Este documento presenta una serie de ejercicios de matemáticas para estudiantes de 4o de la ESO. Incluye problemas de álgebra, geometría, trigonometría y vectores. Algunos de los ejercicios propuestos son calcular valores numéricos, determinar coordenadas de puntos, hallar ecuaciones de rectas, resolver ecuaciones y sistemas de ecuaciones, y factorizar polinomios.

1. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
1. Calcula:
a.  34300832279
b. 
6 26 3
63 ba:ba
c. 


6 2
3 24 3
yx
yxyx
d. 


32
32
e. 
 23
1
f. 
3 2
1
x
2. Calcula el valor de x aplicando la definición de logaritmo y/o sus propiedades:
a) 2log7 x b) x3
5
625
1
log c)
3. Desarrolla, utilizando las propiedades de los logaritmos, la siguiente explresión:
x
ca
2
5
log
42
4. Calcula
a) b)
1. Determina las coordenadas del punto medio del segmento AB, si A es el punto (-6,3)
y B el (2,-1)
2. Calcula el valor de m para que estos puntos estén alineados: P(2m,3), Q(-1,0) y R(2,-
2)
3. Dados los puntos A (0, -2), B(-2,1) y C(-1,0), calcula gráfica y analíticamente:
a) 2· -
B) 3 + 2
C) ·
4. Dados los vectores = (-2, 0) y , calcula: a) 2 + 3 b) - + 2
c)

2. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
1. ¿Cuáles son las coordenadas y el módulo de los siguientes vectores? (1
pto)
2. Las coordenadas de los puntos A, B, C son:
A(8,-3) B(5,-1) C(4,3)
Calcula el resultado de estas operaciones gráfica y analíticamente:
a) CAAB 
b) BCCA 
c) BC5
(2 puntos)

3. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
3. (2 puntos)
coordenadas de:
4. (2 puntos)
a) Determinar, analíticamente, si los puntos A(3,1), B(5,2) y C(1,0) están alineados.
b) Hallar k para que los puntos A(1,7), B(-3,4) y C(k,5) estén alineados.
5. Considerar el segmento de extremos A(-2,1) y B(5,4). Halla el punto medio M (1
punto)
6. Dadas las siguientes figuras, halla su perímetro (2 puntos)
1. Comprueba si el punto A(0,-1) pertenecen a las siguientes rectas:
a. 2x - 3y -1 = 0
b. y = -2x -1

4. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
c. y-2= -2·(x+2)
d.
2. Indica un punto y un vector director de las siguientes rectas:
a. -x + 3y +1 = 0
b. y = 3x +3
c. y-1= -2·(x-5)
d.
e.
3. Halla el valor de k para que las rectas 2x 3y + 4 = 0 ; 3x + ky 1 = 0 sean
perpendiculares.
4. Halla la todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (2,-1) y tiene por
vector director (-2,-3).
5. Escribe la ecuación de la recta que es paralela a 5x-2y+3=0 y pasa por el origen
de coordenadas.
6. Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular a y+6=2(x-2) y pasa por (1,-
1).
7. Determinar la posición relativa de estas rectas y, en caso de que se corten,
calcula el punto de intersección:
A. 3x+2y-2=0
B. y-1=3(x-2)
8. Determina el perímetro del triángulo de vértices A (2,-1), B (0,-2) y C(-1,2).
9. Indica un punto, un vector director y la pendiente de cada una de las siguientes
rectas:
a.
b.
c.
d.
(1.5p)

5. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
10. Escribe la ecuación explícita y las ecuaciones paramétricas de la recta que pasa
por los puntos A(2,-3) y B(0,4).
(1.5p)
11. Obtener la ecuación de la recta perpendicular a 6x+2y-3=0 que pasa por el
origen de coordenadas.
(1.5p)
12. Obtener la ecuación de una recta paralela a r: y-3=2(x+1) que pase por el
punto M(-1,-3).
(1.5p)
13. Determinar la posición relativa de los siguientes pares de rectas. En el caso de
que se corten, calcula el punto de intersección.
a. r: y=-2x+5 y s:
b. r: 5x-3y-2=0 y s:
c. r: y s:
(2p)
14. Una altura de un triángulo es el segmento que tiene por extremo uno de los
vértices y es perpendicular al lado opuesto. El ortocentro de un triángulo es el
punto donde se cortan sus alturas.
Dado el triángulo de vértices A (3,1), B(2,-2) y C(-2,2), se pide:
a. Halla las ecuaciones de dos de las tres alturas del triángulo.
b. Calcula las coordenadas de H, ortocentro del triángulo.
c. Comprueba que H pertenece a las alturas calculadas. (2p)
1. Desarrolla la siguiente potencia utilizando el binomio de Newton: (1 punto)
(2x2
-1)5

6. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
3. Factoriza el siguiente polinomio:
P(x) = –2x4
- 4x3
+ 2x2
+ 4x
(2 puntos)
4. Dado P(x)=2x2
– x – 3 , comprobar si es divisible por x +1 o por x–2 .¿Qué
teorema has aplicado?¿Cuál es el otro factor por el que es divisible? (2 puntos)
5. Halla el valor de k para que el polinomio P(x) =kx3
+2kx2
−3x+1 sea divisible entre
x−1. (2 puntos)
6. Efectúa las siguientes sumas y restas reduciendo previamente a común
denominador y dando el resultado simplificado: (3p)
7. Efectúa los siguientes productos y cocientes, dando el resultado simplificado:
(3p)
8. Efectúa las siguientes operaciones combinadas y simplifica: (4p)

7. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
Opera y simplifica al máximo las siguientes expresiones:
a)
1)-(x1)-x(
1-4x-x3-x2
2
23
=
b) =
1-x
x
+
1-x
2
-
1+x
3
2
c) 











x
y
-
y
x
.
y+x
y-x
-
y-x
y+x
=
d) =
3x
1+2x-x
-
2x
1+3x
+
1-x
3-2x+x
22
e) =
1-x
1
+
1-x
x
1+x
1-x-
1-x
1+2x-x
2
22
f) =
xx
xx
x
x
x
x
xxx
xx
42
26
·
3
2
5
4
·
842
103
2
2
2
23
2








1. Resuelve las siguientes ecuaciones:
a.
b.
c.

8. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
d.
e.
RESOLVER:
1.
6
2
5xx
2
125x
x
2
2





2.
x4
– 25x2
= -144
3.
1693 2
x
x
x
x
x




4.
x3
-
2
1
x2
– 4x +2 = 0
5. 33  xx
6. 2x
+ 2x+1
+ 2x-1
- 22x-3
= 10 - 2x
7. 5 log x + 0,5 log x = 1 – log x
8. -6x· (x-5)·(2x+1)· (7-x)· (x- ) = 0

9. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
1. Escribir la ecuación general de la recta que pasa por (2,-3) y cuyo vector
director es v=(-1,2). ¿Pertenece el punto (-1,1) a la recta?
(1 punto)
2. Calcular las coordenadas de A, sabiendo que B es el punto (1,-3), y que el punto
medio del segmento AB es M(2,4).
(1 punto)
3. Halla el valor de k para que la división    3:32 3
 xkxx sea exacta.
(1 punto)
4. Resuelve las siguientes ecuaciones: (3 puntos)
a.
b. 42  xx
c. 1
4
74
3
7
3
4






 x
x
xx
5. Halla las soluciones del siguiente sistema lineal: (1 punto)





0825
1233
yx
yx
6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones no lineal. (1 punto)





024
1
yxy
yx
RECTAS
15. Comprueba si el punto A(1,2) pertenecen a las siguientes rectas:

10. TRABAJO DE VERANO MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
a. y-2= -2·(x+2)
b.
16. Indica un punto y un vector director de las siguientes rectas:
a. -2x +5y +1 = 0
b. y = 4x -2
c. y-1= -2·(x-5)
d.
17.

11. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
18. Halla el valor de k para que las rectas x 3y + 2 = 0 ; 3x + ky = 0 sean perpendiculares.
19. Halla la todas las ecuaciones de la recta que pasa por el punto (-2,-1) y tiene por vector director
(1,-3).
20. Escribe la ecuación de la recta que es paralela a -5x+y+2=0 y pasa por el punto (-1,2).
21. Escribe la ecuación de la recta que es perpendicular a y-2=-5(x-1) y pasa por el origen de coordenadas.
22. Determinar la posición relativa de estas rectas y, en caso de que se corten, calcula el punto de
intersección:
C. 4x-y-2=0
D. y-1=-2(x-2)
23. Determina la medida del segmento AB si A es el punto (-1,5) y B (0,-3)
POLINOMIOS:
1.
Dados los polinomios p(x), q(x) y r(x) escritos más abajo, calcula:
a) p(x) + q(x);
b) p(x) - q(x);
c) p(x) + q(x) - r(x);
d) p(x) ·2q(x)
.1x2xr(x);35xq(x);89x4xp(x) 2333

2. Efectúa las siguientes divisiones usando la Regla de Ruffini. ¿Cuál es exacta?
           .2x:7xxc);13x:18251x18xxb);1x:1xxxx2xa) 25232345

3. Realiza las siguientes divisiones:
a)
   12x:1x5xx 23

b)
   1x:3xx 226


12. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
4. Factoriza los siguientes polinomios e indica sus raíces:
a) 4x3xx 234

b) 13x4x4x3xx 2345

c)
412x17x18x14x6xx 23456

5. Usando el teorema del Resto ¿Cuál es exacta?
           .1x:1xc);5x:10591x19x7xb);3x:75xxa) 82323

1. Halla m para que el resto de la división - 4x3
+ 3x2
- mx + 1 :(x+3) sea 1. (1 punto)
2. Desarrolla la siguiente potencia utilizando el binomio de Newton: (1 punto)
(2x2
– 3)4
3. Resuelve las siguientes ecuaciones: (4 puntos)
a. .
Halla las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones lineales. Recuerda que no puedes repetir
método. (1 punto)
a. b.

13. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
1. Resuelve las siguientes inecuaciones: (1 punto cada apartado)
7. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones gráficamente:
(2 puntos cada apartado)
2
y 4x x
y x 1
  

  
1. Completa la siguiente tabla:

14. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
2. Halla el valor del lado x en los siguientes triángulos:
3. De un ángulo agudo se sabe que su seno es 0, 347. Mediante identidades trigonométricas, hallar sus
restantes razones.
4.
5. Un carpintero quiere construir una escalera de tijera cuyos brazos,
una vez abiertos, formen un ángulo de 60º. Si la altura de la escalera,
estando abierta, es de 2 metros, ¿qué longitud deberá tener cada
brazo?
6. Un niño está haciendo volar su cometa. Ha soltado ya la totalidad
del hilo, 47 m, y observa que el ángulo que forma la cuerda con el
suelo es aproximadamente 45º. ¿A qué altura se encuentra la cometa?
7. Sobre un acantilado de 32 m de altura un observador divisa dos embarcaciones, bajo ángulos de 30º y
60º respecto a la vertical. Hallar la distancia que hay entre los dos barcos.

15. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
1. Completa la tabla, indicando las operaciones que has realizado para ello: (1p)
Grados 30º 150º
Radianes
2. De un ángulo α se sabe que tg α=2 y que sen α < 0. (2p)
a. Indica razonadamente a qué cuadrante pertenece el ángulo.
b. Calcula el valor de senα y cosα.
3. Dos amigos han creído ver un ovni desde dos puntos situados a 800 m, con ángulos de elevación de
30º y 75º respectivamente. Sabiendo que el ovni se encuentra entre ellos, calcula a qué altura está
situado. (2.5p)
7. Resuelve las siguientes inecuaciones:
a. 3
)1(2
2
3
52
4
)2(3 xxx 




b.   6531  xxxx
8. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones:
a.







xx
x
5)1(3
41
2
b. (Gráficamente)





010-5y3x
6y-2x

16. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
9. Pablo y Diego están en la playa, justo al borde del agua y separados una distancia de 30m. Ambos
divisan un barco en el mar y desean saber a qué distancia de la orilla se encuentra. Pablo lo ve bajo
un ángulo de 65º mientras que Diego lo ve bajo un ángulo de 30º. Calcula a qué distancia de la orilla
está el barco y a qué distancia del barco se encuentran Pablo y Diego.
10. Del ángulo α se sabe que 180º< α< 270º y que senα = -0.35. Calcula el valor de cosα y tanα, sin hallar
el valor del ángulo α.
11. Calcula la derivada de las funciones siguientes:
a)
b)   834
 xxxg
c) h(x) = sen (3x2
+ 5x - 7)
d) i(x)= x3
·ln x
1. Opera y simplifica (1 punto)
a.
2. Sabiendo que log x = 0,8 y log y = 0,6 y utilizando las propiedades de los logaritmos, calcula los
siguientes logaritmos: (1 punto)
3. Halla las ecuaciones de la recta que pasa por el punto A(2,7) y que tiene por vector director v = (-3,5) (1
punto)

17. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
4. Factoriza el siguiente polinomio: 2x4
+ x3
− 8x2
− x + 6 (1 punto)
5. Calcula la anchura del río. (1 punto)
6. Resuelve las siguientes ecuaciones: (1,5 puntos)
a.
b.

18. TRABAJO DE VERANO – MATEMÁTICAS ACADÉMICAS 4º ESO
7. Halla las soluciones de los siguientes sistemas de ecuaciones (1,5 puntos)
a.
8. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas de inecuaciones. (1 punto)
b)
9. Halla las siguientes derivadas (1 punto)