Este documento presenta el tema de las desigualdades lineales con una incógnita. Explica cómo se resuelven desigualdades aplicando propiedades similares a las ecuaciones pero considerando que la solución es un intervalo en lugar de un valor único. También describe la representación gráfica de desigualdades usando líneas inclinadas y paréntesis para indicar si los extremos están incluidos o no en la solución. Finalmente, presenta algunos ejemplos de problemas que conducen a desigualdades lineales.
El documento describe las desigualdades lineales con una incógnita, incluyendo cómo modelar situaciones de la vida real como desigualdades, resolver desigualdades aplicando propiedades, y representar gráficamente las soluciones de desigualdades. Se proveen ejemplos para ilustrar cada tema y ejercicios prácticos al final.
Activity 2 2 special productos and factoring 2019Edgar Mata
Este documento presenta el tema de los productos notables en álgebra. Explica que los productos notables surgen de observar regularidades al multiplicar binomios. El lector es guiado a través de un proceso de desarrollar reglas empíricas para productos notables como binomios con término común y el binomio al cuadrado, mediante la resolución de ejemplos y la observación de patrones. Las reglas son luego verificadas y corregidas al probar casos más complejos. El documento concluye explicando cómo este método de
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Explica los conceptos básicos de modelos matemáticos, ecuaciones lineales y su solución. También describe el modelo de Polya para resolver problemas, el cual consta de cuatro pasos: 1) entender el problema, 2) configurar un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) mirar hacia atrás. El documento proporciona un ejemplo para ilustrar este proceso.
Este documento describe cómo resolver inecuaciones lineales con una incógnita. Explica las reglas para resolver inecuaciones, incluidas las propiedades de las desigualdades. También cubre la representación gráfica de soluciones de inecuaciones a través de la recta numérica, mostrando cómo los símbolos de paréntesis indican los límites de las soluciones.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento presenta un modelo para resolver problemas matemáticos utilizando ecuaciones de primer grado. Explica que la matemática se usa para modelar problemas de la vida real abstractizando la información y expresándola en términos algebraicos. Luego describe el proceso de Polya para resolver problemas, que incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo para ilustrar este proceso.
El documento describe cómo resolver problemas de primer grado utilizando ecuaciones lineales. Explica los cuatro pasos del modelo de Polya para resolver problemas: 1) entender el problema, 2) configurar un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) revisar la solución. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del modelo.
El documento describe las desigualdades lineales con una incógnita, incluyendo cómo modelar situaciones de la vida real como desigualdades, resolver desigualdades aplicando propiedades, y representar gráficamente las soluciones de desigualdades. Se proveen ejemplos para ilustrar cada tema y ejercicios prácticos al final.
Activity 2 2 special productos and factoring 2019Edgar Mata
Este documento presenta el tema de los productos notables en álgebra. Explica que los productos notables surgen de observar regularidades al multiplicar binomios. El lector es guiado a través de un proceso de desarrollar reglas empíricas para productos notables como binomios con término común y el binomio al cuadrado, mediante la resolución de ejemplos y la observación de patrones. Las reglas son luego verificadas y corregidas al probar casos más complejos. El documento concluye explicando cómo este método de
Este documento presenta información sobre ecuaciones lineales de primer grado con una incógnita. Explica los conceptos básicos de modelos matemáticos, ecuaciones lineales y su solución. También describe el modelo de Polya para resolver problemas, el cual consta de cuatro pasos: 1) entender el problema, 2) configurar un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) mirar hacia atrás. El documento proporciona un ejemplo para ilustrar este proceso.
Este documento describe cómo resolver inecuaciones lineales con una incógnita. Explica las reglas para resolver inecuaciones, incluidas las propiedades de las desigualdades. También cubre la representación gráfica de soluciones de inecuaciones a través de la recta numérica, mostrando cómo los símbolos de paréntesis indican los límites de las soluciones.
Actividad para elmdesarrollo de habilidades en la resolución de problemas de razonamiento
Activity for development of habilities in word problems solving
Este documento presenta un modelo para resolver problemas matemáticos utilizando ecuaciones de primer grado. Explica que la matemática se usa para modelar problemas de la vida real abstractizando la información y expresándola en términos algebraicos. Luego describe el proceso de Polya para resolver problemas, que incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo para ilustrar este proceso.
El documento describe cómo resolver problemas de primer grado utilizando ecuaciones lineales. Explica los cuatro pasos del modelo de Polya para resolver problemas: 1) entender el problema, 2) configurar un plan, 3) ejecutar el plan, y 4) revisar la solución. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar los pasos del modelo.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtener reglas para productos notables de álgebra a través de la observación de regularidades en multiplicaciones. Primero, se realizan multiplicaciones paso a paso para notar patrones. Luego, se generalizan las observaciones en reglas para obtener productos directamente sin cálculos. Finalmente, se prueban las reglas en casos más complejos para verificar su validez. El objetivo es desarrollar conocimiento matemático a través de la experimentación y generalización de patrones empíricos.
El documento describe cómo construir modelos matemáticos lineales para resolver problemas de la vida real. Explica que la matemática se usa para modelar situaciones mediante el establecimiento de variables y ecuaciones. Luego, detalla el proceso de Polya para resolver problemas, el cual incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo de cómo aplicar este método para resolver un problema de pintar una barda.
Este documento presenta información sobre la línea recta y la regresión lineal. Introduce un problema sobre las ventas mensuales de una tienda durante sus primeros seis meses y calcula la ecuación de la recta de regresión para pronosticar las ventas. Explica cómo usar tecnología como Excel para realizar los cálculos requeridos y determinar si puntos dados pertenecen a la línea recta descrita por su ecuación.
Rubrica y listas de cotejo matematicas 5ºbloqueDiana Viveros
Este documento presenta tres evaluaciones de aprendizaje para una clase de matemáticas en la Telesecundaria Francisco I Madero. La primera evaluación cubre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones, la segunda cubre geometría (rectas paralelas, perpendiculares y ángulos) y la tercera cubre nociones básicas de probabilidad como probabilidad frecuencial y teórica. Cada evaluación incluye indicadores clave y una escala numérica para calificar el desempeño de los estudiantes.
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
1) El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. 2) Explica diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios, así como sus propiedades y operaciones matemáticas. 3) Finalmente, introduce los números complejos y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con este tipo de números.
Solucion sistema de_ecuaciones_lineales[1]neibysmercado
Este documento presenta los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Introduce los conceptos clave como sistema lineal, ecuación lineal, incógnita, coeficiente y términos. Explica que existen tres tipos de soluciones: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Luego, detalla el método de reducción, el cual consiste en manipular las ecuaciones para eliminar una incógnita y quedar con una ecuación de una incógnita que puede resolverse.
Este documento presenta una rúbrica para evaluar problemas de razonamiento con tres incógnitas. La rúbrica contiene cinco aspectos a evaluar: comprensión del problema, razonamiento matemático, terminología matemática y notación, procedimiento algebraico, y solución y comprobación. Se asignan valores de 0 a 20 puntos para cada aspecto dependiendo del nivel de comprensión o ejecución de cada uno. La rúbrica provee una guía estandarizada para medir el desempeño en la resolución de problemas con sistem
Este documento describe el método de igualación para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica que este método involucra despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar los resultados para obtener una ecuación con una sola incógnita que puede ser resuelta. Proporciona un ejemplo completo utilizando este método para resolver un problema sobre el punto de equilibrio de costos e ingresos.
Template for word problems using one equation with one unknown.
Formato para resolver problemas de razonamiento mediante una ecuación de primer grado con una incógnita.
Clase completa sistemas de ecuaciones linealesElkin Guillen
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica qué son estos sistemas, cómo se pueden clasificar y cuáles son los métodos principales para resolverlos, incluyendo sustitución, igualación y reducción. También contiene ejemplos para practicar la aplicación de estos métodos al resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento describe la primera fase del proceso estadístico, que es la producción de datos. Esta fase consiste en obtener una muestra representativa y no sesgada de la población para analizar las variables de interés. Es importante evitar cualquier sesgo en los datos para obtener resultados precisos. La mayoría de los errores en el proceso estadístico ocurren en esta primera etapa de producción de datos.
El documento presenta 10 problemas de sistemas de ecuaciones lineales para resolver. Los problemas involucran temas como puntos de equilibrio, mezcla de productos, inversiones, producción industrial, salarios y velocidad. Se provee una rúbrica de 17 puntos para calificar cada respuesta.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtención de reglas para productos notables como binomios con término común y binomio al cuadrado. Primero se realizan ejemplos con términos positivos para observar regularidades y formular una regla preliminar, luego se prueba con términos negativos para generalizar la regla. Finalmente, se verifica la regla con binomios más complejos para validarla.
Tutorial para la solución de sistemas de ecuaciones 4 incognitas Jorge Villa
Este documento presenta un tutorial para resolver sistemas de ecuaciones con cuatro incógnitas a través de métodos manuales y con software. Explica el proceso paso a paso para resolver un ejemplo real de cuatro ecuaciones con cuatro variables de forma manual usando el método de Gauss y con Excel usando la herramienta Solver. También incluye un banco de cinco ejercicios de práctica adicionales y enlaces a recursos sobre el tema.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
Este documento describe los productos notables en álgebra. Explica cómo surgen las reglas de los productos notables al observar patrones en multiplicaciones repetidas. Luego, muestra ejemplos de multiplicar binomios con término común y binomios al cuadrado para derivar las reglas generales a través de la generalización. Finalmente, resume otros productos notables y técnicas de factorización.
Este documento presenta un estudio sobre la aplicación de matrices para resolver problemas de circulación vehicular. Se describen conceptos como sistemas lineales, matriz aumentada, eliminación gaussiana, determinantes y regla de Cramer. Luego, se presentan tres problemas de tráfico vehicular resueltos usando métodos de matrices como matriz aumentada. Finalmente, se concluye que los métodos de matrices son útiles para resolver problemas de tráfico de manera rápida.
Este documento trata sobre ecuaciones lineales. Explica que una ecuación es una igualdad con al menos un número desconocido llamado incógnita. Se definen las ecuaciones lineales como igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1. Luego, describe los pasos para resolver ecuaciones lineales, que incluyen reducir términos semejantes, trasponer términos, y despejar la incógnita. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto.
Este documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra realizar operaciones elementales de renglón como multiplicar, dividir o sumar ecuaciones para simplificar el sistema hasta que solo quede una ecuación con una incógnita cuya solución permite determinar las demás variables. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de resolución paso a paso.
Este documento explica la regla de tres simple directa e inversa. La regla de tres directa se usa cuando dos cantidades aumentan o disminuyen en la misma proporción, mientras que la regla de tres inversa se usa cuando una cantidad aumenta mientras la otra disminuye. El documento proporciona ejemplos de problemas resueltos usando ambos métodos y explica cómo distinguir entre los dos tipos de problemas.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtener reglas para productos notables de álgebra a través de la observación de regularidades en multiplicaciones. Primero, se realizan multiplicaciones paso a paso para notar patrones. Luego, se generalizan las observaciones en reglas para obtener productos directamente sin cálculos. Finalmente, se prueban las reglas en casos más complejos para verificar su validez. El objetivo es desarrollar conocimiento matemático a través de la experimentación y generalización de patrones empíricos.
El documento describe cómo construir modelos matemáticos lineales para resolver problemas de la vida real. Explica que la matemática se usa para modelar situaciones mediante el establecimiento de variables y ecuaciones. Luego, detalla el proceso de Polya para resolver problemas, el cual incluye entender el problema, configurar un plan, ejecutar el plan y revisar la solución. Finalmente, provee un ejemplo de cómo aplicar este método para resolver un problema de pintar una barda.
Este documento presenta información sobre la línea recta y la regresión lineal. Introduce un problema sobre las ventas mensuales de una tienda durante sus primeros seis meses y calcula la ecuación de la recta de regresión para pronosticar las ventas. Explica cómo usar tecnología como Excel para realizar los cálculos requeridos y determinar si puntos dados pertenecen a la línea recta descrita por su ecuación.
Rubrica y listas de cotejo matematicas 5ºbloqueDiana Viveros
Este documento presenta tres evaluaciones de aprendizaje para una clase de matemáticas en la Telesecundaria Francisco I Madero. La primera evaluación cubre ecuaciones lineales y sistemas de ecuaciones, la segunda cubre geometría (rectas paralelas, perpendiculares y ángulos) y la tercera cubre nociones básicas de probabilidad como probabilidad frecuencial y teórica. Cada evaluación incluye indicadores clave y una escala numérica para calificar el desempeño de los estudiantes.
Activity 1 1 limits and continuity ea2021Edgar Mata
Este documento introduce el concepto de límite matemático de manera intuitiva a través de ejemplos. Explica que el desarrollo del cálculo carecía de rigor teórico inicialmente y fue necesario formalizar los conceptos de límite y continuidad para fundamentar esta rama de las matemáticas. Luego presenta tres ejemplos para ilustrar el concepto intuitivo de límite usando una deformación de resorte, operaciones aritméticas y gráficas de funciones.
1) El documento describe la evolución de los sistemas de numeración utilizados por los humanos, desde los primeros números utilizados para contar hasta los números complejos. 2) Explica diferentes tipos de números como naturales, enteros, racionales, reales e imaginarios, así como sus propiedades y operaciones matemáticas. 3) Finalmente, introduce los números complejos y describe operaciones como suma, resta, multiplicación y división con este tipo de números.
Solucion sistema de_ecuaciones_lineales[1]neibysmercado
Este documento presenta los métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales 2x2. Introduce los conceptos clave como sistema lineal, ecuación lineal, incógnita, coeficiente y términos. Explica que existen tres tipos de soluciones: compatible determinado, compatible indeterminado e incompatible. Luego, detalla el método de reducción, el cual consiste en manipular las ecuaciones para eliminar una incógnita y quedar con una ecuación de una incógnita que puede resolverse.
Este documento presenta una rúbrica para evaluar problemas de razonamiento con tres incógnitas. La rúbrica contiene cinco aspectos a evaluar: comprensión del problema, razonamiento matemático, terminología matemática y notación, procedimiento algebraico, y solución y comprobación. Se asignan valores de 0 a 20 puntos para cada aspecto dependiendo del nivel de comprensión o ejecución de cada uno. La rúbrica provee una guía estandarizada para medir el desempeño en la resolución de problemas con sistem
Este documento describe el método de igualación para resolver sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica que este método involucra despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones y luego igualar los resultados para obtener una ecuación con una sola incógnita que puede ser resuelta. Proporciona un ejemplo completo utilizando este método para resolver un problema sobre el punto de equilibrio de costos e ingresos.
Template for word problems using one equation with one unknown.
Formato para resolver problemas de razonamiento mediante una ecuación de primer grado con una incógnita.
Clase completa sistemas de ecuaciones linealesElkin Guillen
Este documento presenta información sobre sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas. Explica qué son estos sistemas, cómo se pueden clasificar y cuáles son los métodos principales para resolverlos, incluyendo sustitución, igualación y reducción. También contiene ejemplos para practicar la aplicación de estos métodos al resolver sistemas de ecuaciones.
Este documento describe la primera fase del proceso estadístico, que es la producción de datos. Esta fase consiste en obtener una muestra representativa y no sesgada de la población para analizar las variables de interés. Es importante evitar cualquier sesgo en los datos para obtener resultados precisos. La mayoría de los errores en el proceso estadístico ocurren en esta primera etapa de producción de datos.
El documento presenta 10 problemas de sistemas de ecuaciones lineales para resolver. Los problemas involucran temas como puntos de equilibrio, mezcla de productos, inversiones, producción industrial, salarios y velocidad. Se provee una rúbrica de 17 puntos para calificar cada respuesta.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
El documento describe el proceso de obtención de reglas para productos notables como binomios con término común y binomio al cuadrado. Primero se realizan ejemplos con términos positivos para observar regularidades y formular una regla preliminar, luego se prueba con términos negativos para generalizar la regla. Finalmente, se verifica la regla con binomios más complejos para validarla.
Tutorial para la solución de sistemas de ecuaciones 4 incognitas Jorge Villa
Este documento presenta un tutorial para resolver sistemas de ecuaciones con cuatro incógnitas a través de métodos manuales y con software. Explica el proceso paso a paso para resolver un ejemplo real de cuatro ecuaciones con cuatro variables de forma manual usando el método de Gauss y con Excel usando la herramienta Solver. También incluye un banco de cinco ejercicios de práctica adicionales y enlaces a recursos sobre el tema.
Activity 2 2 special productos and factoringEdgar Mata
Este documento describe los productos notables en álgebra. Explica cómo surgen las reglas de los productos notables al observar patrones en multiplicaciones repetidas. Luego, muestra ejemplos de multiplicar binomios con término común y binomios al cuadrado para derivar las reglas generales a través de la generalización. Finalmente, resume otros productos notables y técnicas de factorización.
Este documento presenta un estudio sobre la aplicación de matrices para resolver problemas de circulación vehicular. Se describen conceptos como sistemas lineales, matriz aumentada, eliminación gaussiana, determinantes y regla de Cramer. Luego, se presentan tres problemas de tráfico vehicular resueltos usando métodos de matrices como matriz aumentada. Finalmente, se concluye que los métodos de matrices son útiles para resolver problemas de tráfico de manera rápida.
Este documento trata sobre ecuaciones lineales. Explica que una ecuación es una igualdad con al menos un número desconocido llamado incógnita. Se definen las ecuaciones lineales como igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1. Luego, describe los pasos para resolver ecuaciones lineales, que incluyen reducir términos semejantes, trasponer términos, y despejar la incógnita. Finalmente, presenta un ejemplo resuelto.
Este documento describe el método de eliminación Gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales. Explica que este método involucra realizar operaciones elementales de renglón como multiplicar, dividir o sumar ecuaciones para simplificar el sistema hasta que solo quede una ecuación con una incógnita cuya solución permite determinar las demás variables. También presenta un ejemplo numérico para ilustrar el proceso de resolución paso a paso.
Este documento explica la regla de tres simple directa e inversa. La regla de tres directa se usa cuando dos cantidades aumentan o disminuyen en la misma proporción, mientras que la regla de tres inversa se usa cuando una cantidad aumenta mientras la otra disminuye. El documento proporciona ejemplos de problemas resueltos usando ambos métodos y explica cómo distinguir entre los dos tipos de problemas.
Pautas de Ayudantías (Introducción a la Microeconomía - UChile)Mauricio Vargas 帕夏
Ayudantías 1 a 9 (la totalidad de las ayudantías del curso)
Competencia perfecta, Monopolio, Teoría del consumidor, Teoría de la producción, Teoría de precios.
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones algebraicas. Brevemente, un sistema de ecuaciones algebraicas consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. Resolver un sistema implica encontrar los valores de las incógnitas que cumplen todas las ecuaciones al mismo tiempo.
Reporte final de actividad de aprendizaje falacias matemáticasAndrea MG
Este documento presenta un análisis de un problema matemático que contenía una falacia. El estudiante y sus compañeros analizaron el problema paso a paso y discutieron conceptos clave como lógica, demostración y falacia. Al principio no podían encontrar el error, pero eventualmente se dieron cuenta que la división de la igualdad por un binomio que daba cero introdujo un límite indeterminado incorrecto. El estudiante concluyó que es importante revisar problemas a fondo y aplicar todos los conocimientos matemáticos para
Este documento trata sobre sistemas de ecuaciones algebraicas. Explica que un sistema de ecuaciones algebraicas consiste en un conjunto de dos o más ecuaciones con varias incógnitas que deben satisfacerse simultáneamente. También describe métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales y cuadráticas, como sustitución, igualación y reducción.
El documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas. Define una ecuación de primer grado con dos incógnitas y una solución de la ecuación. Explica que un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas involucra dos ecuaciones y que la solución del sistema es el par de valores que satisfacen ambas ecuaciones. Presenta tres métodos para resolver sistemas: sustitución, reducción e igualación.
Este documento trata sobre ecuaciones de primer grado o lineales. Explica que una ecuación es una expresión matemática que establece una igualdad entre dos miembros separados por el signo igual. También define conceptos como incógnita, miembros de la ecuación y métodos para resolver ecuaciones de primer grado como reducir términos semejantes, transponer términos y despejar la incógnita.
Este informe presenta soluciones a dos problemas de mecánica y transferencia de calor usando el software Mathcad. En el primer problema, se calcula el ángulo máximo que puede alcanzar un plano inclinado antes de que se deslice un bloque, considerando dos configuraciones. En el segundo problema, se resuelve numéricamente la ecuación del calor en una placa usando diferencias finitas. El informe también incluye marco teórico sobre fuerzas de roce y el método de diferencias finitas.
El documento explica diferentes operaciones algebraicas como la suma, resta, multiplicación y división de expresiones algebraicas. También cubre temas como el valor numérico de una expresión, factorización por productos notables, fracciones algebraicas, radicales y expresiones racionalizadas. El objetivo es proporcionar una guía sobre cómo realizar estas operaciones de manera correcta.
Este documento describe varios métodos para resolver sistemas de ecuaciones lineales, incluyendo la eliminación de Gauss, el método de Gauss-Jordan, la descomposición LU, la factorización de Cholesky, la factorización QR y los métodos iterativos de Gauss-Seidel y Jacobi. Explica los pasos involucrados en cada método y provee ejemplos numéricos para ilustrarlos.
Este documento explica las "falacias matemáticas", que son errores en ecuaciones que hacen parecer que un problema está bien resuelto cuando en realidad no lo está. Se presenta un ejemplo de una ecuación algebraica que parece estar resuelta correctamente a través de pasos lógicos, pero que contiene un error al dividir por cero al eliminar términos iguales. El documento enfatiza la importancia de revisar cada paso de un proceso o problema con detalle para identificar posibles falacias.
Un sistema de ecuaciones lineales consiste en un conjunto de ecuaciones que contienen más de una incógnita y relacionan las incógnitas entre sí. Existen varios métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas, como la sustitución, reducción, igualación y determinantes. Cada método produce una ecuación de primer grado que puede resolverse para encontrar los valores de las incógnitas que satisfacen simultáneamente ambas ecuaciones originales.
TUTORIAL PARA LA RESOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES UTILIZANDO LA INFORMÁTICACarolina Vázquez
Este documento presenta un tutorial sobre la resolución de ecuaciones lineales utilizando la informática. Explica los conceptos básicos de sistemas de ecuaciones lineales y los pasos para resolver ecuaciones lineales de una variable, incluyendo ecuaciones fraccionarias y literales. También cubre la interpretación gráfica y algebraica de sistemas de ecuaciones lineales, y proporciona ejemplos para ilustrar los diferentes tipos de sistemas y sus soluciones.
Metodos para realizar una demotracion falazOlveraLizbeth
Este documento describe un método para realizar una demostración falaz en matemáticas. Explica los pasos de la falacia, como darle un valor a una variable, aplicar propiedades de igualdad como sumar o restar cantidades iguales a ambos lados, y factorizar una expresión. Sin embargo, señala que el error está cuando se divide por una expresión que da como resultado un número indefinido, llevando a una conclusión sin sentido.
Este documento describe el método de los multiplicadores de Lagrange. Joseph Louis Lagrange propuso este método para encontrar máximos y mínimos de funciones con múltiples variables sujetas a restricciones. El método reduce el problema restringido a uno sin restricciones mediante la adición de términos multiplicados por los multiplicadores de Lagrange. Este método proporciona una condición necesaria para que un punto sea un extremo de una función con restricciones.
Este documento trata sobre sucesiones y series matemáticas. Define una sucesión como una aplicación cuyo dominio son los números naturales y cuyo codominio puede ser cualquier conjunto. Clasifica las sucesiones en convergentes, divergentes, alternadas y finitas e infinitas. También define series y las clasifica en geométricas, armónicas y alternadas. Incluye ejemplos y aplicaciones de sucesiones y series en la vida cotidiana.
1) El método de igualación consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones de un sistema, igualar los resultados y obtener una ecuación de primer grado que se resuelve para hallar el valor de dicha incógnita.
2) Luego, se sustituye este valor en una de las ecuaciones originales para encontrar el valor de la otra incógnita.
3) El método permite resolver sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas.
La regla de tres es una forma de resolver problemas de proporcionalidad entre valores conocidos y una incógnita. Existen tres tipos de regla de tres: simple directa, simple inversa y compuesta. La regla de tres simple directa se usa cuando los valores aumentan o disminuyen juntos, mientras que la simple inversa se usa cuando los valores se mueven en direcciones opuestas. La regla de tres compuesta involucra más de tres valores y puede incluir relaciones directas e inversas.
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Exercise 2 2 - area under the curve 2020Edgar Mata
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La energía radiante es una forma de energía que
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Cuando las excavaciones se ejecutan controlando la sección de excavación, de manera que se disturbe lo menos posible la
roca circundante considerando la vida útil que se debe dar a la roca, es cuando aparece el
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Un ascensor o elevador es un sistema de transporte vertical u oblicuo, diseñado para mover principalmente personas entre diferentes niveles de un edificio o estructura. Cuando está destinado a trasladar objetos grandes o pesados, se le llama también montacargas.
2. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
http://licmata-math.blogspot.mx/ 2
Presentación.
Estamos acostumbrados a estudiar las ecuaciones; desde nuestros
estudios básicos hemos visto que la relación de igualdad entre dos
cantidades es sumamente útil para resolver numerosos problemas.
Sin embargo, en el mundo real, las relaciones existentes entre las
magnitudes no siempre son de igualdad. Es muy común que alguna
cantidad sea diferente, mayor o menor que otra. Este tipo de
expresiones también pueden traducirse al lenguaje algebraico,
reciben el nombre de desigualdades o inecuaciones.
En el presente material se aborda el tema de las desigualdades lineales con una incógnita; sus aplicaciones,
cómo resolverlas, y su representación gráfica.
Contenido
Presentación.............................................................................................................................................................2
Introducción. ............................................................................................................................................................3
Modelos matemáticos en las desigualdades........................................................................................................4
Resolución de desigualdades. ..................................................................................................................................4
Reglas empíricas y propiedades de la igualdad....................................................................................................4
Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades.........................................................................................5
Representación gráfica de las desigualdades.......................................................................................................6
Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos.............................................................7
Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales..............................................................................8
Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita................................................................ 10
Pensamiento crítico........................................................................................................................................... 10
Observaciones. .................................................................................................................................................. 11
3. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Introducción.
Como vimos en la actividad 3.1, existen numerosas situaciones en las que
podemos representar la realidad y resolver problemas mediante
ecuaciones lineales con una incógnita. Anota como ejemplo de modelado
mediante ecuaciones lineales la ecuación del problema 4, del ejercicio 2,
página 11 de la actividad 3.1:
Expresión en lenguaje natural:
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____________________________________________________________
Ecuación lineal que nos permitió resolver el problema:
____________________________________________________________
____________________________________________________________
En esta ocasión veremos cómo utilizar otro tipo de modelos matemáticos:
las desigualdades lineales con una incógnita.
Veamos un ejemplo:
En cierta planta metalúrgica las temperaturas y el ambiente
corrosivo hacen necesario emplear aleaciones especiales,
además, es necesario que resistan una tensión de
105,000±5000 psi.
Un proveedor ofrece una solución: La superaleación tipo C,
llamada Hastelloy, puede resistir una tensión máxima de
110,600 psi incluso bajo condiciones de alta temperatura y
ambientes corrosivos.
Veamos cómo se traduce algebraicamente esta información:
Los requerimientos de la planta están indicados como un valor deseado
de 105,000 psi y una tolerancia de ±__________, es decir, el metal debe
resistir, al menos, 105,000 – 5,000 psi = 100,000 psi; y la máxima tensión
a la que será sometido es 105,000 + 5,000 psi = 110,000 psi.
Si expresamos la tensión a la que será sometido el material como x, ya
que es desconocida, entonces:
La resistencia del material debe ser: x >100,000 y x <110,000
Que se expresa: 100,000 < x <110,000
Programación
Lineal.
Una de las áreas de mayor
interés para la ingeniería de
procesos es la optimización
de los mismos, es decir,
cómo obtener el máximo
beneficio a partir de
recursos limitados o cómo
minimizar los costos de una
operación o proceso.
Los fundamentos teóricos
de esta técnica son las
desigualdades lineales,
aunque posteriormente se
emplean métodos
algebraicos que no permiten
visualizar la forma en que se
utilizan las desigualdades.
Un ejemplo de
programación lineal se
encuentra en:
http://licmata-
math.blogspot.mx/2014/06/mathe
matical-models-linear-
programming.html
Como puedes observar en el
problema planteado, en
lugar de ecuaciones
tenemos desigualdades:
Una vez planteado el
problema, se aplica el
método simplex que va de
solución factible en solución
factible, buscando el punto
óptimo.
4. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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En cuanto a las especificaciones del material, sólo indica una resistencia máxima a la tensión:
x <110,600
Explica si el material es adecuado para la necesidad:
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Modelos matemáticos en las desigualdades.
Las dos expresiones algebraicas generadas en el ejemplo son el modelo matemático que podemos utilizar para
decidir si el material es adecuado para la necesidad.
Requerimientos: 100,000 < x <110,000
Especificaciones: x <110,600
Con base en el método de solución de problemas ahora debemos resolver las desigualdades y responder a la
pregunta que plantea el problema. En el resto del material veremos cómo se resuelven las desigualdades.
Resolución de desigualdades.
El proceso de solución de las desigualdades es similar al de las ecuaciones, ya que tiene propiedades análogas.
Sin embargo, debemos recordar que el procedimiento correcto para resolver ecuaciones son las propiedades
de la igualdad, y las reglas empíricas son solamente una forma de facilitar el proceso.
Reglas empíricas y propiedades de la igualdad.
Para resolver la ecuación: 𝟐𝒙 + 𝟑 = −𝟏𝟓
El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en:
“El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟓 − 𝟑
“Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖
“El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 =
−𝟏𝟖
𝟐
“Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 = −𝟗
Este procedimiento funciona correctamente, pero debemos recordar que las reglas empíricas, cuando se
intenta generalizarlas, suelen fallar. El procedimiento correcto consiste en la aplicación de las propiedades de
la igualdad:
“Si a cantidades iguales, se restan cantidades iguales, la igualdad no se altera” 𝟐𝒙 + 𝟑 − 𝟑 = −𝟏𝟓 − 𝟑
“Se efectúan las operaciones indicadas” 𝟐𝒙 = −𝟏𝟖
“Si cantidades iguales, se dividen por cantidades iguales, la igualdad persiste”
𝟐𝒙
𝟐
=
−𝟏𝟖
𝟐
“Se efectúan las operaciones indicadas” 𝒙 = −𝟗
5. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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El resultado es el mismo, hasta ahora, las reglas empíricas están
funcionando adecuadamente. Pero no olvidemos que, por muchos
casos en los que una regla empírica funcione, siempre existe la
posibilidad de que se presente alguna situación en la que estas reglas
no funcionen adecuadamente.
Al resolver desigualdades se aplican las propiedades de las
desigualdades, que son similares a las propiedades de la igualdad, con
algunas diferencias.
Reglas empíricas y propiedades de las desigualdades.
Como se mencionó anteriormente, para resolver desigualdades se aplican reglas similares a las ecuaciones.
Ejemplo:
Para resolver la desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓
El proceso, aplicando reglas empíricas, consiste en:
“El 3 que está sumando, pasa del otro lado del signo igual, restando” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟓 − 𝟑
“Se efectúa la operación indicada, una suma algebraica” 𝟐𝒙 < −𝟏𝟖
“El dos que está multiplicando, pasa dividiendo” 𝒙 <
−𝟏𝟖
𝟐
“Se efectúan operaciones, en este caso, una división” 𝒙 < −𝟗
El resultado significa que, si se toma cualquier valor de equis menor a menos 9, y se sustituye en la desigualdad
original, obtendremos una afirmación verdadera; y si se toma cualquier valor, que no sea menor a menos
nueve, y se sustituye en la desigualdad, obtendremos una afirmación falsa, por ejemplo:
Si tomamos 𝒙 = −𝟏𝟎, la desigualdad queda:
𝟐(−𝟏𝟎) + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟐𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟏𝟕 < −𝟏𝟓
Como se puede observar, la afirmación es verdadera; menos diecisiete, es menor que menos quince, y esto se
debe a que tomamos un valor de equis que es menor que menos nueve.
Si tomamos 𝒙 = −𝟓, la desigualdad queda:
𝟐(−𝟓) + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟏𝟎 + 𝟑 < −𝟏𝟓
−𝟕 < −𝟏𝟓
Como se puede observar, la afirmación es falsa; menos siete en realidad es mayor que menos quince, y esto se
debe a que tomamos un valor de equis que es mayor que menos nueve.
6. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Selecciona otros dos valores de equis que no sean menores a menos 9 y observa que obtendremos
afirmaciones falsas:
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___________________________________________________________________________________________
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_____________________________________________________________
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_____________________________________________________________
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Representación gráfica de las desigualdades.
Como sucede en muchos temas de matemáticas, la representación gráfica puede ayudarnos a comprender
mejor el concepto y la solución de las desigualdades. Las desigualdades lineales con una incógnita se
representan sobre la recta numérica. Existen diferentes formas de representación, aquí mostraremos una de
las más usuales.
La desigualdad: 𝟐𝒙 + 𝟑 < −𝟏𝟓, tiene como solución: 𝒙 < −𝟗
La representación gráfica de esta solución es:
El símbolo con forma de paréntesis se coloca en el valor que se obtuvo en la solución, en este caso, −𝟗, con la
abertura hacia la izquierda ya que se trata de una relación “menor que”.
Consulta las
propiedades de las
desigualdades y, en las
líneas que se encuentran
a un lado de este texto,
resuelve el ejemplo
anterior aplicando
dichas propiedades.
7. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Las líneas inclinadas actúan como un sombreado que identifica la dirección en la que se encuentran los valores
que son la solución de la ecuación, ya que, a diferencia de las ecuaciones, la solución no es un valor único, sino
un conjunto de valores llamado intervalo.
Cuando se trata de una relación “mayor que”, entonces el símbolo similar a un paréntesis aparece con la
abertura hacia la derecha y el sombreado en esa misma dirección:
Una pregunta interesante es: ¿Qué sucede exactamente en el valor de equis que es la solución de la igualdad?
¿Es parte de la solución? ¿O no es parte de la solución? Realiza una investigación y explica, en las siguientes
líneas, qué sucede en estos puntos extremos.
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Representación gráfica de desigualdades que incluyen los extremos.
De acuerdo con la investigación realizada, existen desigualdades que sí incluyen los extremos, en cuyo caso el
paréntesis se sustituye con un paréntesis rectangular como se muestra en los siguientes ejemplos:
Este tipo de desigualdades se expresan verbalmente como: Equis es menor o igual a 2.5
En el otro sentido es: Equis es mayor o igual a 0.5
8. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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También es posible que existan desigualdades como la del ejemplo inicial:
Equis es mayor a 100,000 y menor a 110,000
Los paréntesis circulares indican que los extremos no están incluidos, es decir, la solución es cualquier número
mayor a 100,000 (no igual), y menor a 110,000 (no igual).
Estas desigualdades que tienen límites en ambos extremos también se presentan con relaciones de “mayor o
igual” y “menor o igual”, por ejemplo:
Equis es mayor o igual a 0.5 y menor o igual a 2.5
Modelos Matemáticos que conducen a desigualdades lineales.
Como hemos visto hasta ahora, el álgebra es una herramienta. Las desigualdades constituyen otro recurso para
modelar matemáticamente la realidad.
En estos ejemplos, la formulación del plan, que hasta ahora había consistido en obtener una ecuación de
primer grado con una incógnita, va a cambiar. En los siguientes ejercicios, en lugar de obtener una ecuación, se
desarrollará una desigualdad lineal con una incógnita.
El proceso de identificar las cantidades desconocidas para establecer relaciones entre ellas sigue siendo válido,
pero ahora, la relación que se establece es de “mayor o menor que”, o si se incluyen los valores extremos de
los intervalos, “mayor o igual, o menor o igual”.
9. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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Resuelve los siguientes problemas siguiendo un procedimiento similar al que se
utilizó en las ecuaciones. No olvides representar gráficamente la solución.
1. Una máquina tiene un costo fijo de operación de $1420 por turno.
Debido a el largo tiempo que toma para estar en condiciones de
operación, una vez que se enciende, no se apaga hasta el final del
turno. El costo variable de operación de la máquina es de $12.25 por
pieza. Debido a problemas financieros se ha decidido fabricar, por
turno, un número de piezas que mantenga el costo total de operación
de la máquina por debajo de $2150. ¿Cuántas piezas es posible
fabricar por turno sin exceder el límite indicado?
2. La producción artesanal de joyería es un proceso que sólo permite elaborar unas pocas piezas
por turno. Si un artesano puede fabricar entre 3 y 4 piezas por hora, y trabaja turnos de 8
horas diarias. ¿Cuántas piezas puede fabricar en los 6 turnos que trabaja a la semana? Si su
ganancia por pieza es de $45, ¿Cuántos artesanos deben trabajar, en una semana, para tener
un beneficio mínimo de $15,000?
3. Perla tiene una oferta de empleo como vendedora. Le proponen dos
alternativas de salario: Un salario base de $4000 mensuales y
comisiones sobre sus ventas del 6%, o un salario base de $6000
mensuales con comisiones del 4%. ¿De cuánto deberían ser sus
ventas mensuales mínimas para que le convenga elegir la primera
opción? Justifica tu respuesta.
4. Se desea cercar un terreno triangular de modo que el
lado a mida el doble que el lado b. La suma de los
tres lados debe ser, como máximo, de 165 metros.
¿Cuál debe ser la longitud máxima del lado c? ¿Y la
longitud mínima?
10. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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5. El cobre tiene propiedades que resultan sumamente
útiles, como la de su resistencia a la corrosión, por ello es
ampliamente usado en aleaciones. Se requiere una
aleación que contenga entre el 46% y el 52% de cobre.
Determina la mínima y la máxima cantidad de aleación
de cobre al 60% que debe mezclarse con otra aleación de
cobre al 40% para preparar 15 libras de una aleación que
contenga el porcentaje de cobre señalado.
Práctica de resolución de desigualdades lineales con una incógnita.
En estas aplicaciones de las desigualdades lineales, es necesario resolver los modelos matemáticos obtenidos,
sin embargo, existen muchos otros casos que debe practicarse para desarrollar las habilidades algebraicas y
aplicar las propiedades adecuadas en cada problema.
Resuelve las siguientes desigualdades y representa gráficamente la solución.
Identifica los casos en los que se aplican propiedades de las desigualdades que son
diferentes a las propiedades de la igualdad.
1. 2𝑥 − 3 ≤ 𝑥 − 5
2. 5𝑦 − 1 ≫ 7𝑦 − 9
3. 6𝑎 + 2 <
4𝑎−5
−2
4. −2𝑏 + 7 >
3𝑏+5
3
5.
6𝑤−5
3
<
4𝑤−7
−2
Pensamiento crítico.
La resolución de problemas es una forma de mejorar la capacidad de análisis del estudiante, pero existen otras
formas de agudizar las habilidades del pensamiento, como las siguientes preguntas.
Contesta las siguientes preguntas, se deja espacio para desarrollar las operaciones
algebraicas necesarias para argumentar tu respuesta.
1. ¿Por qué cuando un número negativo “está multiplicando y pasa dividiendo”, la dirección de la
desigualdad cambia?
11. Desigualdades Lineales con una Incógnita.
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2. Un estudiante afirma que la solución de la desigualdad: 𝒙 𝟐
< 𝟒 es: 𝒙 < 𝟐 ¿Tiene razón?
3. Si tenemos dos números p y q diferentes de cero tales que: 𝒑 < 𝒒, escribe el signo de desigualdad
que corresponde en cada caso:
a. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es positivo
b. 𝑝 + 𝑟 ______ 𝑞 + 𝑟, si sabemos que r es negativo
c. 𝑝 × 𝑟 ______ 𝑞 × 𝑟, si sabemos que r es positivo
d. 𝑝 × 𝑟 ______ 𝑞 × 𝑟, si sabemos que r es negativo
e.
𝑝
𝑟
______
𝑞
𝑟
, si sabemos que r es positivo
f.
𝑝
𝑟
______
𝑞
𝑟
, si sabemos que r es negativo
Observaciones.
En este material se ha trabajado solamente con desigualdades lineales con una incógnita, no olvides que
muchos modelos matemáticos requieren de más de una incógnita y, frecuentemente, las relaciones entre las
variables no son lineales, de modo que es posible encontrar sistemas de desigualdades lineales con dos o más
incógnitas, así como desigualdades cuadráticas, cúbicas, de otros grados, e incluso trascendentes.
Lecturas recomendadas.