Este documento presenta información sobre los diferentes sistemas de medición angular, incluyendo el sistema sexagesimal, el sistema centesimal y el sistema radial. Explica las equivalencias y conversiones entre grados, minutos, segundos y radianes. También incluye ejemplos y ejercicios sobre conversiones entre los diferentes sistemas.

1. PROFESOR:
RUBÉN ALVA CABRERA
TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA
rubalva@hotmail.com

3. ÁNGULO TRIGONOMÉTRICO
• EL ÁNGULO
TRIGONOMÉTRICO
SE OBTIENE
GIRANDO UN RAYO
ALREDEDOR DE SU
ORIGEN.
SENTIDO DE GIRO HORARIO
SENTIDO DE GIRO ANTIHORARIO
OA : LADO INICIAL
)O
A
B
<
)
<
θ POSITIVO
)
<
α NEGATIVO
OB : LADO FINAL
O: VÉRTICE

4. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA SEXAGESIMAL (SISTEMA INGLÉS)
o
1GRADO : MINUTO :
'
1 SEGUNDO :
"
1
'o
601 = "'
601 = "o
36001 =
1vuelta=
o
360
EQUIVALENCIAS

5. En el sistema sexagesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
o
A B'C'' o
A B' C ''+= +
Los números B y C deben ser menores de 60
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 60 x 60
x 3600
: 60 : 60
: 3600
<
<
<<
<
<
<
<
<
<
< <
Para convertir de
grados a minutos se
multiplica por 60
Para convertir
de minutos a
grados se
divide entre 60
Para convertir
de minutos a
segundos se
multiplica por 60
Para convertir de
segundos a minutos
se divide entre 60
Para convertir de grados a segundos se multiplica por 3600
Para convertir de
segundos a grados se
divide entre 3600

6. EJEMPLO :
o
20 36' 45''θ =
EXPRESAR EN GRADOS SEXAGESIMALESθ
o ' ''
20 36 45θ = + +
o o
o 36 45
20
60 3600
θ = + +
o o
o 3 1
20
5 80
= + +
o
1649
80
θ =CONCLUSIÓN:
RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS y
SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES = S
NÚMERO DE MINUTOS SEXAGESIMALES ( m ) = 60S
NÚMERO DE SEGUNDOS SEXAGESIMALES ( p ) = 3600S
Al número 36 se le divide entre 60 y
Al número 45 se le divide entre 3600

7. EJEMPLO
Calcular la medida de un ángulo en el sistema sexagesimal ,
sabiendo que su número de minutos sexagesimales más el
doble de su número de grados sexagesimales es igual a 155.
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
Entonces el número de minutos sexagesimales = 60S
Dato :
155 5(31)
S
62 2(31)
= =
60S 2S 155+ = 62S 155=
5
S
2
=
El ángulo mide :
5º 4º 60'
2
2 2
º 30'= =

8. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA CENTESIMAL (SISTEMA FRANCÉS)
g
1GRADO : MINUTO :
m
1 SEGUNDO :
s
1
g m
1 100=
m s
1 100= g s
1 10000=
1vuelta=
g
400
EQUIVALENCIAS

9. En el sistema centesimal los ángulos se pueden
expresar en grados ,minutos y segundos
g m s
A B C g m s
A B C= + +
Los números B y C deben ser menores de 100
RELACIONES DE CONVERSIÓN
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
x 100 x 100
x 10 000
: 100 : 100
: 10 000
<
<
<<
<
<
<
<
<
<
< <
Para convertir de grados a
minutos se multiplica por 100
Para convertir de
minutos a grados
se divide entre 100
Para convertir de minutos a
segundos se multiplica por
100
Para convertir de
segundos a minutos
se divide entre 100
Para convertir de grados
a segundos se multiplica
por 10000
Para convertir de segundos a grados se divide entre 10000

10. RELACIÓN ENTRE LOS NÚMEROS DE GRADOS ,MINUTOS
y SEGUNDOS
NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES = C
NÚMERO DE MINUTOS CENTESIMALES ( n ) = 100C
NÚMERO DE SEGUNDOS CENTESIMALES ( q ) = 10 000C
RELACIÓN ENTRE LOS SISTEMAS SEXAGESIMAL Y
CENTESIMAL
gO
109 = m'
5027 = s"
25081 =
GRADOS MINUTOS SEGUNDOS
109
CS
=
5027
nm
=
25081
qp
=
g
180º 200=

11. SISTEMAS DE MEDICIÓN
ANGULAR
• SISTEMA RADIAL (SISTEMA CIRCULAR)
UN RADIÁN ES LA
MEDIDA DEL
ÁNGULO CENTRAL
QUE SUBTIENDE
EN CUALQUIER
CIRCUNFERENCIA
UN ARCO DE
LONGITUD IGUAL
AL RADIO.
.. 1rad
1vuelta 2 rad= π
o ' ''
1rad 57 17 45=
R
R
R)
EN ESTE SISTEMA
LA UNIDAD DE
MEDIDA ES EL
RADIÁN.

12. RELACIÓN ENTRE LOS TRES SISTEMAS
0 g
180 200 rad= = π
ESTA RELACIÓN SE USA PARA CONVERTIRDE UN
SISTEMA A OTRO.
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR A RADIANES
0
A) 54θ = O
54 o
rad
180
π 
 ÷
 
=
3
rad
10
π
g
B) 125φ =
g
rad
200
π 
 ÷
 
=
5
rad
8
πg
125
EJEMPLOS
SABES QUE EL ÁNGULO DE
UNA VUELTA MIDE :
SIMPLIFICANDO SE OBTIENE :
g
360º 400 2 rad= = π

13. EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
SEXAGESIMAL
A)
2
rad
3
π
...........
o
2(180 )
3
= o
120
g
B)70 .................
g
70
o
g
9
10
 
 ÷
 
= o
63
EN CADA UNO DE LOS SIGUIENTES CASOS CONVERTIR AL SISTEMA
CENTESIMAL
A)
3
rad
4
π
...........
g
3(200 )
4
= g
150
o
B)27 ................ o
27
g
o
10
9
 
 ÷
 
= g
30

14. FACTORES DE CONVERSIÓN
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS SEXAGESIMALES
A CENTESIMALES
DE GRADOS CENTESIMALES
A RADIANES
DE GRADOS CENTESIMALES
A SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS
SEXAGESIMALES
DE RADIANES A GRADOS
CENTESIMALES
o
rad
180
π
g
o
10
9
g
rad
200
π
o
g
9
10
o
rad 180π =
g
rad 200π =

15. FÓRMULA DE CONVERSIÓN
S
180
=
C
200
=
R
π
S : NÚMERO DE GRADOS SEXAGESIMALES
C : NÚMERO DE GRADOS CENTESIMALES
R : NÚMERO DE RADIANES
EJEMPLO
CALCULAR EL NÚMERO DE RADIANES DE UN ÁNGULO ,SI SE CUMPLE:
8R
3S 2C 37− + =
π
EN ESTE TIPO DE PROBLEMA SE DEBE USAR LA FÓRMULA DE
CONVERSIÓN
SOLUCIÓN

16. S C R
180 200
= = =
π
K
S k180=
C k200=
R k= π
SE REEMPLAZA EN EL DATO DEL PROBLEMA
8( k)
3(180k) 2(200k) 37
π
− + =
π
,SIMPLIFICANDO SE OBTIENE
148k 37= 1
k
4
=
FINALMENTE EL NÚMERO DE RADIANES ES : R =
1
4
 
π = ÷
  4
π
S k9=
C k10=
R
0
k
2
π
=
NOTA : LA FÓRMULA DE CONVERSIÓN EN ALGUNOS CASOS
CONVIENE EXPRESARLA DE LA SIGUIENTE MANERA
S
9
=
C
10
=
20R
π

17. OTRAS RELACIONES IMPORTANTES
* ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS SUMAN : o g
90 100 rad
2
π
∨ ∨
* ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS SUMAN :
O g
180 200 rad∨ ∨ π
* EQUIVALENCIAS USUALES:
o
rad 60
3
π
= o
rad 30
6
π
=
o
rad 45
4
π
=
SISTEMA
SEXAGESIMAL
CENTESIMAL
RADIAL
COMPLEMENTO SUPLEMENTO
S
C
R
90 - S 180 - S
100 - C 200 - C
R
2
π
− Rπ −

18. EJERCICIOS
1. CALCULAR :
g
45º rad
12E
50 33º
π
+
=
−
SOLUCIÓN
Para resolver este ejercicio la idea es convertir cada uno
de los valores dados a un solo sistema ,elegimos el
SISTEMA SEXAGESIMAL
rad
12
π
=
180º
12
=15º g
50; 45º
Reemplazamos en E
45º 15º
E
45º 33º
+
= =
−
60º
12º
= 5
g
9º
( )
10
=

19. 2. El número de grados sexagesimales de un ángulo más
el triple de su número de grados centesimales es 78,
calcular su número de radianes
SOLUCIÓN
Sea S = número de grados sexagesimales
C = número de grados centesimales
Sabes que : S C
9 10
= = K y
Dato : S + 3C = 78
S = 9K C = 10K
9K + 3( 10K ) = 78 39K = 78 K = 2
El número de radianes es :
k
R
20
π
=
2
R
20
π
= =
10
π

20. 3. Determinar si es verdadero o falso
A ) rad 180π =
B ) El complemento de es
g
30 g
70
C )
g g
24º 2º
36 3
=
D )
radπ
Los ángulos interiores de un triángulo
suman
E ) 180ºπ =
F ) g
1º 1>
G ) El número de grados sexagesimales de un ángulo es
igual al 90% de su número de grados centesimales

21. TRIGONOMETRIA
CONTEMPORANEA
rubalva@hotmail.com