Este documento resume conceptos clave sobre redes de flujo, incluyendo la definición de fuente, sumidero y capacidad de flujo. Explica el algoritmo de Ford-Fulkerson para encontrar el flujo máximo en una red, el cual funciona iterativamente aumentando el flujo a lo largo de caminos de la fuente al sumidero. También cubre cortes mínimos y su relación con el flujo máximo.

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA
UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA
DE LA FUERZA ARMADA NACIONAL
UNEFA
NUCLEO PORTUGUESA – EXTENSION TUREN
Redes de flujos
Bachilleres:
Christopher Sivira
Argenis Rodríguez
Leonardo Bravo
Carlos Barrientos
Ing. Sistema VII Semestre

2. Red de flujo
En teoría de grafos, una red de flujo es un grafo dirigido donde existen
dos vértices especiales, uno llamado fuente, al que se le asocia
un flujo positivo y otro llamado sumidero que tiene un flujo negativo y a cada
arista se le asocia cierta capacidad positiva.
En cada vértice diferente a los dos especiales se mantiene la ley de
corrientes de Kirchoff, en donde la suma de flujos entrantes a un vértice debe
ser igual a la suma de flujos que salen de él (propiedad de conservación del
flujo ).
Puede ser utilizada para modelar el tráfico en un sistema de
autopistas, fluidos viajando en tuberías, corrientes eléctricas en circuitos
eléctricos o sistemas similares por lo que viaje algo entre nodos. Uno de los
usos principales de los llamados algoritmos de flujo es encontrar el flujo
máximo de la fuente al sumidero, siempre cumpliendo unas determinadas
restricciones.
Fuente y Sumidero
Una Red de Transporte es una gráfica dirigida, simple, con pesos y
que debe cumplir las siguientes: Poseer una fuente o vértice fijo que no tiene
aristas de entrada; Poseer un sumidero o vértice fijo que no tiene arista de
salida, El peso Cij de la arista dirigida de i a j llamado capacidad de “ij” es un
número no negativo.

3. En otras palabras fuente es el punto de partida del recorrido, donde no
posee ninguna arista de salida, y el sumidero es el punto de llegada o punto
deseado el cual no posee ninguna arista de salida.
En esta imagen podemos observar que el vértice "19" es el punto de
partida o vértice fuente, el cual no posee ninguna arista de entrada,
recorriendo el camino más corto aplicando el teorema del costo mínimo (el
cual veremos más adelante), llegaremos al vértice "20" o vértice sumidero
Flujo Estable:
En este estado se presenta que la presión del yacimiento no varía con
el tiempo en un punto dado indicando que cada unidad de masa retirada
está siendo reemplaza por la misma cantidad que se adiciona al sistema.
Este tomar lugar en yacimientos con empuje de agua ocapadegas.

4. PROCESOS DEFLUJOESTABLE:
Es un proceso donde no se producen cambios con el tiempo en el
volumen de control estudiado. Las propiedades pueden cambiar de un punto
a otro, pero permanecen iguales en ese punto durante todo el proceso.
Flujo Neto:
Flujo neto de salida de un vértice x es:
∑ f(x,y) - ∑ f(x,y)
y∈N+(x) y∈N-(x)
Flujo neto de entrada de un vértice x es:
∑ f(y,x) - ∑ f(y,x)
y∈N-(x) y∈N+(x)
Flujo en un arco a = (x,y) es denotado por f (a) = f (x,y) y puede ser
interpretado como la cantidad de material (o personas, coches, etc...)

5. transportado a lo largo del arco (x,y) El principio de conservación establece
que si x s y x t entonces su flujo neto de entrada y su flujo neto de salida son
ambos igual a 0 7 El valor f (N) del flujo en la red N , es el flujo neto de salida
del vértice fuentes
F (N) = ∑ f (s,x) - ∑ f (x,s)
x∈N+(s) x∈N-(s)
Capacidad de Flujo(Fi j):
Es el máximo de unidades que se permite fluir por una rama (i, j). Por
ejemplo: el diámetro de la tubería para conducir fluidos ( líquido o gas), el
calibre del cable conductor eléctrico, la capacidad de carga de un camión
transportista, el número de lugares disponibles de un avión, son
especificaciones que limitan la capacidad para el flujo posible de servicios,
bienes o personas.
Capacidad residual: es la capacidad adicional de flujo que un arco
puede llevar:
 Dada una red de flujo máximo, plantee la red residual asociada.
 Encuentre la trayectoria de la fuente al destino con capacidad
de flujo estrictamente positivo (si no existe alguno, es por que se
ha encontrado el óptimo).

6.  Examine estas trayectorias para encontrar la rama o arco con la
menor capacidad de flujo restante e incremente en éste valor, la
capacidad del flujo en sentido contrario.
 Determine todas las trayectorias estrictamente positivas, hasta
que no se permita flujo del nodo a un nodo destino.
Podemos, mediante el Algoritmo de Ford-Fulkerson, encontrar el flujo
máximo de una red. Este algoritmo es un método iterativo, el cual, empieza
con un flujo nulo y en cada iteración se va obteniendo un valor del flujo que
va aumentando el camino, hasta que no se pueda aumentar más. Depende
de tres puntos vitales:
 Red residual: camino de la fuente al sumidero, donde cada una
de las aristas tiene un flujo residual mayor que cero. Siendo el
flujo residual, el flujo que se puede obtener en una arista una vez
que haya pasado un flujo por ella.
 Aumento de camino: se basa en ir aumentando el camino, hasta
alcanzar el máximo (capacidad residual, definido anteriormente).
 Corte en redes de flujo: consiste simplemente en realizar una
partición del conjunto de vértices en dos subconjuntos.
Árbol de expansión mínima
Un árbol de expansión es aquel árbol que enlaza todos los nodos de la
red, de igual manera no permite la existencia de ciclos.

7. El algoritmo del árbol de expansión mínima es un modelo de
optimización de redes que consiste en enlazar todos los nodos de la red de
forma directa y/o indirecta con el objetivo de que la longitud total de los arcos
o ramales sea mínima (entiéndase por longitud del arco una cantidad
variable según el contexto operacional de minimización, y que puede bien
representar una distancia o unidad de medida).
Algoritmo de flujo máximo
Tenemos el conocido problema de flujo máximo o maximal: ¿cuál es la
tasa mayor a la cual el material puede ser transportado de la fuente al
sumidero sin violar ninguna restricción de capacidad?.
En otras palabras, el problema consiste en determinar la máxima
capacidad de flujo que puede ingresar a través de la fuente y salir por el
nodo de destino. El procedimiento para obtener el flujo máximo de una red,
consiste en seleccionar repetidas veces cualquier trayectoria de la fuente al
destino y asignar el flujo máximo posible en esa trayectoria.
Definición de flujo máximo
Existe un flujo que viaja desde un único lugar de origen hacia un único
lugar de destino a través de arcos que conectan nodos intermediarios. Los
arcos tienen una capacidad máxima de flujo y se trata de enviar desde la
fuente al destina la mayor cantidad posible de flujo.
Hay problemas donde lo importante es la cantidad de flujo que pasa a
través de la red como por ejemplo: en las líneas de oleoductos, redes

8. eléctricas o de transmisión de datos. Por esta razón en dichos problemas se
determina el flujo máximo que pasa a través de una red.
Usos del algoritmo
El Algoritmo es un método para resolver un problema mediante una
serie de pasos. Los pasos necesarios para un algoritmo deben ser:
1.- Preciso: Cada uno de sus pasos debe indicar de manera precisa e
inequívoca que se debe hacer.
2.- Finito: El algoritmo debe tener un número limitado de pasos.
3. Definido: Debe producir los mismos resultados para las mismas
condiciones de entrada.
4. Puede tener cero o más elementos de entrada.
5. Debe producir un resultado. Los datos de salida serán los resultados de
efectuar las instrucciones.
Los algoritmos poseen gran importancia para la informática, robótica y
ciencias de la computación, ya que por medio de algoritmos se llega a un
orden de ideas y un proceso correcto en la elaboración de maquinarias y
robots lo que conlleva a un avance en la tecnología y un mayor progreso a
nivel mundial. Los algoritmos conllevan a llevar un proceso y un orden de
ideas en todos los aspectos, pues cada actividad por mínima que sea
requiere un orden que se da por medio de los grandes algoritmos que
creamos así sean mentales.

9. Algoritmo de Ford-Fulkerson
El algoritmo de Ford-Fulkerson propone buscar caminos en los que se
pueda aumentar el flujo, hasta que se alcance el flujo máximo. Es aplicable a
los Flujos maximales. La idea es encontrar una ruta de penetración con un
flujo positivo neto que una los nodos origen y destino. Su nombre viene dado
por sus creadores, L. R. Ford, Jr. y D. R. Fulkerson.
Corte mínimo
Es un corte cuyo porte es mínimo, es decir, el corte mínimo
en una red corresponde a la capacidad mínima sobre los demás cortes de
la red o si dicha capacidad del corte posee un valor menor, es importante
acotar que este corte nos muestra la mínima capacidad del corte efectuado
en un grafo. Los cortes mínimos serán aquellos cortes cuyo valor de
la capacidad coincida con el valor del flujo en este último paso. Este
teorema del corte mínimo se establece como sigue: Sea F un flujo en G y sea
(P, P) un corte en G si la igualdad se cumple entonces el flujo es
máxi mo y el corte es míni mo si y solo si se cumple lo
siguiente:
1) FI J = CI J para iЄP, J Є P
2) Fij =0 para iЄ P, J Є P
Una nota importante es que el valor del flujo maximal de una red
es iguala la capacidad del corte mínimo que se puede aplicar a la red.
Por consiguiente el corte mínimo se obtiene por medio del algoritmo anterior.
13) ejercicios propiedades y usos los 2 algoritmos
Ejemplo: Determinar el flujo máximo en la red siguiente:

10. Iteración 1:
Determinamos las residuales iniciales (cij,cji) iguales a las capacidades
iniciales (Cij,Cji).
Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-].
Tomamos i=1.
Paso 2: S1={2,3,4} (no vacío).

11. Paso 3: k=3 ya que c13=max{c12,c13,c14}={20,30,10}=30.
Hacemos a3=c13=30 y clasificamos el nodo 3 con [30,1]. Tomamos i=3 y
repetimos el paso 2.
Paso 2: S3={4,5}
Paso 3: k=5 y a5=c35=max{10,20}=20. Clasificamos el nodo 5
con [20,3]. Logramos la penetración, vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración se determina de las clasificaciones
empezando en el nodo 5 y terminando en el nodo 1, es
decir, 5→[20,3]→3→[30,1]→1.Entonces la ruta
es N1={1,3,5} y f1=min{a1,a3,a5}={∞,30,20}=20. Las capacidades residuales
a lo largo de esta ruta son:
(c13,c31)=(30-20, 0+20)=(10,20)
(c35,c53)=(20-20, 0+20)=(0,20)
Iteración 2:
Paso 1: Hacemos ai=∞, y clasificamos el nodo 1 con [a1,-].
Tomamos i=1.

12. Paso 2: S1={2,3,4}.
Paso 3: k=2 y a2=c12=max{20,10,10}=20. Clasificamos el nodo 2
con [20,1]. Tomamos i=2 y repetimos el paso 2.
Paso 2: S2={3,5}
Paso 3: k=3 y a3=c23=max{30,40}=40. Clasificamos el nodo 3
con [40,2]. Tomamos i=3 y repetimos el paso 2.
Paso 2: S3={4} (c35=0, el nodo 1 ya ha sido clasificado y el nodo 2
cumple ambas condiciones, por tanto los nodos 1, 2 y 5 no pueden ser
incluidos en S3).
Paso 3: k=4 y a4=c34=10. Clasificamos el nodo 4 con [10,3].
Tomamos i=4 y repetimos el paso 2.
Paso 2: S4={5}
Paso 3: k=5 y a5=c45=20. Clasificamos el nodo 5 con [20,4].
Logramos la penetración, vamos al paso 5.
Paso 5: La ruta de la penetración
es: 5→[20,4]→4→[10,3]→3→[40,2]→2→[20,1]→1.Entonces la ruta
es N2={1,2,3,4,5} y f2=min{∞,20,40,10,20}=10. Las capacidades residuales a
lo largo de esta ruta son:
(c12,c21)=(20-10, 0+10)=(10,10)
(c23,c32)=(40-10, 0+10)=(30,10)
(c34,c43)=(10-10, 5+10)=(0,15)
(c45,c54)=(20-10, 0+10)=(10,10)