Un carretón con masa 2m se mueve sobre una recta horizontal unido por muelles a puntos fijos. Sobre el carretón se apoya un triángulo equilátero de masa m y lado R. Se buscan las ecuaciones del movimiento y las frecuencias propias para pequeñas oscilaciones alrededor de la posición estable. Las ecuaciones son de Lagrange y linealizadas, dando lugar a una ecuación matricial. Para R=1 y k=mg/R se obtienen dos frecuencias propias y los

1. Escuela T´ecnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos (Madrid)
Mec´anica
4.o EXAMEN PARCIAL (13 de junio de 2000)
Apellidos Nombre N.o Grupo
Ejercicio 2.o (puntuaci´on: 10) Tiempo: 60 min.
Un carret´on de masa 2m se desplaza sobre una rec-
ta horizontal lisa, estando unido por dos muelles de
constante k a sendos puntos fijos. El carret´on tiene
un alojamiento semicircular de radio R sobre el que
se apoya con ligadura bilateral lisa, una placa trian-
gular equil´atera de lado R y masa m. Suponiendo que
en todo momento un lado del tri´angulo se apoya en
el alojamiento del carret´on, se pide:
1. Ecuaciones diferenciales del movimiento.
2. Linealizaci´on de dichas ecuaciones para pe-
que˜nas oscilaciones alrededor de la posici´on de
equilibrio estable.
3. Particularizando para R = 1 y k = mg/R, ob-
tener las frecuencias propias y los modos de os-
cilaci´on.
R
k k
m, R
2m
1.— Tomaremos las coordenadas generalizadas (x, θ), siendo x el desplazamiento del ca-
rret´on, positivo hacia la derecha, y θ el ´angulo absoluto girado por el tri´angulo, positivo
en sentido antihorario. Ambas coordenadas se miden a partir de la posici´on de equilibrio
estable.
El movimiento del tri´angulo respecto del carret´on es una rotaci´on alrededor del centro del
semic´ırculo con velocidad ˙θ. Para calcular la energ´ıa cin´etica debemos obtener en primer lugar
el momento de inercia del tri´angulo respecto de su centro de masa, que vale 1
12
mR2
. Por otra
parte, la velocidad relativa del centro de masas del tri´angulo es (R/
√
3) ˙θ. La Lagrangiana
vale
L =
1
2
2m ˙x2
+
1
2
m ˙x2
+
R2
3
˙θ2
+ 2
R
√
3
˙θ ˙x cos θ +
1
2
1
12
mR2 ˙θ2
− 2
1
2
kx2
+ mg
R
√
3
cos θ. (1)
Derivando se obtienen las ecuaciones de la din´amica de Lagrange:
3m¨x + m
R
√
3
cos θ ¨θ − m
R
√
3
sen θ ˙θ2
+ 2kx = 0; (2)
m
R
√
3
cos θ ¨x +
5
12
mR2 ¨θ + mg
R
√
3
sen θ = 0. (3)
112exam.tex

2. 2.— Las ecuaciones anteriores se linealizan considerando peque˜nos valores de (x, θ, ˙x, ˙θ) y
despreciando infinit´esimos de segundo orden:
3m¨x + m
R
√
3
¨θ + 2kx = 0; (4)
m
R
√
3
¨x +
5
12
mR2 ¨θ + mg
R
√
3
θ = 0. (5)
Se pueden resumir mediante la expresi´on matricial
[M]{¨q} + [K]{q} = {0}, (6)
siendo
[M] =



3m m
R
√
3
m
R
√
3
5
12
mR2


 ; [K] =


2k 0
0 mg
R
√
3

 . (7)
3.— Las frecuencias propias se calculan mediante la ecuaci´on caracter´ıstica del problema
de autovalores; sustituyendo los valores num´ericos del enunciado resulta
| − ω2
[M] + [K]| =
11
12
m2
ω4
− m2
g
5
6
+
√
3 ω2
+
2
√
3
m2
g2
= 0, (8)
cuyas ra´ıces positivas son
ω1 =
g
11
5 + 6
√
3 − 133 − 28
√
3 = 0,7507
√
g; (9)
ω2 =
g
11
5 + 6
√
3 + 133 − 28
√
3 = 1,4950
√
g. (10)
Los modos normales correspondientes a cada una de estas frecuencias se obtienen en cada
caso mediante la ecuaci´on homog´enea
(−ω2
k[M] + [K]){ak} = {0}. (11)
Del c´alculo resulta:
a1 = −5
4
+ 3
2
√
3 + 1
4
133 − 28
√
3, 1 = 3,6462, 1 ; (12)
a2 = −5
4
+ 3
2
√
3 − 1
4
133 − 28
√
3, 1 = − 0,9501, 1 . (13)
2