Este documento presenta conceptos básicos sobre el sistema de numeración decimal. Explica que un sistema de numeración utiliza símbolos y reglas para representar números. Luego describe las características del sistema decimal, incluyendo la descomposición polinómica de un numeral, los valores absolutos y relativos de las cifras, y diferentes sistemas de numeración como el binario, ternario y otros. Finalmente, introduce conceptos como la base de un sistema y los principios fundamentales para representar números en diferentes bases.
El documento presenta varios métodos y procedimientos para realizar operaciones aritméticas como multiplicaciones, divisiones, cuadrados y hallar cifras terminales. Explica cómo multiplicar por números como 5, 25, 11 y cómo dividir por 5. También cubre temas como el complemento aritmético y sus usos, cuadrados de números de una o dos cifras, y hallar cifras terminales de operaciones. El objetivo es desarrollar habilidades operativas para resolver problemas de manera más simple.
Compromisos de areas cta. matematicas ed trabajolilian delgado
El documento resume los compromisos de los equipos de ciencias, matemáticas y tecnología y ambiente de una institución educativa. Los actores incluyen a estudiantes, padres de familia y docentes. Los compromisos se enfocan en mejorar el rendimiento académico de los estudiantes, involucrar a los padres en el proceso de aprendizaje y fortalecer la coordinación y el intercambio de experiencias entre los docentes.
Ficha de trabajo 2 transformaciones -vista generalNahum Azaña
Este documento presenta una visión general de las tres transformaciones geométricas básicas: la traslación, la rotación y la simetría. La traslación desplaza una figura a lo largo de una línea recta, la rotación gira una figura alrededor de un punto, y la simetría invierte una figura sobre una línea como si fuera un espejo. El documento incluye ejemplos de cómo aplicar estas transformaciones a varias figuras.
Este documento explica cómo plantear ecuaciones a partir de enunciados verbales. Se define el planteo de ecuaciones como escribir una igualdad relacionando los datos y la incógnita de un problema. Se dan ejemplos de cómo traducir diferentes expresiones verbales a su forma simbólica y se recomienda leer atentamente el enunciado para comprenderlo y representar con letras la incógnita y los datos.
Este documento trata sobre los impuestos. Explica que los impuestos pagan por servicios importantes como la sanidad, la educación y el transporte. Algunos impuestos como el IVA se pagan por igual para todos, mientras que otros como el Impuesto sobre la Renta dependen de la riqueza de cada persona.
Este documento resume la resolución de un problema matemático utilizando el método de Polya. El problema involucra a Carlos, quien tiene 8 soles inicialmente y ahorra 4 soles mensualmente. El objetivo es calcular cuánto habrá ahorrado Carlos al cabo de 12 meses. El método de Polya se aplica en 4 pasos: 1) comprender el problema, 2) elaborar un plan, 3) desarrollar el plan usando una fórmula de progresión aritmética, 4) verificar la solución. La solución es que Carlos
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas sobre sistemas de medidas angulares en grados, minutos y segundos, así como en radianes. Incluye problemas de nivel básico, intermedio y avanzado sobre conversiones entre los diferentes sistemas y cálculos angulares.
El documento presenta varios métodos y procedimientos para realizar operaciones aritméticas como multiplicaciones, divisiones, cuadrados y hallar cifras terminales. Explica cómo multiplicar por números como 5, 25, 11 y cómo dividir por 5. También cubre temas como el complemento aritmético y sus usos, cuadrados de números de una o dos cifras, y hallar cifras terminales de operaciones. El objetivo es desarrollar habilidades operativas para resolver problemas de manera más simple.
Compromisos de areas cta. matematicas ed trabajolilian delgado
El documento resume los compromisos de los equipos de ciencias, matemáticas y tecnología y ambiente de una institución educativa. Los actores incluyen a estudiantes, padres de familia y docentes. Los compromisos se enfocan en mejorar el rendimiento académico de los estudiantes, involucrar a los padres en el proceso de aprendizaje y fortalecer la coordinación y el intercambio de experiencias entre los docentes.
Ficha de trabajo 2 transformaciones -vista generalNahum Azaña
Este documento presenta una visión general de las tres transformaciones geométricas básicas: la traslación, la rotación y la simetría. La traslación desplaza una figura a lo largo de una línea recta, la rotación gira una figura alrededor de un punto, y la simetría invierte una figura sobre una línea como si fuera un espejo. El documento incluye ejemplos de cómo aplicar estas transformaciones a varias figuras.
Este documento explica cómo plantear ecuaciones a partir de enunciados verbales. Se define el planteo de ecuaciones como escribir una igualdad relacionando los datos y la incógnita de un problema. Se dan ejemplos de cómo traducir diferentes expresiones verbales a su forma simbólica y se recomienda leer atentamente el enunciado para comprenderlo y representar con letras la incógnita y los datos.
Este documento trata sobre los impuestos. Explica que los impuestos pagan por servicios importantes como la sanidad, la educación y el transporte. Algunos impuestos como el IVA se pagan por igual para todos, mientras que otros como el Impuesto sobre la Renta dependen de la riqueza de cada persona.
Este documento resume la resolución de un problema matemático utilizando el método de Polya. El problema involucra a Carlos, quien tiene 8 soles inicialmente y ahorra 4 soles mensualmente. El objetivo es calcular cuánto habrá ahorrado Carlos al cabo de 12 meses. El método de Polya se aplica en 4 pasos: 1) comprender el problema, 2) elaborar un plan, 3) desarrollar el plan usando una fórmula de progresión aritmética, 4) verificar la solución. La solución es que Carlos
El documento presenta una serie de ejercicios y problemas sobre sistemas de medidas angulares en grados, minutos y segundos, así como en radianes. Incluye problemas de nivel básico, intermedio y avanzado sobre conversiones entre los diferentes sistemas y cálculos angulares.
Problemas Propuestos de Analogías Numéricas y Gráficas AN2 ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento presenta 25 ejercicios de analogías numéricas y gráficas. Cada ejercicio consiste en una tabla con números y letras y 5 opciones de respuesta para encontrar el número o valor de x que completa la analogía.
Este documento explica la notación científica, la cual permite representar números muy grandes o pequeños de manera compacta mediante el uso de exponentes. Los números se escriben como el producto de una mantisa entre 1 y 10 multiplicada por una potencia de 10. El documento describe cómo realizar operaciones matemáticas básicas como suma, resta, multiplicación y división con números expresados en notación científica. También incluye ejemplos y ejercicios de práctica.
Los números enteros incluyen a los números naturales, cero y los números negativos. Se ubican en la recta numérica y pueden ordenarse de izquierda a derecha. Las operaciones con enteros siguen reglas de signos: la suma y multiplicación dan resultado positivo para números del mismo signo y negativo para signos distintos; la resta se convierte en suma al sumar el opuesto del sustraendo.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
El documento describe la evolución histórica de las matemáticas. Las matemáticas primitivas estaban relacionadas con las necesidades prácticas como contar el ganado. Los egipcios desarrollaron las matemáticas para manejar las inundaciones. Sin embargo, los griegos, especialmente Euclides, introdujeron conceptos abstractos como la generalización y análisis que llevaron a las matemáticas a convertirse en una ciencia teórica.
El documento presenta una colección de acertijos, problemas lógicos y rompecabezas sobre matemáticas recreativas y relaciones familiares. Incluye 17 acertijos y problemas matemáticos, seguidos de 11 rompecabezas adicionales que involucran el movimiento de fósforos o cerillos para formar figuras. Finalmente, presenta un ejemplo de problema sobre relaciones familiares y explica las características comunes de este tipo de problemas.
El documento describe dos métodos para descomponer vectores: 1) Descomposición vectorial, que implica reemplazar un vector por otros llamados componentes. 2) Descomposición rectangular, que implica reemplazar un vector por dos vectores perpendiculares llamados componentes. Se proveen ejemplos de cómo descomponer vectores usando ambos métodos y ejercicios de aplicación.
El documento presenta 18 problemas de geometría que involucran triángulos rectángulos. Los problemas piden calcular áreas, lados y ángulos usando las propiedades de los triángulos rectángulos y funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente y cotangente.
La sesión de aprendizaje trata sobre los números complejos. La profesora introduce los números imaginarios mediante ejemplos de raíces cuadradas de números negativos y define la unidad imaginaria i. Luego enseña cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números imaginarios. Finalmente explica cómo cualquier número complejo puede expresarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria y representarse gráficamente en un plano cartesiano.
El documento presenta varios ejercicios de números enteros que incluyen representar números en una recta numérica, colocar símbolos de comparación, completar igualdades, resolver cálculos combinados y ecuaciones. Se piden operaciones como suma, resta, multiplicación, división, raíz cuadrada y potencias sobre números enteros.
Este documento presenta 11 problemas de ángulos que involucran calcular valores desconocidos. Los problemas implican conceptos como complementos, suplementos, bisectrices y relaciones entre ángulos. El objetivo es determinar valores angulares desconocidos mediante el uso de propiedades angulares básicas.
Este documento contiene 19 proyectos o ejercicios matemáticos sobre números racionales, irracionales y reales. Los ejercicios incluyen convertir números entre formas decimales y fraccionarias, calcular fracciones generatrices de números decimales periódicos, determinar si afirmaciones sobre conjuntos numéricos son verdaderas o falsas, y realizar otras operaciones algebraicas y de conjuntos con diferentes tipos de números.
Este documento presenta problemas de operaciones combinadas con fracciones y números. Explica la jerarquía de operaciones y presenta 16 ejercicios para resolver operaciones combinadas con fracciones y números. También incluye 20 problemas adicionales para resolver.
Este documento presenta 39 problemas de matemáticas que involucran ecuaciones, geometría, porcentajes y otras operaciones. Los problemas cubren temas como números enteros, fracciones, edades, mezclas, geometría y álgebra. El documento proporciona las respuestas a cada uno de los problemas planteados.
El documento describe los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD es el divisor común más grande de los números, mientras que el MCM es el múltiplo común más pequeño. Incluye ejemplos y propiedades de ambos, así como métodos para calcularlos como descomposición simultánea, descomposición canónica y divisiones sucesivas. Finalmente, relaciona el MCD y MCM de dos números a través de sus divisores y múltip
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como sistemas de coordenadas, ángulos en posición normal, razones trigonométricas y su signo en cada cuadrante. Explica cómo calcular las razones trigonométricas sen, cos, tg y cot para ángulos en posición normal y proporciona ejercicios resueltos como ejemplo.
Este documento contiene varios ejercicios y problemas de geometría resueltos y propuestos. Incluye 10 ejercicios resueltos sobre triángulos, cuadriláteros y puntos medios. Luego presenta 10 problemas propuestos relacionados con medidas de ángulos, lados y distancias en figuras geométricas. Finalmente propone un reto galeniano para calcular el valor de x.
El documento presenta el plan de estudios del área de matemáticas de la Institución Educativa John F. Kennedy en San Marcos. Incluye el diagnóstico del área, los objetivos, la fundamentación legal y pedagógica, y los planes de asignatura por grado con unidades temáticas. El área está coordinada por Rafael Álvarez y cuenta con tres docentes.
El documento presenta un problema matemático de colocar números del 0 al 5 en círculos de un triángulo de manera que las tres cifras de cada lado sumen 9. El lector es invitado a intentar resolverlo y se ofrecen pistas adicionales en pantallas posteriores en caso de no conseguirlo.
Este documento presenta una serie de operaciones con polinomios de sexto grado. Se pide sumar y restar polinomios en 25 problemas diferentes, identificando el polinomio resultante en cada caso. También se pide resolver 3 problemas adicionales que involucran sumar y restar polinomios compuestos de variables.
Este documento trata sobre aritmética y números decimales. Explica cómo convertir fracciones en notación decimal, cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con números decimales, y cómo encontrar la fracción generatriz de un número decimal. También incluye ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números enteros:
1) Define los números enteros y representa su conjunto en la recta numérica.
2) Explica el valor absoluto de un número como su distancia a cero y presenta ejemplos.
3) Describe cómo comparar y ordenar números enteros usando su posición en la recta numérica.
Problemas Propuestos de Analogías Numéricas y Gráficas AN2 ccesa007Demetrio Ccesa Rayme
El documento presenta 25 ejercicios de analogías numéricas y gráficas. Cada ejercicio consiste en una tabla con números y letras y 5 opciones de respuesta para encontrar el número o valor de x que completa la analogía.
Este documento explica la notación científica, la cual permite representar números muy grandes o pequeños de manera compacta mediante el uso de exponentes. Los números se escriben como el producto de una mantisa entre 1 y 10 multiplicada por una potencia de 10. El documento describe cómo realizar operaciones matemáticas básicas como suma, resta, multiplicación y división con números expresados en notación científica. También incluye ejemplos y ejercicios de práctica.
Los números enteros incluyen a los números naturales, cero y los números negativos. Se ubican en la recta numérica y pueden ordenarse de izquierda a derecha. Las operaciones con enteros siguen reglas de signos: la suma y multiplicación dan resultado positivo para números del mismo signo y negativo para signos distintos; la resta se convierte en suma al sumar el opuesto del sustraendo.
Este documento presenta 17 ejercicios de matemática sobre exponentes y raíces. El autor es el Lic. Leonardo E. Ticona Laqui, quien mantiene un blog de matemática. Los ejercicios incluyen operaciones con exponentes, raíces y variables. Al final se incluyen algunas preguntas de práctica adicionales para que los estudiantes continúen practicando en casa.
El documento describe la evolución histórica de las matemáticas. Las matemáticas primitivas estaban relacionadas con las necesidades prácticas como contar el ganado. Los egipcios desarrollaron las matemáticas para manejar las inundaciones. Sin embargo, los griegos, especialmente Euclides, introdujeron conceptos abstractos como la generalización y análisis que llevaron a las matemáticas a convertirse en una ciencia teórica.
El documento presenta una colección de acertijos, problemas lógicos y rompecabezas sobre matemáticas recreativas y relaciones familiares. Incluye 17 acertijos y problemas matemáticos, seguidos de 11 rompecabezas adicionales que involucran el movimiento de fósforos o cerillos para formar figuras. Finalmente, presenta un ejemplo de problema sobre relaciones familiares y explica las características comunes de este tipo de problemas.
El documento describe dos métodos para descomponer vectores: 1) Descomposición vectorial, que implica reemplazar un vector por otros llamados componentes. 2) Descomposición rectangular, que implica reemplazar un vector por dos vectores perpendiculares llamados componentes. Se proveen ejemplos de cómo descomponer vectores usando ambos métodos y ejercicios de aplicación.
El documento presenta 18 problemas de geometría que involucran triángulos rectángulos. Los problemas piden calcular áreas, lados y ángulos usando las propiedades de los triángulos rectángulos y funciones trigonométricas como seno, coseno, tangente y cotangente.
La sesión de aprendizaje trata sobre los números complejos. La profesora introduce los números imaginarios mediante ejemplos de raíces cuadradas de números negativos y define la unidad imaginaria i. Luego enseña cómo sumar, restar, multiplicar y dividir números imaginarios. Finalmente explica cómo cualquier número complejo puede expresarse como la suma de una parte real y una parte imaginaria y representarse gráficamente en un plano cartesiano.
El documento presenta varios ejercicios de números enteros que incluyen representar números en una recta numérica, colocar símbolos de comparación, completar igualdades, resolver cálculos combinados y ecuaciones. Se piden operaciones como suma, resta, multiplicación, división, raíz cuadrada y potencias sobre números enteros.
Este documento presenta 11 problemas de ángulos que involucran calcular valores desconocidos. Los problemas implican conceptos como complementos, suplementos, bisectrices y relaciones entre ángulos. El objetivo es determinar valores angulares desconocidos mediante el uso de propiedades angulares básicas.
Este documento contiene 19 proyectos o ejercicios matemáticos sobre números racionales, irracionales y reales. Los ejercicios incluyen convertir números entre formas decimales y fraccionarias, calcular fracciones generatrices de números decimales periódicos, determinar si afirmaciones sobre conjuntos numéricos son verdaderas o falsas, y realizar otras operaciones algebraicas y de conjuntos con diferentes tipos de números.
Este documento presenta problemas de operaciones combinadas con fracciones y números. Explica la jerarquía de operaciones y presenta 16 ejercicios para resolver operaciones combinadas con fracciones y números. También incluye 20 problemas adicionales para resolver.
Este documento presenta 39 problemas de matemáticas que involucran ecuaciones, geometría, porcentajes y otras operaciones. Los problemas cubren temas como números enteros, fracciones, edades, mezclas, geometría y álgebra. El documento proporciona las respuestas a cada uno de los problemas planteados.
El documento describe los conceptos de máximo común divisor (MCD) y mínimo común múltiplo (MCM) de números. Explica que el MCD es el divisor común más grande de los números, mientras que el MCM es el múltiplo común más pequeño. Incluye ejemplos y propiedades de ambos, así como métodos para calcularlos como descomposición simultánea, descomposición canónica y divisiones sucesivas. Finalmente, relaciona el MCD y MCM de dos números a través de sus divisores y múltip
Este documento presenta conceptos básicos de trigonometría como sistemas de coordenadas, ángulos en posición normal, razones trigonométricas y su signo en cada cuadrante. Explica cómo calcular las razones trigonométricas sen, cos, tg y cot para ángulos en posición normal y proporciona ejercicios resueltos como ejemplo.
Este documento contiene varios ejercicios y problemas de geometría resueltos y propuestos. Incluye 10 ejercicios resueltos sobre triángulos, cuadriláteros y puntos medios. Luego presenta 10 problemas propuestos relacionados con medidas de ángulos, lados y distancias en figuras geométricas. Finalmente propone un reto galeniano para calcular el valor de x.
El documento presenta el plan de estudios del área de matemáticas de la Institución Educativa John F. Kennedy en San Marcos. Incluye el diagnóstico del área, los objetivos, la fundamentación legal y pedagógica, y los planes de asignatura por grado con unidades temáticas. El área está coordinada por Rafael Álvarez y cuenta con tres docentes.
El documento presenta un problema matemático de colocar números del 0 al 5 en círculos de un triángulo de manera que las tres cifras de cada lado sumen 9. El lector es invitado a intentar resolverlo y se ofrecen pistas adicionales en pantallas posteriores en caso de no conseguirlo.
Este documento presenta una serie de operaciones con polinomios de sexto grado. Se pide sumar y restar polinomios en 25 problemas diferentes, identificando el polinomio resultante en cada caso. También se pide resolver 3 problemas adicionales que involucran sumar y restar polinomios compuestos de variables.
Este documento trata sobre aritmética y números decimales. Explica cómo convertir fracciones en notación decimal, cómo realizar operaciones como suma, resta, multiplicación y división con números decimales, y cómo encontrar la fracción generatriz de un número decimal. También incluye ejemplos y ejercicios prácticos para aplicar los conceptos.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números enteros:
1) Define los números enteros y representa su conjunto en la recta numérica.
2) Explica el valor absoluto de un número como su distancia a cero y presenta ejemplos.
3) Describe cómo comparar y ordenar números enteros usando su posición en la recta numérica.
Este documento presenta un programa de estudio para la evaluación anual de matemáticas de segundo año de educación secundaria. Incluye conceptos sobre sistemas de numeración como el maya, romano y egipcio. También cubre temas como el sistema binario, divisibilidad, números primos, fracciones, potencias, ecuaciones y geometría. Finalmente, proporciona un problema sobre cálculo de descuentos salariales.
El documento presenta información sobre la sustracción de números naturales. Define los elementos de una sustracción como el minuendo, sustraendo y diferencia. Explica que la sustracción no siempre es posible en números naturales si el minuendo es menor que el sustraendo. Además, presenta una propiedad de la sustracción y ejemplos para calcular el complemento aritmético.
El documento presenta una introducción a los sistemas de numeración, incluyendo los sistemas binario, octal y hexadecimal utilizados en computadoras. Explica que los sistemas de numeración permiten representar números mediante símbolos según reglas como la base y el valor posicional de cada cifra. Luego describe la conversión entre sistemas decimal, binario y hexadecimal.
Este documento presenta las instrucciones para el Laboratorio 1 de Fundamentos de Programación. Se indica que los estudiantes deben registrar cada ejercicio desarrollado y que los trabajos en equipo se dividirán la nota entre los integrantes. Los estudiantes deben presentar la guía resuelta de forma impresa y los equipos pueden tener entre 5 y 6 integrantes. Cada numeral vale 0.4 puntos y la fecha de entrega es el 18 de febrero de 2016.
1. El documento introduce los números enteros, incluyendo números positivos y negativos. Explica que los números negativos representan cantidades menores que cero.
2. Se describen objetivos como comprender los números enteros, representarlos y ordenarlos en la recta numérica, y realizar operaciones básicas con ellos.
3. Incluye contenidos sobre números positivos y negativos, valor absoluto, suma, resta, multiplicación y división de números enteros usando la regla de los signos.
El documento trata sobre las variables y los diferentes tipos de números. Define una variable como un símbolo que representa un elemento de un conjunto dado. Luego explica que las variables se usan en álgebra para representar cantidades conocidas y desconocidas mediante números y letras. Finalmente, introduce los números naturales, enteros y reales, y explica cómo se pueden ordenar y comparar números.
El documento trata sobre las variables y los diferentes tipos de números. Define una variable como un símbolo que representa un elemento de un conjunto dado. Luego explica que las variables se usan en álgebra para representar cantidades conocidas y desconocidas mediante números y letras. Finalmente, introduce los números naturales, enteros y reales, y explica cómo se pueden ordenar y comparar números.
Los números naturales son los números que utilizamos para contaralagie
Este documento describe la evolución de los diferentes conjuntos numéricos, comenzando con los números naturales para contar. Luego se introducen los números cardinales para incluir el cero, seguido por los enteros negativos para expresar cantidades menores que cero. Finalmente, se definen los números racionales e irracionales para formar el conjunto completo de los números reales, que incluye todas las posibilidades de suma, resta, multiplicación y división.
El primer documento presenta la solución a cinco ejercicios matemáticos que involucran cálculos con potencias y sumas. El segundo documento presenta seis problemas lógicos y matemáticos para estimular el pensamiento, con instrucciones para su resolución.
Este documento presenta los números enteros, incluyendo los positivos y negativos. Explica que los números enteros son los números naturales precedidos por los signos + y -. Muestra cómo representar y ordenar números enteros en una recta numérica, y define el valor absoluto de un número como la distancia desde cero sin considerar el signo.
Este documento trata sobre la numeración y los sistemas de numeración. Explica conceptos como número, numeral, sistema decimal de numeración, base de un sistema de numeración y características de los sistemas de numeración. También menciona brevemente la historia del desarrollo de los sistemas de numeración por diferentes culturas como los babilonios, griegos, egipcios, romanos e hindúes.
Este documento presenta conceptos básicos sobre números naturales, enteros y racionales. Explica que los naturales son los números de conteo y forman el conjunto N. Los enteros incluyen los naturales y sus opuestos, formando el conjunto Z. Se definen operaciones como suma, resta, multiplicación y división para enteros. Finalmente, introduce los racionales como números de la forma a/b, donde a y b son enteros y b ≠ 0, formando el conjunto Q. El documento contiene también ejemplos y ejercicios para aplicar estos conceptos.
El documento habla sobre los conceptos de múltiplos y divisores de números. Explica que los múltiplos de un número son aquellos que lo contienen un número exacto de veces y que son infinitos. También define divisores como aquellos números que dividen a otro número sin dejar resto. Finalmente, introduce conceptos como los múltiplos y divisores comunes, los números primos y compuestos, y los criterios de divisibilidad.
El documento explica conceptos básicos de múltiplos y divisores. Los múltiplos de un número son los que lo contienen un número exacto de veces. Los divisores de un número son aquellos que lo dividen sin dejar resto. Se explican también los conceptos de mínimo común múltiplo y máximo común divisor, y se proporcionan ejemplos de descomposición de números en factores primos. El documento concluye con actividades para practicar estos conceptos.
El documento describe los sistemas de numeración decimal e indoarábigo, así como otros sistemas como el romano y sistemas en otras bases. Explica conceptos como el valor posicional, la descomposición de números, y cómo representar y leer números en diferentes bases. También cubre temas como números capicúa y la descomposición polinómica de números.
Este documento presenta los conceptos básicos de los números naturales, enteros y potencias. Explica las operaciones fundamentales de suma, resta, multiplicación y división con números naturales, incluyendo sus propiedades. También introduce los números enteros y las potencias, y proporciona ejemplos de problemas aritméticos para practicar estas operaciones.
El documento presenta material de apoyo para el bachillerato de adultos sobre los números naturales. Se divide en 7 temas que cubren conceptos como la estructura del sistema de numeración decimal, operaciones básicas, ecuaciones, múltiplos y divisores. Cada tema incluye conceptos clave, ejemplos y actividades para practicar los contenidos. El documento proporciona recursos para que los estudiantes adultos puedan reforzar sus conocimientos sobre números naturales.
El documento proporciona información sobre las competencias y capacidades matemáticas que se trabajan en una unidad. Se describen indicadores de desempeño como emplear estrategias para resolver problemas de potencias y múltiplos. También se mencionan aprendizajes como trabajar con números de diferentes maneras. Se incluyen ejemplos de fichas de trabajo con ejercicios sobre múltiplos.
Criterios de evaluacin_gimnasia_deportiva_5jorge_kiar
El documento presenta los criterios de evaluación para la gimnasia deportiva y el acrosport en educación física primaria. Los criterios incluyen seguir las normas, esfuerzo, respeto, realizar volteretas hacia adelante y atrás, pino, rueda lateral, figuras de acrosport, seguridad y limpieza. Los estudiantes serán evaluados de 0 a 10 puntos en estas áreas.
Este documento presenta los criterios de evaluación para el tema de fútbol sala en educación física primaria. Los criterios incluyen participar activamente, conducir el balón, pasar con precisión, disparar a portería, tomar decisiones adecuadas, conocer las reglas básicas y respetar a los demás. Los estudiantes serán evaluados en una escala del 0 al 10 para determinar si su desempeño es insuficiente, suficiente, bueno, notable o sobresaliente.
Criterios de evaluacin_expresion_corporal_6jorge_kiar
Este documento presenta los criterios de evaluación para la expresión corporal en educación física primaria. Los criterios incluyen cumplir las normas, esforzarse por mejorar, respetar a los compañeros, bailar de forma espontánea, mostrar expresividad en las representaciones, desarrollar la creatividad, participar en bailes colectivos, respetar las capacidades de los demás, cooperar con los compañeros, y utilizar la bolsa de aseo después de la clase.
Este documento presenta 10 criterios de evaluación para el tema de deportes en educación física primaria. Los criterios incluyen seguir las normas, esforzarse por mejorar, demostrar habilidades básicas en baloncesto, fútbol y béisbol, tomar decisiones adecuadas y conocer y respetar las reglas de los deportes.
Este documento presenta los criterios de evaluación para el tema de baloncesto en educación física primaria. Los criterios incluyen cumplir las normas, participar activamente, esforzarse por mejorar, dominar habilidades básicas como botar un balón y tirar a canasta, tomar decisiones adecuadas, conocer las reglas básicas y respetar a los demás. Los estudiantes son evaluados de 0 a 10 puntos y reciben las calificaciones de insuficiente, suficiente, bien, notable o sobresaliente.
El documento presenta 10 criterios de evaluación para el tema de deportes en educación física primaria. Los criterios evalúan el cumplimiento de normas, esfuerzo, habilidades motrices básicas en baloncesto, fútbol y béisbol, toma de decisiones, conocimiento de reglas, respeto y uso de la bolsa de aseo. El documento concluye indicando la escala de calificación de 0 a 10 puntos para los criterios.
Este documento proporciona información sobre las partes de las plantas y los animales. Describe los órganos principales de las plantas como la raíz, el tallo y las hojas, así como la flor y el fruto. Explica las funciones de la raíz, incluida la absorción de nutrientes, la fijación de la planta y la conducción de la savia. También cubre los cinco reinos de los animales, incluidos los vertebrados como peces, anfibios, reptiles, aves y mamíferos. Incluye pregunt
Este documento presenta información sobre varios sistemas y temas del cuerpo humano. En primer lugar, describe las partes del sistema excretor y su función de eliminar desechos de la sangre a través de los riñones, ureteres, vejiga y uretra. Luego, cubre brevemente los sentidos, incluido el tacto a través de la piel, la vista a través de los ojos, el olfato a través de la nariz y el oído. Finalmente, proporciona instrucciones para una tarea doméstica rel
El documento describe las principales etapas del desarrollo humano, incluyendo el período prenatal, la infancia, la niñez, la pubertad, la adolescencia, la adultez y la ancianidad. Explica que el desarrollo humano comienza con la fecundación y culmina con la muerte, pasando por distintas etapas de crecimiento y maduración física e intelectual.
Este documento presenta una propuesta de unidades didácticas para el primer, segundo y tercer grado enfocadas en satisfacer las necesidades y demandas de aprendizaje de los estudiantes en situación de emergencia debido al fenómeno del Niño Costero. Incluye un diagnóstico de las necesidades priorizadas como el cuidado del agua, la expresión oral y escrita sobre el agua, la resolución de problemas matemáticos y de espacio relacionados al agua, y la convivencia democrática en la búsqueda del bien común.
Los estudiantes construirán y programarán un avión motorizado que cambie la velocidad de su hélice al subir y bajar. Programarán sonidos para coordinarlos con la información del sensor de inclinación. Desarrollarán una historia sobre un viaje en avión y la interpretarán usando el avión programable y un cronómetro.
Este documento presenta las notas para el profesor sobre la actividad "Rescate en el avión". Los estudiantes construirán y programarán un avión motorizado que cambie la velocidad de la hélice al subir y bajar utilizando un sensor de inclinación. El objetivo es enseñar ciencia, tecnología, ingeniería y matemáticas. El documento proporciona instrucciones detalladas sobre cómo construir el avión, programar sus funciones y utilizarlo para contar una historia.
Este documento presenta dos modelos de unidades didácticas de orientación diseñadas por estudiantes. Describe los elementos que deben incluir todas las unidades didácticas como el título, objetivos, contenidos, actividades y evaluación. A continuación, detalla la primera unidad didáctica sobre orientación en la escuela que consta de tres sesiones con actividades prácticas para desarrollar la percepción espacial y el uso de la brújula.
Este documento presenta los criterios de evaluación para el tema de baloncesto en educación física primaria. Los criterios incluyen cumplir las normas, participar activamente, esforzarse por mejorar, dominar habilidades básicas como botar un balón y tirar a canasta, tomar decisiones adecuadas, conocer las reglas básicas y respetar a los demás. Los estudiantes son evaluados de 0 a 10 puntos y reciben las calificaciones de insuficiente, suficiente, bien, notable o sobresaliente.
Este documento presenta el reglamento para un campeonato relámpago de fútbol masculino y voleibol femenino que se llevará a cabo el 27 de octubre de 2011 en la Universidad Nacional de Trujillo. Los objetivos son estrechar lazos de amistad entre estudiantes de ingeniería agroindustrial del Perú. El torneo se jugará en modalidad eliminatoria simple y contará con premios para los ganadores.
El documento presenta seis enfoques transversales para el desarrollo del perfil de egreso de los estudiantes: 1) Enfoque de derechos, 2) Enfoque inclusivo o de atención a la diversidad, 3) Enfoque intercultural, 4) Enfoque de igualdad de género, 5) Enfoque ambiental, y 6) Enfoque de orientación al bien común. Cada enfoque describe valores, actitudes y ejemplos de cómo se demuestran en la práctica educativa para formar estudiantes con conciencia de dere
El documento presenta el calendario cívico y ambiental de la Institución Educativa N° 36 818 para el año 2015. El calendario detalla las fechas de los meses de marzo a diciembre, incluyendo días conmemorativos nacionales e internacionales relacionados con temas cívicos, ambientales y de derechos humanos. Los docentes a cargo de las actividades cívicas y ambientales para cada mes son también especificados.
Este documento presenta información sobre una institución educativa primaria en Silva, Huancavelica. Proporciona detalles sobre la visión, misión y objetivos de la escuela, así como perfiles de egreso esperados para los estudiantes y del docente ideal. Además, presenta el proyecto educativo nacional al 2021 con sus objetivos y competencias clave para los actores educativos.
Este documento presenta las competencias y organización del área de Comunicación para los tres ciclos de primaria. En el primer párrafo explica que el área busca desarrollar las capacidades comunicativas de los estudiantes a través del uso de la lengua y otros recursos expresivos. Luego describe los objetivos desde las perspectivas social, emocional y cognitiva. El área se organiza en tres componentes: expresión y comprensión oral, comprensión de textos, y producción de textos. Cada ciclo y grado presenta las competencias espec
ACERTIJO DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARÍS. Por JAVI...JAVIER SOLIS NOYOLA
El Mtro. JAVIER SOLIS NOYOLA crea y desarrolla el “DESCIFRANDO CÓDIGO DEL CANDADO DE LA TORRE EIFFEL EN PARIS”. Esta actividad de aprendizaje propone el reto de descubrir el la secuencia números para abrir un candado, el cual destaca la percepción geométrica y conceptual. La intención de esta actividad de aprendizaje lúdico es, promover los pensamientos lógico (convergente) y creativo (divergente o lateral), mediante modelos mentales de: atención, memoria, imaginación, percepción (Geométrica y conceptual), perspicacia, inferencia y viso-espacialidad. Didácticamente, ésta actividad de aprendizaje es transversal, y que integra áreas del conocimiento: matemático, Lenguaje, artístico y las neurociencias. Acertijo dedicado a los Juegos Olímpicos de París 2024.
2. ARITMETICA
Í n d i c e
Pág.
¯ Sistema de númeración decimal: descomposición.......7
¯ Sistema de numeración no decimal...........................13
¯ Cambio de Sistema de numeración...........................19
¯ Repaso de Sistema de numeración...........................25
¯ Propiedades de los números......................................29
¯ Criterios de divisivilidad..............................................37
¯ Máximo Común Divisor - Mínimo Común Múltiplo......43
¯ CÌtaqdr`v bts rbr ƒ rbc %
COLEGIO TRILCE Página 2
3. ARITMETICA
CONCEPTOS BÁSICOS
N u m e r a l : E s la f ig u r a o
s ím b o lo q u e r e p r e s e n t a o d a
la id e a d e l n ú m e r o .
N ú m e r o : E s u n a id e a d e c a n t i d a d , la
c u a l n o s p e r m it e c u a n t if ic a r lo s o b j e t o s ;
e s u n e n t e a b s t r a c t o .
* Sistema de numeración
Es un conjunto de símbolos y leyes que nos permiten representar y expresar
correctamente los números.
Tenemos diversos Sistemas de Numeración, entre los cuales destaca el Sistema de
Numeración de Decimal o decuplo
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
Es el sistema cuyo principio fundamental es que la agrupación de sus unidades son de diez en diez. Así por
ejemplo:
COLEGIO TRILCE Página 3
1 1 u n id a d
1 0 u n id a d e s 1 d e c e n a
1 0 d e c e n a s 1 c e n t e n a
...
4. ARITMETICA
Características del sistema Decimal
a. Símbolos utilizados en el sistema decimal.
cifras
9;8;7;6;5;4;3;2;1;0
b. De la combinación de estas cifras se pueden formar todos los números que
conocemos:
Ejemplo:
- Con 0; 1; 2 se pueden formar: 0; 1; 2; 10; 20; 11; 12; 210; . . .
- Con 3; 4; 0 se pueden formar: ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; ___; . . .
Descomposición polinómica de un Numeral del Sistema Decimal
Cualquier número se puede descomponer como la suma de los valores relativos de sus
cifras.
Ejemplo: 3 2 7 8 = 3000 + 200 + 70 + 8
= ___ × 10
3
+ ___ + 10
2
+ ___ × 10
1
+ 8
Observa: Cada cifra está multiplicada por 10 y ésta tiene como exponente la
cantidad de cifras que se encuentran as la derecha de ella.
3 2 7 8
3 × 1 0 3
3 2 7 8
2 × 1 0 2
3 2 7 8
7 × 1 0 1
3 2 7 8
8 × 1 0 0
Forma general
. . . b c b a = . . . + d × 1 0 + c × 1 0 + b × 1 0 + a13 2
Casos especiales
* mmmm = m × 10
3
+ m × 10
2
+ m × 10
1
+ m
= 1000m + 100m + 10m + m = 1111m
COLEGIO TRILCE Página 4
5. ARITMETICA
* Para un numeral capicúa:
aba = a × 10
2
+ b × 10
1
+ a
= 100a + 10b + a = 101a + 10b
abcba = a × 10
4
+ b × 10
3
+ c × 10
2
+ b × 10
1
+ a
= 10000a + 1000b + 100c + 10b + a = 10
= _______ × a + _______ × b + _______ × c
c. En el sistema decimal:
- Mínimo valor no significativo : 0
- Mínimo valor significativo : 1
- Máximo valor : 9
Orden: Es la posición que ocupa cada cifra empezando a contar de derecha a
izquierda.
Ejemplo:
U
4
1 e r
D
3
2 d o
C
2
3 e r
U M
1
4 t o
1 o r d e n o u n i d a d e s . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
2 o r d e n o d e c e n a s
e r
d o
e r
t o
. . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
3 o r d e n o c e n t e n a s . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
4 o r d e n o u n id a d e s d e m il la r . . . . = _ _ _ _ _ _ _ _
Lugar: Es la ubicación de la cifra según como se lee, de izquierda a derecha.
Ejemplo:
U
4
1 e r
D
3
2 d o
C
2
3 e r
U M
1
4 t o
1 L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _
2
e r
d o
e r
t o
L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _
3 L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _
4 L u g a r = _ _ _ _ _ _ _ _
Valores de una cifra
Toda cifra que forma parte de un número, puede tener dos valores.
a. Valor absoluto (V.A.): Es absolutamente el mismo valor de cada cifra en cualquier
orden que se encuentre.
COLEGIO TRILCE Página 5
6. ARITMETICA
7 5 1 4
V . R . ( 4 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V . R . ( 1 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V . R . ( 5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V . R . ( 7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
V . A . ( 7 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
V . A . ( 5 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
V . A . ( 1 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
V . A . ( 4 ) = _ _ _ _ _ _ _ _
b. Valor Relativo (V.R.): Es relativo al orden donde se encuentra cada cifra (unidades,
decenas, centenas, . . .)
¡ LISTOS A TRABAJAR ¡
1. Escribe el valor relativo (V.R.) o el valor absoluto (V.A.) según corresponda.
a. 34 271 → V.R.(2) = _____________
b. 67 192 → V.A.(6) = _____________
c. 5 314 218 → V.R.(4) = _____________
d. 27 235 → V.A.(7) = _____________
e. 851 231 → V.R.(8) = _____________
f. 567 421 → V.A.(5) = _____________
2. Indicar la suma de la cifra del primer orden más la cifra del sexto orden en:
42 399 981 301
3. Indicar la suma de la cifra del tercer lugar más la cifra del quinto lugar en:
29 433 167
4. Calcular la suma del mayor y menor número que se puede formar con las siguientes
cifras, solo puedes utilizar una vez cada cifra.
1; 2; 4; 7; 9
5. ¿Cuál debe ser el valor de x en: 2323xxx2x332x =++ ?
COLEGIO TRILCE Página 6
7. ARITMETICA
6. Si se cumple que: a22 es el triple de a7 . Calcular el valor de a.
7. Hallar el valor de a y b tal que: b123 es el doble de a1a .
8. Hallar el valor de b, si se cumple que: b78 es el resultado de invertir el orden de las
cifras a 87b y disminuirlo en 99 unidades.
9. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo
número pero con las cifras invertidas de como resultado 72. Dar como respuesta la
suma de sus cifras.
10. Si al numeral 1432 se le quita la cifra del tercer orden y se le reemplaza por la cifra
a, el número resultante es mayor que el anterior en 200 unidades. Hallar el valor de a.
DEMUESTRA LO APRENDIDO
7. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo
número pero con las cifras invertidas dé como resultado 63. Además se sabe que la
suma de las dos cifras es 9. Dar como respuesta el producto de las cifras del número
perdido.
COLEGIO TRILCE Página 7
8. ARITMETICA
8. Se tiene un número de tres cifras al cual se le agrega un 7 al final; luego al mismo
número original se le agrega un 7 al comienzo. Si se suman los dos números de
cuatro cifras se obtiene 9768. Hallar la suma de las cifras del número original.
9. A un número de dos cifras se le agregan dos ceros a la derecha, aumentándose el
número en 4752 unidades. Calcular el número original.
10. Hallar un número de dos cifras, cuya suma de cifras es 10 y tal que al invertir el orden
de sus cifras, el número disminuye en 36 unidades. Dar como respuesta el producto de
las cifras del número pedido.
DESAFÍO
Un número está compuesto por tres cifras, la cifra de las centenas es cuatro veces la cifra de las
unidades y la cifra de las decenas es igual a la mitad de la suma de las otras cifras. Dar como respuesta el
producto de las cifras de dicho número.
P a r a e s t e s e g u n d o t e m a , q u e r id o s a l u m n o s ,
e s t u d ia r e m o s o t r o s s is t e m a s d e n u m e r a c ió n ;
p a r a lo c u a l, g e n e r a liz a r e m o s a lg u n o s
c o n c e p t o s d a d o s e n e l t e m a a n t e r io r.
1. Base de un Sistema de Numeración:
Es la cantidad de unidades requeridas de un orden cualquiera para formar una unidad
de un orden inmediato superior.
Así; por ejemplo, si deseo representar un grupo de unidades en base 7, necesito
grupos de siete unidades para ser agrupados y formar una unidad de orden inmediato
superior.
COLEGIO TRILCE Página 8
9. ARITMETICA
Al agrupar de 7 en 7, se han formado cuatro grupos y han
quedado sin agrupar seis unidades, luego se puede
decir que dicha agrupación tiene la forma siguiente:
46
(7)
Otro ejemplo: Agrupar 26 unidades en base 3.
La agrupación es:
2 grupos de 3 × 3 = 2 × 3
2
2 grupos de 1 × 3 = 2 × 3
1
2 unidades sueltas = 2
o también: 222
(3)
.
Condiciones de la base:
a) La base de un sistema de numeración siempre es un número natural mayor que 1.
b) La menor agrupación que se puede hacer es dos unidades, por lo que la menor
base es 2 (Sistema Binario).
2. Principios fundamentales de los Sistemas de Numeración:
2.1 Toda cifra de un numeral es menor que su base y utiliza n cifras: el cero y (n -
1) cifras significativas.
0
c e r o
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; . . . ; ( n - 1 );
c if r a s s ig n if ic a t iv a s
Ejemplo:
COLEGIO TRILCE Página 9
10. ARITMETICA
- 1023
(5)
→ Todas las cifras son menores que la base 5, entonces,
el número 10 está correctamente escrito.
- 222222
(3)
→ Todas las cifras son menores que la base 3.
- 86577
(8)
→ Todas las cifras no son menores que la base 8, la cifra
que ocupa el primer lugar (el 8) no es menor que 8,
entonces el número no está correctamente
representado.
Entonces de los ejemplos, afirmamos lo siguiente:
En la base b:
- Se usan b cifras para formar un orden inmediatamente superior cualquiera.
- Las cifras pueden ser:
Significativas = {1; 2; 3; 4; ...; (b - 1))
C if r a m á x i m a
No significativa o auxiliar: 0 (cero)
Conclusión: Cifra Base
Principales Sistemas de Numeración
COLEGIO TRILCE Página 10
11. ARITMETICA
B a s e S i s t e m a s d e N u m e r a c i ó n C i f r a s d i f e r e n t e s q u e u t i l i z a
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
B in a r io o d u a l
T e r n a r io
C u a t e r n a r io
Q u in a r io
S e n a r io
H e p t a n a r io
O c t a n a r io
N o n a r io
D e n a r io o d e c im a l
U n d e c im a l
D u o d e c im a l
0 ; 1
0 ; 1 ; 2
0 ; 1 ; 2 ; 3
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ;
0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; ;
Para representar numerales con cifras mayores que 9, se toma en cuenta:
α = 10; β = 11; γ = 12; etc.
Como consecuencia del cuadro anterior, existen infinitos sistemas de numeración.
3. Descomposición polinómica de un número en cualquier Sistema de
Numeración
abcd
(n)
= a × n
3
+ b × n
2
+ c × n + d
Ejemplos:
• 1234
(5)
= 1 × 5
3
+ 2 × 5
2
+ 3 × 5 + 4 = 125 + 50 + 15 + 4 = 194
•
(9)
= a × 9
2
+ a × 9 + a = 81a + 9a + a = 91a
•
(a)
= 3 × a
2
+ 4 × a + 0 = 3a
2
+ 4a
COLEGIO TRILCE Página 11
13. ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
DESAFÍO
Un número consta de 2 cifras, cuya suma es 11. Si intercambiamos el orden de sus
cifras resulta un número que excede en 5 al triple del número original. Hallar dicho
número.
a. 47 b. 29 c. 65 d. 83 e. 56
COLEGIO TRILCE Página 13
14. ARITMETICA
Consiste en transformar un número de cierto sistema de numeración a otro sistema de
numeración, pero sin dejar de representar estos números la misma cantidad de unidades.
También se le conoce a este tema como cambio de base.
Caso I: De una base diferente de 10 a la base 10
Para este caso se utiliza el procedimiento de descomposición polinómica, efectuando
para ello las operaciones indicadas.
Descomposición polinómica: )n(abc
= a × n
2
+ b × n + c
Ejemplos:
•
2734241123
816
2
)4( =+×+×=
•
71769798879
63648
2
)9( =+×+×=
•
b8a65a8b8aaba
b8a64
2
)8( +=+×+×=
También se puede utilizar el método de Ruffini, así:
E n e l s is t e m a d e c im a l
4
1 2
+
4
6
3
+
2 4
2 7
×
×
1
COLEGIO TRILCE Página 14
15. ARITMETICA
E n e l s is t e m a d e c im a l
9
1
8
7
+
7 2
7 9
6
+
7 1 1
7 1 7
×
×
Caso II: De base 10 a una base diferente de 10
Se utiliza el método de divisiones sucesivas, que consiste en dividir el número dado del
sistema decimal (base 10) entre la base n a la cual se desea convertir; si el cociente es
mayor que n, se dividirá nuevamente y así en forma sucesiva hasta que se llegue a una
división donde el cociente sea menor que n. Luego, se toma el último cociente y los
residuos de todas las divisiones, desde el último residuo hacia el primero y este será el
número expresado en base n.
Ejemplo:
• Convertir 25 a base 8:
2 5 8
1 3 2 5 = 3 1 ( 8 )
• Convertir 100 a base 3:
1 0 0 3
1 3 3 3
0 1 1 3
2 3 3
0 1
1 0 0 = 1 0 2 0 1 ( 3 )
• Convertir 216 a base 6:
2 1 6 6
0 3 6 6
0 6 6
0 1
2 1 6 = 1 0 0 0 ( 6 )
COLEGIO TRILCE Página 15
16. ARITMETICA
Caso III: De una base diferente de 10 a otra diferente de 10
Se utilizan en este caso, los dos métodos vistos anteriormente, es decir, primero
llevamos el número de base diferente de 10, por descomposición polinómica, al
sistema decimal; y, luego este número, por divisiones sucesivas, lo llevamos al otro
sistema de base diferente a 10.
Ejemplos:
1. Convertir: 543
(6)
a base 4
a. Descomposición polinómica:
20736465543
24180
2
)6( =+×+×=
b. Divisiones sucesivas:
2 0 7 4
3 5 1 4
3 1 2 4
0 3
L u e g o : 5 4 3 = 2 0 7 = 3 0 3 3 ( 4 )( 6 )
2. Convertir: 2134
(5)
a base nueve
a. Descomposición polinómica:
29445351522134
1525
2
250
3
)5( =+×+×+×=
b. Divisiones sucesivas:
2 9 4 9
6 3 2 9
5 3
L u e g o : 2 1 3 4 = 2 9 4 = 3 5 6( 5 ) ( 9 )
PROPIEDAD: En un numeral que representa la misma cantidad de unidades simples
en dos sistemas de numeración diferentes, deberá cumplirse que donde tenga mayor
COLEGIO TRILCE Página 16
17. ARITMETICA
representación aparente le corresponde una menor base y viceversa, a menor
representación mayor base.
N = R A T Ó N = P A V O( x ) ( y )
+
+
Ejemplo:
N u m e r a l m e n o r
1 3 4 = 2 5 1 = 2 0 1 2( 7 ) ( 4 )
N u m e r a l m a y o r
M a y o r b a s e M e n o r b a s e
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡
1. Convertir al sistema decimal:
a. 1101
(2)
b. 320
(4)
c. 1032
(5)
d. 2031
(4)
e. 132
(9)
2. Convertir:
a. 123 al sistema binario. b. 871 al sistema ternario.
c. 2031 al sistema quinario. d. 952 al sistema undecimal.
e. 642 al sistema de base 15.
3. Convetir:
a. 1002
(3)
al sistema quinario. b. 432
(7)
a base 4.
c. 2134
(5)
al sistema nonario. d. 1023
(4)
a base 6.
e. 123
(4)
al sistema octanario.
COLEGIO TRILCE Página 17
18. ARITMETICA
4. Hallar a + b + c si: 1230
(5)
= )7(abc
a. 8 b. 9 c. 10 d. 11 e. 12
5. Convertir: )4(
)2a)(1a)(1a( −−+
al sistema senario. Dar como respuesta la suma de
sus cifras.
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
DEMUESTRA LO APRENDIDO
COLEGIO TRILCE Página 18
19. ARITMETICA
LISTOS … A TRABAJAR
1. Hallar el valor de A + B + C, si se sabe que:
COLEGIO TRILCE Página 19
20. ARITMETICA
A: es el mayor número de tres cifras.
B: es el mayor número impar de dos cifras diferentes.
C: es el mayor número de tres cifras diferentes.
a. 2063 b. 2073 c. 2083 d. 2093 e. 3113
2. ¿Cuál es el menor número cuyas cifras suman 24? Dar como respuesta su cifra de
mayor orden.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras:
I. La primera es el doble de la tercera.
II. La segunda es el triple de la primera.
Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
4. Si el numeral )a3)(5a)(1b(b)1a( −++− es capicúa. Hallar la cifra de tercer orden.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular a + b
I. )5()2a)(a2( −
II. )9(
)5b(
3
b
+
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
6. ¿Cuántas numerales de dos cifras cumplen que son iguales a cuatro veces la suma
de sus cifras?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
7. Un número de dos cifras es igual a la suma de siete veces la cifra de decenas más
nueve veces la cifra de las unidades. ¿cuál es la suma de sus cifras?
COLEGIO TRILCE Página 20
21. ARITMETICA
a. 9 b. 10 c. 11 d. 12 e. 13
8. Al menor número de tres cifras diferentes de la base nueve, convertirlo al sistema
senario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
9. Hallar: a + b + c.
Si: )9()8( 256)2c)(1b)(2a( =−+−
a. 8 b. 9 c. 10 d. 12 e. 13
10. Si se cumple: )2()3( abcde201 =
;
hallar: a + b + c + d + e + n
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar el valor de A + B + C, si se sabe que:
A: Es el menor número de tres cifras diferentes.
B: Es el mayor número par de dos cifras diferentes.
C: Es el menor número de tres cifras.
a. 280 b. 290 c. 300 d. 310 e. 320
2. ¿Cuál es el menor número cuya cifras suman 30? Dar como respuesta la cifra de
mayor orden.
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
3. Hallar un número de tres cifras que cumpla las condiciones siguientes para sus cifras:
I. La primera es el triple de la tercera.
II. La segunda es el doble de la primera.
COLEGIO TRILCE Página 21
22. ARITMETICA
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11
4. Si el numeral )x6)(1x)(3y)(2x( −++− es capicúa. Hallar la cifra de segundo orden.
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
5. Si los numerales están correctamente escritos. Calcular x + y.
I. )7(
)1x(
3
x
)x2( +
II. )8(
)3y)(2y(
2
y
−+
a. 4 b. 5 c. 6 d. 7 e. 8
6. ¿Cuántos numerales de dos cifras cumplen que son iguales a siete veces la suma de
sus cifras?
a. 2 b. 3 c. 4 d. 5 e. 6
7. Si: (n - 1)(n
3
)(n + 3) = aba
(7)
; calcular: a + b + n.
a. 7 b. 8 c. 9 d. 10 e. 11
8. Hallar: a + b + c + d + n; si se cumple: )n()3( abcd102 =
a. 3 b. 4 c. 5 d. 6 e. 7
9. Convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes de la base 5 al sistema octanario.
a. 10 b. 11 c. 12 d. 13 e. 14
10. Convertir el menor numeral de 4 cifras diferentes del sistema senario al sistema
nonario. Dar como respuesta la suma de sus cifras.
a. 12 b. 13 c. 14 d. 15 e. 16
DESAFÍO
COLEGIO TRILCE Página 22
23. ARITMETICA
Al convertir el mayor numeral de 3 cifras diferentes del sistema senario al sistema
cuaternario se obtiene: abcd . Hallar: a + b + c + d
a. 6 b. 7 c. 8 d. 9 e. 10
1. MÚLTIPLOS
Un número entero A es múltiplo de otro entero B, si A contiene a B una
cantidad exacta de veces.
Ejemplo 1: Averiguar si 72 es múltiplo de 6.
Veamos:
Para obtener 72 se necesita 12 veces el valor de 6, entonces: 72 = 6(12)
∴ 72 es múltiplo de 6.
Ejemplo 2: Averiguar si 143 es múltiplo de 11.
Veamos:
Para obtener 143 necesito 13 veces el valor de 11, entonces 143 = 11(13)
∴ 143 es múltiplo de 11.
Ejemplo 3: Escribe los 10 primeros enteros positivos múltiplos de 4.
Solución:
1 × 4; 2 × 4; 3 × 4; 4 × 4; 5 × 4; 6 × 4; 7 × 4; 8 × 4; 9 × 4; 10 × 4
luego: 4; 8; 12; 16; 20; 24; 28; 32; 36; 40.
2. DIVISOR DE UN NÚMERO
Es el número que está contenido en el primero una cantidad exacta de veces,
también se le conoce como submúltiplos.
Ejemplo 1:
* 4 es submúltiplo de 24 porque está contenido en 24 seis veces.
COLEGIO TRILCE Página 23
24. ARITMETICA
* 8 es factor de 64 porque está contenido en 64 ochos veces.
Ejemplo 2: Halla los divisores de 24.
Solución:
D(24) = {1; 2; 3; 4; 6; 8; 12; 24}
Ejemplo 3: ¿Cuántos divisores más tiene 45 que 13?
Solución:
D(45) = {1; 2; 3; 5; 9; 15; 45} µ tiene 6 divisores
D(13) = {1; 13} µ tiene 2 divisores
Respuesta: 45 tiene 4 divisores más que 13.
Observación:
En el campo numérico de los enteros Z, los múltiplos pueden ser negativos, además
del 0, así por ejemplo:
* Los múltiplos de 15 son:
1 5 = 1 5 k
1 5 ( 1 ) ; 1 5 ( 2 ) ; 1 5 ( 3 ) ; 1 5 ( 4 ) ; . . . . .
1 5 ( 0 ) = c e r o
1 5 ( - 1 ) ; 1 5 ( - 2 ) ; 1 5 ( - 3 ) ; 1 5 ( - 4 ) ; . . . .
º
donde k es un entero cualquiera.
De todo esto podemos afirmar lo siguiente:
i. Todo número tiene INFINITOS múltiplos.
ii. El CERO es múltiplo de todos los números.
COLEGIO TRILCE Página 24
25. ARITMETICA
A B
m ú lt ip lo d e
d iv is ib le p o r
f a c t o r d e
d iv is o r d e
I I . E j m . :
1 2
m ú lt ip lo d e
d iv is ib le p o r
f a c t o r d e
d iv is o r d e
3
I . A = B
s e le e : A e s m ú lt ip lo d e B
º
E n r e s u m e n :
3. NÚMEROS PRIMOS
Llamados tambien PRIMOS ABSOLUTOS, son aquellos números que tienen
unicamente dos divisores que son la unidad y el mismo número.
Ejemplos:
Número PrimoDivisores
2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
3 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
5 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
7 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
11 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
4. NÚMEROS COMPUESTOS
Son aquellos números que tienen más de dos divisores.
Número Compuesto Divisores
4 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
COLEGIO TRILCE Página 25
26. ARITMETICA
6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
10 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
12 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
TABLA DE LOS NÚMEROS PRIMOS MENORES QUE 100
(Criba de Eratóstenes)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
51 52 53 54 55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77 78 79 80
81 82 83 84 85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96 97 98 99 100
Entonces: Los números primos menores que 100 son:
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• Propiedades
1. El uno no es un número primo. sólo tiene un divisor, es considerado como
número simple.
2. Los números primos son infinitos.
3. El dos es el único número primo par.
4. El dos y el tres son los únicos números consecutivos y a la vez primos
absolutos
5. NÚMEROS PRIMOS ENTRE SI (PESI)
COLEGIO TRILCE Página 26
27. ARITMETICA
Dos o más números son primos entre si (PESI), cuando tienen como único divisor
común a la unidad.
• Ejemplo: ¿6, 14 y 9 son números PESI?
veamos:
Divisores
6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
9 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que _________, es el único divisor común a dichos números
Entonces: ______________ son números ______________.
• Ejemplo: ¿21, 15 y 8 son números PESI?
veamos:
Divisores
21 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, es el único divisor común a dichos números.
Entonces: ______________ son números ______________.
• Ejemplo: ¿8, 6 y 14 son números PESI?
veamos:
Divisores
8 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
6 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
14 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
Entonces: ______________ no son números ______________.
• Ejemplo: ¿10, 35 y 15 son números PESI?
COLEGIO TRILCE Página 27
28. ARITMETICA
veamos:
Divisores
10 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
35 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
15 : _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Se observa que: __________, son divisores comunes a dichos números.
Entonces: ______________ no son números ______________.
Propiedades
1. Dos o más números consecutivos son siempre números PESI.
2. Dos o más números impares consecutivos son siempre números PESI.
6. DESCOMPOSICIÓN CANÓNICA (DC)
Todo número compuesto se puede expresar como el producto de sus divisores
primos diferentes elevados a exponentes enteros positivos.
• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 18.
V e a m o s : 1 8
E n t o n c e s : 1 8 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• Ejemplo: Hallar la descomposición canónica de 120.
V e a m o s : 1 2 0
E n t o n c e s : 1 2 0 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Nota: Los divisores primos de un número compuesto se observan en su
descomposición canónica.
COLEGIO TRILCE Página 28
29. ARITMETICA
7. CANTIDAD DE DIVISORES (CD)
Sea N un número compuesto cuya descomposición canónica es:
N = a . b . cm n p
d o n d e :
a ; b y c
m ; n y p
:
:
f a c t o r e s p r im o s a b s o lu t o s
e x p o n e n t e s e n t e r o s p o s it iv o s
Entonces: la cantidad de divisores de N será:
C D ( N ) = ( m + 1 ) ( n + 1 ) ( p + 1 )
• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 180.
V e a m o s : 1 8 0
L u e g o :
F i n a lm e n t e :
1 8 0 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
C D = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 1 8 0 )
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
• Ejemplo: Hallar la cantidad de divisores de 480.
El primer paso es hallar la descomposición canónica de 480.
COLEGIO TRILCE Página 29
30. ARITMETICA
V e a m o s : 4 8 0
L u e g o :
F in a lm e n t e :
4 8 0 = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
C D = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _( 4 8 0 )
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
= _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
¡LISTOS… A TRABAJAR ¡
1. a. ¿Cuál es el menor número primo mayor que 25?
b. ¿Cuál es el mayor número primo menor que 52?
2. ¿Cuáles son los números primos que sumados de 2 en 2 dan 100 como resultado?
3. Hallar a + b; si:
a = mayor número primo menor que 70
b = menor número primo mayor que 20
4. ¿Cuál es el menor número compuesto de 2 cifras?
5. ¿Cuál es el mayor número compuesto de 2 cifras?
6. Indicar verdadero V o falso F, según convenga:
a. 35 = 5 ( )
b. 8 = 16 ( )
c. 111 = 37 ( )
d. 53 = 7 ( )
COLEGIO TRILCE Página 30
31. ARITMETICA
e. 26 = 13 ( )
7. ¿Cuál es la suma de cifras del mayor múltiplo de 13 de dos cifras?
8. Si el número 2a5 es múltiplo de 8, ¿cuántos valores puede tener a?
9. Hallar la suma de las partes alícuotas de 12.
10. Si: A = {x/x ∈ N, x es divisor de 14} y
B = {x/x ∈ N, x es divisor de 8}
hallar:
a. A ∪ B b. A ∩ B c. A - B
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. ¿Cuál es el menor número compuesto mayor que 20?
2. Hallar la suma de todos los números compuestos mayores que 12 pero menores que
23?
3. ¿Qué grupo de números son PESI?
a. 8; 25; 32 b. 9; 27; 35 c. 18; 30; 43
4. Hallar la descomposición canónica en cada caso:
a. 220 b. 280 c. 390 d.
600
5. Hallar la cantidad de divisores de:
a. 340 b. 420
6. ¿Cuántos números de dos cifras son 5?
7. Del 1 al 100, ¿cuántos números son 7?
COLEGIO TRILCE Página 31
32. ARITMETICA
8. Si el siguiente número: x453 es divisible por 7, calcular el valor de x.
9. Del 1 al 80, ¿cuántos números son 3?
10. Si: a 10, hallar la suma de valores que puede tomar en: 3a + 1 = 7.
DESAFÍO
Hallar la cantidad de divisores de: 3
2
×××× 75
COLEGIO TRILCE Página 32
39. ARITMETICA
DESAFÍO
DESAFIO
En un juego infantil se va contando de 1 a 100 y se aplaude cada vez que se dice un
múltiplo de 3 o un número que termina en 3. ¿Cuántas veces se has aplaudido al
terminar el juego?
a. 30 b.33 c.36 d.39 e.43
E l m é t o d o d e o b t e n c ió n d e l m á x im o c o m ú n d iv is o r
p o r d iv is io n e s s u c e s iv a s , a p a r e c e y a d e s c r it o e n e l
s ig lo I V ( a . C .) e n la o b r a E le m e n t o s , d e l m a t e m á t ic o
g r ie g o E u c li d e s . E n d ic h a o b r a t a m b ié n s e p r o p o n ía u n
m é t o d o p a r t a o b t e n e r e l m ín im o c o m ú n m ú lt ip lo .
¿ S a b ía s q u é ?
COLEGIO TRILCE Página 39
40. ARITMETICA
MÁXIMO COMÚN DIVISOR
(m.c.d)
I. DEFINICIÓN
Es el mayor de los divisores comunes que presentan dos o más números enteros
positivos.
Ejemplo: Sean los números 8 y 12.
D = { 1 ; 2 ; 4 ; 8 }8
D = { 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 1 2 }1 2
Los divisores comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El mayor divisor común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.d.(8;12) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II. Método para hallar el m.c.d.
P O R D E S C O M P O S I C I Ó N S I M U L T Á N E A
S e e x t r a e d e lo s n ú m e r o s t o d o s lo s
f a c t o r e s c o m u n e s h a s t a o b t e n e r
n ú m e r o s P E S I , lu e g o e l m . c . d . d e
d ic h o s n ú m e r o s e s e l p r o d u c t o d e
lo s f a c t o r e s e x t r a íd o s .
E j e m p lo :
8
4
2
-
-
-
1 2
6
3
2
2
m . c . d . = 2 × 2 = 4
COLEGIO TRILCE Página 40
41. ARITMETICA
P O R D E S C O M P O S I C I Ó N C A N Ó N I C A
A lo s n ú m e r o s s e le s d e s c o m p o n e
c a n ó n ic a m e n t e , lu e g o e l m . c . d . d e
d ic h o s n ú m e r o s e s e l p r o d u c t o d e
t o d o s s u s d iv is o r e s p r im o s c o m u n e s
e le v a d o s a s u m e n o r e x p o n e n t e .
E j e m p lo :
8
4
2
1
2
2
2
e n t o n c e s e l m . c . d . ( 8 ; 1 2 ) = 2 = 42
1 2
6
3
1
2
2
3
lu e g o : 8 = 2 3
1 2 = 2 2
× = 3
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡
1. Completa el siguiente cuadro:
N ú m e r o D i v i s o r e s
3 6
2 4
4 0
D i v i s o r e sN ú m e r o
2 7
1 8
3 0
Ahora completa el siguiente cuadro:
N ú m e r o
1 8 y 2 4
3 0 y 4 0
1 8 y 2 7
2 4 y 3 6
D i v i s o r e s c o m u n e s m . c . d .
2. Hallar el m.c.d. por descomposición simultánea en cada caso:
a . 4 9 y 6 3
-
m . c . d . =
b . 4 8 y 7 2
-
m . c . d . =
c . 9 0 y 1 2 0
-
m . c . d . =
COLEGIO TRILCE Página 41
42. ARITMETICA
3. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 52 y 78 b. 56 y 72 c. 84 y 96
4. Hallar el m.c.d. si:
A = 2
2
× 3
4
× 5
B = 2
2
× 15
m.c.d.(A;B) =
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar el mc.d. por descomposición simultánea, en cada caso:
a. 45 y 95 b. 75 y 125 c. 24; 36 y 68
d. 30; 60 y 90 e. 20; 36 y 40 f. 18 y 15
2. Hallar el mc.d. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 64 y 96 b. 160 y 180 c. 30; 60 y 72
d. 48; 52 y 72 e. 50; 300 y 600 f. 48 y 36
3. Hallar el mc.d. de A, B y C; si:
A = 3
3
× 5
4
× 8
B = 12 × 27
C = 25 × 36
COLEGIO TRILCE Página 42
43. ARITMETICA
DESAFÍO
• Hallar el m.c.d. de: 5 y 9. ¿Qué ocurrió?
• ¿Por qué no se estudia el mínimo común divisor?
MÍNIMO COMÚN MÚLTIPLO
(m.c.m)
I. DEFINICIÓN
Es el menor de los múltiplos comunes que presentan dos o más números enteros
positivos diferentes de 0.
Ejemplo: Sean los números 4 y 6.
4 = 0 ; 4 ; 8 ; 1 2 ; 1 6 ; 2 0 . . .
º
6 = 0 ; 6 ; 1 2 ; 1 8 ; 2 4 ; 3 0 . . .
º
Los múltiplos comunes son: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
El menor múltiplo común es: _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
Entonces el m.c.m.(4;6) = _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
II. Métodos para hallar el m.c.m.
P O R D E S C O M P O S I C I Ó N S I M U L T Á N E A
S e e x t r a e n d e lo s n ú m e r o s t o d o s lo s
f a c t o r e s c o m u n e s y n o c o m u n e s h a s t a
o b t e n e r la u n id a d e n c a d a n ú m e r o ;
lu e g o , e l m c . m . d e d ic h o s n ú m e r o s e s
e l p r o d u c t o d e lo s f a c t o r e s e x t r a íd o s .
E j e m p lo :
4
2
1
1
-
-
-
-
6
3
3
1
2
2
3
m . c . m . ( 4 ; 6 ) = 2 × 2 × 3 = 1 2
COLEGIO TRILCE Página 43
44. ARITMETICA
P O R D E S C O M P O S I C I Ó N C A N Ó N I C A
A lo s n ú m e r o s s e le s d e s c o m p o n e
c a n ó n ic a m e n t e ; lu e g o , e l m . c . m . d e
d ic h o s n ú m e r o s e s e l p r o d u c t o d e
t o d o s lo s d iv is o r e s p r im o s c o m u n e s
y n o c o m u n e s e le v a d o s a s u m a y o r
e x p o n e n t e .
E j e m p lo :
4
2
1
2
2
e n t o n c e s e l m . c . m . = 2 × 32
6
3
1
2
3
lu e g o : 4 = 2 2
6 = 2 × 3
¡ LISTOS … A TRABAJAR ¡
1. Completa el siguiente cuadro:
N ú m e r o M ú l t i p l o s ( 1 0 p r i m e r o s )
8
1 0
1 2
M ú l t i p l o s ( 1 0 p r i m e r o s )N ú m e r o
1 5
1 6
2 0
Ahora completa el siguiente cuadro:
N ú m e r o
8 y 1 2
1 0 y 1 5
8 y 2 0
1 6 y 2 0
M ú l t i p l o s c o m u n e s m . c . m .
2. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:
COLEGIO TRILCE Página 44
45. ARITMETICA
a . 3 0 y 4 5
-
m . c . m . =
b . 1 2 ; 1 5 y 2 0
-
m . c . m . =
c . 4 2 ; 3 6 y 4 8
-
m . c . m . =
3. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:
a. 45; 75 y 90 b. 12; 14 y 16 c. 9 y 15
4. Hallar el m.c.m. de A y B; si:
A = 2
3
× 3
2
× 5
3
B = 2
6
× 3 × 5
2
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. Hallar el m.c.m. por descomposición simultánea, en cada caso:
a. 35 y 63 b. 12 y 60 c. 15 y 25
d. 24 y 36 e. 9 y 15 e. 120; 148 y 200
2. Hallar el m.c.m. por descomposición canónica, en cada caso:
COLEGIO TRILCE Página 45
46. ARITMETICA
a. 85 y 30 b. 36 y 99 c. 96 y 100
d. 24 y 30 e. 200; 300 y 400 e. 160; 180 y 360
3. Hallar el m.c.m. de P, Q y R; si:
P = 3
2
× 5
3
× 7
2
Q = 2 × 3
3
× 5
2
× 7
R = 3
2
× 7
DESAFÍO
• Hallar el m.c.m. de 0 y 4. ¿Qué sucede?
• ¿Se podrá hallar el máximo común múltiplo de dos números?
COLEGIO TRILCE Página 46
47. ARITMETICA
P a r a p o d e r r e s o lv e r p r o b le m a s s o b r e e l m . c . m . y e l
m . c . d . d e b e s t e n e r e n c u e n t a la s s ig u ie n t e s in d ic a c io n e s :
¿ S a b ía s q u é ?
1 º D e b e s le e r e l p r o b le m a la s v e c e s q u e s e a n n e c e s a r ia s .
2 º S e d e b e r e c o g e r lo s d a t o s d e l p r o b le m a .
3 º I d e n t if ic a r lo q u e s e s o lic it a .
4 º P la n t e a r e s t r a t e g ia s a l p r o b le m a .
5 º C o m p r o b a r la s e s t r a t e g ia s y e le g ir u n a d e e lla s .
¡ LISTOS .,.. A TRABAJAR ¡
1. Tres compañías de navegación pasan por cierto puerto. La primera cada 8 días; la
segunda cada 18 días y la tercera cada 21 días. ¿Cada cuántos días se hallan los
buques de los tres compañías simultáneamente en este puerto?
2. Tres aviones salen de una misma ciudad con una periodicidad de 4 días; 5 días y 10
días, respectivamente. Si la última vez que salieron juntos fue el 14 de julio, ¿cuál
será la próxima fecha en que volverán a salir juntos?
COLEGIO TRILCE Página 47
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
48. ARITMETICA
3. ¿Cuál es la menor longitud que debe tener una varilla para que se puede dividir en
trozos de 24 cm; 27 cm; ó 45 cm de longitud sin que sobre ni falte nada?
4. Dos ciclistas dan vueltas en una pista; el primero cada 48 segundos y el segundo
cada 64 segundos. Si salen juntos, ¿al cabo de cuánto tiempo pasarán por el sitio de
partida?
5. Tres perros salen juntos en una carrera. El primero tarda 20 segundos en dar la
vuelta a la pista, el segundo tarda 33 segundos y el tercero, 36 segundos. ¿Al cabo
de cuántos segundos volverán a pasar juntos por la línea de salida, si salen juntos?
COLEGIO TRILCE Página 48
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
SOLUCIONDATOS
49. ARITMETICA
6. Dos cintas de 12 metros y 16 metros de longitud se quieren dividir en pedazos iguales
y de la mayor longitud posible. ¿Cuál será la longitud de cada pedazo?
7. ¿Cuál es la mayor longitud de una regla con la que se puede medir exactamente 3
cintas de 120 cm; 180 cm y 240 cm?
8. Se desean dividir dos cordeles de 60 y 80 metros de longitud posible. ¿Cuál será la
longitud de cada trozo resultante?
COLEGIO TRILCE Página 49
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
DATOS SOLUCION
50. ARITMETICA
9. Se tienen que envasar 120 kg; 144 kg y 200 kg de plomo en tres cajas de modo que
los bloques de cada una tenga el mismo peso y el mayor posible. ¿Cuánto pesa cada
pedazo de plomo?
10. ¿Cuál es el mayor número que puede dividir a la vez 612; 2040 y 8976?
COLEGIO TRILCE Página 50
DATOS SOLUCION
SOLUCIONDATOS
51. ARITMETICA
DEMUESTRA LO APRENDIDO
1. ¿Cuál es el mayor número de niños entre los cuales hay que repartir 12; 24 y 60
panes simultáneamente para que, en cualquiera de los casos, cada uno reciba la
misma cantidad?
2. Se tiene tres cubos de 84 cm
3
; 270 cm
3
y 330 cm
3
. ¿Cuál es el mayor volumen en
cm
3
que cabe un número exacto de veces en cada uno de ellos?
3. ¿Cuál es el menor número de caramelos que se puede repartir simultáneamente
entre 15 y 20 niñas para que en cada caso una niña reciba una cantidad exacta?
4. En una competencia automovilística de circuito cerrado, tres automóviles arrancan
juntos. Si tardan 10; 12 y 15 minutos en dar una vuelta completa. ¿Al cabo de qué
tiempo pasarán juntos por la línea de partida?
5. ¿Cuál será la mayor longitud de una medida con la que se puede medir exactamente
tres dimensiones 280; 1120 y 16000 metros?
6. Un tren sale cada 5 horas, otro tren sale cada 3 horas, si han salido al mismo tiempo,
a las 9 de la mañana. ¿Cuánto volverán a coincidir?
COLEGIO TRILCE Página 51
52. ARITMETICA
7. Una puerta se abre cada 20 segundos, otra cada 12 segundos y una tercera cada 30
segundos, si se abren simultáneamente a las 12 del día. ¿A qué hora vuelven a
abrirse simultáneamente?
8. ¿Cuál es la menor distancia que se puede medir exactamente con una regla de 30
cm, 40 cm ó de 50 cm?
9. Hallar el mayor número de niños entre los que se puede repartir, en partes iguales,
174 soles y 730 soles.
10. Una madre distribuye exactamente por partes iguales entre sus hijos: 90
caramelos y 75 chocolates. ¿Qué número de cada dulce corresponde a cada uno de
ellos?
DESAFÍO
Hallar la menor cantidad de soles que hay que repartir entre 5, 6, 9 y 13 niños, de tal manera que en
cada caso sobren 4 soles.
SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL
1. En: ;273abc = hallar el V.A.(c) + V.R.(a) - V.A.(b)
2. Indicar la suma de la cifra del segundo orden más la cifra del quinto orden en:
956 783
3. Indicar la suma de la cifra del primer lugar más la cifra del cuarto lugar en:
9 128 751
4. Si se cumple que: )a2(15 es el cuadruple de )a3(3 . Calcular el valor de a.
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53. ARITMETICA
5. Hallar un número de dos cifras, ambas diferentes de cero, tal que al restarle el mismo
número pero con las cifras invertidas, dé como resultado 27. Si se sabe que la suma
de las dos cifras es 13.
TRANSFORMACIÓN DE SISTEMA DE NUMERACIÓN
6. Convertir: 15042
(6)
a base ternaria.
7. Si: )b()a()65( 23;2b4;ab3
están correctamente escritos,
hallar: a + b + c
8. Hallar: )b()a()65( 23;2b4;ab3
9. Hallar: (a + b + c); si se cumple:
bca)1a)(1a( )3( =−+
10. Al mayor número de dos cifras de la base cuaternaria, transformarlo a la base
nonaria. Dar la suma de sus cifras (base nonaria).
PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS
11. Si: A = cantidad de divisores de 80.
B = suma de los tres primeros números primos de 2 cifras.
hallar: A + B
12. Si: A = 27 × 12 × 5 → _____________
B = 16 × 24 → _____________
C = 32 × 18 → _____________
hallar: CD
(A)
+ CD
(B)
+ CD
(C)
13. Si el siguiente número b7843 es divisible por 9. Calcular el valor de b
2
.
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54. ARITMETICA
14. Siendo: M = {x/x es divisor de 12} y N = {x/x es divisor de 18}; hallar la suma de los
elementos en: M ∩ N.
15. Se tienen los siguientes conjuntos:
A = {x/x es múltiplo de 4; x ∈ N};
B = {x/x ∈ N; x es múltiplo de 7}
hallar cuántos elementos tiene A ∩ B, si todos son de 2 cifras.
CRITERIOS DE DIVISIBILIDAD
16. Restas al año de tu nacimiento la suma de las cuatro cifras que lo componen. ¿El
resultado obtenido es múltiplo de 9? ¿Por qué?
17. Hallar a + b, si: 195by17a3
ºº
+=+= .
18. Hallar la suma de valores de a, si:
º
2nnma2 = .
19. Calcular la suma entre el mayor y el menor valor que puede tomar x en:
º
321x4 =
20. Hallar la suma de valores de a, si:
º
42a29 = .
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