Este documento presenta un problema de razonamiento matemático relacionado con el modelado de una situación real mediante una función cúbica. Se proporcionan cuatro puntos de datos y el objetivo es determinar la ecuación cúbica que mejor los describa. El documento explica detalladamente cada uno de los pasos requeridos para resolver el problema: identificar las cantidades desconocidas, expresar algebraicamente los datos y sus relaciones, obtener las ecuaciones que vinculan las incógnitas con los datos, y resolver el sistema de ecuaciones resultante.

1. G. Edgar Mata Ortiz

3. Contenido
Problemas de
razonamiento01 La función
cúbica02
Ecuación de la
cúbica03 Ejemplo04
Math Model

4. Problemas de razonamiento
Estos problemas muestran algunas de las aplicaciones
de la matemática a diferentes situaciones de la vida
real y/o profesional.

5. Problemas de razonamiento
En el presente documento se plantea un tema relacionado con
la vida profesional; el uso de la matemática para determinar el
comportamiento de un proceso.

6. Problemas de razonamiento
La solución de un problema de
razonamiento requiere de un
proceso de “modelado” o
representación de la situación
real en términos de variables y
relaciones matemáticas

7. Problemas de razonamiento

8. La función cúbica.Linear
equations
La función cúbica es un objeto
matemático y no tienen un significado
específico en el mundo real.
Para que los objetos matemáticos sean
aplicados a la realidad es necesario
expresar la información en términos de
esta ciencia.

9. Función cúbica
Linear
equations
Con la finalidad de que el problema planteado pueda
resolverse mediante una función cúbica es necesario
establecer algunos postulados:
1. Sólo una de las dos variables que describen el
problema estará elevada al cubo
2. Se asume que las relaciones entre la variable
independiente (x) y la dependiente (y) es de
tercer grado

10. Descripción de la Realidad
Al resolver un problema de razonamiento es necesario
emplear conocimientos de la disciplina o ciencia a la
que pertenece el problema que se resolverá: Física,
economía, finanzas, química, termodinámica, entre
muchas otras.

11. Descripción de la realidad
El conocimiento necesario para resolver este problema es el de
descripción de la realidad. Cuando los valores de dos o más
variable se relacionan de acuerdo a una función matemática,
decimos que la función describe a la realidad.

12. Descripción de la realidad
Debemos tener
claro que la
representación de
la realidad que se
realiza mediante
una ecuación,
abstrae mucha de
la complejidad del
fenómeno que se
estudia.

13. Ejemplo
Una buena forma de aprender es mediante ejemplos.
En las siguientes diapositivas se resuelve un problema de
razonamiento mostrando detalladamente cada paso del
proceso.

14. Ejemplo Un cierto proceso presenta dificultades para
su medición, por lo que solamente se dispone
de 4 puntos de datos. Una vez graficados
estos datos y con base en el conocimiento
del proceso, se ha determinado que la
relación entre las dos variables sigue la forma
de una función cúbica.
Primera Parte
Variable
independiente (x) -NE -NE/2 NE/2 NE
Variable dependiente
(y) -NE NL NE -NL

15. Ejemplo Encuentra la función que relaciona ambas
variables y, mediante aproximaciones
sucesivas, determina los puntos de
intersección de la función con el eje equis,
así como los puntos máximos y mínimos.
En este ejemplo tomaremos NL = 12, NE = 7, cuando lo resuelvas
utiliza tu propio número de lista y número de equipo
Primera Parte
Variable
independiente (x) -7
-7/2 =
- 3.5
7/2 =
+ 3.5
7
Variable dependiente
(y) -7 12 7 -12

16. Ejemplo Debido a la dificultad para la medición, se
han encontrado algunos errores, fueron
corregidos empleando un equipo de mayor
exactitud, obteniéndose los siguientes
resultados.
Segunda Parte
Variable
independiente (x)
-NE(0.9) -NE(0.45) NE(0.48) NE(0.95)
Variable
dependiente (y)
-NE(0.95) NL(0.55) NE(0.55) -NL(1.05)

17. Ejemplo Encuentra la función que relaciona ambas
variables y, mediante aproximaciones
sucesivas, determina los puntos de
intersección de la función con el eje equis,
así como los puntos máximos y mínimos.
Segunda Parte
Variable
independiente (x)
-NE(0.9) -NE(0.45) NE(0.48) NE(0.95)
Variable
dependiente (y)
-NE(0.95) NL(0.55) NE(0.55) -NL(1.05)

18. Problemas de razonamiento

19. Problemas de razonamiento
En realidad, se deben resolver dos problemas
independientes.

20. Dos problemas independientes
01 02
Determinar
primera
ecuación
Determinar
segunda
ecuación

21. Resolver la primera parte del problema
01
Determinar
punto máximo
inicial
Un cierto proceso presenta dificultades para su
medición, por lo que solamente se dispone de
4 puntos de datos. Una vez graficados estos
datos y con base en el conocimiento del
proceso, se ha determinado que la relación
entre las dos variables sigue la forma de una
función cúbica.
Variable
independiente (x) -7 - 3.5 + 3.5 7
Variable dependiente
(y) -7 12 7 -12

22. Resolver la primera parte del problema
01
Determinar
punto máximo
inicial
Encuentra la función que relaciona ambas
variables y, mediante aproximaciones
sucesivas, determina los puntos de
intersección de la función con el eje equis, así
como los puntos máximos y mínimos.
Variable
independiente (x) -7 - 3.5 + 3.5 7
Variable dependiente
(y) -7 12 7 -12

23. Resolver la primera parte del problema
El primer paso consiste en
comprender el problema
Comprender
el problema
Identificar
cantidades
desconocidas
Datos
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas
Preguntas

24. Resolver la primera parte del problema
Las cantidades desconocidas son los coeficientes de la
ecuación cúbica en forma general:
Identificar
cantidades
desconocidas
𝑦 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑

25. Resolver la primera parte del problema
Los datos disponibles son: Tabla que relaciona equis con ye
Datos

26. Resolver la primera parte del problema
Para establecer la relación entre las
dos cantidades desconocidas vamos
a trazar la gráfica con los cuatro
puntos que se proporcionan como
datos.
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas

27. Resolver la primera parte del problema
Relaciones entre
datos y cantidades
desconocidas
Con base en la gráfica podemos
postular que la relación entre las
cantidades desconocidas es de tercer
grado.

28. Resolver la primera parte del problema
Solamente nos preguntan una cosa:
¿Cuál es la ecuación de tercer grado que describe el
comportamiento del proceso?
Preguntas

29. Resumen del primer paso
Identificar las cantidades desconocidas
Datos disponibles
Relaciones entre cantidades desconocidas y datos
¿Qué es lo que nos preguntan?
Coeficiente de la ecuación cúbica en forma general
Tabla con cuatro mediciones de las variables x, y
Hemos postulado que la relación entre las cantidades
desconocidas es de tercer grado
Ecuación que describe el proceso

30. Resumen del primer paso
Este primer paso resulta muy largo de explicar debido a que estamos tratando de poner
por escrito lo que sucede en la mente de la persona que está analizando el problema.
Más adelante ordenaremos la información de tal forma que sea posible, para cualquier
persona, seguir la línea de razonamientos que condujo al planteamiento y resolución del
problema.

31. Resolver la primera parte del problema
El segundo paso consiste en
expresar algebraicamente las
cantidades desconocidas,
datos, y sus relaciones.
Expresar en
el lenguaje
del álgebra
Incógnita “x”
Relaciones
x,y
Incógnita “y”
Otras
relacionesx,y

32. Resolver la primera parte del problema
Naturalmente este segundo paso toma como base la
información generada en el primer paso: cantidades
desconocidas, datos y relaciones que serán expresadas
como una ecuación de segundo grado

33. Resolver la primera parte del problema
Vamos a anotar esta segunda parte en una tabla con la
finalidad de que podamos comunicar mejor el proceso de
solución a otras personas.

34. Resolver la primera parte del problema
La tabla contendrá las
cantidades
desconocidas, sus
interrelaciones, y su
expresión algebraica.
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica

35. Lenguaje algebraico
Cantidades
desconocidas
Información
disponible y/o
interrelaciones
Expresión
algebraica
Coeficientes de la
ecuación cúbica
Incógnitas a, b, c ,d
Cualquiera de las cantidades desconocidas puede tomarse como
incógnita, en este caso se ha decidido tomar la temperatura como
incógnita e identificarla como la variable independiente equis.

36. Resumen del segundo paso
Este segundo
paso fue,
sencillamente,
una traducción
del lenguaje
natural al
algebraico.
TRADUCCIÓN
Lenguaje natural Función cúbica

37. Resolver la primera parte del problema
El tercer paso consiste en obtener
las ecuaciones que relacionan las
incógnitas y los datos.
𝒚 = 𝒇(𝒙)

38. Resolver la primera parte del problema
El tercer paso
consiste en obtener
las ecuaciones que
relacionan las
incógnitas y los
datos.
Para efectuar el tercer paso debemos recurrir a
información o conocimientos adicionales a los que el
problema presenta, en este caso, la forma de determinar la
ecuación de una función cúbica.

39. El tercer paso consiste en encontrar la ecuación de la
parábola:
Sabemos que la forma general de la función
cúbica es:
𝑦 = 𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑
Aplicando la propiedad reflexiva de la igualdad:
𝑎𝑥3
+ 𝑏𝑥2
+ 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑦
Resolver la primera parte del problema

40. Resumen del tercer paso
La obtención de las ecuaciones se basa en conocimientos previos, algún
dato del problema o una combinación de las dos cosas.
En este caso vamos a utilizar conocimientos de geometría analítica:
“Si un punto pertenece a una curva, entonces debe cumplir con su
ecuación”
𝒚 = 𝒇(𝒙)

41. Obtener la ecuación de la Función Cúbica
Vamos a sustituir las coordenadas de los cuatro puntos en la forma
general de la ecuación de tercer grado en la forma:
𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑 = 𝑦
𝒚 = 𝒇(𝒙)

42. Resolver la primera parte del problema
Las escalas de los ejes
pueden ser diferentes.
En este ejemplo tomaremos NL =
12, NE = 7, cuando lo resuelvas
utiliza tu propio número de lista y
número de equipo
𝑦 = 𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅

43. 𝑦 = 𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅
𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅 = 𝑦
𝒂(−7)3+𝒃(−7)2+𝒄(−7) + 𝒅 = (−7)
−343𝒂 + 49𝒃 − 7𝒄 + 1𝒅 = −7
Sustituyendo las
coordenadas x, y del
primer punto en la forma
general de la ecuación de
tercer grado

44. 𝑦 = 𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅
𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅 = 𝑦
𝒂(−3.5)3+𝒃(−3.5)2+𝒄(−3.5) + 𝒅 = (12)
−42.875𝒂 + 12.25𝒃 − 3.5𝒄 + 1𝒅 = 12
Sustituyendo las
coordenadas x, y del
segundo punto en la forma
general de la ecuación de
tercer grado

45. 𝑦 = 𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅
𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅 = 𝑦
𝒂(+3.5)3+𝒃(+3.5)2+𝒄(+3.5) + 𝒅 = (7)
+42.875𝒂 + 12.25𝒃 + 3.5𝒄 + 1𝒅 = 7
Sustituyendo las
coordenadas x, y del
tercer punto en la forma
general de la ecuación de
tercer grado

46. 𝑦 = 𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅
𝒂𝑥3
+ 𝒃𝑥2
+ 𝒄𝑥 + 𝒅 = 𝑦
𝒂(7)3+𝒃(7)2+𝒄(7) + 𝒅 = (−12)
+343𝒂 + 49𝒃 + 7𝒄 + 1𝒅 = −12
Sustituyendo las
coordenadas x, y del
cuarto punto en la forma
general de la ecuación de
tercer grado

47. −343𝒂 + 49𝒃 − 7𝒄 + 1𝒅 = −7
−42.875𝒂 + 12.25𝒃 − 3.5𝒄 + 1𝒅 = 12
+42.875𝒂 + 12.25𝒃 + 3.5𝒄 + 1𝒅 = 7
+343𝒂 + 49𝒃 + 7𝒄 + 1𝒅 = −12
Obtenemos un sistema de cuatro ecuaciones lineales con
cuatro incógnitas

48. Resolver la primera parte del problema
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de cuatro ecuaciones
con cuatro incógnitas por cualquier método, como:
1. Método de Cramer o por determinantes
2. Método de Gauss
3. Método de Gauss Jordan

49. Resolver la primera parte del problema
El cuarto paso consiste en resolver el sistema de cuatro ecuaciones
con cuatro incógnitas por cualquier método, como:
1. Método de Cramer o por determinantes
2. Método de Gauss
3. Método de Gauss Jordan
En este ejemplo
emplearemos el
método de Cramer.

50. Resolver la primera parte del problema
El método de Cramer no es el más eficiente, requiere efectuar
demasiadas operaciones aritméticas por lo que, generalmente
se prefiere el método de Gauss.
Sin embargo, empleando las tecnologías de la información y
comunicación, es muy sencillo generar una hoja de Excel que
resuelva un sistema de 4x4, incluso es posible incluir los pasos.
En caso de que requerir mayor información acerca del método
de Cramer se encuentra una presentación en el siguiente
enlace:
http://proc-industriales.blogspot.com/2020/10/cramer-method-2020.html

51. Determinantes
- 343.0 + 49.0 - 7.0 + 1.0
DP = - 42.9 + 12.3 - 3.5 + 1.0 = + 132355.1
+ 42.9 + 12.3 + 3.5 + 1.0
+ 343.0 + 49.0 + 7.0 + 1.0
- 7.0 + 49.0 - 7.0 + 1.0
Da = + 12.0 + 12.3 - 3.5 + 1.0 = + 1286.3
+ 7.0 + 12.3 + 3.5 + 1.0
- 12.0 + 49.0 + 7.0 + 1.0
- 343.0 - 7.0 - 7.0 + 1.0
Db = - 42.9 + 12.0 - 3.5 + 1.0 = - 68428.5
+ 42.9 + 7.0 + 3.5 + 1.0
+ 343.0 - 12.0 + 7.0 + 1.0
- 343.0 + 49.0 - 7.0 + 1.0
Dc = - 42.9 + 12.3 + 12.0 + 1.0 = - 110295.9
+ 42.9 + 12.3 + 7.0 + 1.0
+ 343.0 + 49.0 - 12.0 + 1.0
- 343.0 + 49.0 - 7.0 - 7.0
Dd = - 42.9 + 12.3 - 3.5 + 12.0 = + 2095622.8
+ 42.9 + 12.3 + 3.5 + 7.0
+ 343.0 + 49.0 + 7.0 - 12.0
Determinantes calculados mediante Excel
=mdeterm(Rango)

52. Ecuaciones y valores de las incógnitas
- 343.00 x 1 + 49.00 x2 - 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 7.0
- 42.875 x 1 + 12.25 x2 - 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 12.0
+ 42.875 x 1 + 12.25 x2 + 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 7.0
+ 343.00 x 1 + 49.00 x2 + 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 12.0
a =
b =
c =
d =
+ 0.0097181730
- 0.5170068027
- 0.8333333333
+ 15.8333333333

53. Ecuación de la función cúbica
𝑦 = 𝑎𝑥3 + 𝑏𝑥2 + 𝑐𝑥 + 𝑑
𝑦 = +0.009718𝑥3 − 0.517006𝑥2 − 0.8ത3 𝑥 + 15.8ത3
- 343.00 x 1 + 49.00 x2 - 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 7.0
- 42.875 x 1 + 12.25 x2 - 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 12.0
+ 42.875 x 1 + 12.25 x2 + 3.50 x 3 + 1.0 x4 = + 7.0
+ 343.00 x 1 + 49.00 x2 + 7.00 x 3 + 1.0 x4 = - 12.0
a =
b =
c =
d =
+ 0.0097181730
- 0.5170068027
- 0.8333333333
+ 15.8333333333

54. Hemos obtenido la ecuación de la función
cúbica
Esta ecuación representa, para nosotros, la relación que existe
entre las variables del proceso. Es el modelo matemático que
elegimos arbitrariamente.
Se escriben seis decimales, pero al efectuar operaciones se
utilizarán todos los que se obtuvieron para mejorar la
exactitud.
𝑦 = +0.009718𝑥3 − 0.517006𝑥2 − 0.8ത3 𝑥 + 15.8ത3

55. Solamente falta trazar la gráfica y verificar que pasa por los
cuatro puntos que teníamos como datos
𝑦 = +0.009718𝑥3
− 0.517006𝑥2
− 0.8ത3𝑥 + 15.8ത3

56. Respuesta
La función cúbica que
describe el proceso tiene
por ecuación:
𝑦 = +0.009718𝑥3
− 0.517006𝑥2
− 0.8ത3𝑥 + 15.8ത3

57. Gracias
Por su atención
licmata@hotmail.com
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Twitter: @licemata