El documento describe los conceptos de amortiguamiento y vibración libre amortiguada. Explica que el amortiguamiento se produce por la pérdida de energía en un sistema debido a fuerzas de fricción. Describe tres tipos de amortiguamiento - viscoso, de Coulomb y histerético - y presenta las ecuaciones matemáticas que los modelan. También analiza la solución de la vibración libre amortiguada en función del factor de amortiguamiento.

1. DM11
Dr. Jorge Hurel Ezeta
Facultad de Ingeniería Mecánica y Ciencias de la Producción
Amortiguamiento
Vibración libre amortiguada

2.  En todo cuerpo el movimiento tiende
a disminuir con el tiempo y esta
asociado a la pérdida de energía
presente en el sistema.
 Esta pérdida de energía es producida
por fuerzas de amortiguamiento o de
fricción que obran sobre el sistema.
 La energía, ya sea cinética o
potencial, se transforma en otras
formas de energías tales como el
calor o ruido.
Amortiguamiento

3. Amortiguamiento
 Las formas más utilizadas para describir los
fenómenos de amortiguamiento son:
- Amortiguamiento Viscoso
- Amortiguamiento de Coulomb
- Amortiguamiento Histerético

4. Amortiguamiento Viscoso
Un cuerpo que se encuentra en movimiento dentro de un
fluido tiende a perder energía cinética debido a su
viscosidad que se opone al movimiento. Esta pérdida de
energía es directamente asociada a la velocidad del
movimiento.
2
x
c
F
x
c
F a
a

 


5. Amortiguamiento de Coulomb
 Este amortiguamiento corresponde al fenómeno
físico de fricción entre superficies secas.
 Esta fuerza se opone al movimiento, por lo que
tiene signo contrario al de la velocidad
 Su tratamiento matemático no puede realizarse por
medio de funciones continuas ya que dependen de
la velocidad

6. Amortiguamiento Histerético
 Es causado por la fricción interna en el material cuando
éste es deformado.
 Dependiendo del tipo de material la curva de carga es
diferente a la curva de descarga, por lo que no toda la
energía de deformación acumulada en el elemento se
convierta en energía cinética en el ciclo de descarga.

7. Obtenemos las ecuaciones del movimiento asumiendo
amortiguamiento viscoso:
La solución de esta ecuación tiene dos partes.
Si F(t) = 0, tenemos la ecuación diferencial homogénea que corresponde a la
vibración libre amortiguada.
Con F(t) ≠ 0, obtenemos la solución particular que es causada por la fuerza
excitadora que corresponde a la vibración forzada amortiguada.
Examinaremos primero la solución homogénea la cual nos dará una
comprensión del papel que desempeña el amortiguamiento.
x
m
F
mg
F
F
mg
k
E
P
x
m
F
a
r













 .
.
  x
m
F
mg
x
C
x
k 

 






 
t
F
kx
x
C
x
m 

 



8. Tabla de propiedades de la Transformada
de Laplace

9. Continuación ...

10. • La ecuación dif. es:
• Con C.I., x(0)=yo, x’(0)=v0 Aplicamos Laplace:
0


 x
m
K
x
m
C
x 


          0
0
2
'
2
0
0 v
sx
s
F
s
f
sf
s
F
s
x
L 







        0
0 x
s
sF
f
s
sF
x
L 




   
s
F
x
L   
   
    0
0
0
0
2





 s
F
m
k
x
s
sF
m
C
v
sx
s
F
s
  0
0
0
2
x
m
C
v
sx
m
K
s
m
C
s
s
F 










 
)
(
)
(
2
2
0
0
0
s
q
s
p
s
m
C
s
x
m
C
v
sx
s
F
n













El polinomio q(s) del denominador, cuando se iguala a cero, se denomina ecuación
característica, ya que las raíces de esta ecuación(polos) determinan el carácter de
la respuesta temporal.

11. De la ecuación característica a=1, b=C/m y c=ω2. La solución es de la
forma:
    
 
2
2
2
2
2
1
2
1
4
n
m
c
m
c
m
k
m
C
m
C
s 














• El factor de amortiguamiento crítico (cc) se tiene cuando la raíz es cero, Así:
La relación de amortiguamiento ζ(zeta), es
• Usando estas relaciones, obtenemos:   2
2
n
n
n
s 

 


  n
s 

 1
2



d
n
s 

 

1
2

 

 n
d
frecuencia natural amortiguada
n
crit
n
crit
m
c
m
c

 2
0
2
2
2











12.  
 
 
 
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
2
2
0
0
0
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
s
s
x
x
x
sx
s
s
x
x
sx
s
m
C
s
x
m
C
v
sx
s
F
































de la tabla de transformada de
Laplace
   
        































2
2
0
0
2
2
0
2
2
0
0
2
2
0
d
n
d
d
n
d
n
n
d
n
n
d
n
n
s
x
x
s
s
x
s
x
x
s
x
s
s
F













 

   
    2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
2 d
n
n
n
n
n
n
n s
s
s
s 









 










  t
sen
e
x
x
t
e
x
t
x d
t
d
n
d
t n
n



 
 
 

 0
0
0
cos


13.   












 
t
x
t
sen
x
x
e
t
x d
B
d
A
d
n
t
n





cos
0
0
0






   
d
d
t
t
sen
e
X
t
x n




 
0

14. La ecuación diferencial se puede expresar
como:
• Su solución general está dada por:
• Dependiendo del valor de
ζ, esta solución puede ser
oscilatoria o no-oscilatoria.
0


 x
m
K
x
m
C
x 


0
2 2


 x
x
x n
n

 


• la forma de la solución general es:

15. Amortiguamiento Supercrítico o
Sobreamortiguamiento (ζ > 1)
Solución no-periódica, raíces reales de la
ecuación característica. Ejemplos de este tipo
de amortiguamiento son los mecanismos de
retorno rápido como los de las puertas.

16. Amortiguamiento
Crítico (ζ = 1):
• Solución no-periódica, raíces
reales repetidas.

17. Amortiguamiento Subcrítico o
Subamortiguamiento (ζ < 1):
• Raíces complejas conjugadas, solución oscilatoria.
Haciendo:
A ωA se le denomina Frecuencia Amortiguada.
     t
i
t
i A
n
A
n
Be
Ae
t
x 


 





   
t
i
t
i
t A
A
n
Be
Ae
e
t
x 

 




   
t
B
t
Asen
e
t
x A
A
t
n



cos

 
 
 
 




 
t
sen
Xe
t
x A
t
X
t
n



1
2


 


 n
A
d

18. Amortiguamiento Subcrítico o Subamortiguamiento (ζ < 1):
  t
n
Xe
t
X 



19. MATLAB utiliza un método de Runge-
Kutta para resolver ecuaciones
diferenciales, que es válido solo para
ecuaciones de primer orden.
la ecuación (1) se reduce a dos
ecuaciones diferenciales de primer
orden
Por lo tanto, para cinco ciclos de tiempo, t= 3,16 s
  kx
cv
v
m
y
v
x 



 
 2
 
1
y
x
x
m
k
v
m
c
v 










     
1
2
2 y
m
k
y
m
c
y 




20. function yp = unforced1(t,y)
m=1; k=100 ;c=2;
yp = [y(2);(-((c/m)*y(2))-((k/m)*y(1)))];
clear;clc;
tspan=0:0.001:3.5;
y0=[0.02;0];
[t,y]=ode45('unforced1',tspan,y0);
figure
subplot(2,1,1); plot(t,y(:,1));
grid on
xlabel('time [s]')
ylabel('Displacement [m]')
subplot(2,1,2); plot(t,y(:,2));
grid on
xlabel('time [s]')
ylabel('Velocidad [m/s]’)
hold on;

21.   t
f
kx
cv
v
m
y
v
x 
sin
2 




 

 
1
sin y
x
x
m
k
v
m
c
t
m
f
v 








 

     
1
2
sin
2 y
m
k
y
m
c
t
m
f
y 

 

   
2
1 y
y 

Por lo tanto, para cinco ciclos de tiempo, t= 3,16 s
Para indicar la respuesta transiente y estable ampliamos el tiempo a 10s

22. function yp = funforced1MRA(t,y)
m=1;k=100;f=100;wf=20;c=2;
yp = [y(2);(((f/m)*sin(wf*t))-((c/m)*y(2))-((k/m)*y(1)))];
clear; clc;
tspan=0:0.001: 10;
y0=[0.02;0];
[t,y]=ode45('funforced1MRA',tspan,y0);
plot(t,y(:,1));
grid on
xlabel('time')
ylabel('Displacement')
title('Displacement Vs Time')
hold on;

23. Efectos del amortiguamiento:
1. Disminuye la frecuencia natural y aumenta el periodo
natural de vibración. Este efecto es insignificante para
los valores de amortiguamiento usuales.
Valores tipicos de ζ :
Amortiguadores de automóvil 0.1 – 0.5
Caucho 0.04
Estructuras de acero (remachadas) 0.03
Concreto 0.02
Madera 0.003
Acero (laminado en frío) 0.0006
Aluminio ( “ “ “ ) 0.0002
Bronce fosforoso 0.00007

24. Esto proporciona un método muy conveniente de estimar la cantidad de
amortiguamiento, midiendo la rapidez de decaimiento de la vibración con
el tiempo.
Introducimos el concepto de decremento logarítmico δ , definido como el logaritmo
natural de la relación de dos amplitudes consecutivas. Se obtiene entonces:
2. Disminuye la amplitud de vibración al pasar el tiempo. Este efecto
es el que hace que la vibración libre finalmente desaparezca.
Para ζ pequeño ( ), δ se puede aproximar por:
Tanto δ como ζ son propiedades del sistema y dependen de los valores de las
holguras, condiciones superficiales, temperaturas, tamaño, forma, etc.
Así, por ejemplo, δ = 4 (ζ =0.6) es un valor típico de un amortiguador nuevo de
auto, pero este valor decrece rápidamente y un valor típico para un automóvil
usado sería δ = 2 (ζ =0.3).
Este último valor corresponde a unas 3 oscilaciones cuando es desplazado de su
posición de equilibrio.

25. Ejemplo: Para tener una idea del orden de magnitud de ζ conviene
introducir el concepto de vida media como el número de ciclos
requerido para que la amplitud de vibración decaiga al 50% de su valor
inicial. Obtenga las vidas medias para ζ = 1 % (ligero), y para ζ = 10 %
(severo).
2
2
1
2
5
.
0
1
2
5
.
0
5
.
0
0
0
2
0
Ln
n
n
X
X
Ln
n
X
X
Ln
n


























26. Vamos a calcular la respuesta de vibración libre para un sistema de
masa-amortiguador de muelles con los siguientes parámetros:
• m = 1 kg
• c = 20 N-s / m
• k = 1x 104 N / m
• el desplazamiento inicial es x0 = 25 mm
• la velocidad inicial es v0 = 1000 mm / s.
m
X 02798
.
0
5
.
99
100
1
.
0
025
.
0
1
025
.
0
2
2






 




   
105
.
1
5
.
99
02798
.
0 10

 
t
sen
e
t
x t
rad
105
.
1
180
32
.
63
100
1
.
0
025
.
0
1
5
.
99
025
.
0
tan 1












  

   
d
d
t
t
sen
e
X
t
x n




 
0

27. clc; clear all; close all
% define variables
A = 27.98; % Amplitud máxima del movimiento X0 mm
omegan = 100; % rad/s
zeta = 0.1;
omegad = omegan*sqrt(1-zeta^2);% Se determina la frecuencia de
amortiguamiento
fd = omegad/2/pi; % Hz
tau = 1/fd; % s % Se calcula el periodo de amortiguamiento
phi = 1.105; % rad % angulo de desfasamiento
t = 0:tau/100:6*tau; % se define el numero de ciclos a graficar
x = A*exp(-zeta*omegan*t).*sin(omegad*t + phi); % define
displacement mm
plot(t, x)
set(gca,'FontSize', 14)
xlabel('t (s)')
ylabel('x (mm)')
grid
axis([0 max(t) -29 29])

28. Considere el péndulo invertido en la figura
con m = 0,5 kg, c = 1 N-s / m, y L = 0,3 m.
La rigidez del muelle de limitación es klim
= 32.7 N / m. Para las condiciones iniciales
de θo=0, ωo=0 vamos a determinar la
respuesta θ(t).

29. clc
close all
clear all
% Define parameters
m = 0.5; % kg
c = 1; % N-s/m
g = 9.81; % m/s^2
l = 0.3; % m
klim = 2*m*g/l; % N/m
k = 10*klim;
% Define simulation variables
dt = 0.005; % sec/step
steps = 2000;
% Euler integration initial conditions
theta = 5*pi/180; % rad
dtheta = 0; % rad/s
% Initialize final theta vector and time vector
th = zeros(1, steps);
time = zeros(1, steps);
for cnt = 1:steps
ddtheta = (-(c*l^2/2)*dtheta-(k*l^2/2-m*g*l)*theta)/(m*l^2); % rad/s^2
dtheta = dtheta + ddtheta*dt; % rad/s
theta = theta + dtheta*dt; % rad
% Write results to vectors
th(cnt) = theta; % rad
time(cnt) = cnt*dt; % s
end
figure(1)
plot(time, th*180/pi, 'k')
xlim([0 max(time)])
ylim([-15 15])
set(gca,'FontSize', 14)
xlabel('t (s)')
ylabel('theta (deg)')

30. Ejemplo: Los grandes cañones son diseñados para que al disparar el
cañón retroceda contra un resorte. Al final del retroceso, se engancha un
amortiguador para que el cañón regrese a su posición inicial en el tiempo
mínimo sin oscilar. Encuentre la rigidez apropiada del resorte y el
coeficiente de amortiguamiento para un cañón de 1610 lb, si la velocidad
inicial de retroceso del cañón es de 80 pies/s, y la distancia que retrocede
es 5 pies.
Solución: Durante el retroceso del cañón:
Para que retorne los más rápidamente sin oscilar, ζ = 1:

31. Ejemplo: Determinar el factor de
amortiguamiento del sistema de suspensión de
una camioneta.
Peso total W = 3400 lb
Peso soportado por extremo trasero
W/2 = 1700 lb
1 resorte k, 1 amortiguador c a cada lado
¿Qué valores tienen k y c?
Prueba #1: Aplicar fuerza de 100 lb: observar desplazamiento de 3”
Prueba #2: Quitar fuerza, medir rebote:
Sube y luego desciende hasta 0.5” bajo la posición de equilibrio, luego
oscila hacia cero desplazamiento.

32. Sistema idealizado: Masa sobre dos
resortes y dos amortiguadores viscosos
Deflexión estática da
el valor de k:
2 amortiguadores
en paralelo:

33. Ejemplo: Se debe diseñar un sistema de suspensión para un vehículo.
El amortiguamiento debe ser menor que el crítico y la amplitud debe
reducirse en 1/3 en el primer medio ciclo. La masa del sistema es 450
kg y el periodo amortiguado debe ser 1 s.
Determine la relación de amortiguamiento ζ y la rigidez k. También, si
la holgura es 30 cm, obtenga la mínima velocidad inicial vertical que
hará que el sistema golpee un tope de caucho

34. • xmax ocurre cuando v(t) = 0. Es decir, cuando:
   
d
d
t
t
sen
e
X
t
x n




 
0