3 F
15 20 20 20 30
 30 10 0
E2 T2 
0 0 30
0 R3 15
10 R1 10
10
E1 0
30 10 30
30 T1 
20  0 20 30 20
10 5 0 10
40 10
I  60
R2 E3 F
10 15 20 20 20 30 10
 30 10 0
E2 T2 
0 0 30
0 R3 15

13. Trayectoria 5: I  R3  E2  E3  T2  F Flujo máximo: 10
10 R1 10
10
E1 0
10
30 T1 
 0
0 20 30
40
5 10
I  60
R2 E3 F
15 20 20 20 30
 30 10 0
E2 T2 
0 0 30
0 R3 15
10 R1 10
10
E1 0
30 10 30
30 T1 
20  0 20 30 20
10 5 0 10
40 10
I  60
R2 E3 F
10 15 20 30 10 40 10
10  30 0 10 10
E2 T2 
10 0 30
10 R3 5

14. Trayectoria 5: I  R3  E2  E3  T2  F Flujo máximo: 10
10 R1 10
10
E1 0
30 10 30
30 T1 
20  0 20 30 20
10 5 0 10
40 10
I  60
R2 E3 F
10 15 20 30 10 40 10
10  30 0 10 10
E2 T2 
10 0 30
10 R3 5
Ya no pueden encontrarse nuevas trayectorias, por lo que ésta última es la solución.

15. Interpretación:
Refinería 1: envío de 10 barriles/min.
Refinería 2: envío de 60 barriles/min.
Refinería 3: envío de 10 barriles/min..
Terminal 1: recepción de 40 barriles/min.
10
R1 Terminal 2: recepción de 40 barriles/min.
10
10 40
E1 T1
30 10 30
60
R2 20 E3
30 10
30
E2 T2 40
30
10 10
R3
Estación de bombeo 1: recibe 40 barriles/min, y envía 10 barriles/min a la
terminal 1, 20 a la estación de bombeo 2 y 10 a la estación 3.
Estación de bombeo 2: recibe 60 barriles/min, y envía 30 a la estación 3, y
otros 30 a la terminal 2.
Estación de bombeo 3: recibe 40 barriles/min, y envía 30 a la terminal 1, y
10 a la terminal 2.
Flujo máximo en la red: 80 barriles/min.

16. Cabe destacar que no es una solución única.
Una manera de aproximarnos rápidamente al resultado de flujo máximo es con
el concepto de llamado “flujo máximo y corte mínimo”, que establece que en
una red de un solo origen y un solo destino, el flujo máximo es igual al valor
de corte mínimo en la red
Un corte se define como el conjunto de arcos dirigidos que van del nodo origen
al destino, su flujo máximo posible sería la suma de flujos de todos los arcos
cortados. Por ejemplo, en nuestra red es posible hacer varios cortes para
determinar el flujo máximo: