El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, las propiedades de la integral definida, el teorema fundamental del cálculo y su relación con la derivación e integración, y ejemplos de cálculo de integrales definidas utilizando diferentes métodos como la regla de Barrow. También presenta aplicaciones como el cálculo de áreas, volúmenes de objetos generados por rotación, y el área entre dos funciones.
El documento presenta una introducción al cálculo integral, incluyendo: 1) La definición de integral definida y su relación con el área bajo una curva; 2) La notación sumatoria y sumas de Riemann para aproximar áreas; 3) El teorema fundamental del cálculo que establece que la derivación e integración son operaciones inversas. Se explican conceptos como función primitiva e integral indefinida y se presentan propiedades de la integral definida. Finalmente, se incluyen objetivos de aprendizaje relacionados con contextualizar el
Este documento trata sobre campos vectoriales conservativos. Explica que un campo es conservativo si es el campo gradiente de una función potencial. Da criterios para determinar si un campo es conservativo y muestra un ejemplo de averiguar si un campo dado es conservativo y, de serlo, hallar su función potencial. Finalmente, incluye referencias bibliográficas sobre el tema.
El documento presenta una introducción a las ecuaciones diferenciales. Define una ecuación diferencial como una ecuación que contiene derivadas de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes. Explica que resolver una ecuación diferencial significa encontrar la función analítica que satisface la ecuación. También clasifica las ecuaciones diferenciales según su tipo, orden, grado y linealidad. Finalmente, presenta algunos métodos comunes para resolver ecuaciones diferenciales y propone ejercicios de práctica.
Este documento define e introduce las integrales de línea. Define la integral de línea de campos escalares y vectoriales como la integral de la función o campo a lo largo de una curva. Explica que las integrales de línea son independientes de la parametrización de la curva y de la orientación de la curva. También presenta algunas propiedades como la linealidad y continuidad, y da ejemplos como el cálculo del trabajo realizado por un campo de fuerzas.
Este documento presenta la visión, misión y contenidos de la asignatura de Física II. Su visión es ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú para el año 2020, reconocida por su excelencia académica. Su misión es formar personas competentes, íntegras y emprendedoras con visión internacional. Los contenidos se dividen en cuatro unidades y tratan sobre temas como movimiento periódico, mecánica de fluidos, electromagnetismo y ondas electromagnéticas.
Este documento presenta información sobre matrices. Introduce conceptos básicos como definiciones de matrices, operaciones entre matrices como suma y multiplicación, y clasificaciones de matrices como cuadradas, identidad y escalares. Explica cada concepto con ejemplos numéricos para ilustrarlos.
Este documento presenta información sobre el movimiento armónico simple (MAS) y su aplicación a péndulos. Explica que para que el movimiento de un péndulo se describa con las ecuaciones del MAS, el ángulo debe ser pequeño. También presenta ecuaciones para calcular el periodo de un péndulo simple y ejemplos numéricos de cálculos relacionados con péndulos.
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Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y funciones. Define el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a pertenece a A y b pertenece a B. También introduce las nociones de relación, dominio, recorrido, composición de relaciones e inversa de una relación. Finalmente, explica las propiedades de una relación de equivalencia y la noción de clase de equivalencia.
Este documento contiene 10 secciones sobre problemas resueltos de estática. Cada sección cubre un tema como fuerzas y momentos, equilibrio de puntos y sólidos, sistemas de fuerzas, cables y vigas. Incluye ejemplos numéricos resueltos de determinar fuerzas desconocidas, tensiones en cables y equilibrio de sistemas.
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Este documento contiene varios problemas resueltos relacionados con el cálculo del flujo eléctrico a través de superficies planas y no planas ubicadas en campos eléctricos uniformes y no uniformes. Se calculan expresiones para el flujo eléctrico a través de planos, esferas y otras figuras geométricas simples ubicadas en diferentes posiciones dentro de campos eléctricos puntuales y uniformes.
El documento presenta varios ejemplos resueltos sobre circuitos de corriente continua. El primer ejemplo calcula la corriente, voltaje y potencia en un circuito con una batería y resistor de carga. El segundo ejemplo demuestra que la máxima potencia ocurre cuando la resistencia de carga iguala la resistencia interna de la batería. El tercer ejemplo encuentra la resistencia equivalente de un circuito con cuatro resistores.
Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
Este documento presenta métodos para resolver ecuaciones diferenciales, incluyendo variables separables, ecuaciones homogéneas y ecuaciones de coeficientes lineales. Define variables separables y muestra cómo integrarlas para obtener la solución general. Explica que las ecuaciones homogéneas pueden transformarse en variables separables mediante sustituciones adecuadas. Resuelve varios ejercicios como ejemplos de aplicación de estos métodos.
Este documento introduce las funciones de varias variables y discute cómo graficarlas. Presenta ejemplos de funciones de R2 a R, R3 a R y R4 a R. Explica que la gráfica de una función se define como el conjunto de puntos (x, y) tales que y = f(x) para x en el dominio, y solo puede representarse gráficamente para n = 1, 2.
Este documento presenta la resolución de 6 problemas relacionados con ondas y sonido. Los problemas resueltos incluyen calcular parámetros como la frecuencia, longitud de onda y velocidad de propagación de una onda, así como la velocidad y aceleración de una partícula vibrante. También se calculan la intensidad y el nivel de presión de ondas sonoras.
Este documento resume los conceptos clave de las ecuaciones diferenciales de primer orden, incluyendo:
1) Ecuaciones diferenciales exactas, donde la expresión es la derivada de una función f(x,y).
2) Ecuaciones exactas por factor integrante, donde un factor μ hace que la expresión sea exacta.
3) Ecuaciones diferenciales lineales, que pueden resolverse como la suma de soluciones homogéneas y particulares.
4) El método general para resolver ecuaciones lineales involucra identificar el factor integrante epx(
Este documento trata sobre la fricción. Explica que la fricción es una fuerza importante que permite que objetos permanezcan en reposo o se detengan. Describe las leyes de fricción estática y cinética según Coulomb y Morin, y explica que la fricción depende de la normal y la rugosidad de las superficies. También define el ángulo de fricción y ángulo de reposo.
El documento presenta la solución a varios problemas de física relacionados con el movimiento de partículas. En el problema 11.1, se determina la posición, velocidad y aceleración de una partícula cuando t = 4s. En el problema 11.7, se calcula el tiempo, posición y velocidad cuando la aceleración es 0. Finalmente, en el problema 11.17 se determina el valor de k y la velocidad cuando la posición es 120 mm.
Este documento presenta información sobre matrices. Introduce definiciones básicas de matrices como arreglos rectangulares de números y tipos de matrices como matrices identidad y escalares. Explica operaciones entre matrices como suma, requiriendo que tengan el mismo tamaño. El objetivo es resolver problemas con matrices en ingeniería y ciencias aplicadas.
Ecuaciones diferenciales exactas y por factor integranteFlightshox
El documento explica las ecuaciones diferenciales exactas y cómo resolverlas. Define una ecuación diferencial exacta como aquella que puede escribirse en la forma df=0, donde f es una función tal que sus derivadas parciales son iguales. Explica que la solución de una ecuación diferencial exacta está dada por la ecuación f(x,y)=c. También cubre el concepto de factor integrante y cómo usarlo para resolver ecuaciones diferenciales que no son exactas. Finalmente, presenta varios ejemplos para ilustrar estos conceptos.
Este documento describe un laboratorio sobre mediciones realizado por estudiantes de ingeniería industrial. Los estudiantes midieron el largo y ancho de un rectángulo con diferentes reglas y calculan el perímetro y área. Aprendieron sobre cifras significativas, errores de medición e instrumentos como micrómetros y pie de rey. El laboratorio les ayudó a practicar habilidades prácticas y de colaboración para reforzar sus conocimientos en física y mediciones.
Este documento define una función vectorial y explica cómo calcular su dominio. Primero introduce las funciones vectoriales y da un ejemplo. Luego define formalmente el dominio de una función vectorial como el conjunto común de los dominios de sus componentes. Finalmente, resuelve tres ejemplos para ilustrar cómo calcular el dominio de diferentes funciones vectoriales.
Este documento presenta los resultados de un experimento de laboratorio para verificar la Ley de Ohm. El experimento involucró medir la corriente eléctrica y la tensión en un alambre de cromo-níquel y una resistencia acumulada al variar la tensión de una fuente. Los resultados mostraron una relación directamente proporcional entre la corriente y la tensión, verificando la Ley de Ohm para estos circuitos ohmicos.
Una pelota de 200 N cuelga de una cuerda unida a otras dos cuerdas. Se aplica el equilibrio de fuerzas para encontrar las tensiones desconocidas en las cuerdas A, B y C. Se construye un diagrama de cuerpo libre y se escriben ecuaciones para las fuerzas a lo largo de los ejes x y y. Se resuelven las ecuaciones simultáneamente para encontrar que la tensión en A es 147 N, en B es 104 N, y en C es 200 N, igual al peso de la pelota.
En esta presentación de FdeT aprenderás a demostrar que un determinado conjunto es un espacio vectorial paso a paso. Así como a demostrar la independencia lineal de un conjunto de vectores y a calcular el subespacio complementario de uno dado.
El documento presenta 15 problemas relacionados con el cálculo de áreas y volúmenes limitados por funciones, rectas y ejes de coordenadas. Los problemas incluyen hallar el área bajo curvas como parábolas, elipses, círculos y funciones; y calcular volúmenes de figuras de revolución al girar áreas alrededor de ejes.
El documento analiza las asíntotas verticales, horizontales y oblicuas de varias funciones. Determina que algunas funciones tienen asíntotas verticales donde el denominador se anula y el límite es infinito, y que otras no las tienen si el límite es finito. También calcula los límites en el infinito para identificar si hay asíntotas horizontales cuando el límite es constante, o no las hay si el límite no existe. Finalmente, concluye que algunas funciones tienen asíntotas oblicuas de la forma y=mx+n cuando el grado
Este documento presenta conceptos básicos sobre relaciones y funciones. Define el producto cartesiano de dos conjuntos A y B como el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) donde a pertenece a A y b pertenece a B. También introduce las nociones de relación, dominio, recorrido, composición de relaciones e inversa de una relación. Finalmente, explica las propiedades de una relación de equivalencia y la noción de clase de equivalencia.
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Ecuaciones diferenciales - Métodos de SoluciónKike Prieto
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4) El método general para resolver ecuaciones lineales involucra identificar el factor integrante epx(
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El documento explica cómo calcular el área bajo una curva en Graphmatica. Primero se grafica la función seno(x) de 0 a 2π y se usa la herramienta de integral para calcular el área bajo la curva. Sin embargo, el resultado es 0, por lo que se debe dividir el intervalo en [0,π] y [π,2π] y calcular cada parte por separado, obteniendo un área total de 4.
Propiedades Coligativas De Soluciones QuimicasAngie_96
Las propiedades coligativas son aquellas que dependen del número de partículas de soluto en una solución y no de su identidad. Las más comunes son el descenso de la presión de vapor, el descenso del punto de congelación, el aumento del punto de ebullición y la presión osmótica. Estas propiedades se ven afectadas por la cantidad de soluto disuelto y siguen ecuaciones matemáticas que relacionan la variación de la propiedad con la concentración de la solución.
Cinematica Nivel Cero Problemas Resueltos Y Propuestosguest229a344
1) Una partícula se desplaza entre dos puntos en 10 segundos. Su velocidad media es de 0,4 m/s en la dirección i, 1 m/s en la dirección j y -2,2 m/s en la dirección k.
2) La velocidad media y la rapidez media son iguales cuando la partícula se mueve en línea recta con velocidad constante o cuando el desplazamiento es igual a la longitud de la trayectoria.
3) El ángulo entre la velocidad inicial de una partícula y su desplazamiento es
Este documento describe diferentes unidades físicas para expresar la concentración de soluciones, incluyendo porcentaje peso a peso, porcentaje volumen a volumen, porcentaje peso a volumen y partes por millón. Proporciona ejemplos de cómo calcular la concentración en cada unidad para diferentes soluciones acuosas.
El documento explica los conceptos básicos de la integral definida, incluyendo su definición como el área bajo la curva de una función entre dos límites, y algunas de sus propiedades principales como la linealidad y el cambio de variable. También describe aplicaciones como calcular áreas, volúmenes de revolución, y la relación entre la integral y la derivada a través del teorema fundamental del cálculo.
1) La integral definida representa el área delimitada entre la gráfica de una función, los ejes y los límites del intervalo de integración.
2) El Teorema Fundamental del Cálculo establece que la derivación e integración son operaciones inversas, de modo que derivar una función integral devuelve la función original.
3) Las integrales definidas se pueden utilizar para calcular áreas planas y volúmenes de cuerpos de revolución.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. La integral definida representa el área limitada entre una función, el eje horizontal y los límites del intervalo. El documento también cubre cómo calcular áreas limitadas por funciones, entre dos funciones, y volúmenes de revolución utilizando integrales definidas.
Este documento presenta conceptos básicos sobre la integral definida, incluyendo su definición como el área delimitada entre una función, los ejes y los límites de integración. Explica propiedades como cambiar el signo al permutar los límites o ser cero si coinciden. También introduce la función integral y su relación con la derivada a través del teorema fundamental del cálculo. Finalmente, ofrece ejemplos de cálculo de áreas planas y volúmenes de revolución.
Los documentos tratan sobre diferentes temas relacionados con el cálculo integral y diferencial como calcular áreas limitadas por curvas, longitudes de arco, volúmenes de revolución y la aplicación del teorema del valor medio. Se presentan ejemplos resueltos de cada uno de estos temas ilustrando los pasos para calcular las integrales correspondientes.
El documento explica cómo calcular el área entre dos funciones o entre una función y un eje. Indica que el área es igual a la integral de la función situada por encima menos la función situada por debajo. Proporciona ejemplos de cómo calcular estas áreas y encontrar los límites de integración analizando los puntos de corte de las funciones.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica que la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y rectas. Además, presenta métodos como el de trapecios y Simpson para aproximar el valor de integrales definidas.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento explica el concepto de integral definida y sus propiedades. Introduce la integral definida como el límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito y su tamaño tiende a cero. Explica cómo la integral definida puede usarse para calcular áreas delimitadas por curvas y líneas rectas. También resume métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar valores de integrales definidas.
Este documento introduce el concepto de integral definida y describe su aplicación para calcular áreas bajo curvas. Explica que la integral definida surge del límite de una suma de áreas de rectángulos cuando el número de rectángulos tiende a infinito. También describe métodos como las reglas del trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida en matemáticas. Explica que una integral es la suma de infinitos sumandos infinitesimales y que se utiliza principalmente para calcular áreas y volúmenes. Además, presenta algunos objetivos del cálculo integral como calcular áreas de regiones, integrales definidas e integrales múltiples. Finalmente, introduce conceptos como la integral de Riemann y el teorema fundamental del cálculo.
Aplicaciones de la integral definida. javier davidJavier Pereira
La integral definida es una suma de infinitos sumandos infinitesimales que representa el área bajo una curva. Existen métodos como el trapecio y Simpson para aproximar el valor de una integral definida. Los sólidos de revolución se generan al girar una curva sobre un eje, y su volumen se puede calcular usando el método de los discos o cascarones cilíndricos.
Este documento explica el concepto de integral definida y su cálculo. Introduce la noción de integral de Riemann como el límite de sumas de áreas de rectángulos en particiones cada vez más finas de un intervalo. Explica cómo usar la regla de Barrow para calcular integrales definidas mediante el cálculo de primitivas. Finalmente, presenta algunas aplicaciones como calcular el área bajo una curva.
Este documento explica diferentes aplicaciones de las integrales para calcular áreas y volúmenes. Explica cómo calcular el área de una función positiva o negativa, o una función que toma valores positivos y negativos, así como el área entre dos funciones y el volumen de una función al girarla alrededor de un eje. Proporciona ejemplos resueltos de cada uno de estos casos.
Este documento trata sobre el cálculo de integrales definidas. Explica el concepto de integral definida para funciones escalonadas como la suma de áreas de rectángulos. Luego introduce la integral de Riemann para funciones acotadas mediante funciones escalonadas por defecto y exceso. Finalmente presenta el Teorema Fundamental del Cálculo que relaciona la integral definida con la derivada de su primitiva.
29 Pp Ejercicios Resueltos De Integrales(1)jctotre
Este documento presenta la noción de integral definida y su significado como el área bajo una curva. Explica cómo Riemann definió la integral de una función escalonada como la suma de las áreas de los rectángulos debajo de la función, y cómo esto puede generalizarse a funciones continuas usando particiones más finas que hacen coincidir el área inferior y superior. También introduce el teorema fundamental del cálculo, que vincula la derivada de una primitiva con la función original.
El documento presenta una introducción a los conceptos de integral definida y integral de Riemann. Explica que la integral definida de una función escalonada es la suma de las áreas de los rectángulos determinados por la función en cada intervalo de una partición dada. Luego, define la integral de Riemann de una función cualquiera como el límite de las sumas de las áreas de funciones escalonadas por defecto y por exceso, y establece que toda función continua es integrable. Finalmente, enuncia el teorema fundamental del cálculo y la regla de Bar
Este documento describe las aplicaciones de la integral definida, incluyendo el cálculo de áreas delimitadas por curvas. Explica que la integral definida puede usarse para determinar el área bajo una curva entre dos puntos, ya sea mediante la suma de áreas de rectángulos o aproximando la función con funciones escalonadas. También muestra ejemplos de cómo calcular el área de figuras más complejas limitadas por dos funciones o curvas.
Este documento proporciona una introducción a la integral definida y al cálculo de áreas bajo curvas. Explica cómo dividir un intervalo en subintervalos para aproximar el área total, y cómo el número de subdivisiones afecta la precisión de la aproximación. También define la integral de Riemann y el Teorema Fundamental del Cálculo, que relaciona la derivación e integración.
Este documento trata sobre el concepto de integral definida y su cálculo. Explica cómo Riemann definió la integral de una función a través de funciones escalonadas, y cómo esto condujo al desarrollo del cálculo de áreas bajo curvas. También presenta el Teorema Fundamental del Cálculo y la regla de Barrow, que permiten calcular integrales definidas encontrando primitivas. Por último, muestra algunas aplicaciones como el cálculo de áreas entre dos curvas.
1. Integral definida
Dada una función f(x) de variable real y un intervalo [a,b]∈ ℝ, la integral definida es igual al
área limitada entre la gráfica de f(x), el eje de abscisas, y rectas x = a y x = b.
Se representa por ∫𝒂𝒂 𝒇𝒇(𝒙𝒙)𝒅𝒅𝒅𝒅.
𝒃𝒃
∫ es el signo de integración.
a límite inferior de la integración.
b límite superior de la integración.
f(x) es el integrando o función a integrar.
dx es diferencial de x, e indica cuál es la variable de la función que se integra.
Propiedades de la integral definida
1. El valor de la integral definida cambia de signo si se permutan los límites de integración.
2. Si los límites que integración coinciden, la integral definida vale cero.
3. Si c es un punto interior del intervalo [a, b], la integral definida se descompone como una
suma de dos integrales extendidas a los intervalos [a, c] y [c, b].
4. La integral definida de una suma de funciones es igual a la suma de integrales (Propiedad de
linealidad)·
5. La integral del producto de una constante por una función es igual a la constante por la integral
de la función.
1
2. Función integral
Sea f(t) una función continua en el intervalo [a, b]. A partir de esta función se define la función
integral:
que depende del límite superior de integración.
Geométricamente la función integral, F(x), representa el área del recinto limitado por la curva
y = f(t), el eje de abscisas y las rectas t = a y t = x.
A la función integral, F(x), también se le llama función de áreas de f en el intervalo [a, b].
Teorema fundamental del cálculo
𝐹𝐹(𝑥𝑥) = ∫𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑡𝑡)𝑑𝑑𝑑𝑑=
𝑏𝑏
Sea f(x) una función continua en (a,b). Sea
Entonces
F'(x) = f(x)
El teorema fundamental del cálculo nos indica que la derivación y la integración son
operaciones inversas: si una función continua primero se integra y luego se deriva, se recupera la función
original.
Ejemplos
Calcular la derivada de las funciones:
2
3. Regla de Barrow
Isaac Barrow (1630-1677) fue un matemático inglés, cuya aportación más importante a las
Matemáticas fue la unión del cálculo diferencial e integral. La regla de Barrow dice que la integral
definida de una función continua f(x) en un intervalo cerrado [a, b] es igual a la diferencia entre los
valores que toma una función primitiva G(x) de f(x), en los extremos de dicho intervalo.
3
5. Calculamos la integral definida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Integramos por partes.
También se puede hacer sin transformar los límites de integración y volviendo a la variable inicial.
Teorema de la media
El teorema de la media o teorema del valor medio para integrales dice que:
Si una función es continua en un intervalo cerrado [a, b], existe un punto c en el interior del
intervalo tal que:
5
6. Ejemplos
1. Hallar el valor de c, del teorema de la media, de la función f(x) = 3x2 en el intervalo [−4, −1].
Como la función es continua en el intervalo [−4, −1], se puede aplicar el teorema de la media.
La solución positiva no es válida porque no pertenece al intervalo.
2. ¿Es aplicable el teorema del valor medio del cálculo integral a la siguiente función en el
intervalo [0, 1]?
Como la función es continua en [0, 1], se puede aplicar el teorema de la media.
6
10. 15
Aplicaciones de la integral
Área de una función y el eje de abscisas
1. La función es positiva
Si la función es positiva en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por encima del
eje de abscisas. El área de la función viene dada por:
Para hallar el área seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º El área es igual a la integral definida de la función que tiene como límites de integración los
puntos de corte.
Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = 4x − x 2 y el eje OX.
En primer lugar hallamos los puntos de corte con el eje OX para representar la curva y conocer los
límites de integración.
10
11. En segundo lugar se calcula la integral:
2. Hallar el área de la región del plano encerrada por la curva y = ln x entre el punto de corte con
el eje OX y el punto de abscisa x = e.
En primer lugar calculamos el punto de corte con el eje de abscisas.
2. La función es negativa
Si la función es negativa en un intervalo [a, b] entonces la gráfica de la función está por debajo del
eje de abscisas. El área de la función viene dada por un viene dada por:
11
12. Ejemplos
1. Calcular el área del recinto limitado por la curva y = x2 − 4x y el eje OX.
2. Hallar el área limitada por la curva y = cos x y el eje Ox entre π/2 y 3π/2.
3. La función toma valores positivos y negativos
En ese caso el el recinto tiene zonas por encima y por debajo del eje de abscisas. Para calcular el
área de la función seguiremos los siguientes pasos:
1º Se calculan los puntos de corte con con el eje OX, haciendo f(x) = 0 y resolviendo la ecuación.
2º Se ordenan de menor a mayor las raíces, que serán los límites de integración.
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13. 3º El área es igual a la suma de las integrales definidas en valor absoluto de cada intervalo.
Ejemplos
1. Calcular el área de las regiones del plano limitada por la curva f(x) = x3 − 6x2 + 8x y el eje OX.
El área, por razones de simetría, se puede escribir:
2. Calcular el área del círculo de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
El área del círculo es cuatro veces el área del primer cuadrante.
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14. Calculamos la integral indefinida por cambio de variable.
Hallamos los nuevos límites de integración.
Área comprendida entre dos funciones
El área comprendida entre dos funciones es igual al área de la función que está situada por encima
menos el área de la función que está situada por debajo.
Ejemplos
1. Calcular el área limitada por la curva y = x2 -5x + 6 y la recta y = 2x.
En primer lugar hallamos los puntos de corte de las dos funciones para conocer los límites de
integración.
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15. De x = 1 a x = 6, la recta queda por encima de la parábola.
2.Calcular el área limitada por la parábola y2 = 4x y la recta y = x.
De x = o a x = 4, la parábola queda por encima de la recta.
3.Calcular el área limitada por las gráficas de las funciones 3y =x2 e y = −x 2 + 4x.
En primer lugar representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
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16. Hallamos también los puntos de corte de las funciones, que nos darán los límites de integración.
4. Calcula el área de la figura plana limitada por las parábolas y= x2 − 2x, y = −x2 + 4x.
Representamos las parábolas a partir del vértice y los puntos de corte con los ejes.
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17. 5.Hallar el área de de la región limitada por las funciones:
y = sen x, y = cos x, x = 0.
En primer lugar hallamos el punto de intersección de las funciones:
La gráfica del coseno queda por encima de la gráfica del seno en el intervalo de integración.
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18. Volumen de un cuerpo de revolución
El volumen del cuerpo de revolución engendrado al girar la curva f(x) alrededor del eje OX y
limitado por x = a y x = b, viene dado por:
Ejemplos
1. Hallar el volumen engendrado por las superficies limitadas por las curvas y las rectas dadas al
girar en torno al eje OX:
y = sen x x=0 y x=π
2. Calcular el volumen del cilindro engendrado por el rectángulo limitado por las rectas y = 2, x =
1 y x = 4, y el eje OX al girar alrededor de este eje.
3. Calcular el volumen de la esfera de radio r.
Partimos de la ecuación de la circunferencia x² + y² = r².
Girando un semicírculo en torno al eje de abscisas se obtiene una esfera.
4. Calcular el volumen engendrado por la rotación del área limitada por la parábola y2 = x y la
recta x = 2, alrededor del eje OY.
Como gira alrededor del eje OY, aplicamos:
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19. El volumen será la diferencia del engendrado por la recta y el engendrado por la parábola entre los
extremos y = −4 e y = 4.
Como la parábola es simétrica con respecto al eje OX, el volumen es igual a dos veces el volumen
engendrado entre y = 0 e y = 4.
5. Hallar el volumen del elipsoide engendrado por la elipse 16x2 + 25y2 = 400, al girar:
1 Alrededor de su eje mayor.
2 Alrededor de su eje menor.
Como la elipse es simétrica al respecto de los dos ejes el volumen es el doble del engendrado por
la porción de elipse del primer cuadrante en ambos casos.
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20. 6. Calcular el volumen engendrado al girar alrededor del eje OX el recinto limitado por las
gráficas de y = 2x −x 2, y = −x + 2.
Puntos de intersección entre la parábola y la recta:
La parábola está por encima de la recta en el intervalo de integración.
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