Este documento presenta diferentes sistemas para medir ángulos: el sistema sexagesimal (grados, minutos, segundos), el sistema centesimal (grados centesimales, minutos, segundos centesimales) y el sistema radial (radianes). Explica las equivalencias entre unidades en cada sistema y ofrece ejercicios de conversión entre sistemas.

1. SISTEMAS DE MEDIDAS
ANGULARES
TEORÍA Y EJERCICIOS RESUELTOS
INTEGRANTES
ALEX BUSTAMANTE
JOHN VELASQUEZ
JAVIER TAINYS
DAVID ALTAMIRANDO

2. SISTEMAS DE MEDIDAS ANGULARES
En este campo de la trigonometría para
expresar la medida de los ángulos se
emplean los siguientes sistemas:
1.- El sistema sexagesimal o sistema ingles
2.- El sistema centesimal o sistema francés
3.- El sistema radial o sistema circular

3. SISTEMA SEXAGESIMAL (S)
Llamado también ingles, es aquel sistema
cuya unidad de medida angular es el grado
sexagesimal (º) que es igual a la 360 ava
parte de una vuelta ( circunferencia)
nciaCircunfere
360
1
O
A
B
1º
NOTACIÓN:
1º: un grado sexagesimal
1’: un minuto sexagesimal
1’’: un segundo sexagesimal
Equivalencias:
Una vuelta   360º
1º   60’
1’   60’’
1º   3600’’

4. Ejercicios de aplicación
1) Expresar 3945’ en grados sexagesimales
Resolución






''60
'1
''30
Usando las equivalencias respectivas tenemos
º75,65
2) Expresar 45º25’30’’ a grados sexagesimales
Primero pasamos los 30’’ a minutos






'60
º1
'3945
'5,0
Ahora tenemos 45º25,5’






'60
º1
'5,25 º425,0
Sumamos: 45º + 0,425º
45,425º
45º25’30’’   45,425º

5. Ejercicios de aplicación
3) Expresar 87,32º en grados, minutos y
segundos sexagesimales
Resolución






º1
'60
º32,0
87º + 0,32º
'2,19
87º + 19’ + 0,2’






'1
''60
'2,0 ''12
87º +19’ + 12’’ 87,32º  87º19’12’’

6. Ejercicios de aplicación
4) Expresar 4058’’ en grados, minutos y segundos
sexagesimales
Resolución
4058’’ 4058’’  1º7’38’’60’’
6458 7’
38’’
67’ 60’
1º
7’
5.- Expresa la medida de cada ángulo en grado, minutos y
segundo
13,45º=
4600’’ =
7884’’ =
15,23º =
189º =
13º26’60’’
1º16’40’’
188º59’60’’
15º13’48’’
2º11’24’’

7. SISTEMA CENTESIMAL (C)
Llamado también sistema francés, es aquel
sistema que tiene como unidad de medida
angular el grado centesimal (g), que es
igual a la 400 ava parte del ángulo de una
vuelta nciaCircunfere
400
1
NOTACIÓN:
1g: un grado centesimal
1m :un minuto centesimal
1s :un segundo centesimal
Equivalencias:
Una vuelta   400g
1g   100m
1m   100s
1g   10000s
O
A
B
1g

8. Ejercicios de aplicación
1) Expresar 50g 25m 45s a grados centesimales
Resolución








m
g
m
100
1
25
g
0045,0
Primero pasamos los 45s a grados centesimales








s
g
s
10000
1
45
g
25,0
La expresión 50g 25m 45s podemos escribirla
50g +25m +45s   50g +0,0045g +0,25g
50g +25m +45s   50,2545g

9. Ejercicios de aplicación
2) Expresar 20,3465g a grados , minutos y
segundo centesimales
Resolución








g
m
g
1
100
3465,0
La expresión 20,3465g se puede escribir así
m
65,34
La expresión 20,3465g podemos escribirla
20g +34m +65s   20g 34m 65s
20g + 0,3465g








m
s
m
1
100
65,0
s
65
mm
65,034 

10. SISTEMA RADIAL (R)
Llamado también sistema circular , es
aquel sistema que tiene por unidad de
medida el radián(rad), que es el ángulo en
el centro de la circunferencia cuya longitud
de arco es igual a la longitud del radio de la
circunferencia.
Equivalencias:
Una vuelta   2rad
1/2   /2 rad
O
A
B
r
r
r

11. RELACION ENTRE SISTEMAS DE
MEDIDAS ANGULARES
Sean S,C y R los números que representan
la medida de un mismo ángulo, en los
sistemas sexagesimales, centesimal y
radial respectivamente.
rad2
R
400
C
º360
S
g 


rad
R
200
C
º180
S
g 

De la relación se deduce
g
10
C
º9
S

rad
R
º180
S


rad
R
º200
C



12. Ejercicios de aplicación
1) Convertir 72º a grados centesimales y
radianes
Resolución
g
10
C
º9
S
 g
10
C
º9
º72
 
9
)10(72
C  g
80C
rad
R
º180
S


rad
R
º180
º72

 
º180
)rad(º72
R


 rad
5
2
R



13. Ejercicios de aplicación
2) Convertir 120g a grados sexagesimales y
radianes
Resolución
g
10
C
º9
S

g
g
10
120
º9
S
 
g
g
10
)º9(120
S   º108S
rad
R
200
C
g 

rad
R
200
120
g
g

 
g
g
200
)rad(120
R


 rad
5
3
R



14. Ejercicios de aplicación
Resolución
rad
R
º180
S


rad
rad
4
5
º180
S


 
rad
rad
4
5
º180
S 





 
 º225S
escentesimalylessexagesimagradosarad
4
5
Expresar)3

rad
R
º200
C


rad
rad
4
5
º200
C


 
rad
rad
4
5
º200
S 





 

g
250S

15. Ejercicios de aplicación
4) Convertir 24,5g a grados sexagesimales y
radianes
Resolución
g
10
C
º9
S

g
g
10
5,24
º9
S
 
10
)9(5,24
S   º5,22S 
rad
R
º200
C


rad
R
200
5,24
g
g

 
200
)rad(5,24
R


 rad
400
49
R



16. Ejercicios de aplicación
5) Hallar la medida de un ángulo expresado en
radianes, si se cumple que: C – S = 4
Resolución
4SC  4
rad
R180
rad
R200




 

rad
5
R


rad
R
º200
C


rad
R200
C



rad
R180
S


rad
R
º180
S


4
rad
R20




17. 6) Calcular la medida de un ángulo expresado en
radianes si:
Resolución
rad
10
R


10
5x3
9
7x5 


S = 5x - 7 C = 3x + 5y
Calculando el valor de “x”
g
10
C
º9
S
  45x2770x50 
7045x27x50   115x23   5x 
S = 5x - 7

S = 18
Calculando “R”
rad
R
º180
S


rad
R
º180
º18


S = 5(5) - 7 


18. Ejercicios propuestos
1) Expresar el complemento de 30º en el Sistema
Circular.
a) rad
3

rad
6
 rad
4

rad
5

rad
8

c)b) d) e)
2) Determinar la medida de un ángulo en radianes
sabiendo que 2
8
CR
20
SR




a) rad
6

rad
8
 rad
4

rad
5

rad
10

c)b) d) e)
3) Los ángulos congruentes de un triangulo isósceles
son ( 8x – 3 ) º y ( 9x – 4 )g hallar la medida del
ángulo desigual expresado en radianes
a) rad
3

rad
5
2 rad
10

rad
5
4
rad
2

c)b) d) e)

19. Ejercicios propuestos
4) Hallar la medida de un ángulo expresado en
radianes si se cumple que 3S – 2C = 14
a) rad
9

rad
10

rad
2

rad
5

rad
8

c)b) d) e)
5) Determinar la medida de un ángulo en radianes
sabiendo que
m
mg
1
11
'1
'1º1
E 
a) rad rad2 rad
4

rad5 rad
10

c)b) d) e)
6) Calcular el valor de
a) 160 171 162 163 174c)b) d) e)
20
2
CRSR5



