Este documento presenta definiciones y propiedades de funciones trascendentales como el logaritmo natural, la función exponencial, funciones trigonométricas y sus derivadas e integrales. Se definen el logaritmo natural, sus propiedades algebraicas y su dominio y rango. También se define la función exponencial como la inversa del logaritmo natural y se presentan algunas de sus propiedades. Finalmente, se exponen las derivadas e integrales básicas de funciones trigonométricas y ejemplos de cálculo de derivadas e integrales de func

1. República Bolivariana de Venezuela
Universidad Fermin Toro
Cabudare Edo Lara
Teoría de las funciones trascendentales
Integrante:
Vanessa Suarez CI:23.903.085
1

2. 1.- Definición(Logaritmo natural)
El logartimo natural de x es denotado por ln(x) y esta definido por la integral
ln(x) =
t
1
1
t
dt, x > 0
Además la funcioń logaritmo natural es diferenciable, de hecho por el segundo
teorema fundamental del cálculo tenemos
d
dx
[ln(x)] =
d
dx
[
x
1
dt] =
1
x
2.- Propiedades algebraicas de ln(x)
Teorema
Para cualquier número positivo a y c y cualquier número racional r:
a) ln(ac) = ln(a) + ln(c)
b) ln(
a
c
) = ln(a) − ln(c)
c) ln(1) = 0
d) ln(ar
) = r ln(a)
Teorema
a) El dominio de ln(x)es (0, +∞)
b) l´ım x → 0+
ln(x) = −∞
c) l´ım x → +∞ ln(x) = +∞
d) El rango de ln(x) es (−∞, +∞)
2.- Definición(Función exponencial)
Definición
La inversa de la función logaritmo natural ln(x) es denotada por ex
y esta es
llamada Función exponencial natural.
Teorema
La función exponencial natural ex
es diferenciable, y además continua en (−∞, +∞),
y su derivada es
d
dx
[ex
] = ex
Definición
Si a > 0 y r es un número real, ar
se define por
2

3. ar
= er ln(a)
Teorema
a) Para cualquier número real r, la función potencia xr
es diferenciable en
(0, +∞) y su derivada es
d
dx
[xr
] = rxr−1
b) Para b > 0 y b = 1, la función exponencial de base b, bx
es diferenciable en
(−∞, +∞) y su derivada es
d
dx
[bx
] = bx
ln(b)
Definición
Para b > 0 y b = 1, la función logaritmo de base b, denotada por logb x esta
definida por
logb x =
ln(x)
ln(b)
Integración
1
x
dx = ln(x) + K
Esta relación es válida para todo valor de x excepto el cero.
ex
dx = ex
+ K
Más general aún
eax
dx =
1
a
eax
+ K
Ejemplos:
1.- Calcular
e6x
dx
Sol:
3

4. e6x
dx =
1
6
e6x
+ K
2.- Calcular
ln(x)
(1 − ln(x))
dx
x
Sol:
Hacemos el cambio de variable z = ln(x) =⇒ dz =
dx
x
entonces
ln(x)
(1 − ln(x))
dx
x
=
z
1 − z
dz =
(−1 +
1
1 − z
)dz = − dz +
dz
1 − z
= −z − ln(1 − z) + K
= − ln(x) − ln(1 − ln(x)) + K
3.- Calcular
(1 − e−x
)dx
Sol:
(1 − e−x
)dx = dx − e−x
dx = x − (−e−x
) + K = x + e−x
+ K
Funciones trigonométricas
Derivadas:
a)Dx(sin(u)) = cos(u)u′
b)Dx(cos(x)) = − sin(u)u′
c)Dx(tan(u)) = sec2
(u)u′
d)Dx(sec(u)) = sec(u) tan(u)u′
e)Dx(csc(u)) = − csc(u) cot(u)u′
4

5. Integrales:
a) sin(x)dx = − cos(x) + K
b) cos(x)dx = sin(x) + K
c) sec2
(x)dx = tan(x) + K
d) sec(x) tan(x)dx = sec(x) + K
e) csc(x) cot(x)dx = − csc(x) + K
f) tan(x)dx = ln | sec(x)| + K
g) sec(x)dx = ln | sec(x) + tan(x)| + K
Ejemplos:
1.- Calcular
sec2
(x)
1 + tan(x)
dx
Sol: Hacemos el cambio de variable h = 1 + tan(x) =⇒ dh = sec2
(x)dx, en conse-
cuencia
sec2
(x)
1 + tan(x)
dx =
dh
h
= ln |h| + K = ln |1 + tan(x)| + K
2.- Calcular
(1 + sec(x))2
dx
Sol:
(1+sec(x))2
dx = [(1)2
+2(1) sec(x)+sec2
(x)]dx = dx+2 sec(x)dx+ sec2
(x)dx
= x + 2 ln | sec(x) + tan(x)| + tan(x) + K
Ejemplos:
Hallar la derivada de
y =
cos(x)
1 + sin(x)
Sol:
5

6. y′
=
− sin(x)(1 + sin(x)) − cos(x) cos(x)
(1 + sin(x))2
=
− sin(x) − sin2
(x) − cos2
(x)
(1 + sin(x))2
y′
=
− sin(x) − (sin2
(x) + cos2
(x))
(1 + sin(x))2
=
− sin(x) − 1
(1 + sin(x))2
y′
=
− sin(x) − 1
(1 + sin(x))2
Hallar la derivada de
y = tan3
(2x4
)
Sol:
y′
= 3 tan2
(2x4
) sec2
(2x4
)(8x3
) = 24x3
tan2
(2x4
) sec2
(2x4
)
y′
= 24x3
tan2
(2x4
) sec2
(2x4
)
6