Este documento describe los tipos de análisis multivariado y el análisis multivariado de la varianza (MANOVA). El MANOVA permite estudiar la influencia de una o más variables independientes sobre dos o más variables dependientes correlacionadas. Calcula estadísticos como Lambda de Wilks que comparan la variabilidad entre grupos con la variabilidad dentro de los grupos para determinar si hay diferencias estadísticamente significativas. Explica los conceptos clave como las matrices de sumas de cuadrados y productos cruzados, autovectores, autovalores y cómo

1. TIPOS DE APLICACIONES DEL
A. MULTIVARIADO
1. Reducir la dimensionalidad de un problema (análisis de
componentes principales, análisis factorial, escalamiento
multidimensional
2. Estudio de la dependencia múltiple de un conjunto de
variables (correlación canónica)
3. Clasificar sujetos o grupos preestablecidos (análisis
discriminante, regresión logística)
4. Comparar grupos en múltiples variables dependientes
(análisis multivariado de la varianza: MANOVA)

2. Cuando queremos estudiar la influencia de una o más variables independientes
sobre dos o más variables dependientes utilizamos el MANOVA.
El MANOVA detecta si hay diferencias entre grupos a través de una combinación
lineal de las variables dependientes.
El MANOVA estudia si existen diferencias significativas entre las medias de las
variables dependientes en los niveles de las variables independientes (Camacho)
Al igual que en el ANOVA, el MANOVA ejecuta primero un test omnibus (global)
de significación y luego anovas univariados en cada una de las variables
dependientes.
Existe cierta controversia sobre si los análisis sobre las variables dependientes
deben hacerse siguiendo un modelo anova o un análisis discriminante.
Uno de las ventajas del MANOVA es que tiene en cuenta la correlación entre las
variables dependientes.

3. t-test vs. ANOVA vs. MANOVA
En la siguiente tabla podemos ver las diferencias en cuanto a las variables
independientes y dependientes que hay entre las tres técnicas más utilizadas
en Ciencias Sociales
Test Variables Independientes Variables Dependientes
t-test Una Una
ANOVA Múltiples Una
MANOVA Múltiples Múltiples
1. El MANOVA permite el uso de múltiples medidas
2. Puede que no encontremos diferencias entre dos variables dependientes
correlacionadas si las evaluamos separadamente
3. Llevar a cabo múltiples ANOVAS nos lleva a aumentar la tasa de error tipo I

4. Teoría detrás del MANOVA..
En el ANOVA la ratio F recoge la variación sistemática dividida por la
variación aleatoria…
 Y  Y    n j Y j  Y   Yij  Y j 
2 2 2
ij
j i j
SCT = SCintergrupo  SCintragrupo
SCInter SCIntra
MCInter  MCIntra 
glInter glIntra
E  MCInter    E  MCIntra   
MCInter
F E F  1
MCIntra

5. Observa el siguiente ejemplo… un ANOVA para cada variable
dependiente….
ANOVA
acc ion conductas compuls iv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
Inter-grupos 10. 467 2 5. 233 2. 771 .080
Intra-grupos 51. 000 27 1. 889
Tot al 61. 467 29
ANOVA
pensamiento conduc tas obsesiv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
Inter-grupos 19. 467 2 9. 733 2. 154 .136
Intra-grupos 122.000 27 4. 519
Tot al 141.467 29

6. ANOVA
acc ion conductas compuls iv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
Inter-grupos 10. 467 2 5. 233 2. 771 .080
Intra-grupos 51. 000 27 1. 889
Tot al 61. 467 29
 Y  Y    n j Y j  Y   Yij  Y j 
2 2 2
ij
j i j
SCT = SCintergrupo  SCintragrupo
61.467 = 10.467  51.000
MCInter  SCInter glInter MCIntra  SCIntra glIntra
MCInter 5.233
F = F  2.771 p  0.05
MCIntra 1.889

7. Teoría detrás del MANOVA..
En el MANOVA dado que tenemos más de una variable dependiente hay que
recoger la relación entre las mismas y por tanto ya no hacemos una ratio de
sumas de cuadrados (como en el ANOVA) sino una ratio de matrices de
varianzas-covarianzas. Estas matrices se denominan Sumas Cuadradas de
Productos Cruzados (SCPC).
Un producto cruzado no es más que el sumatorio de la diferencia entre las
puntuaciones en una variable X y su media, multiplicado por las puntuaciones en
otra variable Y menos su media.
(X i  X )  (Yi  Y )
MANOVA tiene en cuenta la correlación entre las variables dependientes a
través de estos productos cruzados

8. Dos variables Dependientes. El concepto de productos cruzados
Como en el ANOVA tenemos tres tipos de fuentes de variación o tres tipos de
matrices de productos cruzados. La total (T), la debida a la variación
sistemática (H) o del modelo, y la debida al error, o no sistemática (E).
PC.Total    Ai  A   Pi  P 
PC.Expl   n  Aj  A  Pj  P  
 
PC.Err    Ai  Aj  Pi  Pj 

9. Vamos a crear tres matrices que combinen los productos cruzados
y las sumas cuadráticas univariadas
SCPC (Total )
 SCTAccion PC.Total 
 PC.Total 
 SCTPensamiento 
ANOVA
acc ion conductas compuls iv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
61.47 5.47 
Inter-grupos 10. 467 2 5. 233 2. 771 .080
Intra-grupos 51. 000 27 1. 889
T 
Tot al 61. 467 29

 5.47 141.47  pensamiento conduc tas obsesiv as
Suma de
ANOVA
Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
Inter-grupos 19. 467 2 9. 733 2. 154 .136
Intra-grupos 122.000 27 4. 519
Tot al 141.467 29

10. SCPC ( Error )
 SCE Accion PC.Error 
 PC.Error 
 SCEPensamiento 
ANOVA
51 13 
acc ion conductas compuls iv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
E
Inter-grupos 10. 467 2 5. 233 2. 771 .080

Intra-grupos 51. 000 27 1. 889
Tot al 61. 467 29
13 122 
ANOVA
pensamiento conduc tas obsesiv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
Inter-grupos 19. 467 2 9. 733 2. 154 .136
Intra-grupos 122.000 27 4. 519
Tot al 141.467 29

11. SCPC ( Modelo)
 SCExp Accion PC.Expl 
 PC.Expl 
 SCExpPensamiento 
ANOVA
10.47 7.53
acc ion conductas compuls iv as
Suma de Media
H 
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.

Inter-grupos 10. 467 2 5. 233 2. 771 .080
 7.53 19.47 
Intra-grupos 51. 000 27 1. 889
Tot al 61. 467 29
ANOVA
pensamiento conduc tas obsesiv as
Suma de Media
cuadrados gl cuadrát ica F Sig.
Inter-grupos 19. 467 2 9. 733 2. 154 .136
Intra-grupos 122.000 27 4. 519
Tot al 141.467 29

12. Sumas de Cuadrados y productos cruzados para el ejemplo anterior
61.47 5.47  51 13  10.47 7.53
T  E H 
 5.47 141.47 
 13 122
  7.53 19.47 

MCInter
F E F  1 Para dividir matrices lo que
MCIntra hacemos es multiplicar una
por la inversa de la otra…..
Mult  HE 1
 10.47 7.53   0.0202 0.0021
  
 7.53 19.47   0.0021 0.0084 
1  0.2273 0.0852  Hay distintas manera de resolver esta matriz para
HE  
0.1930 0.1794 
alcanzar un valor de estadístico multivariado que
  permita aproximar a F y evaluar la H0 del efecto
multivariado...

13. Una vez calculadas las SCPC para el Error y la Hipótesis podemos aplicar dos
métodos.
1. Calcular el determinante de las SCPC anteriores hallando en este caso el valor
del estadístico multivariado lambda de Wilks...
SCPCerror

SCPC  SCPCerror
efecto
2. Calcular los autovectores (eigenvector) y autovalores (eigenvalues) de la matriz
HE-1. Estos autovalores nos muestran la ratio entre la varianza sistemática
debida al efecto y la varianza error. El concepto de autovalor es básico en el
análisis multivariado. Conceptualmente se puede interpretar como la cantidad
de variabilidad que tenemos en nuestros datos. Veamos gráficamente que es
un autovector y un autovalor…

14. La Fig. 1 muestra un patrón de ausencia de correlación entre dos variables. Por el
contrario la Fig. 2 muestra un patrón de correlación positiva entre dos variables. La
longitud y la altura de esta elipse se corresponden con los autovectores de la matriz de
correlaciones de estas dos variables. Cada autovector tiene un autovalor (eigenvalue)
que nos da la distancia entre los dos puntos de dichos vectores. De tal manera que
estos dos valores nos muestran cómo se distribuye la variabilidad en nuestra matriz de
correlaciones
Figura 1 Figura 2

15. El cálculo de los autovalores o valores propios de la matriz HE-1 nos permite pasar
obtener la ratio de una variabilidad con respecto a la otra obteniendo dos valores que
recogen cúanto explica nuestro modelo del total de la variabilidad de los datos…
 0.2273 0.0852 
1
HE  
 0.1930 0.1794 

 0.603 0.425 
Vector. propio  
 0.335 0.339 

hemos reducido cuatro valores a
0.335 0 
Valor. propio   dos valores para el cálculo de la
 0 0.073
 razón de variabilidad explicada
frente a no explicada..

16. Finalmente el cálculo del estadístico se puede hacer por distintas fórmulas..
Todas ellas tienes aproximaciones a la distribución F para hacerla más
manejable…
s
i
V 
Traza de Pillai-Bartlett. Siendo s el
i 1 1  i
número de funciones y lambda los
eigenvalue
s Traza de Hotelling. Siendo s el
T   i número de funciones y lambda los
eigenvalue
i 1
Lambda de Wilks. Siendo s el número
s
1

de funciones y lambda los eigenvalue.
Compara esta fórmula con la anterior
i 1 1  i que vimos..

17. La buena noticia es que todo esto lo hace el SPSS… ¿cómo? El siguiente
ejemplo nos servirá

19. Estadísticos descripti vos
Factores inter-suj etos
grupo group Media Des v . tí p. N
Etiqueta acc ion conductas TCC 4. 90 1. 197 10
compuls iv as TC 3. 70 1. 767 10
del v alor N
Control 5. 00 1. 054 10
grupo 1. 00 TCC 10
Tot al 4. 53 1. 456 30
group 2. 00 TC 10 pensamiento TCC 13. 40 1. 897 10
3. 00 Control 10 conduct as obses iv as TC 15. 20 2. 098 10
Control 15. 00 2. 357 10
Tot al 14. 53 2. 209 30
Prueba de Box sobre la igual dad
a
de l as matrices de covarianzas
M de Box 9. 959
F 1. 482 Igual que en el ANOVA necesitamos
gl1 6 comprobar la igual de varianzas. En este
gl2 18168.923 caso covarianzas
Signif ic ación .180
Contras ta la hipót esis nula de que las mat rices
de cov arianza obs erv adas de las v ariables
dependientes son iguales en t odos los grupos.
a. Diseño: I ntercept +grupo

20. Los contrastes Multivariados nos dicen si las medias en las variables
dependientes son distintas en los grupos. Observa los valores de significación
¿Qué te sugieren?...
d
Contrastes mul tivariados
Eta al
Gl de la cuadrado Parámet ro de Potencia
a
Ef ecto Valor F hipótesis Gl del error Signif icación parcial no cent ralidad obs erv ada
Inters ección Traza de Pillai .983 745.230 b 2. 000 26. 000 .000 .983 1490.459 1. 000
Lambda de Wilks .017 745.230 b 2. 000 26. 000 .000 .983 1490.459 1. 000
Traza de Hot elling 57. 325 745.230 b 2. 000 26. 000 .000 .983 1490.459 1. 000
Raí z may or de Roy 57. 325 745.230 b 2. 000 26. 000 .000 .983 1490.459 1. 000
grupo Traza de Pillai .318 2. 557 4. 000 54. 000 .049 .159 10. 227 .684
Lambda de Wilks .699 2. 555b 4. 000 52. 000 .050 .164 10. 218 .682
Traza de Hot elling .407 2. 546 4. 000 50. 000 .051 .169 10. 183 .678
Raí z may or de Roy .335 4. 520c 2. 000 27. 000 .020 .251 9. 040 .722
a. Calculado con alf a = .05
b. Estadíst ic o ex acto
c. El est adís tico es un límite superior para la F el cual of rece un límite inf erior para el niv el de signif icación.
d. Diseño: Intercept+grupo
¡¡¡¡ recuerda !!!!
MANOVA ha generado una combinación lineal de las variables dependientes,
función, en la que lleva a cabo los contrastes de medias multivariados

21. Anovas UNIVARIADOS sobre cada variable denpendiente con la
variable independiente grupo ¿Qué puedes concluir?
Pruebas de los efectos inter-sujetos
Suma de Eta al
cuadrados Media cuadrado Parámetro de Potencia
a
Fuente Variable dependiente tipo III gl cuadrática F Signif icación parcial no centralidad obs erv ada
Modelo corregido acc ion conductas b
10.467 2 5.233 2.771 .080 .170 5.541 .500
compulsiv as
pensamiento c
19.467 2 9.733 2.154 .136 .138 4.308 .402
conductas obsesiv as
Inters ección acc ion conductas
616.533 1 616.533 326.400 .000 .924 326.400 1.000
compulsiv as
pensamiento
6336.533 1 6336.533 1402.348 .000 .981 1402.348 1.000
conductas obsesiv as
grupo acc ion conductas
10.467 2 5.233 2.771 .080 .170 5.541 .500
compulsiv as
pensamiento
19.467 2 9.733 2.154 .136 .138 4.308 .402
conductas obsesiv as
Error acc ion conductas
51.000 27 1.889
compulsiv as
pensamiento
122.000 27 4.519
conductas obsesiv as
Total acc ion conductas
678.000 30
compulsiv as
pensamiento
6478.000 30
conductas obsesiv as
Total corregida acc ion conductas
61.467 29
compulsiv as
pensamiento
141.467 29
conductas obsesiv as
a. Calculado c on alfa = .05
b. R c uadrado = .170 (R cuadrado c orregida = .109)
c. R c uadrado = .138 (R cuadrado c orregida = .074)

22. Le hemos pedido a SPSS que nos de las SCPC…. Recuerda que es sobre
estas matrices que hacemos los cálculos en MANOVA…
Matriz SCPC inter-s ujetos
acc ion pensamiento
conductas conductas
compulsiv as obs esiv as
Hipótesis Intersección acc ion conductas
616.533 1976.533
compulsiv as
pensamiento
1976.533 6336.533
conductas obs esiv as
grupo acc ion conductas
10.467 -7.533
compulsiv as
pensamiento
-7.533 19.467
conductas obs esiv as
Error acc ion conductas
51.000 13.000
compulsiv as
pensamiento
13.000 122.000
conductas obs esiv as
Basado en la s uma de cuadrados tipo III
61.47 5.47  51 13  10.47 7.53
T  = E 13 122 + H  7.53 19.47 
 5.47 141.47     

23. Comparaci ones múlti pl es
¿Hay diferencias Interv alo de conf ianza al
Dif erencia 95%.
entre las medias de ent re Lí mite
Variable dependiente (I ) group (J ) group medias (I-J) Error t íp. Signif icación Lí mite inf erior superior
los niveles de la acc ion conductas
compuls iv as
DMS TCC TC 1. 20 .615 .061 -. 06 2. 46
Control -. 10 .615 .872 -1.36 1. 16
variable grupo para TC TCC -1.20 .615 .061 -2.46 .06
Control -1.30* .615 .044 -2.56 -. 04
las variables Control TCC .10 .615 .872 -1.16 1. 36
TC
dependientes?.. Bonf erroni TCC TC
1. 30*
1. 20
.615
.615
.044
.184
.04
-. 37
2. 56
2. 77
Control -. 10 .615 1. 000 -1.67 1. 47
TC TCC -1.20 .615 .184 -2.77 .37
¿qué vemos…? Control
Control
TCC
-1.30 .615 .131 -2.87 .27
.10 .615 1. 000 -1.47 1. 67
TC 1. 30 .615 .131 -. 27 2. 87
Sidak TCC TC 1. 20 .615 .173 -. 36 2. 76
Control -. 10 .615 .998 -1.66 1. 46
TC TCC -1.20 .615 .173 -2.76 .36
Control -1.30 .615 .126 -2.86 .26
Control TCC .10 .615 .998 -1.46 1. 66
TC 1. 30 .615 .126 -. 26 2. 86
pensamiento DMS TCC TC -1.80 .951 .069 -3.75 .15
conduct as obses iv as Control -1.60 .951 .104 -3.55 .35
TC TCC 1. 80 .951 .069 -. 15 3. 75
Control .20 .951 .835 -1.75 2. 15
Control TCC 1. 60 .951 .104 -. 35 3. 55
TC -. 20 .951 .835 -2.15 1. 75
Bonf erroni TCC TC -1.80 .951 .207 -4.23 .63
Control -1.60 .951 .312 -4.03 .83
TC TCC 1. 80 .951 .207 -. 63 4. 23
Control .20 .951 1. 000 -2.23 2. 63
Control TCC 1. 60 .951 .312 -. 83 4. 03
TC -. 20 .951 1. 000 -2.63 2. 23
Sidak TCC TC -1.80 .951 .193 -4.22 .62
Control -1.60 .951 .280 -4.02 .82
TC TCC 1. 80 .951 .193 -. 62 4. 22
Control .20 .951 .996 -2.22 2. 62
Control TCC 1. 60 .951 .280 -. 82 4. 02
TC -. 20 .951 .996 -2.62 2. 22
Basado en las medias observ adas.
*. La dif erencia de medias es signif icativ a al niv el . 05.

24. Aquí hemos llevado a cabo un contraste simple en el que comparamos los grupos de
tratamiento frente a control (3) en cada variable dependiente… este tipo de contraste se
pide en el SPSS en contrastes…
¿qué podemos concluir de esta tabla?..
Re sultados del contras te (m atriz K)
Variable dependiente
acc ion pensamiento
conductas conductas
a
Contras te simple group compulsiv as obs esiv as
Nivel 1 - Niv el 3 Estimación del c ontraste -.100 -1.600
Valor hipotetizado 0 0
Dif erencia (Estimado - Hipotetizado)
-.100 -1.600
Error típ. .615 .951
Significac ión .872 .104
Intervalo de confianza al Límite inferior -1.361 -3.551
95 % para la diferencia Límite superior 1.161 .351
Nivel 2 - Niv el 3 Estimación del c ontraste -1.300 .200
Valor hipotetizado 0 0
Dif erencia (Estimado - Hipotetizado)
-1.300 .200
Error típ. .615 .951
Significac ión .044 .835
Intervalo de confianza al Límite inferior -2.561 -1.751
95 % para la diferencia Límite superior -.039 2.151
a. Categoría de ref erencia = 3

25. A practicar…