El documento trata sobre el análisis numérico y los errores en los cálculos numéricos. Explica que el análisis numérico diseña algoritmos para simular procesos matemáticos complejos usando números y operaciones simples. También describe dos tipos principales de errores en los cálculos numéricos: el error de truncamiento debido a los métodos numéricos aproximados, y el error de redondeo causado por la imprecisión en la representación de números en computadoras. Finalmente, enfatiza la importancia de entender cómo se produ

1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO
VICERRECTORADO ACADEMICO
FACULTAD DE INGENIERIA
Cálculo numérico y manejo de errores
Integrante:
Almarys Vargas
CI:24.393.652
Cabudare Edo. Lara, Noviembre 2017

2. El análisis numérico ocálculo numérico es la rama de las matemáticas encargada de
diseñar algoritmos para, a través de números y reglas matemáticas simples, simular
procesos matemáticos más complejos aplicados a procesos del mundo real.
El análisis numérico cobra especial importancia con la llegada de los ordenadores. Los
ordenadores son útiles para cálculos matemáticos extremadamente complejos, pero en
última instancia operan con números binarios y operaciones matemáticas simples.
Desde este punto de vista, el análisis numérico proporcionará todo el andamiaje necesario
para llevar a cabo todos aquellos procedimientos matemáticos susceptibles de expresarse
algorítmicamente, basándose en algoritmos que permitan su simulación o cálculo en
procesos más sencillos empleando números.
Definido el error, junto con el error admisible, pasamos al concepto de estabilidad de los
algoritmos. Muchas de las operaciones matemáticas pueden llevarse adelante a través de
la generación de una serie de números que a su vez alimentan de nuevo el algoritmo
(feedback). Esto proporciona un poder de cálculo y refinamiento importantísimo a la
máquina que a medida que va completando un ciclo va llegando a la solución. El problema
ocurre en determinar hasta cuándo deberá continuar con el ciclo, o si nos estamos alejando
de la solución del problema.
Finalmente, otro concepto paralelo al análisis numérico es el de la representación, tanto de
los números como de otros conceptos matemáticos como los vectores, polinomios, etc. Por
ejemplo, para la representación en ordenadores de números reales, se emplea el concepto
de coma flotante que dista mucho del empleado por la matemática convencional.
En general, estos métodos se aplican cuando se necesita un valor numérico como solución
a un problema matemático, y los procedimientos "exactos" o "analíticos" (manipulaciones
algebraicas, teoría de ecuaciones diferenciales, métodos de integración, etc.) son incapaces
de dar una respuesta. Debido a ello, son procedimientos de uso frecuente por físicos e
ingenieros, y cuyo desarrollo se ha visto favorecido por la necesidad de éstos de obtener
soluciones, aunque la precisión no sea completa. Debe recordarse que la física
experimental, por ejemplo, nunca arroja valores exactos sino intervalos que engloban la
gran mayoría de resultados experimentales obtenidos, ya que no es habitual que dos
medidas del mismo fenómeno arrojen valores exactamente iguales.
Ejemplo
Uno de los ejercicios más comunes en los cursos básicos de Algebra universitaria consiste
en encontrar las raíces de un polinomio. El estudiante conoce principios tales como que el

3. Polinomio poseen raíces, donde es el grado del polinomio. Conoce también que es posible
que
Existan exclusivamente raíces reales o bien, una combinación entre raíces reales y raíces
complejas, existiendo estas ́ultimas en parejas conjugadas. El método de solución
comúnmente utilizado es la división sintética (que es un método numérico). El estudiante
aplica el método tantas veces como
Sea necesario para lograr que el residuo de la división sea cero, o muy cercano a cero.
No obstante, este procedimiento podría dejar insatisfecho a un estudiante acucioso pues
aun cuando existen mecanismos para elegir un valor inicial de una raíz, se invierte mucho
tiempo mejorando este valor inicial; adicionalmente es complicado obtener las raíces
complejas, cosa que usualmente debe lograrse a través de un cambio de variable y del uso
de
La fórmula general para ecuaciones de segundo grado. Finalmente, este proceso solo es
aplicable en polinomios; no es posible su aplicación en ecuaciones trascendentes.
Necesidad del uso del análisis numérico
El desarrollo y el auge del uso del análisis numérico corre en forma paralela al desarrollo
tecnológico de la computación [?]. Las computadoras (y en consecuencia también las
calculadoras) están facultadas para realizar una multitud prácticamente infita de
operaciones algebraicas en intervalos de tiempo muy peque ̃nos; esto las convierte en la
herramienta ideal para la aplicación de los métodos numéricos. De hecho, el análisis
numérico resulta ser la manera natural de resolver modelos matemáticos (de naturaleza
algebraicao trascendente tanto para lamatemática continua como para ladiscreta)através
de la computadora. Por otra parte, como consecuencia directa de la aplicación de
soluciones numéricas y del crecimiento de recursos computacionales, se ha logrado
también la incorporación de la simulación matemática como una forma de estudio de
diversos sistemas. Sin embargo debe haber claridad en el sentido de que el análisis
numérico no es la panacea en la solución de problemas matemáticos.
Definición de errores

4. Una actividad frecuente del profesional de la Ingeniería consiste en trabajar con modelos
matemáticos representativos de un fenómeno físico. Estos modelos son abstracciones
matemáticas que distan mucho de representar exactamente al fenómeno bajo estudio
debido principalmente a las carencias y dificultades que a ́un posee el humano de la
comprensión total de la naturaleza. Como consecuencia de esto existen diferencias entre
los resultados obtenidos experimentalmente y los emanados propiamente del modelo
matemático. A las diferencias cuantitativas entre los dos modelos se les denomina Errores.
Error por Truncamiento
. Se le da este nombre a los errores ocasionados por el método en sí (el nombre se origina
del hecho de que los métodos numéricos generalmente pueden ser comparados con una
serie de Taylor truncada) y es el error al que se ha prestado más atención. Para los métodos
iterativos, de ordinario este error puede ser reducido por medio de iteraciones repetidas
pero, ya que la vida es finita y el tiempo de computadora es caro, es necesario quedar
satisfecho con las aproximaciones a la respuesta analítica exacta.
Error de Redondeo
. Todos los dispositivos de cálculo representan números con alguna imprecisión. Las
computadoras digitales que son los dispositivos normales para la implantación de los
métodos numéricos, casi siempre utilizan números de punto flotante con una palabra de
longitud fija. Los valores verdaderos no son expresados exactamente por tales
representaciones. A esto se le llama un error de redondeo, ya sea que la fracción decimal
esté redondeada, acortada después del dígito final. Al resolver un problema matemático
por medio de una calculadora, debemos estar conscientes de que los números decimales
que calculamos quizá no sean exactos. Estos números casi siempre se redondean cuando
los registramos. Aun cuando los números se redondeen de manera intencional, el número
limitado de dígitos de la calculadora puede provocar errores de redondeo.
En una computadora electrónica, los errores de redondeo aparecen por las mismas razones
y afectan los resultados de los cálculos. En algunos casos, los errores de redondeo causan
efectos muy serios y hacen que los resultados de los cálculos carezcan por completo de
sentido. Por lo tanto, es importante aprender algunos aspectos básicos de las operaciones
aritméticas en las computadoras y comprender bajo qué circunstancias pueden ocurrir
severos errores de redondeo.