Clase 1 de Cálculo Numérico: errores y aproximaciones

1. Clase 1

2. Cálculo Numérico OBJETIVO INSTRUCCIONAL Al terminar el curso, el estudiante será capaz de evaluar los distintos métodos para la resolución de problemas matemáticos desde un enfoque numérico con aplicaciones a distintas situaciones cotidianas y en el ámbito de la matemática, mediante modelado, la interpretación de los errores cometidos en cada estimación particular y con el apoyo del computador.

4. Cálculo Numérico TEMA 1.1.- INTRODUCCIÓN A LOS METODOS NUMERICOS Lo métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos, de tal forma que pueden resolverse usando un buen número de tediosos cálculos aritméticos. Sin embargo, la aparición de la computadora ha permitido tener mayor eficiencia y rapidez a la hora de enfrentarse a estos cálculos.

5. Cálculo Numérico Antes de la aparición de ellas se contaba con tres métodos para la solución de problemas: Métodos exactos o Analíticos: para una limitada clase de problemas que pueden resolverse mediante métodos lineales o con geometría simple de pocas dimensiones. En consecuencia, las soluciones analíticas tienen valor práctico limitado pues la mayoría de los problemas reales no son de tipo lineal e implican formas y procesos complejos. Métodos Gráficos: aunque las técnicas gráficas a menudo pueden emplearse para resolver problemas complejos, los resultados no son muy precisos y se limitan a problemas que pueden describirse en tres dimensiones o menos. Métodos Numéricos: la implementación de este tipo de métodos con uso de la calculadora y reglas de cálculo, que en su mayoría de veces presentaban resultados no consistentes debido a las equivocaciones del trabajo manual.

6. Cálculo Numérico

7. Cálculo Numérico TEMA 1.2.- APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO OBJETIVO DIDACTICO: Conocer las diferentes fuentes de errores que suelen aparecer en el proceso de resolución de problemas científicos.

8. Cálculo Numérico TEMA 1.2.- APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO Entender el concepto de ERROR es importante para usar de manera efectiva los métodos numéricos . Estos métodos numéricos son el corazón de la Unidad Curricular Cálculo Numérico, ya que la misma gira en torno al aprendizaje de los mismos para la formulación de problemas matemáticos. El análisis numérico estudia cómo un problema es resuelto numéricamente, parte de este proceso es considerar los errores que aparecen en estos cálculos, si son de redondeo o de otra fuente.

9. Cálculo Numérico TEMA 1.2.- APROXIMACIONES Y ERRORES DE REDONDEO Definiciones de Error: los errores numéricos son aquellos que se generan con el uso de aproximaciones para representar las cantidades y operaciones matemáticas. Existen dos causas principales de errores en los cálculos numéricos. La primera es el error de truncamiento y la segunda es el error de redondeo. El error de truncamiento se debe a las aproximaciones utilizadas en la fórmula matemática del modelo. Los errores de redondeo se asocian con el número limitado de dígitos con que se representan los números en una computadora.

13. Cálculo Numérico EXACTITUD Y PRECISIÓN Valor verdadero (Vv) = Aproximación + Error (1) Ev = Vv – aproximación (2) (3) (4)

14. Cálculo Numérico EXACTITUD Y PRECISIÓN (5) (6) En tales casos los cálculos se repiten hasta que : |Ea| < e (7) e = (0,5 x 10 2 –n )% (8)

15. Cálculo Numérico EXACTITUD Y PRECISIÓN. Ejemplos Suponga que tiene que medir la longitud de un puente y de un remache obteniéndose 9.999 y 9 cm, respectivamente. Si los valores verdaderos son 10.000 y 10 cm, calcule: a) Error verdadero b) Error relativo porcentual verdadero en cada caso

16. Cálculo Numérico Solución: a) Ev = Vv – aproximación Ev del puente = 10.000 – 9.999 = 1 cm Ev del remache = 10 – 9 = 1 cm b) Error relativo porcentual verdadero en cada caso

17. Cálculo Numérico EXACTITUD Y PRECISIÓN. Ejemplos Valor verdadero de Valor aproximado de

18. Cálculo Numérico EXACTITUD Y PRECISIÓN. Ejemplos Error Absoluto Porcentual: Error Relativo Porcentual:

19. Cálculo Numérico EJERCICIOS PROPUESTOS a) Evalúe el polinomio y=x 3 -5x 2 +6x+0.55 en x= 2,73. Use 3 digitos aritméticos con corte. Evalúe el Error. b) Repita a) pero exprese el polinomio como y=[(x-5 + 6]x + 0.55. Evalúe el porcentaje de error relativo y compare con la parte a) .

20. Cálculo Numérico Estimación de Error por Métodos Iterativos Ejemplo Sea La función exponencial representada mediante una serie infinita. Estime el valor de e 0,5 , luego agregue cada término calculando los errores relativos y porcentuales reales y aproximados. Agrégue términos hasta que: cumpla con tres cifras significativas |Ea| < e

21. Cálculo Numérico Solución Sabiendo el valor verdadero de e 0,5 = 1,648721, calculamos el error relativo porcentual: El primer término de esta serie viene dado por: Y el error aproximado porcentual viene dado por:

22. Cálculo Numérico Solución |Ea| < e Se continúan agregando otro término, en este caso: Como no se cumple: Y se repiten los cálculos hasta que se cumpla la condición antes mencionada.

23. Cálculo Numérico EJERCICIO PROPUESTO Compare con el valor verdadero de 2,485168x10 -4 y comente los resultados. Evalúe e -8,3 usando la siguiente aproximación: y