Se proporciona un ejemplo de armadura hiperestática de grado 2, una vez comprendido el ejercicio se puede aplicar para cualquier armadura de cualquier grado de indeterminación estática. Se presenta el Método de Superposición, Energía de Deformación y de Maxwell-Mohr. Todo esto con la finalidad de obtener reacciones internas y sitva posteriormente para dimensionamiento y cálculo de esfuerzos.

1. Cálculo de reacciones internas de una
armadura plana estáticamente
indeterminada por el Método de
Flexibilidades
José Luis Morales Ayala
jlm_udal@hotmail.com
INGENIERÍA CIVIL, UDAL
Abril 2017

2. I. Introducción
Una armadura plana se idealiza como un sistema de miembros en un plano e
interconectados en juntas articuladas. Las cargas pueden consistir de fuerzas concentradas
en los nudos que dará como resultado fuerzas axiales de tensión y compresión en los
elementos.
La indeterminación estática se refiere a un exceso de apoyos o miembros en la armadura
que producen un exceso de reacciones desconocidas y que las ecuaciones de la estática
disponibles no son suficientes para su cálculo. La Indeterminación Interna se obtiene
contando el número de elementos más 3 (ecuaciones de la estática) menos dos veces el
número de nodos. La Indeterminación Externa se obtiene contando el número de
reacciones y restándole 3 (ecuaciones de la estática). Un valor mayor que cero implica que
se deben eliminar ese número en exceso de elementos y/o reacciones para que se pueda
resolver por estática. A estas cantidades excedentes les llamaremos redundantes, Q
El método de la flexibilidad es uno de los métodos fundamentales para el analista
estructural y se basa en el concepto de Desplazamientos que incluye conceptos de Energía
de Deformación, Carga virtual de Maxwell-Mohr y el Método de Superposición.

3. Ejercicio 1. Armadura hiperestática de grado 2
Hallar las reacciones internas de la armadura hiperestática sujeta a cargas
verticales, como se muestra en la figura :
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5 6
Las longitudes de los elementos
son:
L1=2.0 m L4=2.5 m
L2=3.5 m L5=3.202 m
L3=2.236 m L6=4.031 m
Los ángulos son:
∠ABC=60.3° ∠BDA=38.7°
∠ADC=77.9° ∠ACD=63.4°
∠BAD=51.3° ∠CAD=38.7°
∠ACB=29.7°
PASO 1. Identificar grado de indeterminación estática y redundantes:
Indeterminación interna=6 elementos+3-2*4 (nodos A,B,C y D)=6+3-8=1.
Significa que tiene un elemento en exceso que hay que llamar redundante.
Indeterminación externa: El apoyo articulado tiene 2 reacciones, y el apoyo de
rodillo uno, se tiene entonces: 4 (reacciones en total)-3=1. Significa que hay
una reacción en exceso que hay que llamar redundante.
Al haber dos redundantes se dice que la indeterminación es de grado 2.
la primera redundante será “eliminando” el apoyo de rodillo en el nodo D y le
llamaremos Q1
. La segunda redundante será el elemento 6 y la llamaremos
Q2
.
Observación: pudo haberse
eliminado el rodillo del apoyo B y el
elemento 5. La selección es
opcional.

4. PASO 2. Método de Superposición:
Construir sistemas estáticamente
determinados a modo que el
resultado de la suma de las partes
sea igual al sistema hiperestático
original
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5 6
Sistema Hiperestático
Q1
Q2
+ +
Sistemas estáticamente determinados
OBSERVACIONES:
El sistema 1 tiene todas las cargas externas originales. Cada redundante Q se formará con su propia estructura libre pero sin
cargas externas originales como se muestra en sistema 2 y sistema 3. Debe interpretarse que Q1
y Q2
son ahora cargas
externas. Observe que la suma de los tres sistemas es equivalente a la estructura hiperestática original.
Sistema 1 Sistema 2
Sistema 3
Recordar que vamos a quitar
el apoyo de rodillo en D y el
elemento 6 para que se
pueda resolver por estática,
para obtener el sistema 1.

5. PASO 3. Método de la Flexibilidad. (a) Hallar los desplazamientos que ocurren SÓLO EN LAS
REDUNDANTES para el sistema 1:
Sistema 1. El Método energético y de Maxwell-Mohr dicen que se debe trabajar con reacciones
internas de un sistema original y de otros que implican cargas virtuales unitarias en dirección del
desplazamiento deseado de acuerdo a la ecuación matricial : DQL
=A’MQ
FM
AML
.
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5
Sistema 1
DESPLAZAMIENTOS
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
1
1
Donde: D=Desplazamiento en las redundantes Q del sistema Libre 1; .A’MQ
=Reacciones internas de
los Miembros por carga unitaria en dirección del desplazamiento en las redundantes Q transpuesta;
FM
=Matriz diagonal de valores de los Miembros, Li
/Ai
Ei
. AML
=Reacciones internas de los Miembros
de un sistema Libre original en este caso el sistema 1.
Sistema 1_AML
. Sistema 1_AMQ1
Sistema 1_AMQ2
OBSERVACIONES: Lo que se busca es saber el desplazamiento que se presenta al haber “eliminado” las
redundantes, en el rodillo en D y el elemento 6. Las direcciones unitarias se tomaron arbitrariamente. Estos sistemas
son independientes del método de superposición. Estos sistemas son para hallar los desplazamientos. La coincidencia
va a servir para usar estos resultados en los siguientes sistemas.

6. 3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5
3.1. Cálculo de reacciones internas para el Sistema 1_AML
.
(a) Primero hallaremos las reacciones en los apoyos:
ΣMA
=0; Todas las cargas y reacciones en el nodo A no generan momento;
-3000kg(3.5m)+R3
(2.0m)=0; R3
=5250 kg.
ΣFx
=0; R3
-R2
=0; R2
=5250 kg
ΣFy
=0; R1
-3000kg-3000kg=0; R1
=6000 kg
R1
R2
R3 ARL
=
6000
-5250 kg
5250
Los signos se tomaron positivos
hacia arriba y hacia la derecha.
Esta matriz no participa en los
desplazamientos pero la
utilizaremos después en el método
de superposición.
La matriz de reacciones
de los apoyos de la
estructura libre,ARL
, es:
(b) Cálculo de reacciones internas en los elementos: Debemos comenzar con apoyos y/o menor
cantidad de elementos
NODO B (tiene 2 elementos)
R3
=5250kg
AB
BD
Puede verse que AB=0;
ΣFx
=0;
R3
-BD=0;
BD=5250 kg (C)
Descomponer CD, porque está inclinado;
ΣFy
=0;
-3000kg+CDy
=0;
-3000kg+CDsen63.4°=0
CD=3355 kg (C)
NODO C (tiene 2 elementos)
CDy
AC
3000 kg
CDx
ΣFx
=0;
-AC+CDx
=0;
-AC+CDcos63.4°=0
AC=1502 kg (T)

7. Recordar que AB=0;
Descomponer AD, porque está inclinado;
Con una condición de equilibrio es suficiente para encontrar AD:
ΣFy
=0;
-3000kg+6000-ADy
=0;
-3000kg+6000kg-ADsen38.7°=0
AD=4798 kg (T)
NODO A (tiene 3 elementos)
ADy
AC=1502kg
3000 kg
ADx
R1
=6000kg
R2
=5250kg
AML
=
0
1502 kg
-3355
-5250
4798
0
Los signos se tomaron positivos para tensión. Se ordenaron en
la matriz de acuerdo a su numeración.
Observe que se colocó una sexta reacción interna
correspondiente al elemento eliminado 6, que tiene que ser cero
porque “no está en la estructura libre” pero sí en la estructura
hiperestática
La matriz de reacciones
internas de los miembros de
la estructura libre,AML
, es:
3.2.Cálculo de reacciones internas para el Sistema 1_AMQ1
.para carga
virtual en el nodo D del rodillo
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
(a) Primero hallaremos las reacciones en los apoyos:
ΣMA
=0; Todas las cargas y reacciones en el nodo A no
generan momento;
-1(2.5m)+R3
(2.0m)=0; R3
=1.25
ΣFx
=0; R3
-R2
=0; R2
=1.25
ΣFy
=0; R1
-1=0; R1
=1
R1
R2
R3
ARQ1
=
1
-1.25
1.25Se tiene:
ABC=0

8. (b) Cálculo de reacciones internas en los elementos: Debemos comenzar con apoyos y/o menor
cantidad de elementos
NODO B (tiene 2 elementos)
R3
=1.25
AB
BD
Puede verse que AB=0;
ΣFx
=0;
R3
-BD=0;
BD=1.25 (C)
Descomponer CD, porque está inclinado;
Al no existir ninguna fuerza externa, se
deduce que:
CD= 0
AC=0
NODO C (tiene 2 elementos)
CDy
AC
CDx
Recordar que AB=0 y AC=0 ;
Descomponer AD, porque está inclinado;
Con una condición de equilibrio es suficiente para encontrar AD:
ΣFy
=0;
1-ADy
=0;
1-ADsen38.7°=0
AD=1.6 (T)
NODO A (tiene 3 elementos)
ADy
AC=0
ADx
R1
=1
R2
=1.25
AB=0
La matriz de reacciones
internas de los miembros de
la estructura con carga virtual
en redundante Q1
,AMQ1
, es:
AMQ1
=
0
0
0
-1.25
1.6
0
Los signos se tomaron positivos para tensión. Se ordenaron en
la matriz de acuerdo a su numeración.
Observe que se colocó una sexta reacción interna
correspondiente al elemento eliminado 6, que tiene que ser cero
porque “no está en la estructura con carga unitaria en
redundante” pero sí en la estructura hiperestática

9. 3.3.Cálculo de reacciones internas para el Sistema 1_AMQ2
.para carga
virtual en el elemento 6
A
B
C
D
1
2
3
4
5
(a) Primero hallaremos las reacciones en los apoyos:
ΣMA
=0;
Las cargas unitarias internas están en la misma línea de
acción anulando todo momento externo
R1
=R2
=R3
=0
R1
R2
R3
ARQ2
=
0
0
0Se tiene:1
1
(b) Cálculo de reacciones internas en los elementos:
Debemos comenzar con apoyos y/o menor cantidad de
elementos
NODO B (tiene 2 elementos)
R3
=0
AB
BD
ΣFx
=0;
-AB+1cos60.3°=0;
AB=0.5 (C)
Descomponer CD, porque está inclinado;
ΣFy
=0;
CDy
-1sen29.7°=0; CDsen63.4°
-1sen29.7°=0
CD=0.55 (C)
ΣFx
=0;
AC+CDx
-1cos29.7°=0;
AC+CDcos63.4°-1cos29.7°=0
AC=0.62 (C)
NODO C
CDy
AC
CDx
1
ΣFy
=0;
-BD+1sen60.3°=0;
BD=0.87 (C)
1
Recordar que AB=0 y AC=0 ;
Descomponer AD, porque está inclinado;
ΣFy
=0;
0.5-ADy
=0;
0.5-ADsen38.7°=0
AD=0.79 (T)
NODO A
ADy
AC=0.62
ADx
R1
=0
R2
=0
AB=0.5
La matriz de reacciones
internas de los miembros de
la estructura con carga virtual
en redundante Q2
,AMQ2
, es:
AMQ2
=
-0.5
-0.62
-0.55
-0.87
0.79
1
Observe que se
colocó una sexta
reacción interna
correspondiente al
elemento eliminado 6
que equivale a 1

10. 3.4.Cálculo de los desplazamientos del sistema 1 de la ecuación
DQL
=A’MQ
FM
AML
:
DQL1
=
DQL2
0 0 0 -1.25 1.6 0
-0.5 -0.62 -0.55 -0.87 0.79 1
2.0 0 0 0 0 0
0 3.5 0 0 0 0
0 0 2.24 0 0 0
0 0 0 2.5 0 0
0 0 0 0 3.2 0
0 0 0 0 0 4.03
1 m kg
AE
0
1502
-3355
-5250
4798
0
Realizando las multiplicaciones siguiendo las reglas matriciales, se tiene que:
DQL1
=
DQL2
1 m kg
AE
40972
24422.1
Desplazamientos del
sistema 1

11. PASO 4. Método de la Flexibilidad. (b) Hallar los desplazamientos que ocurren SÓLO EN LAS
REDUNDANTES para el sistema 2:
Sistema 2. El Método energético y de Maxwell-Mohr dicen que se debe trabajar con reacciones
internas de un sistema original, dada Q1
y de otros que implican cargas virtuales unitarias en dirección
del desplazamiento deseado de acuerdo a la ecuación matricial : DQF1
=FQ1
.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
Sistema 2
DESPLAZAMIENTOS
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
1
1
Sistema
2_AMQ1
Q1
Sistema 2_AMQ1
Sistema 2_AMQ2
OBSERVACIONES: Debido a que se desconoce el valor de Q1
existe una equivalencia en la que se puede
obtener las reacciones internas con una carga unitaria y multiplicar todos estos valores al final por la
carga Q1
como se muestra en el Sistema 2_AMQ1
Q1
. El Sistema 2_AMQ1
y Sistema 2_AMQ2
se tomarán
igual que los obtenidos en el sistema 1 ya que simplifican el uso de realizar cambios de signos. Estas
matrices, entonces se tomarán del sistema 1 (paso 3)
Q1 1 Q1
Donde: D=Desplazamiento en las redundantes Q del sistema 2 usando una matriz de flexibilidades,
F, con cargas virtuales; F=matriz de reacciones internas debido únicamente a cargas virtuales
unitarias, es decir, F=A’MQ
FM
AMQ
; Q1
=Valor de la Redundante de la reacción del rodillo en nodo D.

12. PASO 5. Método de la Flexibilidad. (c) Hallar los desplazamientos que ocurren SÓLO EN LAS
REDUNDANTES para el sistema 3:
Sistema 3. El Método energético y de Maxwell-Mohr dicen que se debe trabajar con reacciones
internas de un sistema original, dada Q2
y de otros que implican cargas virtuales unitarias en dirección
del desplazamiento deseado de acuerdo a la ecuación matricial : DQF2
=FQ2
.
C
Sistema 3
DESPLAZAMIENTOS
A
B
C
D
1
2
3
4
5
A
B
C
D
1
2
3
4
5
1
1
1
Sistema
3_AMQ2
Q2
Sistema 3_AMQ1
Sistema 3_AMQ2
OBSERVACIONES: Debido a que se desconoce el valor de Q2
existe una equivalencia en la que se puede
obtener las reacciones internas con una carga unitaria y multiplicar todos estos valores al final por la
carga Q2
como se muestra en el Sistema 3_AMQ2
Q2
. El Sistema 3_AMQ1
y Sistema 3_AMQ2
se tomarán
igual que los obtenidos en el sistema 1 ya que simplifican el uso de realizar cambios de signos. Estas
matrices, entonces se tomarán del sistema 1 (paso 3)
Q2
Donde: D=Desplazamiento en las redundantes Q del sistema 3 usando una matriz de flexibilidades,
F, con cargas virtuales; F=matriz de reacciones internas debido únicamente a cargas virtuales
unitarias, es decir, F=A’MQ
FM
AMQ
; Q2
=Valor de la Redundante de la reacción interna del elemento 6.
A
B
C
D
1
2
3
4
5
Q2
A
B
D
1
2
3
5
1
1

13. Paso 4 y 5. Cálculo de los desplazamientos del sistema 2 y 3 de la ecuación
DQL
= FQ =(A’MQ
FM
AMQ
)Q:
DQF1
=
DQF2
0 0 0 -1.25 1.6 0
-0.5 -0.62 -0.55 -0.87 0.79 1
2.0 0 0 0 0 0
0 3.5 0 0 0 0
0 0 2.24 0 0 0
0 0 0 2.5 0 0
0 0 0 0 3.2 0
0 0 0 0 0 4.03
m
AE
0 -0.5
0 -0.62
0 -0.55
-1.25 -0.87
1.6 0.79
0 1
Q1
Q2
Realizando las multiplicaciones siguiendo las reglas matriciales, se tiene que:
DQF1
=
DQF2
1 m
AE
12.1 6.76
6.76 10.44
Desplazamientos de los
sistemas 2 y 3
Q1
Q2

14. Paso 6. Cálculo de las Redundantes Q:
Ahora deben restarse los deszplazamientos de las redundantes al haberse “eliminado” del sistema
1 y con los sistemas 2 y 3 que se desplazarán en sentido contrario para evitar cualquier
desplazamiento total. Esto es: DQL
+DQF
=0; o lo que es lo mismo: DQL
+FQ=0
Despejando Q de la segunda ecuación: Q=F-1
(-DQL
)
Q1
Q2
=
12.1 6.76
6.76 10.44
-1
-40972
-24422.1
kg
Q1
Q2
=
-3257.67
-229.91
kg
Como seguimos con el ejercicio se recomienda
terminarlo antes de corregir ni interpretar ningún
signo.
Observe que se anularon
los términos m y AE.
Y se realizó la operación
de matriz inversa

15. Paso 7. Cálculo de las Reacciones internas y de apoyos del sistema indeterminado:
Para este caso vamos a regresar al paso 1 donde obtuvimos los 3 sistemas para el método de
superposición:
AMH
= AML
+AQL
Q
REACCIONES INTERNAS DE LOS MIEMBROS
DEL SISTEMA HIPERESTÁTICO, AMH
0
1502 kg
-3355
-5250
4798
0
=
+
0 -0.5
0 -0.62
0 -0.55
-1.25 -0.87
1.6 0.79
0 1
-3257.67
-229.91
kg =
114.96
1644.54
-3228.55
-977.89
-595.9
-229.91
kg
Los signos positivos deben
considerarse a tensión y los
negativos a compresión
REACCIONES EN APOYOS DEL SISTEMA
HIPERESTÁTICO, ARH
ARH
= ARL
+ARQ
Q =
6000
-5250 kg
5250
+
1 0
-1.25 0
1.25 0
-3257.67
-229.91
kg =
2742.3
-1177.9
1177.9
kg

16. REACCIONES INTERNAS EN MIEMBROS Y APOYOS DE
ARMADURA HIPERESTÁTICA
3000 kg 3000 kg
A
B
C
D
1
2
3
4
5 6
R1
= 2742.3 kg
R2
= 1177.9 kg
R3
= 1177.9 kg 114.96kg(T)
1644.54kg (T)
3228.55kg(C)
977.89 kg (C)
595.9
kg
(C) Q 2
=229.9 kg (C)
Q1
= 3257.7 kg

17. Referencias
Gere, J. & Weaver, W. (1980).Análisis de Estructuras
Reticulares.México:Compañía Editorial Continental, S.A.