teoria

1. Diagramas de árbol

2. Un periódico ha encuestado a 800 personas
sobre si leen un periódico en la versión en papel
(P), en la versión en línea (E), ambas o ninguna.
Los resultados son los siguientes:
350 personas decían que leían el periódico online
125 personas decían que leían la versión en
papel
380 personas decían que no leían ninguna de las
dos versiones.
a) Encuentre cuántas personas respondieron
diciendo que leyeron ambas versiones.
b) Encuentra la unión y usa la fórmula de la
unión para encontrar la intersección.
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵
𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)

3. Eventos dependientes e
independientes

4. Sucesos dependientes
Al considerar combinaciones de eventos, debemos recordar que, a veces, cuando ocurre un
evento, afecta la probabilidad del otro evento, es decir, el segundo evento es un evento
dependiente

5. Sucesos independientes
Dos sucesos son matemáticamente independientes cuando el hecho de que ocurra un
suceso no afecta de ninguna manera el hecho de que ocurra el otro.
Otra forma de expresar esto es decir que la probabilidad de que ocurra A, P(A), se
mantiene igual, una vez que ha ocurrido B.
A y B son independientes si: P(A) = P(A | B).
La definición de P(A | B) es: 𝑃 𝐴 𝐵 =
𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
Entonces A y B son independientes si y solo si:
𝑷 𝑨 ∩ 𝑩 = 𝑷(𝑨) × 𝑷(𝑩)

6. Ejemplo
Los eventos A y B son independientes de tal manera que P (A)=0,5 y P (B)=0,7.
Encontrar P ((A∪B)′).

7. Ejercicio 1
Dado que A y B son eventos independientes tales que P (A)=0,6 y P (B)=0,5
Encontrar P (A∪B)

8. Ejercicio 2
En una escuela hay 200 estudiantes. De estos estudiantes, 80 estudian física, 90 estudian biología y 66 no
estudian ninguna de estas dos materias.
Se selecciona un estudiante al azar. Considere los siguientes dos eventos:
B: el estudiante seleccionado estudia biología
F: el estudiante seleccionado estudia física
Determina si estos eventos son independientes o no.

9. Diagrama de árbol
Un modelo de eventos
secuenciales donde cada uno
tiene múltiples resultados, y
cada resultado forma una rama
hacia una posibilidad diferente.

10. Diagramas de árbol
Se pueden usar
para modelar
situaciones en las
que una secuencia
de eventos
relacionados tiene
cada uno múltiples
resultados.
Estos son particularmente útiles
cuando hay más de dos
eventos, ya que puede
visualizar todos los resultados
fácilmente.

11. Ejemplo
Se tiran dos dados equilibrados, uno rojo y otro azul. Usando un diagrama de árbol, halle la probabilidad
de que:
a. Salga doble seis
b. No salga ningún seis
c. Salga exactamente un seis
d. Salga al menos un seis
e. Sabiendo que salió al menos un seis, el dado rojo haya salido seis.
1. Enfocarse en
las preguntas.
2. Buscar dos
opciones.
3. Establecer el
espacio.
muestral para
calcular las
probabilidades.
4. Colocar la
probabilidad en
cada rama.
5. Se
multiplican las
probabilidades
en cada rama
(horizontal).
6. Se suman
las
probabilidades
(en vertical).
Probabilidad combinada con reposición

12. Ejercicio 1
Una bolsa contiene seis bolas rojas y cinco bolas azules. Se elige una bola al azar. Se anota su color y luego se
pone de vuelta en la bolsa. Luego se elige una segunda bola al azar.
a. Halle la probabilidad de que se elija exactamente una bola roja.
b. Halle la probabilidad de que se elija al menos una bola azul.
c. Halle la probabilidad de que se elija una bola de cada color.
d. Si se eligió una bola de cada color, ¿cuál es la probabilidad de que la segunda sea una bola azul?
e. Si al menos una de las dos bolas fue azul, ¿cuál es la probabilidad de que la primera haya sido una bola
azul?

13. Ejercicio 2
Para llegar al trabajo debo atravesar dos semáforos, primero en la Avenida Sexta y luego en la calle Larga.
La probabilidad de demorarme en la avenida Sexta es
7
10
y la probabilidad de demorarme en la calle Larga
es
3
5
.
Dibuje un diagrama de árbol para mostrar las posibles demoras en mi trayecto al trabajo.
a) Halle la probabilidad de que me demore solo una vez.
b) Halle la probabilidad de que no me demore.
c) Sabiendo que me he demorado exactamente una vez, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la
Avenida Sexta?
d) Sabiendo que me he demorado, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido en la Avenida Sexta?

14. Ejercicio 3
La probabilidad de que llueva el día de hoy es 0,2. Si hoy llueve, la probabilidad de que llueva mañana es
0,15. Si hoy no llueve, entonces la probabilidad de que no llueva mañana es 0,9.
a) Halle la probabilidad de que al menos uno de los dos días no llueva.
b) Sabiendo que al menos uno de los dos días no ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido hoy?
c) Sabiendo que al menos uno de los dos días no ha llovido, ¿cuál es la probabilidad de que no haya llovido
en ninguno de los dos días?

15. En una bolsa hay seis caramelos de menta (M) y dos caramelos de fresa (F). Se escoge un caramelo al
azar y no se repone en la bolsa. Luego se escoge un segundo caramelo al azar.
a. Halle la probabilidad de que se haya escogido uno de cada tipo.
b. Sabiendo que se ha escogido uno de cada tipo, halle la probabilidad de que el primer caramelo
escogido haya sido de menta.
Ejemplo Probabilidad combinada sin reposición

16. Ejercicio 4
Una bolsa contiene seis bolas rojas y cinco bolas azules. Se escoge una al azar. Se anota su color y no se
repone en la bolsa. Luego se escoge al azar una segunda bola.
a. Halle la probabilidad de que se escoja exactamente una bola roja.
b. Halle la probabilidad de que se escoja al menos una bola azul.
c. Halle la probabilidad de que se escoja una de cada color.
d. Si se ha escogido una de cada color, ¿cuál es la probabilidad de que la azul se haya elegido en segundo
lugar?
e. Si se ha escogido al menos una azul, ¿cuál es la probabilidad de que la azul se haya elegido en primer
lugar?

17. Ejercicio 5
Para llegar al colegio puedo tomar una de dos rutas, por la Avenida Simón Bolívar o por la Avenida de Las
Américas. Tomo la Avenida Simón Bolívar en promedio tres veces por semana, en una semana de cinco días.
Si tomo esta ruta, la probabilidad de que me demore es 0,25. Si tomo la Avenida de Las Américas, la
probabilidad de que me demore es 0,5. Dibuje un diagrama de árbol que muestre mi viaje al colegio.
a. Halle la probabilidad de que me demore.
b. Halle la probabilidad de que vaya por la Avenida de Las Américas y no me demore.
c. Sabiendo que me he demorado, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido por la Avenida Simón Bolívar?
d. Sabiendo que no me he demorado, ¿cuál es la probabilidad de que haya ido por la Avenida de Las
Américas?

18. Ejercicio 6
La empresa de golosinas Slugworth Candy Company vende una bolsa variada que contiene caramelos de
distintas formas y colores. De todos los caramelos que se elaboran, se sabe que el 80% tienen forma de
estrella y el 20% tienen forma de luna creciente. Se sabe también que el 10% de las estrellas y el 30% de
las lunas crecientes son de color amarillo.
(b) Se escoge un caramelo al azar.
i. Halle la probabilidad de que el caramelo sea amarillo.
ii. Sabiendo que el caramelo es amarillo, halle la probabilidad de que tenga forma de estrella.
(a) Utilizando esta información, copie y complete el siguiente diagrama de árbol.