Este documento trata sobre diferentes métodos de interpolación polinómica como la interpolación de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange y Hermite. Explica cómo usar tablas de diferencias para construir polinomios interpolantes y aplicar estos métodos a la resolución de ecuaciones diferenciales.

1. Universidad Fermín toro
Republica bolivariana de Venezuela
Núcleo Cabudare
Polinomios Interpolantes
Integrantes
Michelle Díaz
Ci 17228634

2. Polinomios Interpolantes
La interpolación polinómica es una técnica de interpolación de un conjunto de datos o de una
función por un polinomio. Es decir, dado cierto número de puntos obtenidos por muestreo o a
partir de un experimento se pretende encontrar un polinomio que pase por todos los puntos.
Dada una función de la cual se conocen sus valores en un número finito de abscisas
, se llama interpolación polinómica al proceso de hallar un polinomio
de grado menor o igual a m, cumpliendo
.
A este polinomio se le llama Polinomio interpolador de grado m de la función f.
Existen varias formas de hacer esto, pero la más sencilla y una de las más utilizadas es la
interpolación, que consiste en construir una función que pase por los valores conocidos
(llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Si se utilizan
polinomios como funciones de aproximación, hablamos de interpolación polinómica.
Si la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se
encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos, se dice que estamos
haciendo extrapolación.
Tabla De Diferencias
Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál
es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las
muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto
de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se
comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión.
Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función
desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco
engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma
ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de
los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), se estima o determina
calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es
una tabla típica de diferencias (ejemplo):
x f(x) D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x)

3. 0,0 0,000
0,203
0,2 0,203 0,017
0,220 0,024
0,4 0,423 0,041 0,020
0,261 0,044
0,6 0,684 0,085 0,052
0,346 0,096
0,8 1,030 0,181 0,211
0,527 0,307
1,0 1,557 0,488
1,015
1,2 2,572
Polinomio Interpolante de Newton-Gregory
cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al
polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un
conjunto de puntos equiespaciados, es la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-
Gregory
Polinomio Interpolante de Gauss
Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory,
difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la
fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es
en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en
forma de zig-zag.
En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando
primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de
avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia
abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. A continuación se tiene las fórmulas de avance y
retroceso del Polinomio Interpolante de Gauss.

4. Interpolación De Hermite
aquíbuscamo cuando Hn(x) que sea cúbico en cada subintervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en
los puntos . La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su
cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja
de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso
en muchas en muchas aplicaciones.
Interpolación Usando Splines
Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la
desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha
observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades
en la segundas derivadas de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones
no luscan uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continuas por
pedazos con las siguientes propiedades:
1. s(x) es polinomio cúbico en .
2. existen y son continuas en .
3. s(x) interpola a la función f en los datos .
4. s(x) es continua en el intervalo.
Polinomio Interpolante De Lagrange
Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: ,
donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de
Lagrange.
Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero
tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se
tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se
propone el siguiente grado, se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de
convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento.

5. La diferencia dividida de Newton para la Interpolación de Polinomios está entre los modelos
más populares y útiles. Para un polinomio de grado nse requiere de n + 1
puntos: ... , , Se usan estos
datos para determinar los coeficientes para las diferencias divididas. Partiendo de una tabla de
diferencias divididas que viene dada por
Para aplicar el Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es
necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban
estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a
un error

6. Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De
Problemas.
p ara datos tabulados en forma equiespaciada o no esquiespaciada, a través de una serie de
técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación,
sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton,
etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles,
como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones
diferenciales ordinarias.
Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las
que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la
ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos
particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un
operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta discusión. Sólo diremos
que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-
Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de
peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que
vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente
poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos
siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de
sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas
características que hemos identificado en los polinomios de Hermite.