La integral definida representa el área delimitada por curvas y rectas. Se utiliza para calcular cantidades en ciencias físicas y sociales definidas como suma, como trabajo realizado por una fuerza variable. El trabajo es la integral de la fuerza respecto al desplazamiento entre los límites del intervalo.

1. Alumna: Yoheli Zerpa
C.I: 29654864
Sección: MI12
Profesor: Domingo
Méndez

2. La integral definida es un concepto utilizado para determinar el valor de
las áreas limitadas por curvas y rectas. Dado el intervalo [a, b] en el que,
para cada uno de sus puntos x, se define una función f (x) que es mayor o
igual que 0 en [a, b], se llama integral definida de la función entre los
puntos a y b al área de la porción del plano que está limitada por la
función, el eje horizontal OX y las rectas verticales de ecuaciones x = a y
x = b.
La integral definida de la función entre los extremos del intervalo [a, b] se
denota como:

3. La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas
y sociales, ya que muchas cantidades de interés en dichas ciencias
pueden definirse mediante el tipo de suma que se presenta en la
integral definida. Antes de estudiar casos específicos en que se
utiliza la integral definida, daremos las siguientes definiciones:
Definición 1
Recibe el nombre de partición de un intervalo cerrado
[a, b] un conjunto de intervalos cerrados:
{[x0, x1], [x1, x2], [x2, x3], . . . , [xn−2, xn−1], [xn−1,
xn]}
que posee las propiedades:
1. [x0, x1] ∪ [x1, x2] ∪ . . . ∪ [xn−2, xn−1], [xn−1,
xn]} = [a, b]
2. [xi−1, xi ] ∩ [xi , xi+1] = xi con i ∈ {1, 2, . . . , n}
Definición 2
Cada intervalo en una partición de [a, b] se
llama subintervalo [a, b]. Una partición está
determinada por los números que son puntos
externos de los subintervalos de la partición.
Así, una partición que contenga n subintervalos
queda determinada por un conjunto de n + 1
números. {x0, x1, x2, . . . , xn−1, xn},

4. Sea y = f(x) > 0 en todo el intervalo correspondiente al recinto que encierra el área a determinar. Nos
interesa el área determinada entre la curva mencionada, el eje de abscisas y las rectas verticales x = a y
x = b.
Cuando el valor de una función continua es positivo en el intervalo a £ x £ b (o sea que la
gráfica de f se encuentra por encima del eje x), el área que está acotada por f, el eje x, x = a y
x = b se determina resolviendo

5. Determine el área determinada entre la curva y = f(x) = x2 - 6x + 10, el eje de abscisas y las
rectas x = 1 y x = 5.
Realizando la gráfica resulta que el área buscada es:
El valor se obtiene resolviendo la
integral
que resulta:
Área
=
Área=
Área =
El área vale=

6. Cuando el valor de una función continua f es negativo en el intervalo a £ x £ b (o sea que la
gráfica de f se encuentra por debajo del eje x), el área que está acotada por f, el eje x, x =a y
x = b se determina resolviendo

7. Determine el área encerrada entre la curva h(x) = x2 - 6x - 1, el eje x y las rectas x =
1 y x = 5. Gráficamente resulta:
Si realizamos los cálculos:
=

8. Cuando un punto (adimensional) se desplaza, genera una recta (una dimensión), si
esta recta se desplaza produce una superficie (dos dimensiones) y si esta superficie
se desplaza dá un volumen (tres dimensiones).
Siempre que nombramos un sólido, hablamos por lo menos de dos dimensiones,
y decimos que si un sólido se desplaza en alguna dirección va a generar el mismo. En
este caso vamos a hablar de rotación, es decir giros.
Cuando un segmento gira alrededor de un eje, es evidente que el sólido que se
genera es un cilindro hueco de la misma longitud del segmento y en este caso, una
figura geométrica conocida, pues existen expresiones matemáticas preestablecidas
que nos permiten hacerlo. Pero qué pasa cuando un triángulo da vueltas,
probablemente no conocemos una fórmula para calcular el volumen del sólido que
produce, en esta sección vamos a ver métodos permitidos para calcular algunos
volúmenes, cuando ciertos sólidos giran y cuyos contornos están definidos por una
función conocida.
Para desarrollar estos cálculos, tomaremos en cuenta varios casos entre ellos
citaremos cuando el eje de giro pertenece a la frontera del sólido que hace dicho
giro (método del disco) y cuando el eje del mismo no pertenece a la frontera (método
del anillo).

9. Encuentre el volumen del solido obtenido al girar la región encerrada por las curvas
y= x y y= x² en torno al eje x.
-solución:
Primero tenemos que igualar las curvas para obtener sus puntos de intersección:
x=x²
x−x²=0
X
(x−1)=0
x=0 y
x=1
ya con los puntos de intersección graficamos y rotamos, sacando el anillo que nos resulta (ani
En este punto tenemos que mirar cual es el radio
externo y cual el interno
El radio interno es y= x² y el radio externo es y= x.
Ahora hallamos el volumen:
V=π (R²−r²) dx
V=π =
Calculado entre 0 y 1=

10. Cuando queremos medir una curva, podemos dividir en segmentos cortos y midiendo y
sumando cada uno de estos segmentos obtendríamos una longitud muy aproximada de
la curva. En la figura siguiente tracemos una curva y luego tratar de conseguir una
expresión que nos permita medir con mayor exactitud la longitud de una curva.

11. Hallar la longitud del arco de la curva 9 y2 = 4 x3 comprendido entre los puntos de la
curva de abscisa x = 0 y x = 3
En este caso vemos que es sencillo expresar a y como función de x:
Derivando,
de manera que

12. Cuando aplicamos una fuerza a un cuerpo y producimos un desplazamiento, decimos que se ha realizado
un trabajo y su valor lo determinamos mediante el producto de la fuerza por el desplazamiento del cuerpo.
El alumno debe repasar las unidades de cada una de estas magnitudes en el respectivo sistema (MKS,
CGS, S.I etc.). Por ejemplo una de las magnitudes más usadas para el trabajo es el Joule, que resulta del
producto de la fuerza (Newton) por el desplazamiento (m).
Hasta ahora hemos considerado que la fuerza es constante. Si la fuerza F aplicada a un cuerpo varía
según el desplazamiento x causado, podemos decir que esa fuerza es F(x) y si el desplazamiento x ocurre
en un intervalo continuo, entonces el trabajo (Work) efectuado sobre el cuerpo es W = F(X)*X.
Si del intervalo [a,b] al que pertenece x, tomamos un sub.intervalo xk tan pequeño como se quiera D x
= xk - xk-1 ® 0 y aplicando la definición del límite de la suma de Riemann
podemos escribir: que representa el trabajo realizado por una fuerza que varía en función del
desplazamiento producido.