Este documento presenta una introducción al cálculo diferencial. Define la derivada como la pendiente de la tangente a una curva en un punto y explica su importancia para comprender conceptos como el máximo y mínimo de funciones. Luego, establece teoremas básicos para calcular derivadas como la derivada de una constante, una variable, una suma y un producto. Finalmente, incluye ejemplos para practicar el cálculo de derivadas.

1. CÁLCULO DIFERENCIAL
Prof.: Ezequiel Crespo
Barrera Frank 17502929
Desided Torres 20157317
Génesis Escalona 20471493
Sergio Saavedra 22264791
Informática
3IF02

2. Derivadas

3. Preámbulo
En este tutorial, además de definir el concepto de Derivada, se
mostrará su significado y se hallarán las derivadas de las funciones más
usuales.
En matemáticas, la derivada de una función es uno de los dos
conceptos centrales del cálculo.

4. Preámbulo
El otro concepto es la anti derivada o integral; ambos conceptos están
relacionados por el teorema fundamental del cálculo.
Es de importancia dominar la derivación para después poder abordar el
trazado de curvas, así como para comprender a manejar el cálculo integral.
La noción de derivada es históricamente anterior al concepto de límite
aunque actualmente se estudie aquélla inmediatamente después de éste, por
razones que serán fácilmente comprensibles.

5. ¿Qué es una Derivada?
La derivada de una función en un punto “a” surge del
problema de calcular la tangente a la gráfica de la
función en el punto de abscisa “a”, y fue Fermat el
primero que aportó la primera idea al tratar de buscar
los máximos y mínimos de algunas funciones.
En dichos puntos las tangentes han de ser paralelas al
eje de abscisas, por lo que el ángulo que forman con éste
es de cero grados. En estas condiciones, Fermat buscaba
aquellos puntos en los que las tangentes fueran
horizontales.

6. Derivada de una Función Lineal
Sea una función constante f(x) = C.
Su gráfica es, como se sabe, una recta paralela al eje de abscisas. Puesto
que para cualquier valor de la abscisa su ordenada correspondiente
es, constantemente, igual a C, si a es un punto cualquiera del campo de
definición de f(x),
f(a + h) - f(a) = C - C = 0, por lo que se puede decir lo siguiente:
Luego la derivada de una constante es siempre cero.

7. Teoremas de las Derivadas
La derivada de una Constante, en este caso “C” es igual a 0
Ejemplo: Calcular las derivadas de:
a) 5
b) 45
c) 98
d) 3
e) 4
f) 55

8. Teoremas de las Derivadas
La derivada de “x” es igual a “1”
Para este teorema no necesitamos ejemplo ya que se explica
por si solo, cada vez que vayamos a derivar X será igual a 1.

9. Teoremas de las Derivadas
La Derivada de una, en este caso “C” que multiplica
a la función f(x) , es igual a sacar la constante fuera de la función
derivando sólo la función interna.
Ejemplo: Calcular las derivadas de:

10. Teoremas de las Derivadas
La Derivada de una potencia, es igual a multiplicar
la cantidad del exponente “n” a la función original,
y restarle 1 al exponente
Ejemplo: Calcular las derivadas de:

11. Teoremas de las Derivadas
La Derivada de una suma ó resta
entre dos funciones, es igual a la derivada de cada una
de las funciones por separado sumando o restando de igual manera
Ejemplo: Calcular las derivadas de:

12. Teoremas de las Derivadas
La Derivada de un producto, en este caso el cálculo se realiza
Derivando la primera función y multiplicándola por la segunda “Pero sin
derivar”, luego se suma para colocar la primera función sin derivar, por la
segunda “Pero derivada”.
Ejemplo: Calcular las derivadas de:

13. Teoremas de las Derivadas
La Derivada de un cociente, en este caso el cálculo se realiza de una
manera similar a la derivada de un producto con la distinción que en lugar
de adicionar se sustrae quedando la derivada de la primera función y
multiplicándola por la segunda “Pero sin derivar”, luego se resta para
colocar la primera función sin derivar, por la segunda “Pero derivada” y
finalizamos dividiendo toda la expresión por la segunda función elevada al
cuadrado.
Ejemplo: Calcular las derivadas de:

14. Ejercicios de Derivación
Hallar la Derivada de:
Bien, para comenzar aplicamos la derivada de una adición/sustracción y luego,
de separar las derivadas, aplicamos la regla que dice que:
a la parte: quedándonos así: de esta manera nuestra nueva derivada
nos queda así:

15. Ejercicios de Derivación
Luego, aplicamos la propiedad racional que dice que:
a la parte: quedándonos así: , y luego aplicamos el teorema
de una constante que multiplica a una función de esta manera nuestra
nueva derivada nos queda así:
ahora si derivamos nuestra función aplicando el teorema de la derivada
de una exponencial:

16. Ejercicios de Derivación
Luego, solo nos queda aplicar los cálculos necesarios para conseguir
Los resultados más específicos de esta función:
multiplicamos aplicando propiedad distributiva y nos queda:
para expresar el resultado de la forma inicial del ejercicio devolvemos
los cambios quedándonos así:
Luego hemos conseguido la derivada de:

17. Ejercicios de Derivación
Hallar la Derivada de:
En este caso se trata de calcular la derivada de un
Cociente y el cual realizaremos la siguiente manera:

18. Ejerciios de Derivación
Se deriva la primera del numerador
Primero, la derivada función
bajando la potencia que pasará a
Luego se realizan las
multiplicar alpor el denominadoren
Multiplicado polinomio
multiplicaciones en respectivas sin
este caso 3x5=15 else suman los
derivarcolocamos y termino
Luego
exponentes 2+1=3, colocando la
siguiente
misma base.
Menor el termino siguiente derivar
Menos (-) el numerador sin
Que multiplicasigno y realizamos la
Colocamos el el resultado de la
derivada, operación muy parecida
siguiente el cualla queda aplicar
fue efectuado
para finalizar solo
multiplicado por derivada del
sacando la constante 5, derivamos
a la anterior de la fracción
sumas o restas
denominador
X que es igual a 1, luego se
correspondientes, tal como en este
multiplican y así da como resultado
caso 15-5=10, yel denominador
Todo eso sobre con esto
5
finalizamoscuadradoqueda de la
elevado al elel resto
y escribimos ejercicio.
Y escribimos lo que del ejercicio
expresión.

19. Referencias
Saenz, J. (2005). CALCULO DIFERENCIAL. Lara (Barquisimeto ).
http://www.youtube.com/results?search_type=search_users&searc
h_query=JULIO+PROFE&uni=1
http://www.youtube.com/results?search_type=search_users&searc
h_query=calculo21&uni=1