El documento trata sobre técnicas de análisis numérico como la interpolación. Explica que la interpolación permite resolver problemas cuya solución analítica es compleja mediante cálculos algebraicos que determinan valores, derivadas e integrales de funciones. También describe diferentes métodos de interpolación como Newton-Gregory, Lagrange, Hermite y splines.

1. Análisis numérico
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VENEZOLANA
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Edición: Enero,2015
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Interpolación

4. Intercambio de conocimientos
análisis numérico
El objeto del Análisis Numérico es el cálculo
aproximado de soluciones en problemas matemáticos. Este
curso pretende que el alumno complete los conocimientos de
Álgebra y Cálculo Diferencial e Integral con conceptos y
procedimientos que le permitan de un modo efectivo alcanzar
la solución de estos problemas. Estas técnicas se basan en
procedimientos que consideran aspectos del cálculo ligados a
los problemas reales y se ajustan a los medios actuales de
cálculo automático digital. En este sentido, en este curso, los
métodos del Álgebra Lineal se revisan considerando sus
aspectos algorítmicos y las dificultades que surgen en el
cálculo con matrices de dimensión elevada.

5. interpolación
La teoría de la Interpolación permitirá la resolución de problemas
cuyo análisis matemático puede ser establecido pero para los cuales
la solución analítica no es posible determinar o encierra gran
complejidad. Las técnicas interpoladoras permiten mediante cálculos
algebraicos determinar el valor de las derivadas e integrales de
funciones que no son elementales.
Por otra parte, no es posible desligar el aprendizaje de las técnicas
numéricas del manejo de los instrumentos de cálculo automático que
permiten su verdadera puesta en práctica en situaciones que no sean
deliberadamente simples. La aplicación de los algoritmos numéricos
en entornos de cálculo automático es esencial para la perfecta
comprensión de la metodología del cálculo numérico. Por esta razón,
junto con la realización de ejercicios de naturaleza teórica destinados a
la formación conceptual se planteará la resolución de problemas en
hojas de cálculo y entornos avanzados de cálculo científico.

6. Es un método de interpolación polinómica.
Aunque sólo existe un único polinomio que interpola una
serie de puntos, existen diferentes formas de calcularlo. Este
método es útil para situaciones que requieran un número
bajo de puntos para interpolar, ya que a medida que crece el
número de puntos, también lo hace el grado del polinomio.
Existen ciertas ventajas en el uso de este polinomio respecto
al polinomio interpolador de Lagrange. Por ejemplo, si fuese
necesario añadir algún nuevo punto o nodo a la función, tan
sólo habría que calcular este último punto, dada la relación
de recurrencia existente y demostrada anteriormente.
Tipos de interpolación
Definición analitica
Dados n+1 escalares distintos z_0, z_1,..., z_n y n+1 escalares
(iguales ó distintos) w_0, w_1,...,w_n se define el polinomio interpolador en
la forma:
p(z) = c_0 + c_1(z- z_0) + c_2(z - z_0)( z - z_1) + c_3(z - z_0)( z - z_1)( z - z_2) +
... + c_n(z - z_0)( z - z_1)( z - z_2)...( z - z_{n-1})
Siendo {c_0,...,c_n} las coordenadas del polinomio y la expresión anterior del
polinomio interpolador la conocida como diferencias divididas. Teniendo en
cuenta que existe una función p tal que p(z_i)=w_i y haciendo
sucesivamente:
z = z_i , i={0,...,n}
Se llega a:
c_0=w_0
c_1= frac{w_1 - w_0}{z_1 - z_0}
c_2= frac{1}{z_2 - z_0}left ( frac{w_2 - w_1}{z_2 - z_1} - frac{w_1 -
w_0}{z_1 - z_0} right )

7. Interpolacion de gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación
además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de
las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo
la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y
retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir
los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en
forma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores
son tomados en forma de zigzag, iniciando primero hacia abajo,
luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En
fórmula de avance los valores son tomados en forma de zigzag,
iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia
arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas
de avance y retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.
Interpolación de
hermite
Aquí buscamos un polinomio por
pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada
subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los
puntos . La función Hn(x) queda determinada en
forma única por estas condiciones y su cálculo
requiere de la solución de n sistemas lineales de
tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la
interpolación de Hermite es que requiere de la
disponibilidad de los lo cual no es el caso en
muchas en muchas aplicaciones.

9. ¿Qué tipo de personalidad tienes?Test
Meyer Friedman creó la definición de personalidades tipo A y tipo B. Pero antes de
explicar cada una de éstas, te invitamos a que contestes el siguiente test para que
puedas descubrir tu personalidad.
1. ¿Sientes que tu trabajo, carrera o escuela lleva mucha responsabilidad de por
medio?
a) Sí
b) No
2. ¿Generalmente tratas de hacer las cosas lo más rápido posible?
a) Sí
b) No
3. ¿Gente cercana a ti te ha pedido que le bajes al ritmo en el trabajo?
a) Sí
b) No
4. Si hay competencia en tu trabajo, ¿la disfrutas?
a) Sí
b) No
5. ¿Te molesta si te hacen esperar?
a) Sí
b) No
6. ¿Comes y caminas rápido?
a) Sí
b) No
Resultados
Mayoría de A:
Las personas con esta forma de ser “Tipo A” son adictos al trabajo,
impacientes, siempre ocupados, sufren con el estrés, insomnio e indigestión
Mayoría de B: “tipo B” son gente relajada, de fácil trato, pacifica, prudente,
menos agresiva, pero igualmente competitiva que el tipo A.

10. Splines
Interpolación de splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta
ahora
tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en
los puntos
de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo
humano
es capaz de detectar discontinuidades en la segundas derivadas de
una función,
haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luscan
uniformes. Esto
motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por
pedazos con
las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f en los datos .
4. s(x) es continua en el intervalo.

11. Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que
pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio
Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si
puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla,
pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del
polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar
iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se
propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con
algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite
el procedimiento.
Interpolacion de lagrange

12. Aplicación de los metodos
Para datos tabulados en forma equiespaciada o no
esquiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de
las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo,
con fórmulas como las de NewtonGregory, Gauss, Lagrange, Hermite,
Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas
funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas
fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales
ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por
ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la
ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.).
Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del
problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un
operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta
discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso
particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas
soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de
peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones
de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados
inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función
generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos
siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos
ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será
extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los
polinomios de Hermite.

13. PASATIEMPOS
SODUKO
Ayúdame a Llegar

14. Encuentra l as Diferencias