El documento presenta un examen parcial de ecuaciones diferenciales que consta de 3 puntos. El primer punto pide determinar la solución general de una ecuación diferencial usando una sustitución. El segundo punto evalúa si un problema de valor inicial tiene solución única en ciertas regiones del plano. El tercer punto pide determinar familias de soluciones, soluciones particulares y diagramas de fase para una ecuación diferencial. El examen contiene instrucciones sobre su duración y material permitido.

1. IParcial17.08.13Ecuacionesdiferenciales
NRC:3361-3362-3363-3364
Fila A Barranquilla, 21 de febrero de 2014
Universidad del Norte
Departamento de matem´aticas y estad´ısticas
Ecuaciones diferenciales - Primer Examen Parcial
Nombre y C´odigo: , Profesor:
El ex´amen tiene una duraci´on de 110 min.
Justifique cada una de sus respuestas.
Es prohibido el pr´estamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´olo con permiso
del profesor)
Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´olico.
El uso y/o posesi´on del celular durante el examen es causal de anulaci´on.
Cuestionario
Punto 1
Determine la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial
5 ln (uz) z − 4 z2
u
du +
5 ln (uz) z − 4 z2
z
+ (ln (uz))2
dz = 0
usando la sustituci´on x = ln (uz)
Punto 2
Dado el PVI
du
dv
= ln
v2 − 4u
16 − u2
u(v0) = u0
1. (80 %) Determine para que regi´on del plano v-u el anterior PVI tiene soluci´on ´unica. Realice
un bosquejo de dicha regi´on.
2. (20 %) Si (v0, u0) = (0, −3), ¿Tiene el PVI soluci´on ´unica?
Punto 3
Considere el siguiente PVI



dr
ds
=
r2 − r − 6
r2 + 6
r(s0) = r0
(a) (50 %) Determine una familia de soluciones para la EDO.
(b) (20 %) Determine la soluci´on cuando (s0, r0) = (2, 2).
(c) (30 %) Construya el diagrama de fase correspondiente para la EDO.

2. IParcial17.08.13Ecuacionesdiferenciales
NRC:3361-3362-3363-3364
Fila A Barranquilla, 16 de agosto de 2013
Universidad del Norte
Departamento de matem´aticas y estad´ısticas
Ecuaciones diferenciales - Primer Examen Parcial
Nombre y C´odigo: , Profesor:
El ex´amen tiene una duraci´on de 110 min.
Justifique cada una de sus respuestas.
Es prohibido el pr´estamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´olo con permiso
del profesor)
Es prohibido el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´olico.
El uso y/o posesi´on del celular durante el examen es causal de anulaci´on.
Cuestionario
Punto 1
Determine la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial
(−2 u + 8 v + 4) du + (8 u − 27 v − 11) dv = 0
usando la sustituci´on u = 3 s + 2 t − 2 y v = t + s − 1
Punto 2
Dado el PVI
du
dt
=
4t2 − u2
t2 − 4
u(t0) = u0
1. (80 %) Determine para que regi´on del plano t-u el anterior PVI tiene soluci´on ´unica. Realice
un bosquejo de dicha regi´on.
2. (20 %) Si (t0, u0) = (1, 3), ¿Tiene el PVI soluci´on ´unica?
Punto 3
Considere el siguiente PVI



dx
dy
= x2 − x3 + 2 x
x(y0) = x0
(a) (40 %) Determine una familia de soluciones para la EDO.
(b) (20 %) Determine la soluci´on cuando (y0, x0) = (3, 2).
(c) (20 %) Determine la soluci´on cuando (y0, x0) = (1, 1).
(d) (20 %) Realice un bosquejo de las soluciones anteriores.

3. Fila A Barranquilla, 16 de febrero de 2013
Universidad del Norte
Departamento de matem´aticas y estad´ısticas
Ecuaciones diferenciales - Primer Examen Parcial
Nombres: , C´odigo:
Duracion: 90 minutos
No se permite el prestamo de ning´un tipo de material en el examen, ni el uso de
calculadoras de calculo simbolico, ni celulares. Debe justificar cada una de sus
respuestas.
1. Dado el siguiente PVI
du
dt
=
(u − t)1/2
t1/2
u(t0) = u0
a) Determine para que regi´on del plano t-u el anterior PVI tiene soluci´on ´unica. Realice un
bosquejo de dicha regi´on.
b) Si (t0, u0) = (1, 2), ¿Tiene el PVI tiene solucion ´unica? En caso afirmativo resuelva el
PVI.
2. Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique cada una de sus
respuestas.
a) Los valores r para los cuales la funcion y(x) = er x
es solucion de la ecuaci´on diferencial
2y′′
− y′
− 3 = 0
son r = 3
2
y r = 1.
b) La soluci´on al PVI
dy
dx
= ey2−x2
(y3
+ y2
− 4y − 4), y(2) = −2
es y(x) = −2.
3. Resolver el siguiente PVI
ex−y
√
x3 +
1 − 2y
√
x
e−y2 dy
dx
= 0, y(0) = 1
4. Determine la soluci´on general de la siguiente ecuaci´on diferencial
x
dy
dx
+ 6y = 3xy4/3
usando la sustituci´on u = y−1/3
.

4. Barranquilla, 28.08.2010 Fila A
Universidad del Norte
Divisi´on de ciencias b´asicas
Departamento de matem´aticas y estadistica
Primer Parcial Ecuaciones Diferenciales
Nombre y C´odigo: , Profesor:
Observaciones
1. El ex´amen tiene una duraci´on m´axima de 100 minutos.
2. La justificaci´on de las respuestas es uno de los factores m´as importante para la calificaci´on del presente
ex´amen.
3. Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´olo con permiso del
profesor) y el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´olico.
Cuestionario
1. Considere el siguiente PVI



du
dt
=
t + u
t − u
u(t0) = u0
(a) Si (t0, u0) = (1, 0) ¿El TEU nos garantiza que el PVI tiene soluci´on ´unica ?
(b) ¿ Qu´e ocurre si (t0, u0) = (0, 0) ?
(c) En el caso que en las partes (a) o (b) el PVI presente soluci´on ´unica, determinela.
2. Determine si la ecuaci´on diferencial
x(1 − y2
)dx + y(4 − x2
)dy = 0
(a) ¿ Es la EDO separable, homog´enea o exacta? En cada caso justifique su respuesta.
(b) Resuelva la ecuaci´on aplicando uno solo de los m´etodos.
3. Resolver
(y + xy + sin y)dx + (x + cos y)dy = 0
4. Resuelva la EDO
u3
du − e2v
(u3
du + dv) = 0
utilizando el cambio de variable:
u =
√
x , v =
1
2
ln y
5. Determine si la funci´on dada es un factor integrante para la EDO, en tal caso resuelva la
EDO.
y(2 + xy) dx + x(1 + xy) dy = 0; µ(x, y) =
1
xy
1

5. Copia
Barranquilla, 06.03.2010 Fila A
Universidad del Norte
Divisi´on de ciencias b´asicas
Departamento de matem´aticas y estadistica
Primer Parcial Ecuaciones Diferenciales
Nombre y C´odigo: , Profesor:
Observaciones
1. El ex´amen tiene una duraci´on de 90 minutos.
2. La justificaci´on de las respuestas es uno de los factores m´as importante para la calificaci´on del presente
ex´amen. Por ejemplo, si en el primer punto Ud. s´olo marca la respuesta pero no justifica dicha
selecci´on, la calificaci´on asignada al punto sera 0.0.
3. Es prohibido el prestamo de cualquier tipo de material (casos excepcionales s´olo con permiso del
profesor) y el empleo de calculadoras que involucren lenguaje simb´olico.
Cuestionario
1. Cada inciso tiene una ´unica respuesta correcta, m´arquela y justifique claramente en cada caso su
decisi´on.
(a) La sustituci´on z = x + y transforma la ecuaci´on diferencial dy
dx = (x + y)
2
en
i. dz
dx = z2
. ii. dz
dx = (z + 1)
2
. iii. dz
dx = z2
+ 1.
(b) El teorema de existencia y unicidad visto en clase no garantiza la existencia de una ´unica soluci´on
del problema
x2 dy
dx = x2
− y2
2
3
,
y(x0) = y0,
si:
i. (x0, y0) = (1, 0). ii. (x0, y0) = (−1, 1). iii. (x0, y0) = (1, 2).
(c) La ´unica soluci´on del problema
xy′
+ y = ex
,
y(1) = e − 2,
corta al eje x en el punto
i. (ln 2, 0). ii. (ln(e − 2), 0). iii. (0, 3 − e).
(d) La ecuaci´on diferencial y′
+ 1
x y = y
x
2
i. no es homog´enea. ii. es lineal. iii. es de Bernoulli.
(e) Un valor para el par´ametro k de modo que la EDO
(2xy + 3x2
y2
− 2y3
) dx − (kxy2
− 2x3
y − x2
) dy = 0
sea exacta es:
i. k = −6 ii. k = 6 iii. k = 3
2. Encuentre todas las soluciones de la ecuaci´on diferencial
dy
dx
+ y + (sin x + ex
) y3
= 0
3. Halle la soluci´on general de la ecuaci´on diferencial
(x − x2
− y2
)dx + ydy = 0.
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