La integral definida es una herramienta útil para calcular cantidades en ciencias como el área bajo una curva, el volumen de un sólido de revolución, y la longitud de un arco de curva. Algunas aplicaciones comunes incluyen el cálculo del área delimitada por gráficas de funciones, el área lateral y volúmenes de revolución, y la longitud de un arco de curva.

1. Integral definida.
La integral definida es una herramienta útil en las ciencias físicas y sociales, ya que muchas
cantidadesde interésendichascienciaspuedendefinirsemedianteeltipode sumaque se presenta
en la integral definida.
La integral surge de un problema geométrico (el problema del área), además de esta aplicación
geométrica,mediante unaintegral podemoscalcularel volumende unsólidode revolución,el área
de una superficie de revolución y la longitud del arco de una curva.
Entre lasaplicacionesfísicas,podemosdestacarel trabajorealizadoporunafuerzayel cálculode la
masa y el centro de la masa de una varilla.
APLICACIONES DE LA INTEGRAL DEFINIDA.
Área del recinto limitado por la gráfica de una función.
Sea f(x) continúa y f(x) ≥ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función positiva, el eje de abscisas y dos rectas
verticales es:
Sea f(x) continúa y f(x) ≤ 0 para todo x en [a, b]:
El área del recinto limitado por la gráfica de una función negativa, el eje de abscisas y dos rectas
verticales es:

2. Sea f(x) continúa y f(x) toma valores positivos y negativos en sub-intervalos de [a, b]:
Cuandof(x) notiene signoconstante enel intervalo[a,b],sugráficadeterminaconel eje OXvarias
regiones.Habráque identificarel signode lafunciónencadauno de los sub-intervalosycalcularel
área de cada una de las regiones para posteriormente sumarlas.
Área del recinto limitado por la gráfica de dos funciones.
Si f1, f2 son dosfuncionesdistintas,integrablesen[a,b] y talesque f1(x) ≤ f2(x) para todo x en[a,
b], entonces el área de la región R = {(x,y)ÎÂ2, a ≤ x ≤ b y f1(x) ≤ y ≤ f2(x)}, es:
Si f1, f2 son dos funciones distintas, continuas en [a, b] y tales que sus gráficas se cruzan en un
número finito de puntos, entonces el área de la región limitada por estas curvas y las rectas
verticales x = a e y = b es:
Como caso particular, si f: [a, b] en  una función integrable en [a, b] que no mantiene signo
constante en dicho intervalo, entonces el área de la región limitada por la gráfica de f, el eje de
abscisas, y las rectas verticales x = a, y x = b es:

3. Área lateral de revolución:
Sea f una función real continua en [a, b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b];
entoncesel árealateral de revoluciónengendradaporf(x) al girarentornoal eje X,entre lasrectas
x=a y x=b, es:
Ejemplo 1
Calcularel área de la regiónlimitadaporlagráficade la funciónf y el eje Xen el intervaloindicado:
a) f(x) = |x| − |x − 1| en [−1, 2].

4. Ejemplo 2.
Hallar el área de la figura limitada por la función f(x) = x(x −
1) (x − 2) y el eje OX.
Solución:
Como la curva corta al eje OX en los puntos de abscisa x = 0, x = 1 y
x = 2.
Volúmenes de revolución:
El volumen V de revolución engendrado por el área que define una curva continua f(x) sobre un
intervalo dado del eje de abscisas puede considerarse igual a la suma de los infinitos cilindros de
altura infinitesimal que pueden ser construidos por cortes perpendiculares al eje de simetría del
volumenV (el volumendel cilindroinfinitesimal:superficie de labase –círculo de radio f(xi)- porla
altura Δxi).
Seaf una funciónreal continuaen[a,b],entoncesel volumende revoluciónengendrado al giraren
torno al eje X,el recintolimitadoporlasrectasx=a, x=b,el eje X y lagráfica de f(x) viene dado por:

5. Ejemplo 1.
Hallar el volumen del cuerpo engendrado por la rotación, alrededor del eje OX, de la superficie
limitada por el eje OX y la parábola y = ax − x2 (a > 0).
Ejemplo 2.
Calcular el volumen del sólido engendrado por la rotación de la región limitada por los ejes
coordenados y la curva de ecuación √ x + √y = √ a (a > 0) alrededor del eje OX.

6. Longitud del arco de una curva:
La longitudde unarcocualquieraparaunacurvacontinuae integrableRiemann,se obtendríacomo
la suma infinita de las longitudes infinitesimales de arco.
Sea f una función real continua en [a,b], tal que su derivada f ' también es continua en [a, b];
entonces la longitud de la gráfica de f entre x=a y x=b es:
Ejemplo 1.
Hallar la longitud del arco de la parábola x 2 = 2py, con p > 0, comprendida en el intervalo [0, a].
Ejemplo 2.
Hallar la longitud de la astroide de ecuación x 2/3 + y 2/3 = a 2/3.