Este documento resume los conceptos básicos de sistemas dinámicos de un grado de libertad, incluyendo vibración libre no amortiguada, vibración libre amortiguada y vibraciones forzadas armónicas. Explica las ecuaciones que rigen estos sistemas y las soluciones para la posición en función del tiempo, dependiendo de si hay amortiguamiento crítico, mayor o menor que el crítico.

1. UNIVERSIDAD PRIVADA ANTENOR ORREGO
FACULTA DE INGENIERIA
ESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERIA CIVIL
ING. JORGE LUIS PAREDES ESTACIO

2. SISTEMAS DINÁMICOS DE UN GRADO DE
LIBERTAD
- VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
- VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
- VIBRACIONES FORZADAS ARMÓNICAS
- VIBRACIONES TRANSITORIAS
- EXCITACIÓN EN LA BASE
- LA ENERGÍA EN LA RESPUESTA DINÁMICA

3. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
 Bajo el supuesto de que la fuerza ejercida para deformar el resorte , ya sea en
tensión o en compresión, es proporcional a la deformación y siendo k la
constate de proporcionalidad, o rigidez, podemos determinar la fuerza del
resorte por:
Fr=kx
Donde:
Fr = Fuerza ejercida por el resorte (N)
k = Rigidez del resorte (N/m)
x = Desplazamiento relativo entre los dos extremos del resorte (m)

4. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
 La fuerza Inercial que se tiene en la masa m debido a
la aceleración a, esta dada, según la segunda ley de
Newton:
Fi=-m풙
Donde:
Fr = Fuerza inercial que obra sobre la masa (N)
m = Masa (kg)
푥 = Aceleración de la masa (m/푠2)

5. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
 Dividiendo por my llamando la constante k/m, se obtiene:
 La solución de esta ecuación diferencial es:
 Donde A y B dependen de las condiciones iniciales que
indujeron al movimiento.

6. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA
 Por tanto la solución de la ecuación se convierte:
Donde:
Vo = velocidad de la masa en el instante t=0 (m/s)
Xo = desplazamiento de la masa en el instante t=0 (m)
ω = frecuencia natural del sistema (rad/s)

7. VIBRACIÓN LIBRE NO AMORTIGUADA

8. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
 Los movimientos oscilatorios tienden a disminuir con
el tiempo hasta desaparecer. Esto se debe al
amortiguamiento que se presenta, el cual hace que
parte de la energía se disipe.
 Las causas de este amortiguamiento están asociadas a
diferentes fenómenos como la fricción de la masa
sobre la superficie de apoyo, el efecto del aire que
rodea la masa, la no linealidad del material del resorte,
entre otros.
 Entre los modelos más usados es el amortiguamiento
viscoso.

9. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Fa=c푥
Donde:
Fa = fuerza producida por el amortiguador (N)
c = constante de amortiguamiento (N.s/m)
푥 = velocidad relativa entre los dos extremos del amortiguador (m/s)

10. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Utilizando el principio de D’Alembert puede plantearse la siguiente ecuación:
Fr+Fa-Fi=0
Y reemplazar las definiciones de las diferentes fuerzas:
풌풙 + 풄풙 − (−풎풙 ) = ퟎ
Lo cual conduce a la siguiente ecuación diferencial lineal homogénea de
segundo orden:
풎풙 + 풄풙 + 풌풙 = ퟎ
La ecuación característica de la ecuación anterior es:
풎흀ퟐ + 풄흀+k=0

11. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Cuyas raíces son:
흀 =
−풄 ± 풄ퟐ − ퟒ풎풌
ퟐ풎
Ósea:
흀ퟏ =
−풄 + 풄ퟐ − ퟒ풎풌
ퟐ풎
y
흀ퟐ =
−풄 − 풄ퟐ − ퟒ풎풌
ퟐ풎
Por lo tanto la solución de la ecuación diferencial de equilibrio del sistema es:
푿 풕 = 푨풆λퟏ풕+B풆λퟐ풕
Donde:
A = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento
B = constante que depende de las condiciones iniciales del movimiento
E = base de logaritmos neperianos

12. VIBRACIÓN LIBRE AMORTIGUADA
Existen tres casos de solución para la ecuación anterior
dependiendo del valor radical de la ecuación:
- AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
- AMORTIGUAMIENTO MAYOR QUE EL CRÍTICO
- AMORTIGUAMIENTO MENOR QUE EL CRÍTICO

13. AMORTIGUAMIENTO CRÍTICO
Cuando el radical de la ecuación