Introducción al modelado matemático mediante desigualdades

1. Actividad 3.2
Inecuaciones Lineales
G. Edgar Mata Ortiz

2. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Presentación.
Estamos acostumbrados a estudiar las ecuaciones; desde nuestros
estudios básicos hemos visto que la relación de igualdad entre dos
cantidades es sumamente útil para resolver numerosos problemas.
Sin embargo, en el mundo real, las relaciones existentes entre las
magnitudes, no siempre son de igualdad. Es muy común que alguna
cantidad sea diferente, mayor o menor que otra. Este tipo de
expresiones también pueden traducirse al lenguaje algebraico,
reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones.
En el presente material se aborda el tema de las desigualdades lineales con una incógnita; sus aplicaciones,
cómo resolverlas, y su representación gráfica.
Contenido
Introducción. ............................................................................................................................................................3
Modelos matemáticos en las desigualdades........................................................................................................4
Resolución de desigualdades. ..................................................................................................................................4
Reglas empíricas y propiedades de la igualdad....................................................................................................4
Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades.........................................................................................5
Representación gráfica de las desigualdades.......................................................................................................6
Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos.............................................................7
Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales..............................................................................8
Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita...................................................................9
Pensamiento crítico........................................................................................................................................... 10
Observaciones. .................................................................................................................................................. 10

3. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Introducción.
Como vimos en el ejercicio 3.1, existen numerosas situaciones en las que
podemos representar la realidad y resolver problemas mediante
ecuaciones lineales con una incógnita.
En esta ocasión veremos cómo utilizar otro tipo de modelos matemáticos:
las desigualdades lineales con una incógnita.
Veamos un ejemplo:
En cierta planta metalúrgica las temperaturas y el ambiente
corrosivo hacen necesario emplear aleaciones especiales,
además, es necesario que resistan una tensión de
105,000±5000 psi.
Un proveedor ofrece una solución: La súper-aleación tipo C,
llamada Hastelloy, puede resistir una tensión máxima de
110,600 psi incluso bajo condiciones de alta temperatura y
ambientes corrosivos.
Veamos cómo se traduce algebraicamente esta información:
Los requerimientos de la planta están indicados como un valor deseado
de 105,000 psi y una tolerancia de ±5000 psi, es decir, el metal debe
resistir, al menos, 105,000 – 5,000 psi = 100,000 psi; y la máxima tensión
a la que será sometido es 105,000 + 5,000 psi = 110,000 psi.
Si expresamos la tensión a la que será sometido el material como x, ya
que es desconocida, entonces:
La resistencia del material debe ser: x >100,000 y x <110,000
Que se expresa:
100,000 < x <110,000
En cuanto a las especificaciones del material, sólo indica una resistencia
máxima a la tensión:
x <110,600
Explica si el material es adecuado para la necesidad:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
Programación
Lineal.
Una de las áreas de mayor
interés para la ingeniería de
procesos es la optimización
de los mismos, es decir,
cómo obtener el máximo
beneficio a partir de
recursos limitados o cómo
minimizar los costos de una
operación o proceso.
Los fundamentos teóricos
de esta técnica son las
desigualdades lineales,
aunque posteriormente se
emplean métodos
algebraicos que no permiten
visualizar la forma en que se
utilizan las desigualdades.
Un ejemplo de
programación lineal se
encuentra en:
http://licmata-
math.blogspot.mx/2014/06/mathe
matical-models-linear-
programming.html
Como puedes observar en el
problema planteado, en
lugar de ecuaciones
tenemos desigualdades:
Una vez planteado el
problema, se aplica el
método simplex que va de
solución factible en solución
factible, buscando el punto
óptimo.

4. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Modelos matemáticos en las desigualdades.
Las dos expresiones algebraicas generadas en el ejemplo son el modelo matemático que podemos utilizar para
decidir si el material es adecuado para la necesidad.
Requerimientos: 100,000 < x <110,000
Especificaciones: x <110,600
Con base en el método de solución de problemas ahora debemos resolver las desigualdades y responder a la
pregunta que plantea el problema. En el resto del material veremos cómo se resuelven las desigualdades.
Resolución de desigualdades.
El proceso de solución de las desigualdades es similar al de las ecuaciones, ya que tiene propiedades análogas.
Sin embargo, debemos recordar que el procedimiento correcto para resolver ecuaciones son las propiedades
de la igualdad, y las reglas empíricas son solamente una forma de facilitar el proceso.
Reglas empíricas y propiedades de la igualdad.
Para resolver la ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝟏𝟓
El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en:
“El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟓 − 𝟑
“Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖
“El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 =
−𝟏𝟖
𝟐
“Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 = −𝟗
Este procedimiento funciona correctamente, pero debemos recordar que las reglas empíricas, cuando se
intenta generalizarlas, suelen fallar. El procedimiento correcto consiste en la aplicación de las propiedades de
la igualdad:
“Si a cantidades iguales, se restan cantidades iguales, la igualdad no se altera” 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝟑 = −𝟏𝟓 − 𝟑
“Se efectúan las operaciones indicadas” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖
“Si cantidades iguales, se dividen por cantidades iguales, la igualdad persiste”
𝟐𝒙
𝟐
=
−𝟏𝟖
𝟐
“Se efectúan las operaciones indicadas” 𝒙 = −𝟗
El resultado es el mismo, hasta ahora, las reglas empíricas están
funcionando adecuadamente. Pero no olvidemos que, por muchos casos en
los que una regla empírica funcione, siempre existe la posibilidad de que se
presente alguna situación en la que estas reglas no funcionen
adecuadamente.
Al resolver desigualdades se aplican las propiedades de las desigualdades,
que son similares a las propiedades de la igualdad, con algunas diferencias.

5. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades.
Como se mencionó anteriormente, para resolver desigualdades se aplican reglas similares a las ecuaciones.
Ejemplo:
Para resolver la desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓
El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en:
“El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟓 − 𝟑
“Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟖
“El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 <
−𝟏𝟖
𝟐
“Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 < −𝟗
El resultado significa que, si se toma cualquier valor de equis menor a menos 9, y se sustituye en la desigualdad
original, obtendremos una afirmación verdadera; y si se toma cualquier valor, que no sea menor a menos
nueve, y se sustituye en la desigualdad, obtendremos una afirmación falsa, por ejemplo:
Si tomamos 𝒙 = −𝟏𝟎, la desigualdad queda:
𝟐(−𝟏𝟎) + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟐𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟏𝟕 < −𝟏𝟓
Como se puede observar, la afirmación es verdadera; menos diecisiete, es menor que menos quince, y esto se
debe a que tomamos un valor de equis que es menor que menos nueve.
Si tomamos 𝒙 = −𝟓, la desigualdad queda:
𝟐(−𝟓) + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟏𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟕 < −𝟏𝟓
Como se puede observar, la afirmación es falsa; menos siete, es mayor que menos quince, y esto se debe a que
tomamos un valor de equis que es mayor que menos nueve.
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_____________________________________________________________
_____________________________________________________________
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Consulta las
propiedades de las
desigualdades y, en las
líneas que se encuentran
a un lado de este texto,
resuelve el ejemplo
anterior aplicando
dichas propiedades.

6. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Representación gráfica de las desigualdades.
Como sucede en muchos temas de matemáticas, la representación gráfica puede ayudarnos a comprender
mejor el concepto y la solución de las desigualdades. Las desigualdades lineales con una incógnita se
representan sobre la recta numérica. Existen diferentes formas de representación, aquí mostraremos una de
las más usuales.
La desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓, tiene como solución: 𝒙 < −𝟗
La representación gráfica de esta solución es:
El símbolo con forma de paréntesis se coloca en el valor que se obtuvo en la solución, en este caso, −𝟗, con la
abertura hacia la izquierda ya que se trata de una relación “menor que”.
Las líneas inclinadas actúan como un sombreado que identifica la dirección en la que se encuentran los valores
que son la solución de la ecuación, ya que, a diferencia de las ecuaciones, la solución no es un valor único, sino
un conjunto de valores llamado intervalo.
Cuando se trata de una relación “mayor que”, entonces el símbolo similar a un paréntesis aparece con la
abertura hacia la derecha y el sombreado en esa misma dirección:
Una pregunta interesante es: ¿Qué sucede exactamente en el valor de equis que es la solución de la igualdad?
¿Es parte de la solución? ¿O no es parte de la solución? Realiza una investigación y explica, en las siguientes
líneas, qué sucede en estos puntos extremos.
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7. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos.
De acuerdo con la investigación realizada, existen desigualdades que sí incluyen los extremos, en cuyo caso el
paréntesis se sustituye con un paréntesis rectangular como se muestra en los siguientes ejemplos:
Este tipo de desigualdades se expresan verbalmente como: Equis es menor o igual a 2.5
En el otro sentido es: Equis es mayor o igual a 0.5
También es posible que existan desigualdades como la del ejemplo inicial:
Equis es mayor a 100,000 y menor a 110,000
Los paréntesis circulares indican que los extremos no están incluidos, es decir, la solución es cualquier número
mayor a 100,000 (no igual), y menor a 110,000 (no igual).

8. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Estas desigualdades que tienen límites en ambos extremos también se presentan con relaciones de “mayor o
igual” y “menor o igual”, por ejemplo:
Equis es mayor o igual a 0.5 y menor o igual a 2.5
Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales.
Como hemos visto hasta ahora, el álgebra es una herramienta. Las desigualdades constituyen otro recurso para
modelar matemáticamente la realidad. Lo que en esta ocasión será diferente es la formulación del plan; en
lugar de obtener una ecuación, se elaborará una desigualdad.
Resuelve los siguientes problemas siguiendo un procedimiento similar al que se
utilizó en las ecuaciones. No olvides representar gráficamente la solución.
1. Una máquina tiene un costo fijo de operación de $1420 por turno. Debido a
el largo tiempo que toma para estar en condiciones de operación, una vez
que se enciende, no se apaga hasta el final del turno. El costo variable de
operación de la máquina es de $12.25 por pieza. Debido a problemas
financieros se ha decidido fabricar, por turno, un número de piezas que
mantenga el costo total de operación de la máquina por debajo de $2150.
¿Cuántas piezas es posible fabricar por turno sin exceder el límite indicado?
2. La producción artesanal de joyería es un proceso que sólo permite elaborar unas pocas piezas por
turno. Si un artesano puede fabricar entre 3 y 4 piezas por hora, y trabaja turnos de 8 horas diarias.
¿Cuántas piezas puede fabricar en los 6 turnos que trabaja a la semana? Si su ganancia por pieza es de
$45, ¿Cuántos artesanos deben trabajar, en una semana, para tener un beneficio mínimo de $15,000?

9. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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3. Araceli tiene una oferta de empleo como vendedora. Le proponen dos
alternativas de salario: Un salario base de $4000 mensuales y comisiones
sobre sus ventas del 6%, o un salario base de $6000 mensuales con
comisiones del 4%. ¿De cuánto deberían ser sus ventas mensuales mínimas
para que le convenga elegir la primera opción? Justifica tu respuesta.
4. Se desea cercar un terreno triangular de modo que el lado
a mida el doble que el lado b. La suma de los tres lados
debe ser, como máximo, de 165 metros. ¿Cuál debe ser la
longitud máxima del lado c? ¿Y la longitud mínima?
5. El cobre tiene propiedades que resultan sumamente útiles,
como la de su resistencia a la corrosión, por ello es
ampliamente usado en aleaciones. Se requiere una aleación
que contenga entre el 46% y el 52% de cobre. Determina la
mínima y la máxima cantidad de aleación de cobre al 60% que
debe mezclarse con otra aleación de cobre al 40% para
preparar 15 libras de una aleación que contenga el porcentaje
de cobre señalado.
Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita.
En estas aplicaciones de las desigualdades lineales, es necesario resolver los modelos matemáticos obtenidos,
sin embargo, existen muchos otros casos que debe practicarse para desarrollar las habilidades algebraicas y
aplicar las propiedades adecuadas en cada problema.
Resuelve las siguientes desigualdades y representa gráficamente la solución.
Identifica los casos en los que se aplican propiedades de las desigualdades que son
diferentes a las propiedades de la igualdad.
1. 2𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 5
2. 5𝑦 − 1 ≫ 7𝑦 − 9
3. 6𝑎 + 2 <
4𝑎−5
−2
4. −2𝑏 + 7 >
3𝑏+5
3
5.
6𝑤−5
3
<
4𝑤−7
−2

10. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Pensamiento crítico.
La resolución de problemas es una forma de mejorar la capacidad de análisis del estudiante, pero existen otras
formas de agudizar las habilidades del pensamiento, como las siguientes preguntas.
Contesta las siguientes preguntas desarrollando las operaciones algebraicas
necesarias para argumentar tu respuesta.
1. ¿Por qué cuando un número negativo “está multiplicando y pasa dividiendo”, la dirección de la
desigualdad cambia?
2. Un estudiante afirma que la solución de la desigualdad: 𝒙 𝟐
< 𝟒 es: 𝒙 < 𝟐 ¿Tiene razón?
3. Si tenemos dos números p y q diferentes de cero tales que: 𝒑 < 𝒒, escribe el signo de desigualdad
que corresponde en cada caso:
a. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es positivo
b. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es negativo
c. 𝑝×𝑟 ______ 𝑞×𝑟, si sabemos que r es positivo
d. 𝑝×𝑟 ______ 𝑞×𝑟, si sabemos que r es negativo
e.
𝑝
𝑟
______
𝑞
𝑟
, si sabemos que r es positivo
f.
𝑝
𝑟
______
𝑞
𝑟
, si sabemos que r es negativo
Observaciones.
En este material se ha trabajado solamente con desigualdades lineales con una incógnita, no olvides que
muchos modelos matemáticos requieren de más de una incógnita y, frecuentemente, las relaciones entre las
variables no son lineales, de modo que es posible encontrar sistemas de desigualdades lineales con dos o más
incógnitas, así como desigualdades no lineales.
Lecturas recomendadas.